1 連立方程式の解

　　 x＋y＝11　・・・① 　　 2x－y＝4　・・・②

①で，（左辺）＝5＋6＝11 　　　 （右辺）＝11

②で，（左辺）＝2×5－6＝10－6＝4 　　　 （右辺）＝4

よって，

①，②とも（左辺）＝（右辺）

　　 3x－y＝9 　　 x＝y－3

①で，（左辺）＝3×5－6＝15－6＝9 　　　 （右辺）＝9

②で，（左辺）＝5 　　　 （右辺）＝6－3＝3 よって，

②で，（左辺）≠（右辺）

　　－x＋2y＝7　・・・①

　　－x＋y＝8　・・・① 　　 2x＝y＋4　・・・②

　　 y＝x＋8　・・・②

①で，（左辺）＝－5＋2×6＝－5＋12＝7

①で，（左辺）＝－（－4）＋4＝4＋4＝8 　　　 （右辺）＝7

　　　 （右辺）＝8 ②で，（左辺）＝2×5＝10

②で，（左辺）＝4 　　　 （右辺）＝6＋4＝10

　　　 （右辺）＝－4＋8＝4 よって，

よって， ①，②とも（左辺）＝（右辺）

①，②とも（左辺）＝（右辺）

　　 6x－2y＝18

　　 2x＋y＝－4　・・・① 　 －x＋2y＝7

　　 x－y＝10　・・・②

①で，（左辺）＝6×5－2×6＝30－12＝18

①で，（左辺）＝2×（－4）＋4＝－8＋4＝－4 　　　 （右辺）＝18

　　　 （右辺）＝－4 ②で，（左辺）＝－5＋2×6＝－5＋12＝7

②で，（左辺）＝－4－4＝－8 　　　 （右辺）＝7

　　　 （右辺）＝10 よって，

よって， ①，②とも（左辺）＝（右辺）

②で，（左辺）≠（右辺）

したがって，

㋐，㋒，㋓

㋓

②

正しい

正しくない

解になる

解にならない

解になる

解になる

㋑

〇 次の連立方程式の解が（－4，4）で正しいか，正しくないかを答えなさ い。

㋒

①

〇 次の連立方程式の㋐～㋓の中で解が（5，6）のものを，記号で選び なさい。

㋐

1 連立方程式の解

連立方程式の解

○ 連立方程式・・・2つの方程式を組にしたもの

○ 連立方程式の解・・・2つの方程式のどちらも成り立たせ る文字の値の組み合わせ 例） x，yの値の組（1，－3）が次の連立方程式の解である

か確かめなさい。

2x＋3y＝－7 ・・・① y＝5x－8 ・・・②

x＝1，y＝－3をそれぞれ①，②に代入する

①で，（左辺）＝2×1＋3×（－3）＝2－9＝－7

（右辺）＝－7 よって，（左辺）＝（右辺）

②で，（左辺）＝－3

（右辺）＝5×－8＝－3 よって，（左辺）＝（右辺）

したがって，どちらの方程式でも成り立つので，

（1，－3）は連立方程式の解である。

1

Point!

x y

https://iidrill.com

　　 x＋y＝2　・・・① 　　 3x－y＝3　・・・①

　　 x－y＝8　・・・② 　　 2x＋y＝－9　・・・②

①で，（左辺）＝－2＋4＝2 ①で，（左辺）＝3×（－2）－3＝－6－3＝－9

　　　 （右辺）＝2 　　　 （右辺）＝3

②で，（左辺）＝－2－4＝－6 ②で，（左辺）＝2×（－2）＋3＝－4＋3＝－1

　　　 （右辺）＝8 　　　 （右辺）＝－9

よって， よって，

②で，（左辺）≠（右辺） ①と②で，（左辺）≠（右辺）

　　 2x－y＝－8　・・・① 　　 y＝－2x　・・・②

①で，（左辺）＝2×（－2）－4＝－4－4＝－8 　　 x＋4y＝16　・・・①

　　　 （右辺）＝－8 　　 2y＝x－4　・・・②

②で，（左辺）＝4

　　　 （右辺）＝－2×（－2）＝4 ①で，（左辺）＝8＋4×2＝8＋8＝16

よって， 　　　 （右辺）＝16

①，②とも（左辺）＝（右辺） ②で，（左辺）＝2×2＝4

　　　 （右辺）＝8－4＝4 よって，

①，②とも（左辺）＝（右辺）

　　 x－y＝－6　・・・① 　　－x＋y＝6　・・・②

①で，（左辺）＝－2－4＝－6 　　　 （右辺）＝－6

②で，（左辺）＝－（－2）＋4＝2＋4＝6

　　　 （右辺）＝6 　　 x－y＝6　・・・①

よって， 　　－x＋y＝6　・・・②

①，②とも（左辺）＝（右辺）

①で，（左辺）＝－3－（－3）＝－3＋3＝0 　　　 （右辺）＝6

　　 2x＋3y＝10　・・・① ②で，（左辺）＝－（－3）－3＝3－3＝0 　 3x－4y＝10　・・・② 　　　 （右辺）＝6

よって，

①で，（左辺）＝2×（－2）＋3×4＝－4＋12＝8 ①と②で，（左辺）≠（右辺）

　　　 （右辺）＝10

②で，（左辺）＝3×（－2）－4×4＝－6－16＝－22 　　　 （右辺）＝10

よって，

①と②で，（左辺）≠（右辺）

したがって，

㋑，㋒

解になる

解にならない

次の連立方程式の解が（8，2）で正しいか，正しくないかを答えなさ い。

④ 次の連立方程式の解が（－3，－3）で正しいか，正しくないかを答えな さい。

解になる

③ 解にならない

㋓

正しくない

正しい

正しくない

㋒

㋑

㋐

① 次の連立方程式の㋐～㋓の中で解が（－2，4）のものを，記号で選

びなさい。 ② 次の連立方程式の解が（－2，3）で正しいか，正しくないかを答えなさ

い。

1 連立方程式の解 練習問題

　　 x＋y＝2　・・・① 　 －x＋y＝4　・・・②

①＋②より， 　　x＋y＝2

　x＋y＝2 　－x＋y＝4

＋ －x＋y＝4 2x　　＝－2 　　2y＝6 　　　　 x＝－1 　 　y＝3

－1＋y＝2 これを①に代入すると， 　　 y＝2＋1

x＋3＝2 　　 y＝3

　 x＝2－3

　 x＝－1

よって，

（x，y）＝（－1，3）

　　3x＋2y＝21　・・・① 　　5x－2y＝19　・・・②

①＋②より，

3x＋2y＝21

＋ 5x－2y＝19 8x　　 ＝40

〇 次の連立方程式を解きなさい。 　 　x＝5

　　 x＋y＝6　・・・① これを①に代入すると，

　 3x－y＝－14　・・・② 3×5＋2y＝21

　 15＋2y＝21

①＋②より， 　　　　2y＝21－15

x＋y＝6 　　　　2y＝6 よって，

＋ 3x－y＝－14 　　　 　y＝3 （x，y）＝（5，3）

4x　　＝－8

　　x＝－2 　　2x－y＝2　・・・①

　　2x＋3y＝10　・・・②

これを①に代入すると， ①－②より，

－2＋y＝6 2x－ y＝2

　　　 y＝6＋2 － 2x＋3y＝10

　　　 y＝8 －4y＝－8

　　y＝2 よって，

（x，y）＝（－2，8） これを①に代入すると，

2x－2＝2

　　2x＝2＋2

　　2x＝4

　　 x＝2 よって，

（x，y）＝（2，2）

②

③

①

④

2 連立方程式 （加減法Ⅰ）

連立方程式 （ 加減法Ⅰ）

例） 次の連立方程式を解きなさい。

3x－y＝5 ・・・① 2x＋y＝10 ・・・②

①＋②より，

3x－y＝5 2x＋y＝10 5x ＝15 x＝3

これを②に代入する 2×3＋y＝10

6＋y＝10 y＝4

よって，（x，y）＝（3，4）

1

Point!

