N グ でへ
SUR CERTAINS THEOREMES DE J． K． HALE
PARAKIRA ICHINOHE
11yaquelques ann6es， plus de dizaine， Monsieur J． K． Hale a d6velopp6 une、 th60rie sur les osc田ations non 1口16a辻es， laquelle avait 6t6 d6couverte premiere fbis Par des．g60mさtres russes， Messieurs N． N． Bogoliubov， Y． A． Mitropolski etc．［1］． On pourrait voir cette th60rie dans son beau m6mo丘e［3］et son ouvrage bien utile ［4］．Maisうnous avons trouv6 que quelques一皿es des d6monstrations de th60remes， conoernant le systeme presque periodique et la vari6t6 integrale， contiement malheur− eusement certaines erreurs petites， pour lesquelles． on ne pourrait savoir si les th60rさmes memes soient vrais． Dans ce m6mo辻e nous voulons corriger les th60remes et．pエ6三 senter deux ou trois exemples qui s’y rattachent．et nous apParaissent comme contre・ exemples en u皿．sens． 1．Systらmes presque p6riOdiques． Parmi les th60rさlnes que Monsieur Hale a montr6s， nous voulons prendre d’abord run de・㏄ux qui concernent le systeme presque p6riodique． Une fonction vectorieUe b dimension fh丘e∫て’， x）， d6丘nie sur le produit d辻ect de E＝（−oo， oo）et un domaine∠1 dans 1’espace euclidien E” a dimen− sionη， s’appe］］e la fbnction de t presque p6riodique u緬orm6ment par rapportλx， si e皿e est continue dans E×∠t et que， pour le nombre positlf et arbitraireε， on peut chois丘un Ilo血bre L de sorte qu’il existe dans chaque intervalle（a， a十L）au moins un pointτ， qui satisfasse h 1’in6galit6 suivante： ． ：： 11∫（t十τ，x）一∫（t，．x）11＜ε （（’， x）∈E×∠）， le signe ll ｜l repr6sentant un norme quelconque， par exe血ple euchdien． ． ．一． Lorsque nous traitons la stabilit6 de sohitions des’iS’qUations difft…rentielles ordi− naires， nous sQinmes souvent r6duits b prendre le systeme ou bien en forme de。eg qui suit ci−dessous ou en fbrme ressemblante： （1）dx
一ε｛・4x＋x（ちx，γ，z，ε）＋x＊（’，x，ア，るε）｝丞〃
一・ Bγ＋γ（ちx，y，z；ε） ＝CZ十Z（’，．x，γ， Z，ε）， o立x）yet z sont respec tivement des‘みvecteur， m−veCteur・et n−vecteur，4βet・CdeS matrices constantes，εun parametre non−n6gaぼet en outエe X， Y et Z des fbnCtions vectorieHes dont les valeurs pour x＝O，．γ＝O， z＝O s’approchent dC z6ro、 vecteurs ［41］’ 42
A．ICHINOHE
