17. 過渡現象と回路方程式

17. 過渡現象と回路方程式

17. Transient Phenomena and Circuit Equations

講義内容

1.

2.

3. LR回路，CR回路

定常状態と過渡現象（定常時と過渡時） ²

定常状態 これまで学んだ直流・交流回路理論（集中定数回路）

電気回路が 一定条件下 に 十分長時間 置かれた場合，

回路内部の電圧・電流は一定の状態となる ⇒ 定常 状態 過渡現象 電気回路内の スイッチの開閉時 ，回路素子の値が変化する場合

⇒ 定常状態から別の状態に移行（エネルギーの増減・変換・消散）

この過程を 過渡現象 という

●ポイント

インダクタンス （

L

キャパシタンス （

C

抵抗 （

R )

過渡現象の 解析法

① 初等的解法 ：回路方程式を 直接 解く方法

② ラプラス変換法 ：ラプラス変換により 代数的 に解く方法

③

①初等的解法（ RL 回路 Ⅰ ） ³

電圧印加時（

t = 0

S

i

１）定常解（ 直流解 ）

i(t) = I

十分時間が経過したときの電流 … 一定値

（時間的変化（傾き）が存在しない）

２）過渡解

i(t) = i

(t)

過渡時にのみ存在する電流 … 時間変化

回路方程式 の【 左辺

= 0

V

t v t

v

( ) 

( ) 

V t

dt Ri t

L di ( )  ( ) 

) 0

( 

dt t

di

R I V

t

i ( ) 



0 ) ) (

(  Ri t  dt

t

L di

Ae t

i t

i ( ) 

( ) 

A

※斉次 方程式

= 同次

V

R L S

v

v

i

線形 非斉次 微分方程式

①初等的解法（ RL 回路 Ⅰ ） ⁴

3）一般解 i(t)

定常解

I

i

(t)

（ 線形 非斉次 微分方程式 の 一般解 ）

Lt R

R Ae t V

i I

t

i ( ) 



( )  

4）積分定数 A

初期条件（

i(0) = 0

0

) 0

(  

  A 

R Ae V

R

i V

R

R A   V

⇒電圧印加時に流れる電流

i(t)

（微分方程式の 特殊解 ）

⇒

L

v

(t)

 

 



 

 e

R

t V

i ( ) 1

Lt R

dt Ve t L di t

v  ( ) 

)

L

(

①初等的解法（ RL 回路 Ⅱ ） ⁵

回路短絡時（

t = 0

S

i

•

R r

I V

 

I

•

L

( ) ( ) 0



 Ri t dt

t

L di

１）定常解 以上より

⇒回路短絡時に流れる電流 i(t)

⇒ L

v

(t)

_Ve

R

r t R

v

 

 )

L

(

Lt R

Ie t

i ( ) 

s

 0 I

Lt R

Ae t

i

( ) 

Lt R

Ae t

i ( ) 

３）一般解

４）積分定数

A

A = I

V

S

R L

v

v

i r

V S

R L

v

v

i

r

①初等的解法（ RL 回路 Ⅱ ） ⁶

Lt R

Ie t

i ( ) 

抵抗

R

2 2

0

( ) 1

W  

R i t dt   2 LI

Lt R

Ie t

i ( ) 

L

W

代入

Lt R

R Ve r

t R

v

 

 )

L

(

逆起電力 が発生

時定数 ⁷

時定数… 過渡電流・過渡電圧の時間変化の指標 解の指数係数の逆数で

τ

[ s ]

時定数からわかること

RL

t = 0

i / I

1

⇒ τ

t = τ

⇒

63 % ( 0.632 )

t = τ

i / I

1

⇒ 2τ

⇒

i / I

1

τ t = 5τ

⇒

99.3%

⇒ 5τ

RL

R

 L



) 1

( )

(

R

e I

t

i  

I e t

i



 1 )