xとyのどちらかを

＋かーをして消す

【POINT】

消したい文字の前の数字が そろっていることを確認する！

＋）

代入するのは，

①と②のどちらでも 良いが，代入して 簡単になるほうを 予想して代入する

)

)

)

)

【別解】

①－②より，

)

－

これを①に代入すると，

https://iidrill.com

〇 次の連立方程式を解きなさい。

　　 4x＋y＝4　・・・① 　　 3x－2y＝17　・・・① 　 x＋y＝－5　・・・② 　 －3x＋y＝－16　・・・②

①－②より， ①＋②より，

4x＋y＝4 　3x－2y＝17

－ x＋y＝－5 ＋ －3x＋y＝－16

3x　 　＝9 　 －y＝1

　　 x＝3 　　 y＝－1

これを②に代入すると， これを①に代入すると，

3＋y＝－5 3x－2×（－1）＝17

　 y＝－5－3 　 　　 3x＋2＝17

　 y＝－8 　 　　 　　3x＝17－2

よって， 　 　　 　　3x＝15

（x，y）＝（3，－8） 　 　　 　 　 x＝5 よって，

（x，y）＝（5，－1）

　　3x＋y＝4　・・・① 　　 x＋3y＝－2　・・・①

　　2x＋y＝2　・・・② 　　 x－y＝2　・・・②

①－②より， ①－②より，

3x＋y＝4 x＋3y＝－2

－ 2x＋y＝2 － x－ y＝2

　 4y＝－4

　　 y＝－1 これを②に代入すると，

2×2＋y＝2 これを②に代入すると，

　 4＋y＝2 x－（－1）＝2

　 　　y＝2－4 x＋1＝2

　 　　y＝－2 x＝2－1

よって， x＝1 よって，

（x，y）＝（2，－2） （x，y）＝（1，－1）

　　 x－y＝8　・・・① 　　－x－3y＝－1　・・・①

　　 x＋y＝－2　・・・② 　　 2x＋3y＝－1　・・・②

①＋②より， 　　x－y＝8 ①＋②より，

x－y＝8 　 x＋y＝－2 －x－3y＝－1

＋ x＋y＝－2 －2y＝10 ＋ 2x＋3y＝－1 2x　 ＝6 　　　　 y＝－5 x　 ＝－2

　 x＝3

x＋（－5）＝－2 これを①に代入すると，

これを②に代入すると， 　　 x＝－2＋5 －（－2）－3y＝－1 3＋y＝－2 　　 x＝3 　　　　 2－3y＝－1

　 y＝－2－3 　　　　 －3y＝－1－2

　 y＝－5 　　　　 －3y＝－3

よって， 　　　　 y＝1 よって，

（x，y）＝（3，－5） （x，y）＝（－2，1）

① ④

② ⑤

③ ⑥

　　　　 x　　＝2

2 連立方程式 （加減法Ⅰ） 練習問題

)

)

)

)

)

)

【別解】

①－②より，

－)

これを②に代入すると，

　　 4x－5y＝－9　・・・① 　　 x－2y＝0　・・・②

②×4より，

4x－8y＝0　・・・②'

①と②'より，

4x－5y＝－9

－ 4x－8y＝0

　 　3y＝－9

　　 y＝－3 これを②に代入すると，

x－2×（－3）＝0 　　　　　x＋6＝0 　　　　　 x＝－6

よって，

（x，y）＝（－6，－3）

　　2x－3y＝4　・・・① 　　 x＋3y＝－7　・・・②

②×2より，

2x＋6y＝－14　・・・②'

①と②'より，

2x－3y＝4

〇 次の連立方程式を解きなさい。 － 2x＋6y＝－14

　－9y＝18

　　3x－y＝－1　・・・① 　　 y＝－2

　　2x－3y＝4　・・・② これを②に代入すると，

x＋3×（－2）＝－7

①×3より， 　　　　　x－6＝－7

9x－3y＝－3　・・・①' 　　　　　 x＝－1

よって，

①'と②より， （x，y）＝（－1，－2）

9x－3y＝－3 　　3x＋2y＝14　・・・①

－ 2x－3y＝4 　　2x－3y＝5　・・・②

7x　 　＝－7 ①×2より，

　　 x＝－1 6x＋4y＝28　・・・①'

②×3より，

これを①に代入すると， 6x－9y＝15　・・・②'

3×（－1）－y＝－1 ①'と②'より，

　　　 －3－y＝－1 6x＋4y＝28

　　　 　　－y＝－1＋3 － 6x－9y＝15

　　　 　　－y＝2 　　13y＝13

　　　 　　 y＝－2 　　 y＝1

これを①に代入すると，

よって， 3x＋2×1＝14

（x，y）＝（－1，－2） 　　3x＋2＝14 　　　　3x＝14－2

　　　　3x＝12 よって，

　　　　 x＝4 （x，y）＝（4，1）

②

③

①

④

3 連立方程式 （加減法Ⅱ）

連立方程式 （ 加減法Ⅱ）

例） 次の連立方程式を解きなさい。

2x－y＝4 ・・・① 5x＋3y＝－1 ・・・②

①×3より，

3（2x－y）＝4×3 6x－3y＝12・・・①'

①'と②より，

6x－3y＝12 5x＋3y＝－1 11x ＝11

x＝1

これを①に代入する 2×1－y＝4

2－y＝4

y＝－2 よって，（x，y）＝（1，－2）

1

Point!

yを消したい！

→yの前の数字をそろえる

→yに×3

【POINT】

一つの文字に数字をかけたら，

すべてにその数字をかけなくて はならない

※ xを消すときも同様にする

＋）

)

)

)

x＋3y＝－7

①＋②より，

2x－3y＝4

＋）

3x ＝－3 x＝－1 これを②に代入す ると，

－1＋3y＝－7 3y＝－7＋1 3y＝－6

y＝－2

【別解】

)

https://iidrill.com

〇 次の連立方程式を解きなさい。

　　 7x＋15y＝36　・・・① 　　 2x－y＝7　・・・① 　 x＋4y＝7　・・・② 　　 3x－2y＝8　・・・②

②×7より， ①×2より，

7x＋28y＝49　・・・②' 4x－2y＝14　・・・①'

①と②'より， ①'と②より，

7x＋15y＝36 4x－2y＝14

－ 7x＋28y＝49 － 3x－2y＝8

　－13y＝－13 　　 x＝6

　　 y＝1 これを①に代入すると，

これを②に代入すると， 2×6－y＝7

x＋4×1＝7 12－y＝7

　 x＋4＝7 －y＝7－12

　 x＝3 よって， －y＝－5

（x，y）＝（3，1） y＝5 よって，

（x，y）＝（6，5）

　　5x－y＝11　・・・① 　　2x＋6y＝3　・・・①

　　3x＋2y＝4　・・・② 　　6x＋3y＝4　・・・②

①×2より， ①×3より，

10x－2y＝22　・・・①' 6x＋18y＝9　・・・①'