avec le param÷tre．εet， e皿丘n，1a valeur moyelme par rapport為’de X＊ 硫・（t・・x…z・・”’Pcei∼IK・（’…脳）dt est z6ro vecteur． La m6thode pour temp6rer le systさme（1） de maniere que le terme −＊disparaisse，． a 6t6 trouv6e par nombreux 960metres． Id montrons−nous un th6− oreme， que nous obtenons en faisant． des．IetouChesらcebi de Hale． TH直oR主ME 1． SupPosons que le syst白me（1）se soumette， dans un domaine −o◎＜’くo◎， lxll≦」R， 11yll≦1∼， ‖z［1≦1∼ et O＜ε＜eo， bcertaines conditions；ce sont que 1） X， 〕ret Z soient des fbnctions vectorielles conti lues par rapPort b tous les a㎎uments eち． aussi， des fonctions de’presquje p6riodiques uniform6ment par rap− port b．1，enselhble X，アet z pour chaque valeur fiXe du pafametreε， 2） X＊soit nne fbnction de t plesque p6riodiqW u】niform6ment par rapPort a l’ense血ble x， y， z et e， par cons6quent e皿e soit conti皿ue；toutes ses・d6riv6es du premier ordre par rapport b x，アo血zsoient des fbnctions de x，◎ontinues uniform6・ ment par rapPort a l’ense血bleちγ， z etε， 3）1es normes des valeurs pour x＝0，「γ＝O et z＝O de X，γet Z soient bom6s Par un noml）re ・M（ε）， co皿vergeant vers z6ro avec le parametre ε； les fbnctions vectorielles．酩 γet Z aient le no血bre constant lipschitZien par rapPort aux argu一 血entS x，γet z， commun b toutes．les trois， dont la va1輌（ε，ρ，σ，τ）pour ilxll≦ρ， ‖γ‖≦σ， ］lz11≦τ ’ soit une fbnction， conti皿e， monotone et convergeant vers z6ro suivant que tous les クargUments COnvergent Vers ZerO， 4） 1a v’aleur moyenne］妬｛X＊｝soit z6ro vecteur et ’ 5）1es matrices A，βet C n，aient aucune valeur ptop】re dont la partie r6elle soit zξro． On peut trouver alors deux nombrOS el etρ1 de maniらre que， pour chaque valeur’ ε∈（0，ε1），il existe dalls 1（∋domai le −◎O＜’＜O◎， llxll≦ρ1， ‖y‖≦ρ1， Ilzll≦ρ1 une 6t une seule solution presque p6riodique dU systeme（1）． Cette solption converge vers z6ro vecteur unifbrm6ment suivant que le paramもt】e ク e COnVerge VerS ZerO・ Si toutes les valeurs proPres des matrices．4，βet．C ont les・ parties rbelles n6gatives， cette solution est stable assymptotiquement． D’autre part， s’il y avait au moins une valeur prople dont la partie r6e皿e soit positive， cette solution est instable． （70mparaison du t乃eoreme aツec celui de」ffale． ．NOus posons la condition 2） au lieu de ce皿e que Monsieur Hale a adopt6e［4］；la demiere c’est 2う㌧r＊est une． fonCtion de’presque p6dodique uniform白ment par rapport a 1’ense血ble x，．アet z pour chaque valeur丘xe du parametreε；X＊est une fbnction’ s
SUR CERTAINS THEOREMES DE J． K． HALE
