解答例２次数学セレクション

(1)

電送数学舎 2006 −−

１ [大阪大]

3 S S 3′S′ −S′ 4[ \とおくと23+23′=2$+24より [

D S

S+ ′= + S−S′=E+\

よって

_D _E _[ _\

S= + + + ………①

_D _E _[ _\

S′= − + − ………② またNを実数として $3′=N$3より

S′−D −S′−E =N S−D S−E

よってS′−DS−E+S′+ES−D=………③ ①②を③に代入して

₋_D₋_E₊_[₋_\ _D₋_E₊_[₊_\ ₊ _D₊_E₊_[₋_\ ₋_D₊_E₊_[₊_\ ₌

_[₋_E ₋ _\₊_D ₊ _[₊_E ₋ _\₋_D ₌ まとめると _[ ₋_\ ₌_D ₋_E

点$D Eは\=[ \=−[上にないことよりE≠±DからD −E ≠であり

= − −

− D E

\ E

D [

したがって点4の軌跡はO \=[とO′ \=−[を漸近線とする双曲線となる。

［解説］

文系にOとO′が[軸\軸となっている類題が出ています。しかし本問に出合った

とき座標系の回転を思いつくのは容易なことではありません。

$ 3

[ \

2

O

(2)

電送数学舎 2006 −−

２ [北海道大] $ $ $ より

2$ = =H $$ = =H $$ = =H また % % %

(

)

より

2% = = H %% = =H

(

)

% % = = H + H

条件より2 3 3′が同一直線上にあるのでWを実数として

23 3

2 ′=W 2% +S%%+T%% =W2$ +D$$ +E$$ より H +SH +T

(

H + H

)

=WH +DH +EH

H H

H は次独立なので

W T= +

………① S=WD………② T=WE

………③ ①②より S=

(

+T

)

DすなわちS=+TDとなる。

ここでT=−のときは①からW=となり③が成立しないことより

T S D

+ =

………④

①③より T=

(

+T

)

Eとなり

T T E

+ =

………⑤

条件より $3 =から D$$ +E$$ =となり DH +EH =

EH D E H

D + = なので D+E =

④⑤を代入すると

(

) (

)

=

+ +

+ T

T T

S _S ₊_T ₋_T₌

= − + T

S _………⑥

さて %3= S%% +T%%であり

% % %

% = = %%⋅%% =

そこで%を原点とし%% を S 軸の基本ベクトル %%を T 軸の基本ベク

トルとして平面β上で直交座標系をつくることができる。このとき点3′の座標

はS Tとなるので⑥より点3′が動いてできる図形&′は楕円である。

［解説］

大学入試に久々の登場ですが空間内の楕円を表現する問題です。一度は演習した

(3)

［北海道大］

楕円 : 1

2 2 2 2

1  

 

y x

C 双曲線 : 1

2 2 2 2

2  

b y a x

C 焦点一致すこ ,

2 2 2

2__ __a __b

 (2＞2)………

さ , C1 C2 交点座標 (p, q) く , 1 2 2 2 2     q p

, 2p22q222………

1 2 2 2 2   b q a p

, b2p2a2q2 a2b2………

ここ , 交点(p, q) け C1 C2 接線 l1, l2 く , 1

:

2 2

1  

 

qy px

l , 2 : ₂  ₂ 1

b qy a px l

こ , l1, l2 法線ベクトルn1, n2 ,





2 2 1 ,   q p

n  , 2



₂, ₂



b q a

p

n  

ここ , まめ ,

            

 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 b a q p a b     _,                   2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 b a b a b a q

p  

        

 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1       

 b a b

b a a

b a

す , n₁n₂

2 2 2 2 2 2 b q a p   

 ₂ ₂1 ₂ ₂( 2 2) ₂ ₂1 ₂ ₂( 2 a2)

b a

b b

a     

      

₂ ₂1 ₂ ₂( 2 2 a2 b2)

b

a     

  

 

, n1n2 0 , 2接線l1, l2 直交す。

［解説］

(4)