①'と②より， ①'と②より，

10x－2y＝22 6x＋18y＝9

＋ 3x＋2y＝4 － 6x＋ 3y＝4

13x ＝26 　　 15y＝5

　　 x＝2 これを①に代入すると，

5×2－y＝11 これを①に代入すると，

10－y＝11

－y＝11－10 よって，

－y＝1 よって，

y＝－1 （x，y）＝（2，－1）

　 x＋y＝－3　・・・① 　　 4x－5y＝9　・・・① 　　2x－3y＝－12　・・・② 　　 9x－2y＝11　・・・②

①×2より， ①×2より，

2x＋2y＝－6　・・・①' 8x－10y＝18　・・・①'

①'と②より， ②×5より，

2x＋2y＝－6 45x－10y＝55　・・・②'

－ 2x－3y＝－12 ①'と②'より，

　　　5y＝6 8x－10y＝18

－ 45x－10y＝55 これを①に代入すると，

これを①に代入すると，

4×1－5y＝9

　　 4－5y＝9

よって， 　　 －5y＝9－4

　　 y＝－1 よって，

（x，y）＝（1，－1）

　　 y＝

① ④

② ⑤

y＝

2x＋6×　　＝3

x＝ （x，y）＝ 　　，　　

－37x　 　 ＝－37

③ ⑥

x＝1　 x＋　　＝－3

　　 x＝－　　

　　 x＝－　　－

（x，y）＝ －　　，　　

3 連立方程式 （加減法Ⅱ） 練習問題

)

)

)

6 5 6

5

6 5 3 1 21

5

6 5 21

5

)

)

1 3 1

3 1 2

1 2

1 3

)

　　 9x－2y＝12　・・・① 　　y＝3x　・・・②

②を①に代入すると，

9x－2×3x＝12 9x－6x＝12 　　　 　 3x＝12 　 　 　　 x＝4

これを②に代入すると，

y＝3×4 y＝12

よって，

（x，y）＝（4，12）

　　x＝2y　・・・① 　　2x＋5y＝18　・・・②

①を②に代入すると，

2×2y＋5y＝18 　　4y＋5y＝18

〇 次の連立方程式を代入法で解きなさい。 　　　 9y＝18 　　　 　 y＝2 　　y＝x－1　・・・①

　　2x＋y＝5　・・・② これを①に代入すると，

x＝2×2

①を②に代入すると， x＝4

2x＋（x－1）＝5 よって，

　　　 3x－1＝5 （x，y）＝（4，2）

　　　 　　3x＝6

　　　 　　 x＝2 　　－x＋3y＝－5　・・・①

　　 y＝2x－5　・・・② これを①に代入すると，

y＝2－1 ②を①に代入すると，

y＝1 －x＋3（2x－5）＝－5

－x＋6x－15＝－5

よって， 　　　 　　　 5x＝10

（x，y）＝（2，1） 　 　 　　 　　 x＝2 これを②に代入すると，

y＝2×2－5 y＝－1

よって，

（x，y）＝（2，－1）

②

③

①

④

4 連立方程式 （代入法Ⅰ）

連立方程式 （ 代入法Ⅰ）

例） 次の連立方程式を代入法で解きなさい。

x＝－2y＋2 ・・・① 3x＋y＝11 ・・・②

①を②に代入すると，

3（－2y＋2）＋y＝11

－6y＋6＋y＝11

－5y＝5 y＝－1 y＝－1を①に代入すると，

x＝－2×（－1）＋2 x＝4

よって，（x，y）＝（4，－1）

1

Point!

3x＋y＝11

（－2y＋2）

【POINT】

代入するときは，

（ ）をつけて 代入する

https://iidrill.com

〇 次の連立方程式を代入法で解きなさい。

　　 2x＋y＝4　・・・① 　　 y＝2x－7　・・・①

　 y＝x＋1　・・・② 　　 3x－2y＝8　・・・②

②を①に代入すると， ①を②に代入すると，

2x＋（x＋1）＝4 3x－2（2x－7）＝8

2x＋x＋1＝4 　 3x－4x＋14＝8

　　　 　 3x＝4－1 　　　　 　 －x＝8－14

　 　 　　 x＝1 　　　　 　 －x＝－6

　　　　 　 　 x＝6 これを②に代入すると，

y＝1＋1 これを①に代入すると，

y＝2 y＝2×6－7

よって， y＝12－7

（x，y）＝（1，2） y＝5 よって，

（x，y）＝（6，5）

　　2x－y＝6　・・・① 　　3x＋2y＝－5　・・・①

　　x＝y－3　・・・② 　　y＝5－4x　・・・②

②を①に代入すると， ②を①に代入すると，

2（y－3）－y＝6 3x＋2（5－4x）＝－5

2y－6－y＝6 　 3x＋10－8x＝－5

　　　 　 y＝6＋6 　　　 　 －5x＝－5－10 　　　 　 y＝12 　　　 　 －5x＝－15

　　　 　 x＝3 これを②に代入すると，

x＝12－3 これを②に代入すると，

x＝9 y＝5－4×3

よって， y＝5－12

（x，y）＝（9，12） y＝－7 よって，

（x，y）＝（3，－7）

　　y＝3x－5　・・・① 　　 4x＋y＝－7　・・・①

　　x＋y＝7　・・・② 　　 2x＝3y＋7　・・・②

①を②に代入すると， ②を①に代入すると，

x＋（3x－5）＝7 2（3y＋7）＋y＝－7

　　 4x－5＝7 　 6y＋14＋y＝－7

　　　 4x＝7＋5 　　　　 7y＝－7－14 　　　 4x＝12 　　　　 7y＝－21 　　　 　 x＝3 　　　 　 y＝－3

これを①に代入すると， これを②に代入すると，

y＝3×3－5 2x＝3×（－3）＋7

y＝9－5 2x＝－9＋7

y＝4 よって， 2x＝－2

（x，y）＝（3，4） x＝－1 よって，

（x，y）＝（－1，－3）

① ④

② ⑤

③ ⑥

4 連立方程式 （代入法Ⅰ） 練習問題

　　 x＋y＝4　・・・① 　 －2x＋5y＝－1　・・・②

①より，

y＝－x＋4　・・・①'

①'を②に代入すると，

－2x＋5（－x＋4）＝－1 　　 －2x－5x＋20＝－1 　　 　　　　 　　　－7x＝－1－20 　　 　　　　 　　　 x＝3 これを①'に代入すると，

y＝－3＋4

y＝1 よって，

（x，y）＝（3，1）

　　y－3x＝2　・・・① 　　4x＋5y＝－9　・・・②

①より，

y＝3x＋2　・・・①'

①'を②に代入すると，

〇 次の連立方程式を代入法で解きなさい。 4x＋5（3x＋2）＝－9

　4x＋15x＋10＝－9 　　－x＋y＝－1　・・・① 　　　　　　　　19x＝－9－10 　　 2x＋y＝5　・・・② 　　　　　　　　19x＝－19

　　　　 　　　　 x＝－1

①より， これを①'に代入すると，

y＝x－1　・・・①' y＝3×（－1）＋2

y＝－1 よって，

①'を②に代入すると， （x，y）＝（－1，－1）

2x＋（x－1）＝5 　　　 x－3y＝10　・・・①

2x＋x－1＝5 　　 3x＋y＝－2　・・・②

　　　　　 3x＝6 ①より，

　　　　　　x＝2 x＝3y＋10　・・・①'

これを①'に代入すると， ①'を②に代入すると，

y＝2－1 3（3y＋10）＋y＝－2

y＝1 　　 9y＋30＋y＝－2

　 　　　　 10y＝－32 よって，

（x，y）＝（2，1）

これを①'に代入すると，

よって，

　　 　　　 y＝－

x＝3× －　　 ＋10

x＝ （x，y）＝ 　　，－　　

①

④

②

③

5 連立方程式 （代入法Ⅱ）

連立方程式 （ 代入法Ⅱ）

例） 次の連立方程式を代入法で解きなさい。

－4x＋y＝－11 ・・・① 8x－3y＝25・・・②

①より，

y＝4x－11・・・①'

①'を②に代入すると，

8x－3（4x－11）＝25 8x－12x＋33＝25

－4x＝－8 x＝2 x＝2を①'に代入すると，

y＝4×2－11

y＝－3 よって，（x，y）＝（2，－3）

1

Point!

