物理学 物理学 物理学

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普遍教育専門基礎科目(07322103)(07322103)(07322103)(07322103)

物理学 物理学 物理学

物理学B( B(特 B( B( 特)) 特 特 )力学入門 ) 力学入門11 力学入門 力学入門 1 1

劉 浩 劉 浩 劉 浩 劉 浩

Physics BI: Introduction to Mechanics 1

［［［

［授授業授授業計業業計画計計画・画画・授・・授業授授業内業業内容内内容］容容］］］

１１１

１...座.座標座座標系標標系、系系、位、、位置位位置ベ置置ベクベベクトククトルトトル、ルル、速、、速度速速度度度、、、、加加速加加速度速速度な度度などななどどどののののベベクベベクトククトルトトルルル表表表表現現現現 ２２２

２....物物体物物体の体体の運のの運動運運動と動動と運とと運動運運動の動動の第のの第１第第１、１１、第、、第第第２２２２、、第、、第３第第３法３３法則法法則則則のののの関関係関関係お係係およおおよよよびびびび慣慣性慣慣性座性性座標座座標系標標系系系 ３３３

３....運運動運運動方動動方程方方程式程程式か式式からかから運らら運動運運動の動動の変のの変化変変化は化化ははは力力力力積積で積積で表でで表せ表表せるせせるるる力力力力積積と積積と物とと物体物物体体体のののの衝衝突衝衝突突突 ４４４

４....１１次１１次元次次元の元元の運のの運動運運動、動動、運、、運動運運動方動動方程方方程式程程式の式式の積のの積分積積分に分分によにによりよより直りり直直直線線線線上上の上上の運のの運動運運動動動、、、、単単振単単振動振振動等動動等等等 ５５５

５....力力と力力と運とと運運運動動動動エエネエエネルネネルギルルギーギギー及ーー及び及及びポびびポテポポテンテテンシンンシャシシャルャャルのルルの保のの保保保存存存存性性性性 ６.抵抗を受ける物体の２次元

７７７

７...円.円運円円運動運運動と動動と向とと向心向向心力心心力及力力及び及及び遠びび遠心遠遠心力心心力力力

運動

８.中間試験 ９９９

９...力.力の力力の変のの変化変変化と化化とエととエネエエネルネネルギルルギーギギーとーーとのととの関のの関関関係係係係、、仕、、仕事仕仕事と事事と運とと運運運動動動動エエネエエネルネネルギルルギギギーーーーのの関のの関係関関係係係 111

1000..0..力力の力力のポののポテポポテンテテンシンンシャシシャルャャルとルルと保とと保存保保存力存存力力力 111

1111..1..ケケプケケプラププラーララーのーーの第のの第１第第１、１１、第、、第２第第２、２２、第、、第第第３３３３法法則法法則と則則と万とと万有万万有有有引引引引力力の力力の法のの法則法法則則則 111

1222..2..惑惑星惑惑星の星星の運のの運動運運動と動動と中とと中心中中心力心心力の力力の関のの関係関関係係係、、、、中中心中中心力心心力と力力と面とと面面面積積積積速速度速速度度度 111

1333..3..太太陽太太陽の陽陽の引のの引力引引力と力力と惑とと惑星惑惑星の星星の運のの運動運運動、動動、、、人人人人工工衛工工衛星衛衛星、星星、中、、中中中心心心心力力と力力とクととクーククーーーロロロロンン力ンン力力力 111

1444..4..角角運角角運動運運動量動動量、量量、角、、角運角角運動運運動量動動量ベ量量ベクベベクトククトルトトルのルルの性のの性質性性質質質 15.期末試験

１次元の運動とエネルギー １次元の運動とエネルギー １次元の運動とエネルギー １次元の運動とエネルギー

„

＠直線上の運動  ＠斜面に沿う運動  ＠単振動

 ＠エネルギー保存

２次元の運動とエネルギー ２次元の運動とエネルギー ２次元の運動とエネルギー ２次元の運動とエネルギー

„

＠放物体の運動

＠円運動（円錐振り子）

＠２つの単振動の組み合わせ

＠仕事とエネルギー

運動とエネルギー 運動とエネルギー 運動とエネルギー 運動とエネルギー Chapter 3:

