「 ほとんどすべて」は
《 ほとんどすべて》か？
渕野 昌
神戸大学大学院 システム情報学研究科
数理の翼 大川セミナー
年月日
年月 日於 大川
!
実数の全体の完備性
「ほとんどすべて」？Ê
で実数
数直線の上の点に 対応するような数
の全体の集まり
集合
をあらわす．
Ê
は，区間
としてあらわされることもある．
Ê
は物理的な
直線
の理想化のようなものだが，物理的な直線 そのものではない ！
Ê
の基本性質の一つとして，通常，次の性質を仮定する．
Æ
で 自然数
の全体の集合をあらわす．
Æ ! "
である．
Ê
の完備性
単調有界列の収束
# Æ
を実数の上昇列として，ある実数
Êに対し，
がすべての
Æに対し成り立つ
つまり，数列
#Æ
は上に有界
なら，この数列は極限
を持つ
つ
まり，
となるような実数
Êが存在する
．
実数の全体の完備性
「ほとんどすべて」？Êの完備性
単調有界列の収束
# Æ を実数の上昇列として，ある実数 Ê に対し，
がすべての Æ に対し成り立つつまり，数列 #
Æ は上に有界なら，この数列は極限 を持つつ まり， となるような実数Êが存在する．
É
で 有理数
#分数
$としてあらわせ る数
の全体からなる集合をあらわす．
Æ É Êである．
É
は
Êの中に
ぎっしりと
つまっている
%Éは
Êで 稠密
ちゅ うみつ，
である．つまり，すべての 区間
に対し，
Éと
の共通部分
Éは空
くう
でない．しかし
&&&演習
Éは上の意味での
完備
ではない．
実数の全体の完備性
「ほとんどすべて」？Êの完備性
単調有界列の収束
# Æ を実数の上昇列として，ある実数 Ê に対し，
がすべての Æ に対し成り立つつまり，数列 #
Æ は上に有界なら，この数列は極限 を持つつ まり， となるような実数Êが存在する．
定理
#Æを閉区間の包含関係に関する下降列
¼ ½
¾
とする．このとき，
である
つまり
は少なくとも一つは要素を持つ
．
証明． 各
Æに対し，
' (とする．このとき，
#Æ
は実数の上昇列で，
¼がすべての
Æに対し成り 立つ．したがって，
Êの完備性から，
が存在する が，
である．
演習
定理
!の主張は，開区間の列に対しては必ずしも成り立
たない．
カントルの定理
「ほとんどすべて」？定理 #Æ を閉区間の包含関係に関する下降列¼
½
¾
とする．このとき，
であるつまり
は少なくとも一つは要素を持つ．
集合
が 可算 であるとは，
は空集合であるか，ま たは，
の要素を
#Æとならべあげることができる
つま り，
% Æとあらわせる
こととする．
定理
Êが可算なとき，任意の区間
に対 し，
の要素で
に属さないようなものが存在する．
証明．
が空集合なら主張は明らかである．
% Æとする．閉区間の下降列
# Æを次が成り立つように作る
%
¼
#
·½
&
定理
!から，
¼
がとれるが，
はどの
#Æ
とも異なる．
上級者のための
演習
上の定理
)の証明は選択公理を用い
ず行なうことができる．
カントルの定理
「ほとんどすべて」？定理
Êが可算なとき，任意の区間
に対 し，
の要素で
に属さないようなものが存在する．
系
すべての区間は可算でない．
可算でない集合は 非可算
または不可算， であると いう．
この用語を用いて系
*を言い換えると
%すべての区間は非可算で ある．特に
Êは非可算である．
補題
Éは可算である．
証明のスケッチ
演習
加藤先生の講義で出てきた
Éは可算である．
実数の可算集合
「ほとんどすべて」？'Ê(
¼
Ê %
は可算
は以下の性質を満たす
%Ê 'Ê(
定理
)+ É É 'Ê(補題
,#演習
,&
すべての
Êに対し，
'Ê(+'Ê(
で
なら
'Ê(+# 'Ê(
なら
'Ê(+'Ê(
# Æ
なら，
'Ê(
+
上の
が言えるためには選択公理
の弱いヴァージョン
%可算選択公理
が必要．
Ê
の可算な部分集合は，
無視していいくらい小さい
Êの部分 集合であると考えることができる．
「
Êの
無視していいくらい小さい
部分集合」を，可算な部分 集合のことだと解釈したときには，補集合が可算集合であるよう な
Êの部分集合
Êの 補可算集合
-は
ほと んどすべての実数を含む集合
だと考えてよい．
可算性を拡張する
Êの無視していいくらい小さい部分集合
の
概念が幾つか知られている．以下でこれについて話す．
痩集合
「ほとんどすべて」？
注意． ここでは，区間と言ったときには，
!つの異なる端点を持 つ区間のこと．
#' (は区間とは考えていない．
Ê
が
全疎
.であるとは，任意の区間
に 対し，
で
と共通部分を持たないようなものが存在するこ とである．
例
%一点集合，カントル集合
Ê
が
痩，昔は第一類
/ 0と言った
で あるとは，
1な
Ê# Æで，
と なるものがとれること．
0
な
Êは
1とは限らないし，
Êの中で稠 密であることすらあり得る．
例
%É Ê定理
!"#カテゴリー定理
Êが
0なとき，
任意の区間
に対し，
の要素で
に属さないようなものが存 在する．
証明． カントルの定理
定理
)と同様に示せる 演習
$．
痩集合
「ほとんどすべて」？Ê %
は
0は以下の性質を満たす
%Ê
定理
2+
すべての
Êに対し，
+
で
なら
+#
なら
+#Æ
なら，
+
で非可算なものが存在する
例
%カントル集合
．
# #
から，
'Ê(が成り立つ．
Ê
の
0な部分集合は，
無視していいくらい小さい
Êの部 分集合であると考えることができる．
「
Êの
無視していいくらい小さい
部分集合」を，
0な
/ 0
部分集合のことだと解釈したときには，補集合
が
0であるような
Êの部分集合
Êの
%な部分集
合
は，カテゴリーの意味で
ほとんどすべての実数
を含む集
合 だと考えてよい．
零集合
「ほとんどすべて」？区間
Êに対し，
の端点を
#Êとするとき，
の 長さ を
で定める．
Ê
が 零集合
あるいは，測度
の集合
であるとは，すべての
に対し，区間の列
#Æ
で，
かつ，
となるものが存在す
ることをいう．
零集合
「ほとんどすべて」？Ê
が 零集合
あるいは，測度
の集合
であるとは，すべての
に対し，区間の列
#Æ
で，
かつ，
となるものが存在す ることをいう．
補題
Êとして，
も
も零集合である．
!