①を変形して，

y=4x－11 か 4x＝y＋11 で考えるパターンが それぞれあるが，

どちらで考えても良い

①より，

x＝y＋1 ・・・①'

①'を②に代入すると，

2（y＋1）＋y＝5 2y＋2＋y＝5

3y＝5－2 3y＝3

y＝1 これを①'に代入すると，

x＝1＋1 x＝2

【別解】

【別解】

①より，

x＝－y＋4 ・・・①'

①'を②に代入すると，

－2（－y＋4）＋5y＝－1 2y－8＋5y＝－1

7y＝－1＋8 7y＝7

y＝1

これを①'に代入すると，

x＝－1＋4 x＝3

16 5 16

5 2 5

2 5

16 5

【別解】

②より，

y＝－3x－2 ・・・②'

②'を①に代入すると，

x－3（－3x－2）＝10 x＋9x＋6＝10 10x＝4

x＝ 25 これを②'に代入すると，

y＝－3× －2 y＝－

2 16 5

5

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〇 次の連立方程式を代入法で解きなさい。

　　 2x＋5y＝－1　・・・① 　　 2x＋3y＝8　・・・①

　　 2x＋9y＝3　・・・② 　　 x－3y＝22 　・・・②

①より， ①より，

2x＝－5y－1　・・・①' 3y＝－2x＋8　・・・①'

①'を②に代入すると， ①'を②に代入すると，

－5y－1＋9y＝3 x－（－2x＋8）＝22

　　 4y＝4 　　 3x＝30

　　　 　　　 y＝1 　　　 　　　 x＝10

これを①'に代入すると， これを①'に代入すると，

2x＝－5×1－1 3y＝－2×10＋8

2x＝－6 3y＝－12

x＝－3 よって， y＝－4 よって，

（x，y）＝（－3，1） （x，y）＝（10，－4）

　　3x＋y＝－2　・・・① 　　2x－3y＝－5　・・・①

　　 x＋3y＝10　・・・② 　　4x＋y＝－7　・・・②

①より， ①より，

y＝－3x－2　・・・①' 2x＝3y－5　・・・①'

①'を②に代入すると， ①'を②に代入すると，

x＋3（－3x－2）＝10 2（3y－5）＋y＝－7

　　 　　－8x－6＝10 　　　　 　　7y＝3

　　　　　 　－8x＝16 　　　　　　　 x＝－2

これを①'に代入すると，

これを①'に代入すると，

y＝－3×（－2）－2 よって，

y＝4 よって，

（x，y）＝（－2，4）

　　 2x－y＝4　・・・① 　　 5x＋2y＝4　・・・①

　　 5x＋3y＝－1　・・・② 　　 x－y＝5　・・・②

①より， ②より，

y＝2x－4　・・・①' x＝y＋5　・・・②'

①'を②に代入すると， ②'を①に代入すると，

5x＋3（2x－4）＝－1 5（y＋5）＋2y＝4

　　 　 11x－12＝－1 　　 　　　　 7y＝－21

　　　　 　　11x＝11 　　　　 　　 y＝－3

　　　 　　　　 x＝1

これを②'に代入すると，

これを①'に代入すると， x＝－3＋5

y＝2×1－4 x＝2

y＝－2 よって， よって，

（x，y）＝（1，－2） （x，y）＝（2，－3）

③ ⑥

① ④

② ⑤

　　　 　　　 y＝

2x＝3×　　－5

x＝－ （x，y）＝ －　　 ，　　

5 連立方程式 （代入法Ⅱ） 練習問題

【別解】

②より，

2x＝－9y＋3 ・・・②'

②'を①に代入すると，

－9y＋3＋5y＝－1

－4y＝－4 y＝1 これを②'に代入すると，

2x＝－9×1＋3 2x＝－6

x＝－3

【別解】

②より，

x＝－3y＋10 ・・・②'

②'を①に代入すると，

3（－3y＋10）＋y＝－2

－9y＋30＋y＝－2

－8y＝－32 y＝4 これを②'に代入すると，

x＝－3×4＋10 x＝－12＋10 x＝－2

【別解】

②より，

x＝3y＋22 ・・・②'

②'を①に代入すると，

2（3y＋22）＋3y＝8 9y＝－36

y＝－4 これを②'に代入すると，

x＝3×（－4）＋22 x＝－12＋22 x＝10

3 7 3

7 13

7

13 7

3 7

【別解】

②より，

y＝－4x－7 ・・・②'

②'を①に代入すると，

2x－3（－4x－7）＝－5 14x＝－26

x＝－¹³ 7 これを②'に代入すると，

y＝－4× － －7 y＝

13 3 7

7

【別解】

②より，

y＝x－5 ・・・②'

②'を①に代入すると，

5x＋2（x－5）＝4 7x＝14

x＝2 これを②'に代入すると，

y＝2－5 y＝－3

　　 5（x＋y）－2y＝19　・・・① 　　 5x－4y＝－2　・・・②

①より，

5x＋5y－2y＝19

　 　5x＋3y＝19　・・・①'

①'と②より，

5x＋3y＝19

－ 5x－4y＝－2

7y＝21

　 y＝3 これを①'に代入すると，

5x＋3×3＝19 5x＝10 x＝2

よって，

（x，y）＝（2，3）

〇 次の連立方程式を解きなさい。

　　 4x＋7y＝39 ・・・① 　　 2y＋11＝3（x－1）　・・・① 　　 2（x－y）＝3x＋3y　・・・② 　　 2x－（5＋y）＝0　・・・②

②より， ①より，

2x－2y＝3x＋3y 2y＋11＝3x－3

－x－5y＝0　・・・②' －3x＋2y＝－14　・・・①'

①と②'×4より， ②より，

4x＋ 7y＝39 2x－5－y＝0

＋ －4x－20y＝0 2x－y＝5　・・・②'

　　 －13y＝39

　　 y＝－3 ①'と②'×2より，

－3x＋2y＝－14

これを②'に代入すると， ＋ 4x－2y＝10

－x－5×（－3）＝0 　　 x＝－4

－x＋15＝0

　　　　　　　－x＝－15 これを②'に代入すると，

　　　　　　　　 x＝15 2×（－4）－y＝5

よって， 　　 　 －8－y＝5

（x，y）＝（15，－3） 　　　 　　 －y＝13 　　　　 　　　y＝－13

よって，

（x，y）＝（－4，－13）

②

① ③

6 いろいろな連立方程式 （分配法則）

いろいろな連立方程式 （ 分配法則）

例） 次の連立方程式を解きなさい。

3（x－y）＝2x－3 ・・・① 2x＋5＝5y＋2・・・②

①より， ②より，

3x－3y＝2x－3 2x－5y＝2－5 3x－2x－3y＝－3 2x－5y＝－3・・・②'

x－3y＝－3・・・①'

①'と②'により，

x－3y＝－3・・・①' 2x－5y＝－3・・・②' これを解くと，（x，y）＝（6，3）

1

Point!