［金沢大］

(1) △PQR 面積S(t) ,

) 1 ( ) 1 ( 2 2 1 )

(t s t s t

S     

ここ , 1

4 2 2

 t

s _, _s_₂_cos_ _,_t__sin_

け。す , 0s＞ , 11＜t＜ ,

2 2  

＜＜



, )S(t) f( す , ) sin 1 ( cos 2 ) (     f   

₎ ₂_sin ₍₁ _sin ₎ ₂_cos2

(    

f 4sin2 2sin 2

) 1 sin )( 1 sin 2 (

2  

  

っ , 右表 S(t) 最大値 2

3 3

。こき,

6 

  s 3,

2 1  

t ,





2 1 , 3

R  あ。

(2) R け接線l 1 2 1 4

3_x_ _y_ _,_x

軸交点



, 0



3 4

T あ。

こ ,





2 1 , 3

3

RT ,





2 3 , 3

RP  ,

PRT cos RP RT RP RT  

 ₇1

4 9 3 4 1 3 1 4 3 1       

(3) 楕円C y軸方向 2倍拡大す , 点P P0(0, 2), 点R R0( 3, 1)

移 , 

3 2 OR P0 0 

 。

ここ , 右図弓形面積 S0 く ,

3 3 4 3 2 sin 2 2 1 3 2 2 2

1 2 2

0          

S

す , 直線PR っ分割さ楕円C 原点

含まい部分面積S ,

2 3 3 2 2 1

0  

 S 

S

［解説］

楕円い基本的問題す。(3) , 楕円円いっ変換し , 面積

計算しまし。

 ₂ …

6   … 2  ) (

f ＋ 0 －

(5)

電送数学舎 −−

５［東京工大］

線分34が[軸と直交するとき 34=より

(

_WDQ

)

3 −

α

(

)

WDQ 4

α

さて34の中点0は 0

(

_WDQ

)

α となり

WDQ 03

05= π =

よって 5

(

_WDQ +

)

α である。

半直線/ /の方向ベクトルの成分はそれぞれ

VLQ FRV

α − α FRVα VLQαとすることができるのでS＞T＞として

VLQ

FRV

3 S α −S α 4TFRVα TVLQα すると 34=より

VLQ FRV

= +

+

−T α S T α

S ………①

さて34の中点0は

(

FRV FRV VLQ VLQ

)

0 S α+T α −S α+T α

また 43=SFRVα−TFRVα −SVLQα−TVLQα 43 =

05 = より

FRV FRV

VLQ VLQ

05= S α+T α S α−T α そこで 25=20+05より 5[ \とおくと

VLQ VLQ

FRV FRV

_S _α _T _α _S _α _T _α

[ = + + +

=FRVα+ VLQαS+T=FRV

(

π −α

)

S+T……②

FRV FRV

VLQ VLQ

_S _α _T _α _S _α _T _α

\= − + + −

=−VLQα+ FRVαS−T=VLQ

(

π −α

)

S−T……③

_＜_α_＜π _より

₍

₎

FRV π −α ＞

(

)

VLQ π −α ＞となり②③を①に代入すると

(

)

VLQ

(

)

FRV

VLQ

= −

+ −

\ [

α π

α α

π

α

よって点5の軌跡は楕円の一部である。

［解説］

図形と方程式の重要題のつで単位ベクトルの効用が実感できる問題です。 2

3 4

5

[ \

0 α α

/

2 3

4

5 [

\

0 α α

/

(6)

電送数学舎

−−

６［筑波大］

[ ₋_\ ₌_より

₌ [ ₋

\ ……＊となり

$3 ₌ _[₋_D ₊_\ ₌ _[₋_D ₊[ ₋ ₌_[₋_D[₊_D₋

₌

(

_[₋_D

)

₊_D₋

ここで＊から [ −≧より [≦− ≦[

L D≦− D

≦

(

D≦− ≦D

)

_のとき

D

[= で$3は最小となり$3の最小値 ID= D−

LL − ＜D＜

(

)

_＜_D_＜

− のとき

− =

[ で_$3_{は最小となり}_$3_の最小値 _I_D₌ ₋ ₋_D ₌ _D₊ LLL≦D＜

(

≦D＜

)