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◎ont桓ue des argumen鶴ち．x， y， z et．e． avec toutes ses d白riv6es partielles du premieτ． et se◎ond ordre par rapPort b x，γet z． ． Mais， sous cette ．condition，1a d6monstration de Monsieur Hale serait a㏄u16eム une㎞passe， COmme nOUS le mOntrerOnS ulterieurement． 1）伽oπぷtration du’乃60’加ε． Quant au systeme sans terme x＊， Ia d6monstration de Monsieur Hale est complete． En la poursuivant fidelement， nous devons montrer que le systらme g6n6ral（1）est 1）ien temp6r6 par un changement de variables， de nianiere que Ie syst6me nouveau satisfごsse aux conditions demand6es． Supposons qu’il manque les variablesアet z en systeme（1）， pour la raison meme de la s㎞plicit6， et que．1es signes 2r et X＊ soient remplac6s par∫et g：（・） 警一・伝＋∫（・，・，ε）＋・（・，・，・ル
Comme on le sait bien， la convergence vers z6ro du norme ÷1：＋τ・（・・…）dr suivant que le nombre τcroit vers Pinfh宜， elle est u】niforme par rapPortム1’6nsemblb ち」ヒetε， c’est−2t−d趾e il existe une fonction continue δ（T） qui 1）orne Ia quantit6 ．ci−dessus et conv｛）rge monotonement vers z6ro qvec le nonibre・1／τ［2］． Or nous 血うexpHquons palfois le pr6cis de la d6monstratioh que 1）rievement，−parce que ron pourrait conf6rer les d6tails［3］，［4コ． Si 1’on construit une fbnction vectorieUe 勘（ちx）一∼1．、ε一…一・・9（…，紘． on obtient 1，in6ga丘t6． ll 9v（ちx，ε）ll≦Ta（τ）（1一θ一ηT）−1十TB， β＝sup ll 9（t， x，ε）［1．． Nous notons処1a racine de l，6qua仕on 1一θ一qT＝δ（T）r・p…n・（1＋・）・乃一ζ（・）…輌・11・・？m6・・1・f・・・…n￡駒一…tb・m・・
cette quantit6ζ（η）converge vers z6ro avecη． Ensuite， nous allons r6gUlariZer la fbnction vectork｝11e gv par la convolutibn avec la fbnction vectorielle』∠4（X）， d己丘niePar
（・）・・Aa（・）一o1・ exp［1−（llxrr）丁蒜1：l l”a（−L
Cette convolution w（’，x，ε）＝∠。（x）＊9ヵ（t，x，ε） et ses d6riv6es partieHes par rapPort a x du plemier et second ordre， ell6s sont b・rnbes par une quantit6 G（a）ζ（η）／η，・心le n・血bre G（a）cr・it a rinfini・suivant・que le nombreαs．apProche de z6ro． Ici， pbsonsη＝εet prenons une fonction a＝a。 de maniere que G（a・）Croit si lentement que la quantit6 G（a・）ζ（ε）ConVerge vers Z6rO av㏄Ie parametreε． En mettant．ulle re≦tτiction faible sur le domaine， dans lequel la variable x se pla㏄， selon la n6cessit6，0n peut v6rifieτsans peine que les負）nctions44
．A． ICHINOHE』迦…m・仕⊇・・，・・．海，・・魂・貴伽一9）・・弊・・P・・er・・et・
vecteur ou z6ro matrioes uniformement par売apP6rt・aux arguments z et x suivant que 1ε斑。metre’・cbnW9・鴨・s．26・・． N・us・・em・項u・n・’que ’be． n’啓t p怒v・ai s・us la condition 2’）au五eu de la c6ndition 2）． ．1 ・． ：肖． ・ ． ：1 ・ 1・ ひ． ・・所ﾊchange舐nt d・頑ψ1e．．・．・．．・．，1
．㌧． ．．．． ．．．x−z＋・w（t）z，ε）・＝… ．、・，．．．．一． ．・．