（左辺）に文字を含めた数字を

（右辺）に数字だけを移動する

→ ax＋by＝cの形にする

【考え方】

(i) 分配法則を使って，

（ ）をはずす (ii) 今までの連立方程式と

同様の形にして解く

)

)

)

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〇 次の連立方程式を解きなさい。

　　 x＋y＝－5　・・・① 　　 y－（x－2y）＝6　・・・①

　　 3（x＋y）＝2x－1　・・・② 　　 y－5（x－y）＝21　・・・②

②より， ①より，

3x＋3y＝2x－1 y－x＋2y＝6

x＋3y＝－1　・・・②' －x＋3y＝6　・・・①'

①と②'より， ②より，

x＋ y＝－5 y－5x＋5y＝21

－ x＋3y＝－1 －5x＋6y＝21　・・・②'

－2y＝－4

　 y＝2 ①'×2と②'より，

－2x＋6y＝12

これを①に代入すると， － －5x＋6y＝21

x＋2＝－5 　 3x　 ＝－9

x＝－7 　 x＝－3

これを①'に代入すると，

よって， －（－3）＋3y＝6

（x，y）＝（－7，2） 　　　　 3＋3y＝6 　　　　　　 3y＝3

　　　　　　　 y＝1 よって，

（x，y）＝（－3，1）

　　－3x＋y＝9　・・・① 　　 4（x＋2）－3（y－2）＝16　・・・① 　　 2（x－y）－x＝－8　・・・② 　　 2（3x－2y）－x＝0　・・・②

②より， ①より，

2x－2y－x＝－8 4x＋8－3y＋6＝16

　　 x－2y＝－8　・・・②' 　　　 4x－3y＝2　・・・①'

①と②'×3より， ②より，

－3x＋ y＝9 6x－4y－x＝0

＋ 3x－6y＝－24 5x－4y＝0　・・・②'

　　 －5y＝－15

　　　　　y＝3 ①'×5と②'×4より，

20x－15y＝10

これを②'に代入すると， － 20x－16y＝0

x－2×3＝－8 　　　　　y＝10

x－6＝－8

　　　　 x＝－2 これを①'に代入すると，

4x－3×10＝2

よって， 　　 4x－30＝2

（x，y）＝（－2，3） 4x＝32

x＝8 よって，

（x，y）＝（8，10）

① ③

② ④

6 いろいろな連立方程式 （分配法則） 練習問題

)

)

)

)

　　 x－y＝4　・・・②

①×100より，

8x－9y＝100　・・・①'

①'と②×8より，

8x－9y＝100

－ 8x－8y＝32

－y＝68

　 y＝－68 これを②に代入すると，

x－（－68）＝4

x＋68＝4 　　　　　 x＝－64

よって，

（x，y）＝（－64，－68）

〇 次の連立方程式を解きなさい。

　　 x＋2y＝－7　・・・① 　　 4x＋3y＝6　・・・②

①×4より， ②×10より，

2x－y＝8　・・・①' 2x－5y＝40　・・・②'

①'×2と②より， ①×2と②'より，

4x－2y＝16 2x＋4y＝－14

－ 4x＋3y＝6 － 2x－5y＝40

－5y＝10 9y＝－54

　 y＝－2 　 y＝－6

これを①'に代入すると， これを①に代入すると，

2x－（－2）＝8 x＋2×（－6）＝－7

2x＋2＝8 x－12＝－7

　　　　　2x＝6 　　　　　　 x＝5

　　　　　 x＝3

よって， よって，

（x，y）＝（3，－2） （x，y）＝（5，－6）

① 　　 　 －　　 ＝2

③ 　　 　 －　　 ＝4

・・・①

・・・②

② 　　 　 x－　　 y＝1 ・・・①

7 いろいろな連立方程式 （分数）

いろいろな連立方程式 （ 分数）

例） 次の連立方程式を解きなさい。

－ ＝1 ・・・① 3x＋4y＝－52・・・②

①×20より，

5x－4y＝20・・・①'

①'と②により，

5 x－4y＝20・・・①' 3x＋4y＝－52・・・②

これを解くと，（x，y）＝（－4，－10）

1

Point!

【考え方】

(i) 最小公倍数を使って，

分数を整数になおす (ii) 今までの連立方程式と

同様の形にして解く

x 4

y 5

分母の4と5の最小公倍数は 20なので，20を①にかける

×20＝5x， ^y ×20＝4y 5

x 4

x 2

y 4

2 25

9

100

x 5

y 2

)

)

)

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〇 次の連立方程式を解きなさい。

　　 3x－y＝15　・・・② 　　 x＋y＝－10　・・・②

①×6より， ①×100より，

2x＋3y＝－12　・・・①' 3x－10y＝100　・・・①'

①'と②×3より， ①'と②×3より，

2x＋3y＝－12 3x－10y＝100

＋ 9x－3y＝45 － 3x＋ 3y＝－30

11x ＝33 　－13y＝130

　 x＝3 　 y＝－10

これを②に代入すると， これを②に代入すると，

3×3－y＝15 x＋（－10）＝－10

9－y＝15 x－10＝－10

－y＝6 　　　　　 x＝0

y＝－6

よって， よって，

（x，y）＝（3，－6） （x，y）＝（0，－10）

　　 3x＋2y＝2　・・・①

②×20より， ①×6より，

25x－4y＝120　・・・②' 4x－2y＝－1　・・・①'

①×2と②'より， ②×9より，

6x＋4y＝4 x－y＝9　・・・②'

＋ 25x－4y＝120

31x ＝124 ①'と②'×2より，

　 x＝4 4x－2y＝－1

－ 2x－2y＝18

これを①に代入すると， 2x ＝－19

3×4＋2y＝2

12＋2y＝2

2y＝－10

y＝－5 これを②'に代入すると，

よって，

（x，y）＝（4，－5）

よって，

① 　　 　 ＋　　 ＝－2

③ 　　 　 x－　　 ＝1

・・・① ・・・①

　　 　 x－　　 y＝－

② ④

　　 　 x－　　 y＝6 ・・・② 　　 　 x－　　 y＝1

　　　　 y＝－

（x，y）＝ －　　 ，－　　

　　・・・①

・・・②

　　　 x＝－

－　　 －y＝9

7 いろいろな連立方程式 （分数） 練習問題

x 3

y 2

5 4

1 5

3 100

y 10

2 3

1 3

1 6 1

9

1 9 )

)

)

)

37

2 37

2 19

2

19 2

19 2

　　 0.2x＋0.3y＝1　・・・① 　　 x－3y＝14　・・・②

①×10より，

2x＋3y＝10　・・・①'

①'と②より，

2x＋3y＝10

＋ x－3y＝14 3x　 　 ＝24

　 x＝8 これを②に代入すると，

8－3y＝14

－3y＝6 　　 y＝－2

よって，

（x，y）＝（2，－2）

〇 次の連立方程式を解きなさい。

　　 0.3x－0.1y＝0.9　・・・① 　　 －0.7x－0.8y＝1.1　・・・① 　　 2x＋y＝1　・・・② 　　 0.2x＋0.5y＝0.5　・・・②

①×10より， ①×10より，

3x－y＝9　・・・①' －7x－8y＝11　・・・①'

①'と②より， ②×10より，

3x－y＝9 2x＋5y＝5　・・・②'

＋ 2x＋y＝1

5x　 　＝10 ①'×2と②'×7より，

　 x＝2 －14x－16y＝22

＋ 14x＋35y＝35

これを②に代入すると， 19y＝57

2×2＋y＝1 　 y＝3

4＋y＝1

　　　　 y＝－3 これを②'に代入すると，

よって， 2x＋5×3＝5

（x，y）＝（2，－3） 　　　　 2x＝－10 x＝－5

よって，

（x，y）＝（－5，3）

① ③

②

8 いろいろな連立方程式 （小数）

いろいろな連立方程式 （ 小数）

例） 次の連立方程式を解きなさい。

0.3x＋0.4y＝0.5 ・・・① x－2y＝－5・・・②

①×10より，

3x＋4y＝5・・・①'

①'と②により，

3 x＋4y＝5・・・①' x－2y＝－5・・・② これを解くと，（x，y）＝（1，3）

1

Point!