のとき

=

[ で_$3_{は最小となり}_$3_の最小値 _I_D₌ ₋_D ₌ _D₋ 曲線E= IDに対してより

L D≦− ≦D

_のとき

曲線_E₌ _D₋_は ₌ _D ₋

E から双曲線_D₋_E ₌_{の上半分となる。}

また漸近線はE D ±

= である。

LL −＜D＜のとき

曲線E= D+ は折れ線E= D をD軸方向に− だけ平行移動したもの。 LLL≦D＜のとき

曲線E= D− は折れ線E= D をD 軸方向

にだけ平行移動したもの。

以上より曲線E= IDの概形は右図のよう

になる。

［解説］

最初に双曲線のグラフを書き｢当たり｣をつけておくとミスが防げます。

[ \

2

$

− D

3

−

2

−

(7)

電送数学舎 2010 −−

７ [大阪大]

[ + \ = & ……① VLQ FRV − = θ θ \ [ & ……②

の交点の座標を求める。

まず②は [VLQθ −\FRVθ =VLQθFRVθとなり

①と連立すると

¸ ¹ · ¨ © § = ¸¸¹ · ¨¨© § ¸ ¹ · ¨ © §

− θ θ θ

θ _VLQ _FRV FRV VLQ \ [

ここで _Δ FRV_θ VLQ_θ VLQ_θ_＜

− − = −

−

= から

¸ ¹ · ¨ © § ¸¸¹ · ¨¨© § − − − + − = ¸¸¹ · ¨¨© § θ θ θ θ θ FRV VLQ VLQ FRV VLQ \ [ ¸¸¹ · ¨¨© § − + + = θ θ θ θ θ θ θ

_VLQFRV _VLQVLQ _FRVFRV VLQ ¸¸¹ · ¨¨© § + + + = VLQ VLQ VLQ FRV VLQ _θ _θ θ θ θ ¸¸¹ · ¨¨© § = θ θ VLQ FRV

_＜_θ_＜π _から_VLQ_θ_＞ _FRV_θ_＞_であり_第_{象限の交点}₃_は₃ _FRV_θ _VLQ_θ

となる。点3における&&の接線をそれぞれOOとすると VLQ FRV

[ θ + \ θ =

O _FRV −_VLQ =

θ θ

\ [

O

\軸とOの交点は

(

)

θ

VLQ

4 Oの交点は5 −VLQθとなり

VLQ VLQ VLQ VLQ

45= + ⋅ θ = θ

θ

θ ≧

等号は θ

θ VLQ

VLQ =

(

θ =π

)

のときに成立する。よって45の長さの最小値はである。

［解説］

(8)

電送数学舎 2011

−−

８ [筑波大]

焦点が$G % G より楕円(の中心は原点となるので

[ \ (

D E

D E G

条件よりDGから DGとなり

E D G G E G

これより長軸の長さはDG短軸の長さは

E Gとなる。 3 [ \ とおくと

$3 %3 [ G \[ G \[\ G

23 G

………①

また $3 %3 G なので①より

23 G $3 %3 $3 %3¸ G$3 %3¸

よって $3 %3¸ G23GG23………②

_$3_%3_{$3 %3 $3} _%3_{$3 %3}_¸ _なので_①②より

$3 %3 23G GG23 23G G ………③

ここで G≦23 ≦ からG _G_≦₂₃_≦_G_であり_③より _$3_%3_の最大

値は _G _G_G _G_最小値は _{G G}_G _G_となる。

［解説］

楕円の定義について基本事項を確認する問題です。なお①式は中線定理です。

$ %

2 _G G

G

\

[

(9)

電送数学舎 2012 −−

９ [岡山大]