1e・produit血ect E．×｛zHl z【1≦ρ’｝est hom60morphe b． un dom血e d紐sち．x−espqoe． P∼川rCh・qU・val・Ψ．d・p逗㎝加・・∈［0・・’コ・・Ct le・n・杣・e・．ρ’・t・1・・nt c°nvenabl°「 卑・nt・h・i・i・，．・t・le・y・tem・②e・t・tr・n・㊤頂6 e血un n・・Ve・U i y・tem・ti−・伍＋五（・・，・ル ． ・
五一．σ＋碗）−1（・λψ一・w．Az’1＋f・千9一晦）， d・nt 1・・term・・万9・t∫即・6・entg・t・e・p㏄血・鵡・t・le・．fg・・ti・n・yect・・i・U・・∫（t・z ＋・・（t，z）・・）・・（ち・＋・・偏・）・、、・）・｛．1・．m・垣◎血t6・ll est 6vident que缶 terme五（ちz，ε）est une’f（）nctiori’ vectorie皿e’cOntinUe et une fonction deりresque 画・diqtie．． Unif・皿6ment−Ptt・ rapPort b 1’訂■u舐証．z・ P・ur chaque pe6缶val㎝r血e dul parqm6treε・et；e皿：O諏弓，I sa・Valeur PQur 9…＝O cOnVerge’vers z6ro vectqロr q】叫径orm6三． ment suivant que． le param已treεs’apprOChe de z6ro． Ensuite，110us v叫lons montrer que la fbncti・皿鴨Ct・d鋤五（ちz，・）・．le｝n・血b・e c・n・tant Hpsc血友nη（・・ρ）P・Ur ll・Zll＜ρ， C。n血・p艇・pP・茸ム．・etρ．et C。㌣㊤騨蜘er…6r・皿・ant・q・・’・1・u・n・曲琉・etρc・…㎎・nいC・s、蜘， P呼lr加t．．d’6t・歯bn・mb「e c°nstant
晦schitZien， nous devons S亘1）1｝o託r，㌦’Sans Iぽdreda g6h6ra丘t6， que la fonction vecto一雄∫…雌・e・繊．par…ll・Mg・・p͡・…ム鵡P卿・☆・吃）・・͡
unif。㎜6ment衙Sこz6，6・．．頭磁。e suivant qu61d．parametfeε．c・nverge vers zer・，1竃忽鰐㌫聡鷺蕊意竺：1。蒜
竃蕊蕊：離，㌶蕊ご曙瓢跳還
u面o頂6血e皿t’ vers z6ro『ma垣ce ei que lh fbnctioh manicielle＆est bom6e． Ainsi， 1a fbnction veCtorielle．． m1 a le nomt）re const釦t liPschitzien， comlnode．L・m6・hgd・d・．・騨m・n・仕誌・n・．dan・．1e c纏6輌．1㏄・…ier・噸mem・qF・
㏄11e−ci． ’； ．一・．で：・・、、 ’ ． −
N・u・p・・p…n・d・ux・x・mpl・・qUi i・diq・・n・1’㎞P・・fec・b・d・・h6・牟鎚．dr H瓠・・． 趣・興1・，．N…麺・「itt・1’6・・a・i・・’②査伽・n・i。n皿・・心・（t，xラε）噸ち・）・φ6ta・t u・⊇・・ti頑血P血・d・’・t画・di如・b・P6ri・de 4／・et． 、、
，g：est un6 fbnction de：”presqUe p6riodique．−uniform6ment−par fapport a xl pout一SUR CERTAINS 1．TH重OR亘MES． DE J． K． HALE 45 d血que valeur fiXe．・du paramさtreεet e皿e est．cont輌nue；en outre sa． vale町moye皿C ハ4t｛g（’， x，ε）｝est z｛託o． On pou尤rait lremarquer．que le supremumβ・de la valeur abso㎞e de g Pour lxl≦ρ．est sup6rieur bρ／εP−1． Cette fbnction g satisfait 2t la condi− 60n 2’）1・．．maiS paS h．1a COpditiOn 2）．．．．On VOit aiS6mqnt ’que la ValeUr mOyeIme de la f・…i・n・dan・1・in・erv・lle（0，T）・・u・・T＝・（・＋丁）／・・…僻e…一・eq…ち on pOurrait prendre．ﾂ（T）＝．ρ／Teρ pour lxl≦ρ、； la． r4ci血e Tn de l’6quation 1一ε一ηT 一δ（T）・・t・upe・i・p・e aρ1ερ．et la quantit6ζ（η）一（B＋1）il T，・est sup6「i・u・e・a・OPρ21ε2P−1・． Alors，−Ia quantit6 εG（a。）ζ（η）／η、． cζoit a 1’infini．・・POur・，n’i血porte quel cho釦ぷde la s6rie aε， convergeant verS z6ro av㏄ ε． Ainsi， nOus．il鰺 pourrions montrer k｝fait demand6 que la f・n（ni・n・w（t， x，．．・）d6crOiSse・ h’−z6r・．isuivant que le parametre・