【考え方】

(i) 両辺に10，100をかけて，

小数を整数になおす (ii) 今までの連立方程式と

同様の形にして解く

文字の前の数字（小数）が すべて整数になるためには，

10をかければよい。

0.3×10＝3，0.4×10＝4 0.5×10＝5

)

)

)

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〇 次の連立方程式を解きなさい。

　　 x－3y＝19　・・・① 　　 x＋1.5y＝2.5　・・・① 　　 0.2x－0.5y＝3　・・・② 　　 x－2y＝6　・・・②

②×10より， ①×10より，

2x－5y＝30　・・・②' 10x＋15y＝25　・・・①'

①×2と②'より， ①'と②×10より，

2x－6y＝38 10x＋15y＝25

－ 2x－5y＝30 － 10x－20y＝60

　 －y＝8 　 35y＝－35

　 y＝－8 　 y＝－1

これを①に代入すると， これを②に代入すると，

x－3×（－8）＝19 x－2×（－1）＝6

x＋24＝19 x＋2＝6 x＝－5 x＝4

よって， よって，

（x，y）＝（－5，－8） （x，y）＝（4，－1）

　　 0.03x＋0.01y＝0.14　・・・① 　　 2x＋y＝4　・・・②

①×100より， 　　 0.6x＋0.7y＝2　・・・②

3x＋y＝14　・・・①' ①×6より，

2x＋3y＝12　・・・①'

①'と②より，

3x＋y＝14 ②×10より，

－ 2x＋y＝4 6x＋7y＝20　・・・②'

　 x＝10

①'×3と②'より，

これを②より， 6x＋9y＝36

2×10＋y＝4 － 6x＋7y＝20

20＋y＝4 　 2y＝16

y＝－16 　　　 y＝8

これを①'に代入すると，

2x＋3×8＝12

よって， 　　2x＋24＝12

（x，y）＝（10，－16） 　2x＝－12

　x＝－6

よって，

（x，y）＝（－6，8）

① ③

・・・①

② ④ 　　 　 ＋　　 ＝2

8 いろいろな連立方程式 （小数） 練習問題

x 3

y 2 )

)

)

)

② 3x－2y＋4＝2x－5y－4＝x－4 　　 3x－2y＋4＝x－4　・・・①

　　 2x－5y－4＝x－4　・・・②

①より， 　 ②より，

2x－2y＝－8　・・・①' 　　x－5y＝0　・・・②' 　　 2x－2y＝－8　・・・①

　　 x－5y＝0　・・・②'

①と②'×2より，

2x－ 2y＝－8

－ 2x－10y＝0

　　　 　　 8y＝－8

　 y＝－1

これを②'を代入すると，

x－5×（－1）＝0 　　 x＋5＝0 x＝－5

〇 次の方程式を解きなさい。 よって，

（x，y）＝（－5，－1）

① 2x－5y＝x＋3y－10＝－9 ③ 0.6x＋0.7y＝ 　　＋　　 ＝2 　　 2x－5y＝－9　・・・①

　　 x＋3y－10＝－9　・・・②

　　 0.6x＋0.7y＝2　・・・②

②より，

x＋3y＝1　・・・②'　なので， ①×6より， ②×10より，

2x＋3y＝12　・・・①' 6x＋7y＝20　・・・②' 　　 2x－5y＝－9　・・・①

　　 x＋3y＝1　・・・②' 　　 2x＋3y＝12　・・・①'

　　 6x＋7y＝20　・・・②

①と②'×2より，

2x－5y＝－9 ①'×3と②'より，

－ 2x＋6y＝2 6x＋9y＝36

－11y＝－11 － 6x＋7y＝20

　 y＝1 　 2y＝16

　　　 y＝8 これを②'を代入すると，

x＋3×1＝1 これを①'に代入すると，

x＋3＝1 2x＋3×8＝12

x＝－2 　　2x＋24＝12

よって， 　2x＝－12

（x，y）＝（－2，1） 　x＝－6 よって，

（x，y）＝（－6，8）

　　 　 ＋　　 ＝2 ・・・①

9 いろいろな連立方程式 （A＝B＝C）

いろいろな連立方程式 （A＝B＝C） 例） 方程式5x＋2y＝－x－y＋3＝4を解きなさい。

5x＋2y＝4 ・・・①

－x－y＋3＝4・・・②

②より，

－x－y＝4－3

－x－y＝1・・・②'

①と②'により，

5 x＋2y＝4・・・①

－x－y＝1・・・②'

これを解くと，（x，y）＝（2，－3）

1

Point!

【考え方】

A＝B＝Cの形の方程式は (i) A＝C (ii) A＝B (iii) A＝B

B＝C A＝C B＝C のいづれかの形になおして考える

今回は，(i)のかたちで考えた

x 3

y 2

)

)

) x 3

y 2

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〇 次の方程式を解きなさい。

① 6x－y＝3x－2y＝9 ③ 3y＋8＝7x－3y＋4＝3x－y＋2

　　 6x－y＝9　・・・① 　　 7x－3y＋4＝3y＋8　・・・①

　　 3x－2y＝9　・・・② 　　 3x－y＋2＝3y＋8　・・・②

①×2より， ①より， 　②より，

12x－2y＝18　・・・①' 7x－6y＝4　・・・①' 　3x－4y＝6　・・・②' 　　 12x－2y＝18　・・・①' 　　 7x－6y＝4　・・・①'

　　 3x－2y＝9　・・・② 　　 3x－4y＝6　・・・②'

①'と②より， ①'×2と②×3より，

12x－2y＝18 14x－12y＝8

－ 3x－2y＝9 － 9x－12y＝18

9x　 　 ＝9 5x　 　 ＝－10

　 x＝1 　 x＝－2

これを①を代入すると， これを①'を代入すると，

6×1－y＝9 7×（－2）－6y＝4

　　 6－y＝9 －14－6y＝4

－y＝3 －6y＝18

y＝－3 よって， y＝－3 よって，

（x，y）＝（1，－3） （x，y）＝（－2，－3）

② 2x＋y＋3＝11＝3x＋2y ④ 4x－5y－7＝3x＋3y＝x＋5

　　 2x＋y＋3＝11　・・・① 　　 4x－5y－7＝x＋5　・・・①

　　 3x＋2y＝11　・・・② 　　 3x＋3y＝x＋5　・・・②

①より， ①より， 　②より，

2x＋y＝8　・・・①' 3x－5y＝12・・・①' 　2x＋3y＝5　・・・②'

　　 2x＋ y＝8　・・・①' 　　 3x－5y＝12　・・・①'

　　 3x＋2y＝11　・・・② 　　 2x＋3y＝5　・・・②'

①'×2と②より， ①'×2と②'×3より，

4x＋2y＝16 6x－10y＝24

－ 3x＋2y＝11 － 6x＋ 9y＝15

　 x＝5 －19y＝9

これを①'に代入すると， これを②'を代入すると，

2×5＋y＝8

　　10＋y＝8

　　 y＝－2

よって， 　　よって，

（x，y）＝（5，－2）

　（x，y）＝ 　　 ，－　　

y＝－

2x＋3× －　　　＝5 x＝

9 いろいろな連立方程式 （A＝B＝C） 練習問題

)

)

)

)

