TR【I Math∈Snatics 12 f1976） ．
ON THE MULTIPLIERS FOR A CLASS OF FUNCrIONS
HOLCmoRPHIC IN THE UNIT DISK Yoshi㎞mi NAKA随IRA ． ．・・ ． 〔Received Apri1 23， 1976〕 馳 1．Introducti㎝ L・tDb・th・unit・di・k｛1．zl＜1｝． L・t P b・an血ber，0・P≦・・． F。r a ho1㎝orphic function f（z）in D， we write ・，（幼・融2π1アひ・’e）1…］1／・・・…c・・ ． M．．（・．ヂ）・㎜・lf〔・・i『）1、 P…， 0＜θ＜2π ・ ・（幼．・話2π・・g＋lf（…’e）1… W・ say th・t th・fulCti・nヂ（z〕b・1㎝9・t・th・・Zas・β，0＜P≦・・， if 〃（r．ア〕＝0〔1〕 asr÷1， P and that f（a〕 1）elOngs to the oZα8● 」ワ o了j『inzctions of bounded chctr，aote？t’stio， if T（r。f）＝0（1） asr→1． 十 if there holds A function f（z）εNis said to belong to the cZctss N ヅπ・・g＋1・（計・・万2‘・grア（・’e〕1… F・rOくPfqく゜°・we hav・ 五゜°』⊂． Hq⊂HP・⊂． N＋．⊂〃． ． and these inclusion relqtions aTe proper（cf．．【1］〕． Let X andヱbe s㎝e linear spaces of c卿1ex sequqnces． Wh㎝Xor垣s a −c・effi・ient・pace・f．a class・f㎞・ti。n・，・．9．日P・t・．，鴫順te s麺1y・・Hp etc． for X oτヱ． Asequ・nce・f・卿1駆n血bers A・｛㌔・．M・㌧・…｝i・ca11己・multiplie「 fb・x・int6ヱ， d㎝・t・d・・A．ε・〔x・ヱ〕・if we hav・｛㌦・。｝・ywh・n・v・r．｛・。｝・x・ ）tUltiplier・f・・the c1お・e・日P『・rπ＋are・t・di・d by・6v・・a1鋤th・r・．．In 51 ．、x』．’一：・ L、 ’ ． 52 Y．NAKA匝】RA二．
値n・…鴨・・⊇C品・㎜・・pli・τ・fb却i・t。 Hp by th・m・th・d・皿…t・
the one in［4］． 2・The．class∬as an F−space The class HP． P≧1， can be c・n・idered as a Bεm・・th・pace with the n・m Iア1，・［話2π1τ（。zθ〕IPde］ 1／P． 〔2） The classe・∬P。0・P・1，・r万＋are n・t㎞・in・paces， b・t・th・y・are c卿1・t・ metric spaces with the distance fullctiohslアーgl鵠垢2πlf♂θ〕一θ・（・（q）1・…・・吟（…）・
or
・（f’・）・、凱2π…（・・1王〔・’e〕一・（・’e〕1−・…（…） respectively． These fmctions are translation invari皿t． Hp・。0・ρ・1，．・nd・N＋ar・㎞。ぬt・b・F−sp㏄es桓th・t・m血。1・gy。f Banadh with the above distances （cf． ［2］， ［3］ and ［4D． d（∫三．g） in〔2．3） is IK）t suitable for the class N 〔cf． ［4］）． In this note， weπill introduce anbthet metric in the class∼9 so that it bectmes a complete ノ metrlc space・ ． 『 mEO剛1・毎輪・Zass， N． whi・h f・iens obvious Zyα’Ztnedr； spacb。 We de−fineαdistan・θ㌦e力伽ゐy