s’approche de z6ro． ． ’f
い斑M肌E2・N・u・P・e・9・S・乎…el’eq・ati・n．（2）adm…i・n u・・S・pP…n・．qq・ 1・．f6・dti・・9（ちx）・St・pair・斑・apP・rt・a． t・t d6舳・d・la・m・nie・g・uiva・t・・S・乎 、− 煤D．．．．．．． ・〒2’〔2ぜ＋…＋2s・（0≦P＜q＜…＜ぷ）．．＿．．∵［ kジd6ヤeloうpe苗bnt bintiire du n6mbre naturel et soit『 ・（・・）一o！c°誓X＋c° 3／12x＋’”＋c°：雲X）sm2π’蒜1ξ1：1：1
（）ett・f…ti・P’1 g：Sati・垣t a la c・nditi・n？’）；P・u・・le，・n・mピP・・gtif 6 a「bit「ai「e ・・｛s1o・enも・…fi・・nib−at・・el・k・・9r・nd・que・1・・晦・…Σ÷＜・・…abli…1・・s iik 、d・a（gn dgsl P・mbresノ・2鳶（ノー±1プ±2・・…）serq le ptesqug． pe「i・de asS・ci6、au p・m− breδ；en effet， on obtient l’in69alit6 co．．
D 1・（’＋j”・りT・ω1＜Σc°皇2κ・・…’＜・， ’
‘＝み p・・㏄q・・1・・d師1・pP・㎜・t・d・d…n・励㏄・n・t・rel・〃・t耐’2k c・i・・ide・t l’un Ct l’・utre・auf 1・ur・．t・・m・・au m・i・r K’“me（Kl−’〃＋1）・・t l’・n・n測1’9頭・nce d’… ・6血：d・S preSqu・p6d・d・・，「d1・輌mεht也・・e dg・1’i・tervalle（一。。・。。）［2コ；1・ gontinuit6 des fbnctions＆et＆ズest conduite faCilement． D’autre part， la foncli6n 9・・．Eati・fait P・・al…nqiti・n 2）， pui・qu・，1・diffe・ence・9・（’， x）−9・（’， x’）ne c・nv・・9・ P・・ P’・if・rmem・nt p・・瑚P・rt a 1’・ gUm・n口・vec 1・蝉・ende x−F’・ぽ乞輌 0血．「uoit ais6ment．que，6ien que la fbnctionεwξconverge vers z6r6 unifomm6mept P訂即P・頑1’・n・e．mble’9．9 z r甑nt・qU・．le P・・amet・e・s’apP・°dle de z6「ρ・1a fbnction い ． ．． ．． ．’ ＆｛寧ヅ・）一・（’，・）＋・・（’，畑二∼ム、（・一・’xgz（i・・’∼一苗（ち・泌’ ne converge pas vers z6ro uniform6ment par rapPort a la variable t et， par cons6quent， ．．D∵’』
諱@☆三（ちz＋εw）−Wt（t， z，ε）｝ 1
ne，cOnyerge pas t血ifOr皿ξ…me車t． au皇si． Le nOmbre cO皿stant lipsChitZien de la fbn（∼tion、 46
A．rCHINOHE ．
fi〈’t， zジε）par rapPort b 1”argument z，．il．d6pe且d bien de la variable t， eピ㏄￡…血 me血e Cl6trUirait la．validit6 du th60rdme de Hale． 2．IVari6t6S緬6gra題x． NouS．−Veiilons enSU鮪e tr磁er lrexiStence de Vari6t6 ii誕6・ grale．et sa stabi血t6ずun systeme perturbatOire 、 （4）裟．一・㈱（ちθ・・・…）
警一砿・＋・万’，・，・，y，，の 裂づ＋Y（ち・，．・c，・，．・）， o白θ，x．etγsont des vecteursらd口nension resp㏄tivement k，〃1 et〃， C￠t ∠4 des matrices constantes，εun parametre non n6gatif et en outre＠， X et Y sont des f（）nctio皿s vectorielles multi−P6riodiques b p6riodeω＝（ω1，…，ω鳶）par rapPortらrargu’ mentθ， c’est−b−dire 1’identit6 en forme de の ＠（t，θ1，…，θi十ωゴ，‥・，x， y，β）＝＠（’，θ1，…，θj，…， x，ア， q） （ノ＝1，…， k） s，6tablit pourθ， X et ｝二 Nous］ほoposons魏e THEoR“EME ’2． Supposons que le systeme（4）soit d6fini dans un domaine Σ。，R’一｛（’，θ， x，ア）lt∈E，θ∈E旙，．ll x’II＜瓦llアll＜R’｝， d．