Aw-Rascle モデルの数値計算 交通流解析における

Aw-Rascle モデルの数値計算

平成 23 年 2 月 14 日

情報電子工学科 竹野研究室

片桐 由太

2

1

2.1

. . . . 1

2.2 3

. . . . 1

2.3 3

. . . . 4

2.4

. . . . 5

2.5

. . . . 7

2.6

. . . . 8

3 Aw-Rascle

9 4 Lax-Friedrichs

12 4.1

. . . . 14

4.2 CFL

. . . . 15

5

17

6

20

参考文献

21

過去の卒業研究で使用されていた流体モデルは、交通流解析には向かない点が 最近指摘されていて、それを改良するモデルとして

2

Aw-Rascle

2

Aw-Rascle

結果からなにが得られるのかを検証する。そして、最終的には、流体モデル と比較したり、本研究室で行なっている道に依存する場合での考察ができる のかを目標とする。

まずは、過去の卒業研究で使用されていた流体モデルについて簡単にまとめ たものを紹介する。今回は、道に依存しないモデルでまとめたものを紹介す る。そして、

Aw-Rascle

1

交通流解析に用いられているモデルは大きく分けて巨視的

(macroscopic)

(mi-

croscopic)

る。そのなかでルール

184

過去の卒業研究で使用されていた流体モデルは、道に依存したもので考察されていた。

具体的に、坂道だったり、カーブ、速度指定や信号、事故などの様々な要因を取り込んで いる。今後

Aw-Rascle

で、

Aw-Rascle

第

2

第

3

2

Aw-Rascle

4

Lax-Friedrichs

5

第

6

2

2.1

流体モデルとは、多数の車両の動き、つまり交通の流れを連続した流体のように考える ものである。連続方程式や運動方程式に基づいているものである。流体モデルは

1995

M.J.Lighthill

G.B.Whitham

1

3

3

2.2 3

•

(

)

車の位置が

x 0 (t)

dx 0 (t)/dt

d ² x 0 (t)/dt ²

Fig.2.1

x i (t)

速度を測るには

2

υ _i

υ _i = dx _i /dt

x1 x2 x3 x4

Fig. 2.1 x _i

る。車の台数を

N

N

υ _i (t)i = 1, · · · , N

1

υ(x, t)

x

t

である。車の位置

x i (t)

υ(x, t)

υ i (t)

υ(x _i (t), t) = υ _i (t) (2.1)

となる。

•

観測者は

1

q

t

x

q(x, t)

時刻 車の通過台数

1

8:00

8:30 433 866

8:30

9:00 522 1044

9:30

10:00 603 1206

最大交通量は

9:30

10:00

q

q(t)

Fig.2.1

t

•

密度とは与えられた道路上に存在する車の数である。

8 9 10

t

Fig. 2.2

q(t)

0m 100m

Fig. 2.3

両端において入りきらなかった車に関して、車の中心が領域に入った場合のみ考えるも のとする。図

,3

2

5.66

1 km

56.58

ρ

ρ

ρ(x, t)

M km

N

N = ρM

なので

ρ = N M

で求めることが出来る。

道路上の

2

1km

0-0.2 10 50 50

0.2-0.4 13 65 65

0.4-0.6 8 40 40

0.6-0.8 6 30 30

0.8-1.0 9 45 45

となり

ρ

d,

L

ρ

ρ = 1 L + d

と表すことが出来る。道の距離は

km

m

2.3 3

X

Fig. 2.4

ある道路上で交通が

fig.2.4

υ 0 ,

ρ 0

T

υ ₀ T

(

移動距離は速度×時間

)

T

Fig.2.4

X

υ ₀ T

よって、

T

Fig.2.4

X

ρ ₀ υ ₀ T

1

q

q = ρ 0 υ 0 (2.2)

V 0 T

X

Fig. 2.5

T

となる。これは基本法則

交通量

= (

)

(

)

を意味する。

3

x(

)

t(

)

q(x, t)

ρ(x, t) υ(x, t)

(2.3)

q(x, t) = ρ(x, t)υ(x, t) (2.3)

2.4

a b

Fig. 2.6

Fig.2.6

a

b

N

N =

∫ _b

a

ρ(x, t)dx (2.4)