[

& \ 上の接点を FRV VLQ θ θ とおくと

接線の方程式は FRV[ θ \VLQ_θ_から

FRV VLQ

[ θ \ θ ………＊

すると＊の法線ベクトルはQJG FRV VLQ θ θ と

なり条件よりQJGと23JJJG

は垂直なので QJG JJJG¸23 から

FRVθ VLQθVLQ

π

θ

≦ ＜とするとθ π

π

θ π πとなりθ π π

よって

23に平行な接線の方程式は

＊から

FRV VLQ

[ π \ π [FRV π VLQ\ π

したがって [\ [\である。

θ π πのとき接点はそれぞれ4

4

となる。

ここで点 4 が & 上を動くとき△234 の面積が最大値をとるのは 4におけ

る接線と23が平行である点4または4においてである。

234 ¸ ¸

△ △234 ¸ ¸

以上より△234 の面積の最大値はとなりこのとき点 4 の座標は

4 または4

である。

［解説］

上の解答例以外に\軸方向に倍拡大して楕円&を円_[_\_{に対応させる}

解法もあります。この方法では計算は暗算程度になります。

3

2

[ \

(10)

電送数学舎 2012 −−

10 [筑波大] _{& [} _\_……① _{+ [} _\ _……②

に対して+ 上の点3 V W の原点対称の点を

3 a V Wとおくと 3a_における + の接線の方

程式は

V[ W \

V[ W\ ………③ よって直線O V[ W\ は点3を通らない。

①③を連立して

[ V[ W

となり

W V [ V[ W

点3 V W は+上の点から _V_W _{……④となり}

[ V[ W ………⑤

⑤は _' _V_W _{となるので}_異なる_{実数解をもつ。すなわち}_直線

Oと双曲線&は異なる点45で交わる。

そこで⑤の解を[α β とおくと 4 α _WVα_W

5 β V_Wβ_W

と表せ

V

α β

V

α β

これより線分45の中点は3aとなり△345 の重心 *は線分33aをに内

分する点である。

よって * V V W W

から * V W

である。

245 V_W _W

_WV _W

_W V W W

β α

α β β α

¸

△

④より 245△ W _W W _WW

以上より△*45△345△245 となり点3の位置によらず一

定の値をとる。

［解説］

は普通に連立して計算をしてもよいのですが直線 O の方程式がいかにも意味

ありげなので工夫をしました。そして図形的に結論を記しています。

3

4

5

3a

[ \

2 _O

+

(11)

−11−

11 [筑波大]

(1)

2 2

: 1

16 9

y x

C から, 9x216y2 ¸9 16………①

直線ymxに平行な直線をymxn……②とお

き, ①に代入すると,

2 2

9x 16(mxn) ¸9 16

2 2 2

( 916m )x 32mnx16n ¸9 160

①②が接することより,

2 2 2 2 2

4 16 ( 9 16 )(16 9 16 ) 0

D m n m n ¸

2 2 2 2

16m n ( 916m )(n 9 )0, n2 9 16m20

よって, n o 16m29から, l1, l1aの方程式は, ymxo 16m29

(2) 原点とl1, l1aの距離はともに

2

16 9

1

m

なので, l1とl1

a_の距離_d₁_は_,

2

1

2

2 16 9

1

m d

m

………③

また, l2とl2aの距離d2は, mv0のとき, ③においてmを 1

m

に置き換え,

2

2 2

1

2 16 9 _{2 9} ₁₆

1 ₁ 1

m m

d

m m

………④

なお, 0m のときはd28となるが, このときも④は成立している。

(3) (d1)2(d2)2

2 2

4(16 9 ) 4( 9 16 )

100

1 1

m m

(4) l1, l1a, l2, l2aで囲まれる長方形の面積Sは, Sd d1 2d1 100(d1)2

ここで, d1tとおくと, 6≦ ＜となりt 8 ,

2 2 4 2 2

100 100 ( 50 ) 2500

St t t t t

よって, 36≦ ＜からt2 64 , t250のときSは最大値 250050をとる。

［解説］

楕円の有名問題です。誘導が非常に細かく付いています。

x y

O

1 la 1 l

2 la

2 l

4 3

(12)

−12−

12 [東京工大]