（e）soit］u皿e fbnctio皿vectorielle co皿血ue du parqmらtreε∈1［q，￡o］et且satis白sse aux co皿ditions suivantes： 1）θ，Xet Y soient continues dansΣR， R・×［0，εo］et multi・pεriodiques㎝sens ci−dessus， 2） les normes des valeurs pour．x＝・O etγ＝O des fbnctions vectorie皿esθ， X， et． Ysoient born6s par une fbnCtion Con命ue M（ε） qui Converge vers z6ro avec le spar・ametr．eε， 3） 1a．fonCtiOn vecto亘elle、θ soit 且ps（）hitzienne p．ar rapport b θ et a rensc鋤）缶．苫 et y；ses・．nombres constan・ts晦sch社ziensη（ε，・o， ＃）parエapPo雄創u pre画er et雄，ら．か par エapport au second dans Σa．，μ soient des fbn匂t⑩ns continues，皿onoto皿e皿鋤、 ．croissant et convergeant vers z6ro suivant que tous les arguments s，approchent dP zero；k器fbncti㎝s yector矧1es X etγaient aussi， dansΣc，μ，］es皿o血bres．lcQmstqnt．s HP．Sd血ZienSλ（ε。4，、μ）etδ、（ε， a，μ）， qUi a迄虹工a meme prOpri6t6 qUe｛潟Ue血（liqUec Ot−dessus， ． 4） pour tout nombre positif c on obtient les egalit6s infhlit6shnales η（ε，cル（（ε）， cM（ε））−o（ε） （ε→0） γ（e，cルt（e），￠M（ε））・X（ε， eM（ε）， cハぜ（6））＝0（e） ． （ε→0），・ et． ・ 1 5）aucune valeur propre des matrices／4 et C n，ait partie r6elle z6ro． Sous oes conditions irexistent un nombre positifε1 et deux fbnctions∫（t，θ，ε） et 8（t，θ， ε），−continues・sur里e dom㎞・E×Ekx［O， e｛］， multi−P6riodiques証P61iodeSUR CERTAINS TH重OR主MES DE J． K． HALE
47 ωpar rapport i l’argum凱tθ， bom6es par un nombre constant et ayant．k膓nombre constant血pschitzien par rapPortλ rargument θ， qui converge yers z6ro avec le n・血b・eci’dessu・ ・uivant que le pa・amとぬ・s’apPr・che de ・6rA・r de s・宜・qu・・P・ur chaque valeur deε∈［0，ε1］， la vari6t6 ＆一｛（ちθ，x，ア）lx・−f（t，θ，ε）etアー9（ちθiε）｝ soit une vari6t6 int6grale h d㎞ension k十1． Pour obte血des solutions sur（；ette vari6t6 i皿tξ9rale on． n’a qu’b r6Soudre l’6qua− tion differentielle b dimension k de ＝d（ε）十＠（’。θ，∫（τ，θ，ε），9（らθ，ε），ε） （5） 〃 sous la condition hlitialeθ（’o）＝θo（ia vak膓urθ06ta皿t arbitraire） et λ substituer la solution ainsi obtenue dans les fbrmes tt x＝∫（t，θ，ε） et γ＝（’，θ，ε）， α〃卿raison血τ尼oτ迦θαyεεcε妬凌疏品． Mo酪ieur Hakハapos61a cond鯉ion ’： 4’）on obtkハnne des 6ga正it6S in丘nit6Simales η（ε， 0， 0）＝o（ε）， γ（ε， 0， 0）〒o（ε） et λ（0， σ， μ）＝o（σ十μ）・ Mais， sous cette condition， la d6monstration du th60reme serait acculee b une㎞一 ． passe auss1． D加oπぷ〃ation． Nous allons donner la d6monstration breve．pour 6cla丘er le point p血cipa1， lequel Monsieur Hale a adopt6． Sans perdre la g6n6ralit60n peut supposer que les matfices C eし4 aient la fbrme（・） C−（C＋C．）・・A−（A＋⊥）