(Motion and Energy)

２次元の運動とエネルギー ２次元の運動とエネルギー ２次元の運動とエネルギー ２次元の運動とエネルギー

„

＠放物体の運動

 ＠円運動（円錐振り子）

 ＠２つの単振動の組み合わせ  ＠仕事とエネルギー

２次元の運動とエネルギー ２次元の運動とエネルギー ２次元の運動とエネルギー ２次元の運動とエネルギー

 ＠力のポテンシャルとエネルギーの保存

(2D Motion and Energy)

運動方程式： 運動方程式： 運動方程式：

運動方程式：

„ md²r/dt²=f(r,v,t)

md²x/dt²=f(x,y,u,v,t)

md²y/dt²=f(x,y,u,v,,t) ^x

y

２次元運動の例 ２次元運動の例 ２次元運動の例 ２次元運動の例

„

２次元の運動  ２次元の運動  ２次元の運動  ２次元の運動    （放物体の運動   （放物体の運動   （放物体の運動

  （放物体の運動 : : : : 

Chapter 3-5:

2D Motion)

x y

x y

F

放放放

放物物体物物体の体体の運のの運動運運動動動 円円運円円運動運運動動動 地地球地地球や球球や月やや月の月月の公のの公転公公転運転転運動運運動動動

F

F

２次元の運動  ２次元の運動  ２次元の運動  ２次元の運動 

（放物体の運動 （放物体の運動 （放物体の運動

（放物体の運動

Chapter 3-5:

Motion of a Projectile)

x y

放放放

放物物体物物体の体体の運のの運動運運動動動

F

運動方程式： 運動方程式： 運動方程式：

運動方程式：

„ md²r/dt²=f(r,v,t)

md²x/dt²=F_x(x,y,u,v,t) md²y/dt²=F_y(x,y,u,v,t)

md²x/dt²= 0 md²y/dt²=-mg

互いに独立で簡単な運動に

２次元の運動  ２次元の運動  ２次元の運動  ２次元の運動 

（放物体の運動 （放物体の運動 （放物体の運動

（放物体の運動

Chapter 3-5:

Motion of a Projectile)

x y

放放放

放物物体物物体の体体の運のの運動運運動動動

F

水平等速運動： 水平等速運動： 水平等速運動：

水平等速運動：

„

md²x/dt²= 0 v_x=v_x0

x =x₀+v_x0t

鉛直等加速運動： 鉛直等加速運動： 鉛直等加速運動：

鉛直等加速運動：

„

md²y/dt²=-mg v_y=v_y0-gt

y =y₀+v_y0t-gt²/2

２次元の運動  ２次元の運動  ２次元の運動  ２次元の運動 

（放物体の運動 （放物体の運動 （放物体の運動

（放物体の運動

Chapter 3-5:

Motion of a Projectile)

x y

放放放

放物物体物物体の体体の運のの運動運運動動動

F

初速度： 初速度： 初速度：

初速度：

„

v₀=√√√√v_x0² ₊v_y0²

v_x0= v₀ cosθθθθ₀, v_y0= v₀ sinθθθθ₀

放物体軌道： 放物体軌道： 放物体軌道：

放物体軌道：

„

２次放物線

y = (v_y0/v_x0)x-1/2gx²/v_x0² (x₀ =0, y₀=0)

y- y_m = -g(x-x_m)²/2v_x0²

(x_m = v_x0v_y0/g, y_m = v_y0²/2g)

y-y = (v /v )(x-x )-1/2g(x-x )²/v ²

２次元の運動  ２次元の運動  ２次元の運動  ２次元の運動 

（放物体の運動 （放物体の運動 （放物体の運動

（放物体の運動

Chapter 3-5:

Motion of a Projectile)

x y

放放放

放物物体物物体の体体の運のの運動運運動動動

F

水平到達距離： 水平到達距離： 水平到達距離：

水平到達距離：

„

X = 2x_m

最大水平距離と仰角： 最大水平距離と仰角： 最大水平距離と仰角：

最大水平距離と仰角：

„

X = 2v_x0v_y0/g = v₀²sin2θθθθ₀/g

X_m = v₀²/g , θθθθ₀=45⁰

最高点における速度： 最高点における速度： 最高点における速度：

最高点における速度：

„

v_x=?