9 19 9

19

61 19

61 19

9 19

② 連立方程式

　　 ax－by＝11 ・・・① 　　 3ax＋2by＝－2　・・・②

の解が（x，y）＝（2，1）であるとき，a，bの値を求めなさい。

（x，y）＝（2，1）を①と②に代入すると，

　　 2a－ b＝11　・・・①'

　　 6a＋2b＝－2　・・・②'

①'×2と②'より，

4a－2b＝22

＋ 6a＋2b＝－2

　 a＝2 これを①'に代入すると，

2×2－b＝11

4－b＝11 －b＝7 b＝－7

〇 次の各問いに答えなさい。 よって，

（a，b）＝（2，－7）

① 連立方程式 ③ 連立方程式

　　 ax＋5y＝－10　・・・① 　　 bx－ay＝13　・・・① 　　 －2x＋by＝38　・・・② 　　 ax＋by＝11　・・・②

の解が（x，y）＝（－5，4）であるとき，a，bの値を求めなさい。 の解が（x，y）＝（3，－1）であるとき，a，bの値を求めなさい。

（x，y）＝（－5，4）を①と②に代入すると， （x，y）＝（3，－1）を①と②に代入すると，

　　 －5a＋20＝－10　・・・①' 　　 a＋3b＝13　・・・①'

　　 10＋4b＝38　・・・② 　　 3a－ b＝11　・・・②'

①'より， ①'×3と②'より，

－5a＝－30 3a＋9b＝39

a＝6 － 3a－ b＝11

　　　 10b＝28

②'より，

4b＝28

b＝7

これを①'に代入すると，

よって，

（a，b）＝（6，7）

　　よって，

　a＝

　（a，b）＝ 　　 ，　　 10a　　　＝20

　 b＝

a＋3× 　　＝13

10 いろいろな連立方程式 （a，bの値）

いろいろな連立方程式 （ a,bの値）

例） 連立方程式

ax－2by＝－5 ・・・① bx＋ay＝8・・・②

の解が，（x，y）＝（1，2）であるとき，

a，bの値を求めなさい。

(x，y)＝（1，2）を

①と②に代入すると，

a－4b＝－5・・・①' 2a＋b＝8・・・②' この連立方程式を解くと，

（a，b）＝（3，2）

1

Point!

【考え方】

(i)（x，y）＝（1，2）の値をあてはめる (ii) a，bについて連立方程式で解く

)

)

14 5

14 5

23 5

23 5

14 5

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〇 次の各問いに答えなさい。

① 連立方程式 ③ 連立方程式

　　 ax＋2y＝8　・・・① 　　 bx＋ay＝1　・・・①

　　 x＋by＝1　・・・② 　　 ax＋by＝6　・・・②

の解が（x，y）＝（2，1）であるとき，a，bの値を求めなさい。 の解が（x，y）＝（－2，3）であるとき，a，bの値を求めなさい。

（x，y）＝（2，1）を①と②に代入すると， （x，y）＝（－2，3）を①と②に代入すると，

　　 2a＋ 2＝8　・・・①' 　　 3a－2b＝1　・・・①'

　　 2＋ b＝1　・・・②' －2a＋3b＝6　・・・②'

①'より， ①'×2と②'×3より，

2a＝6 6a－4b＝2

a＝3 ＋ －6a＋9b＝18

　 5b＝20

②'より， 　 b＝4

b＝－1

これを①'に代入すると，

よって， 3a－2×4＝1

（a，b）＝（3，－1） 　　　 3a＝9

a＝3

よって，

（a，b）＝（3，4）

② 連立方程式 ④ 連立方程式

　　 ax＋by＝1　・・・① 　　 ax＋y＝7　・・・①

　　 bx－ay＝8　・・・② 　　 x－y＝9　・・・②

の解が（x，y）＝（3，2）であるとき，a，bの値を求めなさい。 の解が（x，y）＝（4，b）であるとき，a，bの値を求めなさい。

（x，y）＝（3，2）を①と②に代入すると， （x，y）＝（4，b）を①と②に代入すると，

　　 3a＋2b＝1　・・・①' 　　 4a＋b＝7　・・・①'

　　 －2a＋3b＝8　・・・②' 　　 4 －b＝9　・・・②'

①'×2と②'×3より， ^{②'より，}

6a＋4b＝2 －b＝5

＋ －6a＋9b＝24 　 b＝－5

　 　　13b＝26

　 b＝2 これを①'に代入すると，

4a＋（－5）＝7

これを①'を代入すると， 　　　　　4a＝12

3a＋2×2＝1 　　　　　 a＝3

3a＝－3

a＝－1 よって，

（a，b）＝（3，－5）

よって，

（a，b）＝（－1，2）

10 いろいろな連立方程式 （a，bの値） 練習問題

)

)

（　　　　　　）をa，（　　　　　　　　　）をbとすると， （　　　　　　　　　）をx枚，（　　　　　　　　）をy枚とすると，

2けたの自然数は（　　　　　　）と表され， 50円切手と80円切手とを合わせて20枚買ったので，

十の位の数字と一の位のを入れかえてできる数は， （　　　）＋（　　　）＝20・・・①

（　　　　　　　）と表される。 また，代金が1390円だったので，

　　　もとの数と位の数字を入れかえてできる数との （　　　　　　　　）＋（　　　　　　　　）＝1390・・・② 和が110より，

　　　この数の十の位の数字と一の位の数字を入れかえて（　　　　　　）＋（　　　　　　）＝110・・・① よって，

この数の十の位の数字と一の位の数字を入れかえて できる数は，もとの数より36大きいので，

（　　 　　　　　　　　）＝（ 　　　　　　）＋36・・・② よって，

したがって，

50円切手が（　　　　）枚，

80円切手が（　　　　）枚となる。

したがって，もとの自然数は，（　　　　　　　　　）となる。

これを解くと，（a，b）＝（　　　　　，　　　　　）

　　　（　　　　）＋（　　　　）＝20・・・①

　　　（　　　　　　　）＋（　　　　　　　）＝1390・・・② 　　　（　　　　　　　　）＋（　　　　　　　　）＝110・・・①

これを解くと，（x，y）＝（　　　　　，　　　　　） 　　　（　　　　　　　　）＝（　　　　　　　　）＋36・・・②

○

　2けたの自然数がある。もとの数と位の数字を入れかえてで きる数との和は110である。また，この数の十の位の数字と一 の位の数字を入れかえてできる数は，もとの数より36大きい。

もとの自然数を求めなさい。

○

　50円切手と80円切手を合わせて20枚買ったところ，代金が 1390円でした。買った50円切手と80円切手の枚数をそれぞ れ求めなさい。

連立方程式の利用（整数）

例） 2けたの自然数がある。この数の十の位の数字と 一の位の数字の和は9で，十の位の数字と一の位 の数字を入れかえてできる数は，もとの数より9だけ 小さい。もとの2けたの自然数を求めなさい。

【解答】

もとの自然数の十の位の数をa，一の位の数をbとする と，2けたの自然数は10a＋bと表される。

また，十の位の数と一の位の数を入れかえできる数は，

10b＋aとなるので，

a＋b＝9

10b＋a＝10a＋b－9

これを解くと，（a，b）＝（5，4）

よって，もとの2けたの自然数は，54.

11 連立方程式の利用 （応用①）

1

Point!

連立方程式の利用（代金）

例） 1個100円のなしと，1個150円のバナナを合わせて 10個買うと，代金は1200円になりました。

なしとバナナを，それぞれ何個買いましたか。

【解答】

なしをx個，バナナをy個とすると，

x＋y＝10

100x＋150y＝1200 これを解くと，（x，y）＝（6，4）

よって，なしを6個，バナナを4個 2

Point!