(

I e

I

i (  )  ( 1 

)  0 . 632

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0

Value

Time Constant

0.632 0.865 0.950 0.982 0.993

グラフ

CR 回路 Ⅰ ：電圧印加時 ⁸

電圧印加時（

t = 0

S

※キャパシタンス

C

v

(0) = 0

V

R C S

v

v

i ^{ q}

 q

回路方程式は

v

( t )  v

( t )  Ri ( t )  v

( t )  V

i

C

端子電圧

v

(t)

dt t C dv

t

i ( )

)

( 

C

_{v t V} dt

t

RC dv ( )  ( ) 

C

C これを解けば全ての

過渡 電圧／電流が求まる

別のアプローチ

電流に関する回路方程式を解く方法

C

回路方程式を解く方法

0

( ) 1

( )

Ri t i t dt V

 C   C

t t q

v ( )

)

C

( 

( ) ( ) ( )

t dt i

t dq dt

t

C dv   q t CV

dt t

RC dq ( )  ( ) 

CR 回路 Ⅰ ：電圧印加時 ⁹

V t

dt v t

RC dv ( )  ( ) 

C

回路方程式： C

１）定常解

V

２）過渡解

v

(t)

= 0 】

３）一般解

v

(t)

V

v

(t)

４）積分定数

A

v

(0) = 0

以上より，電圧印加時の

C

v

(t)

電流

i(t)

q(t)

R

v

(t)

) 0

C

(  dt

t

dv

^V

^{ V}

0 )

) ( (

Ct

Ct

 v t 

dt t

RC dv

_{v t Ae}

Ct

( ) 

CRt

Ae V

t v V

t v

1 Ct

Cs

C

( )   ( )  

0 )

0

(

1

C

 V  Ae



v

A   V

) 1

( )

(

1 C

CRt

e V

t

v  

CRt

R e V dt

t C dv

t i

1 C

( )

)

(  

) 1

( )

( )

(

1 C

CRt

e CV

t Cv t

q   

CRt

Ve t

Ri t

v

1 R

( )  ( ) 

CR 回路 Ⅰ ：電圧印加時 ¹⁰

) 1

( ) (

1 C

CRt

e V

t

v

CRt

R e V dt

t C dv

t i

1 C( )

)

(   ^

) 1

( )

( )

(

1 C

CRt

e CV

t Cv t

q

CRt

Ve t

Ri t

v

1 R( )  ( )  ^

指数関数的に 増加

指数関数的に 減少

指数関数的に 増加 指数関数的に 減少

時定数

  CR

時定数

τ

R

C

電荷の入れ物が 大 充電時間が 長くなる

C

初期条件（

v

(0) = v

A   ( V  v

)

CRt

e v

V V

t v

1 C0

C

( )   (  )

CR 回路 Ⅱ ：回路短絡時（※充電： C に入力） ¹¹

電圧印加時（

t = 0

S

スイッチを入れる直前(

t = 0

)

C

V

t = 0

)

R

短絡後の回路方程式は

( ) ( ) 0

C

C

 v t 

dt t

RC dv

１）定常解 ２）過渡解

Cs

 0 V

CRt

Ae t

v

1 Ct

( ) 

３）一般解

^{v t Ae}

1 C

( ) 

４）積分定数

A

A = V

⇒

C

V

(t)

⇒ 電流

i(t)

CRt

Ve t

v

1 C

( ) 

CRt

R e V dt

t C dv

t i

1 C

( )

)

(   

C

V ^ _i



S

R

キャパシタに 充電 する 向きを 正 とするので 放電 時 は 負 に流れる

充電 の向き※

放電 の向き

0

t V

) (t

i

)

C(

t v

R



V

CR 回路 Ⅱ ：定常時① ⇒ 過渡時 ⇒ 定常時➁の移行 ¹²

電圧印加時（

t = 0

S

定常時①： スイッチを入れる直前(

t = 0

)

C

V

t = 0

)

R

定常時➁： スイッチを入れて十分時間経過： コンデンサ

C

∴ t = 0

0 t V

) (t i

)

C

( t v

R

 V t  0

 ^{1 0.632 }  ^V

 ^{1 0.632}  ^V

  R

t  τ