Fig.2.6

a, b

a,b

a

q(a, t)

b

q(b, t)

a, b

dN/dt

a

t

時間のときに横切る車の数から、

b

t

dN

dt = q(a, t) − q(b, t) (2.5)

(2.5)

(2.4)

d dt

∫ _b

a

ρ(x, t)dx = q(a, t) − q(b, t) (2.6)

となる。この式は、車の数の変化は

a, b

(2.6)

x

y

b

x

∂

∂t

∫ _x

a

ρ(y, t)dy = q(a, t) − q(x, t) (2.7)

となる。微分と積分の順序交換により

∫ _x

a

∂

∂t ρ(y, t)dx = q(a, t) − q(x, t) (2.8)

となり両辺を

x

∂ρ

∂t (x, t) + ∂q

∂x (x, t) = 0 (2.9)

を得る。これは、車が生成も減少もしない仮定のもとでの交通密度と交通量との関係を表 している。つまり車の数が保存される。

(2.3)

q = ρυ

であり、この式を

(2.9)

∂ρ

∂t + ∂

∂x (ρυ) = 0 (2.10)

として書かれる。

2.5

速度と密度の関係は

(2.6)

Lighthill

Whitham

Richards

υ = υ(ρ)

とされている。道路上に車がいなければ、その車は最高速度

υ max

ρ max

υ(ρ _max ) = 0

と表せる。速度と密度の関係をグラフに表すと

Fig.2.7

v

p Pmax

Vmax

Fig. 2.7

2.6

交通量は密度×速度より

q = ρυ

交通量もまた密度のみに依存しているので、次の場合

0

•

(ρ = 0)

•

(υ = 0

ρ = ρ max )

交通量の密度への依存のグラフを

Fig.2.8

q

p Pmax

q max

0

Fig. 2.8

3 Aw-Rascle

2

2

1971

Payne

1974

Whitham

2

Aw-Rascle

Aw-Rascle

2000

Aw

Rascle

Aw-Rascle

下に流体モデルと

Aw-Rascle

•

•

などが、挙げられる。

流体モデルは前後からの刺激に対応してしまう。前からの刺激は問題ないのだが後ろか らの刺激を受けることは、交通に例えると車が進行方向とは逆に走ってしまう。つまり、

非現実的な負の速度を持ってしまうことになる。それを改善したのが

Aw-Rascle

{ ρ _t + (ρυ) _x = 0

(υ + p) t + υ(υ + p) x = 0 (3.1)

のように表示される。ここでの

p = p(ρ)

p

∂/∂t

D Dt = ∂

∂t + υ ∂

∂x

とする微分である。例を示すと、

ρ(t, x)

t

∂ρ

∂t = lim

∆t → 0

ρ(x, t + ∆t) − ρ(x, t)

∆t

を表すが、これは位置

x

(

)

R

t = 0

x 0

t

∆t

x(x 0 , t + ∆t)

R = lim

∆t → 0

ρ(x(t + ∆t, x 0 ), t + ∆t) − ρ(x(t, x 0 ), x)

∆t = ∂

∂t ρ(x(t, x 0 ), t)

となるが偏微分の合成函数の微分法則を用いれば

∂

∂t ρ(x(t, x ₀ ), t) = ∂ρ

∂x

∂x(t, x 0 )

∂t + ∂ρ

∂t

となり

∂x(t, x ₀ )

∂t = υ(x(t, x ₀ ), t)

を代入すると

R = ∂ρ

∂x υ + ∂ρ

∂t = Dρ Dt

が得られる。つまりこのことからラグランジュ微分とは、車を追いかけながらの時間変化 と捉えることが出来る。なのでラグランジュ微分を用いると

(3.1)

2

D

Dt (υ + p) = 0 (3.2)

となる。これは車を追いかけながら見ると、速度と

p

²⁾

⁸⁾

p

(3.2)

Aw-Rascle

しかし先の式は保存形式になっていない。保存的な形式を得るため変更する。

(3.1)

1

υ + p

2

ρ

(f g) ⁰ = f ⁰ g + f g ⁰

ρ t (υ + p) + ρ(υ + p) t = (ρ(υ + p)) t

なので

(ρυ) _x (υ + p) + ρυ(υ + p) _x = (ρυ(υ + p)) _x

となり

{ ρ _t + (ρυ) _x = 0

ρ(υ + p) _t + (ρυ(υ + p)) _x = 0 (3.3)