(1) 円C1: (xa)2y2a2上の任意の点を(aacos ,θ asin )θ とおくと, C1が楕

円 2 2

2: y₂ 1

C x b

に内接する条件は, あるθにおいて等号が成り立ち,

2 2

2

sin

(a acos ) a 1

b θ θ

≦ , a b2 2(1cos )θ 2a2(1cos2θ)≦ ………①b2

①を変形し, a b2( 21) cos2θ2a b2 2cosθa b2 2a2b2≦0

ここで, cost θとおくと, 1 ≦ ≦ においてt 1 ,

2₍ 2 ₁₎ 2 ₂ 2 2 2 2 2 2 ₀

a b t a b ta b a b ≦ ………②

ただし, あるt ( 1 ≦ ≦ で等号が成り立つ。t 1)

以下, a0, b0のもとで, ②が成り立つ条件を求める。

まず, f( )t a b2( 21)t22a b t2 2 a b2 2a2b2とおき,

(i) b1のとき

2

( 1 ) b 0

f となるので, 求める条件は, f(1)4a b2 2b20

よって, ( 4a21)b20から, 1

2

a

(ii) b1のとき

2 2

( )t 2a t2a 1

f となり, 求める条件は, f(1)4a2 1 0

よって, 1

2

a

(iii) 0 b 1のとき

2 2 2 4

2 2 2 2 2 2

2 2

( ) ( 1)

1 1

b a b

t a b t a b a b

b b

f

ここで, 2 2

2 ₁ ₁ 2 0

b b

に注意して,

(iii-i) 0 ₂ 2 1

1

b

b ≦

2 0

2

b

＜ ≦ のとき

求める条件は, 2

2 ₁ b b

f 2 4 2 2 2 2

2 ₁ 0

a b _{a b} _a _b b

から,

2 4 ₍ 2 ₁₎₍ 2 2 2 2₎ ₀

a b b a b a b

, a2b4b20

よって, a b2b4 b 1b2

(iii-ii) ₂2 1

1

b b

2 ₁

2 b のとき

求める条件は, f(1)4a b2 2b20から, 1

2

a

(i)∼(iii)より, C1がC2に内接するための条件は,

2

1

ab b 0 2

2

b

＜ ≦ のとき , 1

2

a 2

2

(13)

−13−

(2) 1 3

3 3

b のとき, 0 2

2

b

＜ ≦ を満たすので, 1 1 1 2

3 3

3

a

このとき, ( )f t 0の重解は, 2

2

1

3 1

1 2

1 ₁

3

b t

b となり,

1 cos

2

θ

0 θ πより,

3

π

θ となり, sin 3

2

θ

すると, 第1象限の接点の座標T( ,p q)は,

2 2 1 2

3 3 2 2

p ¸ , 2 3 6

3 2 6

q ¸

(3) (2)のとき, 1: 2

2 2 2

3 9

C x y となり, 中心

2

C , 0

3 , 半径

2

3 の円である。そして, 半径 CT

をx軸の正の向きから測った角は

3

π _である。

また, C2 :x23y21となり, 1 1 2

3

y o x

すると, 2

2

x≧ の範囲において, C1とC2で囲まれ

た部分の面積Sは, x軸についての対称性を考えて,

\

^

1 ₂

2 2

2

6

2 2 2

1 ₁ 1 1

2 ₃ 2 3 3 2 2 3 6

S

_¨

_{x dx} _¸ _{¸ ¸}π _¸

\

₂ ₂

^

2 ₃

1 1 ₁ 1

2 4 2 2 27 36

3

π π

¸ ¸ ¸

3

1 1

8 4 27 36

3

π π

3 1

3

24 27 π 18

よって, 3 2

3

12 27 9

S π となる。

［解説］

円をパラメータ表示して, 2 次不等式の処理に帰着させましたが, かなり時間がか

かる問題です。なお, 楕円をパラメータ表示した方が, 数式処理は簡単だったようで

す。後から気づきましたが……。

1 T

C

O _x

y

3

π

6 6

(14)

13 [筑波大]

(1) 楕円

2 2

1: ₂ 1

9

y x C

a + = (a> 13 )

… … 焦点座標

(

)