＜ ρ仏・〕＝。：巽、P・〔f’・）・ 万・馳ε百 吊 〔2・4） tahere 噛〕・瓠2π・・g・・』＋1ア（・・‘e）一・〔r・”b）1・… （…’） 1｛hen the oZOβS 1『has theゴ’oZZOW2 n≦7 properties Oτ’αηF−Sρaoe⊃ eccept （iii）： 〔i） ρ（ず三θ〕 ＝ ρ〔f − 9， 0）， ’ （ii〕3塑P…五．ち・N⑳d p〔f・fn）→O・th・n f・・ ・・y ’・・mp’Zex・鋤・・α ρ〔αf・・fn） “O・ ゴ ．（2・5） （iii〕 tlVzere is α」『imetion了（z〕 ε N sueh カ7κ匡力fc）？ any，’oonveコP 7ent oo曜）Ze c， ・鋤…％→・・（・。≠・）・w・㎞・
． ρ（・。f・・D7‘一・・ ． 「 ．（2．6〕
（iv） ∬is σo卿Zθカθzai th「θ5Pθoカカo this栩θカヱ杉c （2．4）．PROOF． Fr㎝the ineq皿1ities ． 1
・。9㌔≦1。9〔1・司≦1。9＋x・1・g2 ＠≧0）， 〆 ／● MULTIPLIERS FOR A CLASS OF FUN〔汀ICNS 53 we see that ρ（∫三9） is finite forプ㌧ ≦7 εN： Using the inequalities 1。9〔1・lx・yD≦1・g（1・1苫D・1・g〔1・M）， ρ（∫三θ） is seen to satisfy the triangle inequality・ ，（f．9〕・・。。ans f（，。ie〕・、（・・ie〕f・r・n… and f・r a…st…θ・ ［0，2π），whi・in・麺1iesτ（a）・9（・），同・1・ Thus ρ（j『」g） is a distance f皿ctエon． It is clear that 〔i） holds． （ii） is obvious if l ct 1≦1． We write lα1 ；m ＋ β， 0≦β ＜ 1 alld m ls all lntege「・ Then we have ・（α了，ατ n〕≦m・〔f・fn）＋P（βf・βfn〕÷°・ （iii）L・t f（・1）・e・Φ｛〔1・・）／（1−・）｝・N・・nd・。→0・輪・f°「any「 ＜1， ・〔・。f’・）≧・。〔・。f’・）・、｝∫1・・g〔鞠〔・・’e）D・・ ≧、？f．；・・9＋1・・。f（・・’e）・ld・
≧鉱［
1−f
1＋r2−2rcosθ
1 ］＋de−log
αη ≧、＋f．1二1［…］．・曝∫1ニニ［・≒一・・gξ… Where［＿］． d・n・tes・m・・〔［…］・0）・lf ・i・tak・n s°that 1／（1−∋・21・g〔1／・・n）・ we have ρ〔Ctnf・ O〕≧芸÷、「≒君ニニd・嬬・
h・nc・ρ〔・。ち0）チ0・㈹S・pP・seρ〔f．，f．）・・お・・m−・恥e exi・t・an⑭e「n・．鋤血t
ρ（fn・fm）・1f・r・・m≧…Then
f。2”・・9’lfn（・・ie）ld・≦…．ifne・）≦…（f…〕 ≦・叩（f．。・・）…＝・f・r．・＞n・・〔2・6〕Since
2πf。
10g（1＋ lfn（・’e〕−f．（e’e）Dd・≦・if。’・fm）…．54 ” Y．NAKAMURA、・ ．： ．；． ．・・； T we d）taill that ．． こ ． ．． ．・ ． ． r f．（・iθ〕一・・g・・』一。・［・，・・〕一 ．・〔・．・）． Fro皿 〔2．6） and 〔2．7〕，by the theoren．of Khilld血e−05trrovski．．．（cf．．［1］）， there is a fUnction了〔呂） ε1y sudh that泊、 ． ：一 ． ． 』． ：．，． ． ． ・『fh（・）÷飼’皿i飴㎝1y・・le鴨ry・di・k・1・1．≦…＜1r…．＿．
・・d f．（・iθ）・f〔・‘e）血鵬…㎝［・，・・）1＾ 『『・−． ・・
For eveエyε＞0， there is a number n。・SUdh that’． ・・ρ（ち・f．〕＜ε f・・…≧…：’「． ・ 』 』