の形の連立方程式を得る。よって、この式から運動方程式と

Aw-Rascle

2

2

ρ

ρ(υ + p)

y = ρ(υ + p)

U = (ρ, y)

これで保存形式になる。そして、

Aw

Rascle

p

p(ρ) = ρ ^γ

で

γ > 0

υ = y

ρ − p (3.4)

より

ρυ = y − ρp

となり、よって

ρυ(υ + p) = y ( y

ρ − p )

となるので、

(3.3)

 



 

ρ _t + (y − ρp) _x = 0 y _t +

( y

( y ρ − p

))

x

= 0 (3.5)

4 Lax-Friedrichs

∆x

∆t

ここでは、

Lax-Friedrichs

(

:LF

)

t

0

x x

t

t

t

t

x

x

x

x

t

t

x

x

x

x

Fig. 4.1 Lax-Friedrichs

Aw-Rascle

(3.5)

の場合の

LF

u _t + f (u) _x = 0 (u = u(x, t)) (4.1)

を単独の保存方程式と呼ぶ。これに対する

LF

∂/∂t

∂/∂x

u _t (x, t) =

u(x, t + ∆t) − u(x + ∆x, t) + u(x − ∆x, t) 2

∆t (4.2)

f _x (x, t) = f(x + ∆x, t) − f(x − ∆x, t)

2∆x (4.3)

本来前進差分なら

(4.1)

u _t (x, t) = u(x, t + ∆t) − u(x, t)

∆t (4.4)

であるはずだが、

u(x, t)

(x + ∆x, t), (x − ∆x, t)

u(x + ∆x, t) + u(x − ∆x, t)

2

を用いることにより、平滑、効果、単調性、点数の削減などが得られることが知られてい る。

(4.3)

(4.4)

u(x, t + ∆t) − u(x + ∆x, t) + u(x − ∆x, t) 2

∆t + f (x + ∆x, t) − f (x − ∆x, t)

2∆ = 0

で近似され、よって

(x, t + ∆t)

(x + ∆x, t), (x − ∆x, t)

2

u(x, t+ ∆t) = u(x + ∆x, t) + u(x − ∆x, t)

2 − ∆t

2∆x (f (x + ∆x, t) − f (x − ∆x, t))(4.5)

LF

Aw-Rascle

ρ

y

LF

ρ ^m,k = ρ(k∆x, m∆t) , y ^m,k = y(k∆x, m∆t)

とする。

ρ ^m+1,k = ρ ^m,k+1 − ρ ^{m,k − 1} 2

− ∆t

2∆x ((y ^m,k+1 − ρ ^m,k+1 p ^m,k+1 ) − (y ^m,k−1 − ρ ^m,k−1 p ^m,k−1 ))

y ^m+1,k = y ^m,k+1 + y ^{m,k − 1} 2

− ∆t 2∆x

{ y ^m,k+1

( y ^m,k+1

ρ ^m,k+1 − p ^m,k+1 )

− y ^{m,k − 1}

( y ^{m,k − 1}

ρ ^{m,k − 1} − p ^{m,k − 1}

)}

4.1

t

t

x

x

M-1

Fig. 4.2 LF

LF

ρ M

ρ 1

ρ M − 1

Fig.4.2

4.2 CFL

CFL

Courant-Friedrichs-Lewy

CFL

LF

∆t

t

差分を安定に計算するために

∆t

Aw-Rascle

CFL

ヤコビ行列の

2

∆t/∆x

λ ₁

λ ₂

(ρ ^m,k , y ^m,k )

| λ ₁ (ρ ^m,k y ^m,k ) | ∆t

∆x ≤ 1, | λ ₂ (ρ ^m,k y ^m,k ) | ∆t

∆x ≤ 1 (4.6)

と書くことが出来る。導出過程を詳しく説明すると

(3.5)

F

F =

[ (f 1 ) ρ (f 1 ) y

(f 2 ) ρ (f 2 ) y

]

但し、

f 1 = y − ρp , f 2 = y( ^y _ρ − p)