2 _{9, 0}

a

 - あ ,

双曲線

2 2

2: ₂ 1

4

y x C

b

- = (b>0 )…… 焦点座標

(

)

2 4 b , 0

 + あ。

条件 ,

2 ₉ ₄ 2

a - = +b , a2- = +9 4 b2, a2-b2=13……

ま , C₁ C₂ 第1象限交点P( ,s t) , , 2 2

2 ₉ 1

s t a + =

……… , 2 2 2 1 4 s t b - = ………

, 9s2+a t2 2=9a2, b s2 2-4t2=4b2 ,

2 2 2

9 9

4 4

a s a

b t b

æ öæ ö æ_÷ _÷ ö_÷

ç _÷ç _÷ ç _÷

ç _÷ç _÷=ç _÷

ç ÷_÷ç ÷_÷ ç ÷_÷

ç ç ç

è - øè ø è ø,

2 2 2

2 2

2 2 2

4 9

1

36 9 4

s a a

a b

t b b

æ ö_÷ æ_- _- öæ_÷ ö_÷

ç _÷ ç _÷ç _÷

ç _÷= ç _÷ç _÷

ç ÷_÷ ç ÷_÷ç ÷_÷

ç - - ç ç

è ø è- øè ø

代入す ,

2 2 2 2

2 2

2 2 2 2

36 4 1

36 9 36

s a a b

a b

t a b b

æ ö_÷ æ ₊ ö_÷

ç _÷ ç _÷

ç _÷= ç _÷

ç _÷_÷ ç _÷_÷

ç + ç

è ø è - ø

2 2

2 2 2 2

4 ( 9 13 ) 1

36 ( 13 ) 9( 4 )( 13 )

a a

a a a a

æ ₊ _- ö_÷

ç _÷

ç

= _ç _÷_÷÷

ç

+ - è - - ø

2 2

2 2 2 2

4 ( 4 ) 1

( 4 )( 9 ) 9( 4 )( 13 )

a a

a a a a

æ _- ö_÷

ç _÷

ç

= _ç _÷_÷÷

ç

- - è - - ø

2

2 2

4 1

9 9( 13 )

a

a a

æ _ö÷

ç _÷

ç

= _ç _÷_÷÷

ç

- è - ø

こ ,

2 2 9 a s a = - , 2 2 3 13 9 a t a -= - ,

(

)

2 2 2 3 13 2 P , 9 9 a a a a --

-(2) P( ,s t) け C₁ 接線l₁, C₂ 接線l₂ 法線ベクトル , n₁ 

, n2 

く , ₁

(

)

2, ₉

s t n

a =



, 2

(

, ₂

)

4 s t n b = -

, (1) ,

2 2

1 2 ₂ ₂

4 9

s t

n n

a b

⋅ =

- - ₂ 2

2 2 2 2

9( 13 ) 4

4 ( 9 ) 9( 13 )( 9 )

a a

a a a a

-=

-- - - =0

っ , l₁ l₂ 直交す。 (3) (1) , 2 2

2 2

4 ₄ 36

9 9 a s a a = = + - - , 2 2 2 2

9( 13 ) ₃₆ 9 9 9 a t a a -= = --

-こ ,

2 2 13

s + =t

ま , a> 13 き,

2 36 0 9 9 a < < - , 2

4<s <13( 2< <s 13 ), 0<t2<9 ( 0< <t 3 )

っ , 点P( ,s t) 軌跡右図実線部あ。

［解説］

計算量半端あませ。特 (3) い , 1行目変形しっき ,

いへこます。

解答例 ２次数学セレクション

［解 説］

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

) (

)

［解 説］









［解 説］

















［解 説］

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

［解 説］

(

)

(

)

(

)

(

)

［解 説］

(

)

(

)

［解 説］

［解 説］

［解 説］

［解 説］

［解 説］

\

^

¨

\

^

［解 説］

(

)

(

解答例２次数学セレクション

［解説］

［解説］

［解説］

［解説］

₍

₎

［解説］

［解説］

［解説］

［解説］

［解説］

［解説］

［解説］

_¨

［解説］

［解説］