①十の位の数字と一の位の数字の和が9

→(十の位の数字）＋（一の位の数）＝9

→a＋b＝9

②入れかえてできる数は，もとの数より9小さい

→（入れかえてできる数）＝（もとの数）－9

→10b＋a＝10a＋b－9 ①なしとバナナを合わせて10個

→(なしの個数）＋（バナナの個数）＝10

→x＋y＝9

②なしとバナナの代金1200円

→（なしの値段）＋（バナナの値段）＝1200

※（なしの値段）＝（なし1個の値段）×個数

＝100×x

十の位 一の位

10a＋b 10b＋a

10a＋b 10b＋a

10a＋b 10b＋a

10a＋b 10b＋a 10b＋a 10a＋b

3 7

37

50円切手 80円切手

x y

50x 80y

x y

50x 80y

7 13

7 13

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買ったボールペンをx本，買ったシャーペンをy本とすると，

十の位をa，一の位をbとおくと，

もとの自然数は，10a＋bと表され， 合わせて15本買ったので，

十の位の数字と一の位の数字を入れかえてできる数は， x＋y＝15　・・・① 10b＋aを表される。

代金が1700円になったので，

十の位の数字と一の位の数字の和の2倍は， 100x＋150y＝1700　・・・② 一の位の数字の6倍に等しいので，

2（a＋b）＝6b　・・・① 　　 x＋y＝15　・・・①

　　 100x＋150y＝1700　・・・② 入れかえてできる数は，もとの数より18小さいので，

10b＋a＝10a＋b－18　・・・② これを解くと，（x，y）＝（11，4）

　　 2（a＋b）＝6b　・・・① よって，

　　 10b＋a＝10a＋b－18　・・・② ボールペンが11本，シャーペンが4本となる。

これを解くと，（a，b）＝（4，2）　　　　よって，42

2つの数をx，yとする。

2つの数の和が100なので，

x＋y＝100　・・・① 買ったショートケーキをx個，買ったチーズケーキをy個と

すると，

一方の数が他方の数の2倍より10大きいので，

x＝2×y＋10　・・・② ショートケーキ1個とチーズケーキ2個で，800円なので，

x＋2y＝800　・・・① 　　 x＋y＝100　・・・①

　　 x＝2y＋10　・・・② ショートケーキ3個とチーズケーキ1個で，1600円なので，

3x＋y＝1600　・・・② これを解くと，（x，y）＝（70，30）

　　 x＋2y＝800　・・・① よって，2つの数は，70 と 30 　　 3x＋ y＝1600　・・・②

これを解くと，（x，y）＝（480，160）

よって，

ショートケーキが480円，チーズケーキが160円。

①

　2けたの自然数がある。この数の十の位の数字と一の位の 数字の和の2倍は，一の位の数字の6倍と等しい。また，十 の位の数字と一の位の数字を入れかえてできる数は，もとの 数より18小さいとき，もとの自然数を求めなさい。

③

　1本100円のボールペンと1本150円のシャーペンを，合わせ て15本買うと，代金が1700円になりました。買ったボールペン とシャーペンそれぞれ何本か求めなさい。

②

④

　あるお店で違う日に，ショートケーキとチーズケーキを買い ました。2月14日には，ショートケーキを1個とチーズケーキを2 個買ったら，代金が800円でした。また，3月14日に，ショート ケーキを3個とチーズケーキを1個買ったら，代金が1600円で した。ショートケーキをとチーズケーキをそれぞれ何個ずつ 買ったか求めなさい。

　2つの数の和が100で，一方の数が他方の数の2倍より10 大きいとき，この2つの数を求めなさい。

11 連立方程式の利用 （応用①） 練習問題

（　　　　　　　）をx人，

（　　　　　　　）をy人とすると，

昨年度の部員数が50人であったので，

（　　　　）＋（　　　　）＝50・・・① また，今年度は昨年度よりも，

男子が20％増加，女子が10％減少して，51人なので，

よって，

（　　　　　　　）をxkm，

（　　　　　　　）をykmとすると，

家からコンビニまでは（　　　　　）時間かかり，

コンビニから駅までは（　　　　　）時間かかったことになる

したがって， よって，

昨年度の男子の部員数がは（　　　　　　）人で，

女子の部員数は（　　　　　　）人である。

家からコンビニまでの距離は（　　　　　）kmで，

コンビニから駅までの距離は（　　　　　）kmになる。

　　　（　　　　）＋（　　　　）＝3・・・①

　　　（　　　　　　　）＋（　　　　　　　）＝1・・・② これを解くと，（x，y）＝（　　　　，　　　　）

○

　まこと君が家から3kmはなれた駅まで行くのに，途中のコンビ ニまでは時速4kmで走り，そのコンビニからは時速2kmで歩い たところ，1時間かかった。家からコンビニまでの距離とコンビ ニから家までの距離をそれぞれ求めなさい。

（　　　　　　　）x＋（　　　　　　　）y＝51・・・②

　　　（　　　　）＋（　　　　）＝50・・・①

　　　（　　　　　　　）＋（　　　　　　　）＝51・・・②

これを解くと，（x，y）＝（　　　　，　　　　）

○

　ある中学校のバスケットボール部は，昨年度の部員数が 50人であった。今年度は昨年度のよりも，男子は20％増加 し，女子は10％減少して，全体の部員数が51になった。この バスケットボール部の昨年度の男子と女子の部員数をそれ ぞれ求めなさい。

連立方程式の利用（割合）

例） ある中学校の昨年度の生徒数は525人であった。

今年度は昨年度よりも，男子は8％増加し，逆に 女子は4％減少して，全体の生徒数は534人になっ た。この中学校の昨年度の男子と女子の生徒数を，

それぞれ求めなさい。

【解答】

昨年度の男子の生徒数をx人，女子をy人とすると，

昨年度の生徒数が525人なので，x＋y＝525・・・① 今年度は男子が8％増加，女子が4％減少したので，

x＋ y＝534・・・② x＋y＝525・・・①

x＋ y＝534・・・② これを解くと，（x，y）＝（250，275）

よって，昨年度の男子は250人，女子は275人

12 連立方程式の利用 （応用②）

1

Point!

連立方程式の利用（み・は・じ）

例） まきさんは，家から2000mはなれた図書館に行きま した。はじめは分速80mで歩いていましたが，雨が 降ってきたので，途中から分速160mの速さで走った ら，図書館に着くのに20分かかりました。

このとき，まきさんが歩いた時間と走った時間をそれ ぞれ求めなさい。

【解答】

歩いた時間をx分，走った時間をy分とすると，

合計で20分かかったので，x＋y＝20・・・① また，歩いた距離が80x m，走った距離が160y m 家から図書館までが2000mなので，

80x＋160y＝2000・・・② x＋y＝20

80x＋160y＝2000

これを解くと，（x，y）＝（15，5）

よって，歩いた時間が15分，走った時間が5分 2

Point!

基準は100％

8％増加

→100＋8＝108％

4％減少

→100－4＝96％

108 100

96 100

108 100

96 100

2000m

80m/分 160m/分

20分

80x m 160y m

x 分 y 分

（道のり）＝（速さ）×（時間）

み は じ

km

km/時

時間

x km y km

時間

km/時 時間

家 ^コン_ビニ 駅

昨年度の男子の部員数 昨年度の女子の部員数

x y

120 100

90 100

120 100 x

x y

90 100 y

20 30

20 30

3

4 2

x 4

y 2 1

家からコンビニまでの距離 コンビニから駅までの距離

x 4y 2

x y

x 4

y 2

2 1

1 2