(f ₁ ) _ρ = (y − ρp) _ρ = − (ρp) _ρ = − (p + ρp ⁰ )

(f ₁ ) _y = 1

(f 2 ) ρ = ( y ²

ρ − yp )

ρ

= − y ²

ρ ² − yp ⁰

(f 2 ) = 2y ρ − p

なので、

F

F =



 − p − ρp ⁰ 1

− y ²

ρ ² − yp ⁰ 2y ρ − p





となる。固有値

λ

| λI − F | =

¯¯ ¯¯

¯¯

λ + p + ρp ⁰ − 1 y ²

ρ ² + yp ⁰ λ − 2y ρ + p

¯¯ ¯¯

¯¯

なので

(λ + p + ρp ⁰ ) (

λ + p − 2y ρ

) + y ²

ρ ² + yp ⁰ = 0

の解である。

λ + p = µ

(µ + ρp ⁰ ) (

µ − 2y ρ

) + y ²

ρ ² + yp ⁰

= µ ² + (

ρp ⁰ − 2y ρ

) µ + y ²

ρ ² − yp ⁰

= µ ² + (

ρp ⁰ − 2y ρ

) µ + y

ρ ( y

ρ − ρp ⁰ )

= (

µ − y ρ

) ( µ − y

ρ + ρp ⁰ )

= 0

となるので、

µ = y/ρ, y/ρ − ρp ⁰

λ

λ 1 = y

ρ − p − ρp ⁰

λ 2 = y ρ − p

となる。

p = ρ ^γ

p + ρp ⁰ = ρ ^γ + ρ ^γ ρ ^{γ − 1} = (γ + 1)ρ ^γ

λ ₁ = y

ρ − (γ + 1)ρ ^γ

λ ₂ = y ρ − ρ ^γ

となるので結局

(4.6)

¯¯ ¯¯

¯ y ^m,k

ρ ^m,k − (γ + 1)(ρ ^m,k ) ^γ

¯¯ ¯¯

¯

∆t

∆x ≤ 1

¯¯ ¯¯

¯ y ^m,k

ρ ^m,k − (ρ ^m,k ) ^γ

¯¯ ¯¯

¯

∆t

∆x ≤ 1

が求められる。

5

前節の

LF

Aw-Rascle

法は、初期値はランダムで与えるのではなく、三角関数の値を与えてあり、

ρ(0, x) = 2.0 + sin(2πx)

y(0, x) = 1.0 + cos(2πx)

としている。

x

0 ≤ x ≤ 1

∆x = 1/200

γ = 1.4

Fig.5.1

ρ

y

t

ρ

x = 0.25

t = 0.000

今度は、

t

γ

γ

t = 0.081

γ

Fig.5.2

まず、

γ

γ

γ = 0.8

0.3

γ = 1.4

0.6

γ = 2.4

2.6

γ = 3.4

5.9

γ

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

x

(

=1,4)

t=0.000 t=0.027 t=0.054 t=0.081

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

y

x y( =1,4)

t=0.000 t=0.027 t=0.054 t=0.081

Fig. 5.1 t = 0.000, 0.027, 0.054, 0.081

ρ, y

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

x

(t=0.081)

=0.8

=1.4

=2.4

=3.4

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

y

x y(t=0.081)

=0.8

=1.4

=2.4

=3.4

Fig. 5.2 t = 0.081

γ = 0.8, 1.4, 2.4, 3.4

ρ, y

6

今回は過去の卒業研究の流体モデルと

Aw-Rascle

Aw-Rascle

Aw-Rascle

数値計算の方でも、今回は

t

γ

今後はよりこのモデルの検証を深めて、ベースになっている式の導出や、

p

Aw-Rascle

参考文献

[1] R.

: “

”,(

,1981) [2] Mauro Garavello,Benedetto Piccoli : “Traffic flow on Networks”(AIMS 2000) [3]

“

“,

工科大学情報電子工学科卒業論文

,(2003)

[4]

:“

“,

,(2000)

[5]

:”

”,

[6]

.

:”

”,(

,1994) [7]

:”

”(

,1998)

[8] A.Aw and M.Rascle: ”Resurrection of”second order”models of traffic flow?”, SIAM

Journal on Appl. Math, 60(2000), 916-938