２次元の運動  ２次元の運動  ２次元の運動  ２次元の運動 

Chapter 3-5:

（速度に比例する抵抗のある放物体

x y

放放放

放物物体物物体の体体の運のの運動運運動動動

F

運動方程式： 運動方程式： 運動方程式：

運動方程式：

„ md²r/dt²=f(r,v,t)

md²x/dt²=F_x(x,y,u,v,t) md²y/dt²=F_y(x,y,u,v,t)

md²x/dt²= -ββββmv_x md²y/dt²= -ββββmv_y - mg

互いに独立で簡単な運動に

f_x

f_y

２次元の運動  ２次元の運動  ２次元の運動  ２次元の運動 

Chapter 3-5:

（速度に比例する抵抗のある放物体

x y

放放放

放物物体物物体の体体の運のの運動運運動動動

F f_x

f_y

水平減速運動： 水平減速運動： 水平減速運動：

水平減速運動：

„

mdv_x/dt= -ββββmv_x

v

= dx/dt = v

e

x = (v

/ β β β β )(1-e

)

v

, x =? When t= ∞

２次元の運動  ２次元の運動  ２次元の運動  ２次元の運動 

Chapter 3-5:

（速度に比例する抵抗のある放物体

x y

放放放

放物物体物物体の体体の運のの運動運運動動動

F f_x

f_y

鉛直変加速運動： 鉛直変加速運動： 鉛直変加速運動：

鉛直変加速運動：

„

mdv_y/dt= -ββββmv_y -mg

y = -tg/ββββ + 1/ββββ(v_y0+ g/ββββ)(1-e^-ββtββ ) v_y , y =? When t=

∞

［［［

［授授授授業業計業業計画計計画・画画・授・・授業授授業内業業内容内内容］容容］］］ １１１

１....座座標座座標系標標系、系系、位、、位置位位置置置ベベクベベクトククトルトトル、ルル、速、、速速速度度、度度、加、、加速加加速速速度度な度度などななどのどどのベののベクベベクトククトルトトル表ルル表現表表現現現 ２２２

２....物物体物物体の体体の運のの運動運運動と動動と運とと運動運運動の動動の第のの第１第第１、１１、、、第第２第第２、２２、第、、第第第３３法３３法則法法則の則則の関のの関係関関係係係おおよおおよびよよび慣びび慣性慣慣性座性性座標座座標系標標系系系 ３３３

３....運運動運運動方動動方程方方程式程程式か式式からかから運らら運動運運動の動動の変のの変化変変化化化はは力はは力積力力積で積積で表でで表せ表表せるせせる力るる力積力力積と積積ととと物物体物物体の体体の衝のの衝突衝衝突突突 ４４４

４...１.１１１次次元次次元の元元の運のの運動運運動、動動、運、、運動運運動方動動方程方方程式程程式式式のの積のの積分積積分に分分によにによりよより直りり直線直直線上線線上の上上ののの運運動運運動、動動、単、、単振単単振動振振動動動等等等等 ５５５

５...力.力力力とと運とと運動運運動エ動動エネエエネルネネルギルルギーギギー及ーー及び及及びびびポポテポポテンテテンシンンシャシシャルャャルのルルの保のの保存保保存性存存性性性 ６６６

６...抵.抵抵抵抗抗を抗抗を受をを受け受受けるけける物るる物体物物体の体体の２のの２次２２次次次元元運元元運動運運動動動 ７.円運動と向心力及び遠心力

８.中間試験 ９９９

９....力力の力力の変のの変化変変化と化化とエととエエエネネルネネルギルルギーギギーとーーとのととの関のの関係関関係、係係、仕、、仕仕仕事事と事事と運とと運動運運動エ動動エネエエネルネネルギルルギーギギーのーーの関のの関係関関係係係 111

1000..0..力力の力力のポののポテポポテンテテンシンンシャシシャルャャルとルルと保とと保存保保存力存存力力力 111

1111..1..ケケプケケプラププラーララーのーーの第のの第１第第１、１１、第、、第２第第２、２２、第、、第３第第３法３３法則法法則と則則ととと万万有万万有引有有引力引引力の力力の法のの法則法法則則則 111