“en， f・r every．r＜1， ∵ 1： ・． ”．
ρrげ。・㌦）＜ε．』f・r．・・rit≧… ． ．』−L・tt血9…・w・g・t f・迦y・＜11ρ。げ。・ガ≒r・h・nce ．：し一”
一．，．．ρ〔王。ρ≦・・ ．． ‘「 −t ’：
曲i・in・｝迫・S血・‘f．ザ・−th・・’th・§pace〃iS・⑳1・t・・．’「．@・．
3． Multiplier for N into∬ρ THEOREM・2・L・t／p b・α・nunzb・ち0・P≦°…．．tTV・e・θ4…．A＝｛駕｝お・m・Z−．励z鋤鋤π鋤・日Pザ碗㎝Z垣了 』
λ・＝°〔exp［’°／㌃D． 、． ．（3・1）プbr⑳ery positive醐nber c． ・
Befbre proof， we mte the following two 垣cts， giyen in ［1］ and ［2］．・°晦g・・y飢）・f了ω…。・1．・N・，・h頭∵ ∵
’1・。1≦・XP［2／th｛↓＋・〔1）｝］・ ．．． 砲ere・i・the c。TiSt・nt giv・h e・中1i・it・1y in t・m・・fτ＠）．・ e＝za〔王），A（∫〕＝1迦T（ちf）． 1 ．． ” ・・r÷1’ ・．‘ ：・’．＝一． ， ・．・ Partic・larly・ifア〔・）＝exp［（・／2）〔1匂／C1．’・）］・th・n A．m＝・／2 ・nd・。 ＝ e）Φ［2〆一㌫一〔1 ＋o〔1〕）］．So， the abσve estimate is best possiblq・ 、 、 2°侮・dy−L’tt1㎝・°d）lf了〔・〕＝￥．・！・〆・°＜・≦い… 1・。1≦・，・・1／P−1・lfl〆 ・ 』：． q｝鰺「eσ垂奄刀@th秩@c°nstant depe輌9°nly°n p・ 一玩・．一．．…
‘』撃o㎜F OF㎜剛2∵．頑・・Sity． L・t。b・’・p・si廊・ntmber’．・P・t』．．・． 『f〔・）・eXP［・2（・・z）／（・一・）］・Σ4〆・〃・ ． L ’．’Then， f・㎝1°． 、 ∵．・．．
・。・eや［・／万（・．．・・（・））］・ ．’ t （3・2） ・fAげ］（・）三’・・．L・！・H？…順・品・・f・q・g・2°． 1・。α。1≦％・1／ρ一11・げ］1，・ （…〕・… 〔3．2） and （3．3〕 give 〔3．1）．． ． ． ttt S・ffi・i・nCy・Thi・is ’・1・6・t・b・i6us…fac・， ifτ（・）・Σ ’・h2n・・元聡CN THE肌TMIERS FOR A（ユ、ASS OF FUNCTI（NS 55 o
have f㎜1
・。・・（・XP【2！’ZSi（1＋・（1〕）】） fbτapositive nu田berσ．〔3．1）sho略tl追t λ。＝o（excp【−4！’5．nT］） h㎝ceΣλ。α。 c・悩・・g・・曲・・血…y・and・げ】（・）b…㎎・t。・°°・・P・吻・e p・e− cisely A［ア］〔9） is c㎝tilnlous on the closed disk l g l≦1． ［1】 【2】 ［3］ ［4］ 一 Priva1σv， 1． 1．：1己ω多d6igenschaften anaZytiseher Fimctionen3 VEB D印tscher Verlag der Wissensdhaften， Ber1血，1956． 1】Um， P． L．：IVieoヱ暫oアHp−8Pαθθ83 Academic Press， New YOrk and Lond㎝， 1970． D凶nford， N． and Sd帷rtz， J．T．：tinearρpθ1砲かクrs3 pcnt」㌦ Interscience Pd）1ischers Inc．， New YoTk， 1964． ＋ Yanagihara， N．：Muユitpliers and linear functic nals for the class N ， 』． Anter． Math． Soc．， 181 （1973）・CHIBA UNIVERSnY
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