et les parties r6elles des valeurs propres des matrices C＋et．4＋soient positives et ㏄11es des matrices C＿et．4＿soient n6gatives． Prenons une famille des fbnctiolls v㏄tofielles a dimension m， continues dans E×E鳶et multi−p6riodiques b p6riodeω par rapPort a l，augumentθ Cm（1），∠）＝｛F（’，θ）l llFll≦D， HF（’，θ）−F（’，θ7）ll≦∠111θ一θ’ll｝ et une autre famille Cn（Z），∠）semblablement d6丘nie． Pour les fbnctions vectorieUes Fet G apPartenant b Cm（1），4）et為（：s（1），・∠O resp㏄tivement，1’6（1uation ditf6rentielle de ＝4（ε）十＠｝（t， θ，F（t，θ）， G（’， fi）， ε） 〃 aIa pro頭6t6 que， sa fb頂ule（iroite est bornbe par lld（ε）1十M十2γ（ε，1），1））1）et e皿e．＝@nomble constant lipschitZien L＝η（ε， D，．D）十2γ（ε， D， D）d et，らcause de cela， la solutionθωsous la conditionθ（to）一θo est d6terminbe uniquement et satisfait哀 1’in6galit6 1｜θ（to十司一6（喬）11≦（ild（S）ll十M十2rA）・レーte・し ・ ．． ・ otいM etγ1epr6sen民nt re惑pectivelnent 缶s．quantit6s ハイ（ε）etγ（ε， D，1））． Parei皿e abr6Viatien sera souvent uti且s6e dor6navant． Nous posons la valeur pour t・＝t。＋u グde oette solutidn sous la forme TF， G（u，’o，θo）． Evidemment la fonCtion vectorielic48 ． 』肖、：∴’、．こ．．L』AボICHIN−OHE ： Th；已est mUltirP6riodique．毒．、P6riOdeω．．par．．rapPort． a．1，紅gu熊nt．．θo・Ensuite， nous c6nstruisQnS．・deux． fonctiQns．．・ vectorie皿es des argUments・’ et．θ，・multi】P6riodiques ら
P垣ode・ω・par・．rapPort aui．derhier；eUes、−sont ． ・・．・ ．一
・・F・・（’・の〒r∼ン（畔（u＋・．写・（㌶．・∼・ぞ（〃＋・・．亘・（〃・’・・））・’T’ G（u十’， 乃，G（u，’，θ）），ε）du， ．、、．． ． ．・ ．・・…（・・の一・！二．．・・（pt） Y（嚇願・・’・・）・F（・＋嬬・・（・・’・・））・ ． ． G（u十’， TF，，G（〃， t，θ）），ε）吻，． ．・ ．− o立1es matrices Jc et㌔み’1sght J㏄kernels de LiapounoV：．．≡．−」b（t）一（−9−C埼P・齢・…J・（・）’T（；。・C9・・ur’＜・∴l
Choisissons deux nombres．ConSta嘩sαetβde maniere．q［促1es eStimations． 一 ．． ＼ ．、 ．‖晃（ご）1≦βE二altl，． llJ【A（’）1｜≦β♂∼81まl rCste耳t．vaHdeS．e1．posOnS K『2βノ4−， alors pous．．obtenons．互eS gelations ll SIF，cH， ｜lS2F，GH≦K｛・M（ε）十2δ（ε，．．1），」））1）｝・． ．．・ ．’・，・・−ll・’−i，’c（’・・θ）二S・・；af’・一θ’）［1≦2ε讐響）ll・二・qい’ et …1・・F，・（t，θ）−s2F，G（t，θ’）｜1≦2β讐δ∠）1・一・’llジ’。h t。fiant”、b㎎t6 d・塊趣ピ’．「・．． ．』 −
llτ・．趣，’，の一T・i・（・，”，θ’）ll≦llθ二θ！｜1〆国； hous．lemarquons que，・parmi cθs托1ations，’1a’ deuxieme et．Ia troisi畑e seraient valides pouvu que l，in6ga血t6 「．』 ． ： ’ ． 、 ひ 4 （a） L±η（ε，．D，1））十2γ（ε， D，1））4＜εa ・’6励li・・e・Et，・n・git q魎S飴畝i・n・v㏄t・ri・lle・51・．C吐32・・．・ ．’・pP・ptie・d・・nt a皿￡㎞班・・．（≒（D，4）etG（P，．∠）Fe・P・Ctiy・me・t・・i．1es d・皿q・・titiie・D・t∠・・nt． ．lestreintes par les in6galitbes、 （b） ．・ ・． ． ．一．：二K（∼しf十2∼＄1））≦1）（・）’
@裟≦…彗、鵠≦4鐸袈望 ． ’