# Æ
が零集合のとき，
は零集合である．
"
すべての可算集合
Êは零集合である．
証明．
%として，
Æに対し，
! ¿
3! ¿
とすれば，
で，
! ¾
½
¾
である．
!%
として，
Æに対し，区間
#Æを，
かつ
! ¾
となるようにとれば，
で，
! ¾
½
¾ &
"%
と
!から明らか．
零集合
「ほとんどすべて」？定理
&!任意の区間
Êに対し，区間
# Æが
を覆う
つまり，
4
が成り立つ
なら，
である．
系
すべての区間は零集合ではない．
定理
の証明．
が閉区間
たとえば
' (で，各
#Æ
は開区間の場合に定理を示す．一般の場合は，この場合の 結果を用いて証明できる 演習
．
Æ
と
#
を以下のように構成する
%
¼
¼
を，
となるような最初の
つまり添字
が最小の
ものとする．
4によりこのようなものは存在する．
¼なら，
として構成を終える．
¼なら，
½ ½を
¼とな るようなもののうちの最初のものとする．
½なら
!と して構成を終える．
½
なら，
&&&．
零集合
「ほとんどすべて」？証明の続き．
この構成は有限回
の後停止する
%もしそうでなければ，
# Æ
は増加列で
で押えられているから，
Êの完備性から，
極限
を持つ．
Æを
となるよう なものとすると，ある
Æをとると，すべての
に対し，
となるから，
·½·½
は
より小さい添字
を持つ
とならなくてはならないが，そのようなものは有限個しかない ので矛盾である．
ここで，
だから，
となり，得たい不等式が示せた．
零集合
「ほとんどすべて」？以上から，
Ê %は零集合
は以下の性質を満たすこ とがわかる
%Ê
系
!+
すべての
Êに対し，
補題
# +
で
なら
+#
なら
+#Æ
なら，
補題
# !+
で非可算なものが存在する
例
%カントル集合
．
# #
から，
'Ê(が成り立つ．
Ê
の零集合は，
無視していいくらい小さい
Êの部分集合であ ると考えることができる．
「
Êの
無視していいくらい小さい
部分集合」を，零集合のこ
とだと解釈したときには，補集合が零集合であるような
Êの部分
集合
Êの
%'な部分集合
は，測度の意味で
ほとんどすべ
ての実数
を含む集合 だと考えてよい．
Ê
の
小さな
部分集合の概念たち
「ほとんどすべて」？
Ê
Ê
の
小さな
部分集合の概念たち
「ほとんどすべて」？
°
Ê
例
カントル集合
「ほとんどすべて」と《ほとんどすべて》
「ほとんどすべて」？定理
Êの分割
Êで，
は零集合で，
は
0となっているようなものが存在する．特に，
はカテゴリーの 意味でほとんどすべての実数を含んでいるが，
は測度の意味 でほとんどすべての実数を含んでいる．
証明．
É % Æとする．
#Æに対し，
!
´· µ
3!
´· µ
とする．
!
´· µ·½
だから，
!
´·¾µ
である．
したがって，
Æ
として
とすると，
は零集合である．
一方，各
Æに対し，
Ê
は
1だから，
ÊÊ
は
0である．
よって，これらの
#は求めるようなものとなっている．
Ê
の
小さな
部分集合の概念たち
「ほとんどすべて」？
±
°
°
Ê
定理
参考文献
「ほとんどすべて」？É
は可算である．
有理数の全体
Éは可算である
%
（無限）平面に座標を入れて
5軸より上にある，各格子点
上に分数
を置く．
格子点を蛇行しながら辿って，格 子点に乗った分数を
番目
#番目
#!番目
#… と数え上げてゆく．