1222..2..惑惑星惑惑星の星星の運のの運動運運動動動とと中とと中心中中心力心心力の力力の関のの関係関関係、係係、中、、中心中中心力心心力力力とと面とと面積面面積速積積速度速速度度度 111

1333..3..太太陽太太陽の陽陽の引のの引力引引力力力とと惑とと惑星惑惑星の星星の運のの運動運運動、動動、人、、人工人人工衛工工衛星衛衛星、星星、中、、中心中中心力心心力と力力とクととクーククーローーロンロロン力ンン力力力 111

1444..4.角.角運角角運動運運動量動動量、量量、、、角角運角角運動運運動量動動量ベ量量ベクベベクトククトルトトルのルルの性のの性性性質質質質 15.期末試験

Chapter 3-6: ^{: 円運動 円運動 円運動 円運動}

Circular Motion: 円運動する質点に働く力

x y

円円円

円運運動運運動動動

r

ϕϕϕ ϕ

P(x,y)

等速円運動(ラジアン)：

dϕϕϕϕ/dt = ω

位相と位相定数：位相と位相定数：位相と位相定数：

位相と位相定数：

ϕϕϕϕ = ωt+_ϕϕ_ϕϕ₀ =2ππππt/T+ϕϕϕϕ₀

座標変換：

x = rcos_ϕϕ_ϕϕ = rcos(ωt+_ϕϕ_ϕϕ₀)

y = rsin_ϕϕ_ϕϕ = rsin(ωt+_ϕϕ_ϕϕ₀)

運動方程式＝？

Chapter 3-6: ^{: 円運動 円運動 円運動 円運動}

Circular Motion: ^{運動方程式}

x y

円円円

円運運動運運動動動

f

ϕϕϕ ϕ

P(x,y)

等速円運動の運動方程式：

d²x/dt²=-ω²x d²y/dt²= -ω^2y

md²x/dt²=-mω^2x=f_x

md²y/dt²= -mω^2y=f_y

向心力：

f = - mω^{2r, f}_x ^{= f}cos_ϕϕ_ϕϕ f_y = fsin_ϕϕ_ϕϕ

単振動の組み合わせ：円運動！

Chapter 3-6: ^{: 円運動 円運動 円運動 円運動}

Circular Motion: ^{向心力と遠心力}

x y

円円円

円運運動運運動動動

f, a ϕϕϕ ϕ

-f

向心力：

f = -mω^{2r, f}_x ^{= f}cos_ϕϕ_ϕϕ f_y = fsin_ϕϕ_ϕϕ ^{向心加速度：}a = -ω²r, v= ωr,

a = -v^2/r, f = -mv²/r

向心力と釣り合う遠心力：仮想的な力

-f = mω^{2r, -f}_x ^=-fcos_ϕϕ_ϕϕ -f_y =-fsin_ϕϕ_ϕϕ

回転する円板上に立つ？

v

張力 遠心力

重力

Chapter 3-6: ^{: 円運動 円運動 円運動 円運動}

Circular Motion: ^{円錐振り子}

円円円

円錐錐振錐錐振り振振り子りり子運子子運動運運動動動

力の釣り合い(S, f, mg)：

f = -mgtanθθθθ, S = mg/cosθθθθ, r=lsinθθθθ

^{向心加速度：}a = -ω²r, v= ωr, ω² = g/lcosθθθθ

T =2ππ√ππ√√√ lcosθθθθ/g

長さと傾きのみに依存

張力 向心力

重力 S

mg O f,r

θ

ϕ

２つの単振動の組み合わせ ２つの単振動の組み合わせ ２つの単振動の組み合わせ ２つの単振動の組み合わせ Chapter 3-7:

(Combination of two simple oscillations)

m バババ

バネネ：ネネ：：：fx, fy

o x y

同振動数の場合：

md²y/dt²= -mω_y^2y=f_y

一般解：

 x = asin(ωωωω_xt+δδδδ₁), ωωωω_x=√√√√(k_x/m) y = bsin(ωωωω_yt+δδδδ₂), ωωωω_y=√√√√(k_y/m)

幾つの場合：

１）直線運動 ２）楕円運動

３）一般的な周期運動（リサジュー図形）