．av㏄（a）．．Nous examindns id， si｝en pa岳Ule drc6nstan㏄，1a transformationダde r邸a㏄banachien（7・＊．．〈≒en lロi二m晦e：・．＝冒1∵‘・ ニー．．一一．．、．，㌶’．・．．．・ぞ（ち⑦r（S㌔…S2・・∂． ． ． ．麺頗卿卿rlρ・・qge旦？r・n・砕．n・・mg．〃・d・1’espace（7m×C・c°㎜r
興・i・山＿，．、．．．∵、、・ ，
，〃（F，G）−sup lF（らのll’＋『sup lG（’，の1．． ．t．θ ちθ ． 1t ・一一 Nous savo皿s que la． difR…喪nCe［：de de㎎fbnctionβ』vec⑩塵皿es． ＼∴、θω一乃，・⑫，1向，θ・）：．et． ef（t） F T．’，．＠，’・，一θ・）』＠＝’・＋か： est bo：nξe par．γv（F−、E｛， GrG’）．（ePl11−1）！L ム 1’喬gard de．son norme， en tenant ．c，ompte 《1e 1，i116ga】Ut6 、 ．． ．．一．． ．． 、、 ．． ∫． ．・ ’ ．一：・．ク ベ
SUR CERTAINS・THEO翼EMES DE J． K． HALE
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昔llθ一・’ll≦γ〃（F−F’， G−Gう＋・1・一・｛l et que cela conduit les relations．． ll s・ 一…’・・1≦［（λ綴γα，望三、，、ナ司〃僻・G−G・）1・・一…’・・1≦［（袈裟γα一多≧、rA＋K・］〃囲G一の・
Aussi・19 t・孤・f・・m・ti・n・ダ．記・a C・nt・a命・i 1’9・p・ut・qj・・t・；・1・rest・i・ti・n・Uiv・m・・ ’（・） （λ＋2δA〕η＋2r4）γ［。，三，竺、rA＋α一ft、，、］＋・K6＜ビ o…il’・n．・prend・d・ux・・坤㏄・p・・i・if・・K・． e・K・・励i・dr・・mais ・uberi・u・s a・卿一 bre、K．et que』ron pose 『D・＝K・M（・）斑4≒K・z（・ジK・M（c），’K・M（・））， ・1・・st・ut・・．P・S i噸且t6・・ω一（d）睡nt・akd・・p・u・ 1・ val・Ur’d・． e c・n・・nable− ment petite， h cause de 1’hypothbSe 4）． Nous posons le pohlt 6xe de la transfbrma−tionダcOmme㏄qui suit：・’
@ ． ． ．．
（∫＠，θ，ε），9（’，．θ，ε））； il est ce que皿ous avons「 魔盾浮撃普@chercher． Quant引a partie de la d6monstration，1aiss6e b faire，．on devrait conf6rer le m6−mo丘e de Monsieur Hale［3］二 ． 、 ’
rexemple suivant est un de ceux qUi montrent aussi que le th60reme soit imparfait sous la condition 4’）．’ ．． EXEMPLE 3． Soit 雲一（醐・り・ip・2θ・＜〆1＜・，・＜・＜1＜・ dx ．：，㌔ ＝εCX十εs＋1COS’θ ク＋’』ぷ×1，0＜c 〃 un systeineらd㎞e血sio壼deux， o口rsoit Un ngmbre口tionel qUi ait le d6norninateur ． mlpa宜・ On peut poser ルt（ε）＝εs，．η（ε， の＝2（εPσr十εり， γ（ε， の＝’εクσ’−1， λ（ε，の＝εポet δ（ε・の＝0・Ce system’e satisfait．査．−li colldition 4’）que‘カ（ε，旬＝ρ￠），γ（ε， q）＝o（ε）et λ（°・の＝・（の・ユ輌・e・part・P⊇・9・・di・i・・伽卿・η（…∼頃・））−2鍵s’＋・り n，est pas i皿丘nit6Sl麺…江b’iの・ 一 吟 ． ：． 』．． Nous montrons que la tralisf（）rm就ionダn，est pas contractive． Prenons une fb皿c− tion appartenant a la’fami皿e（「（P，．∠t）・（ng1｝S Iemplagons le Signeρpar C）， identique− ment cOnstante F＝σ（＜D）et construisons la fbnction T』（τ，のen r6solvant 1’6quation diffるrpntielle、 一． ． ． ： −・． ’． 』 ． ． ・ ．’ ・’−袈一（蝸とり・m2θ一9・…θ ”ヒ 『−
sous la condition initialeθ（’o），F’eo． pUiSqUe nOUs obtenons la sohltion θ（0＝arctan （6v｛‘一’o）tanθo）・ngus devons poser To（μiち θ）＝arctan、（φη9 tanθ）．et nous−obtenonS50
A．ICHINOHE
Sa（’・の≒・∫1（一’…）x（T・（u・’・・）・・）du −一・…ll・−V1＋。、i。tan，θ吻 ．1 et puis， eh posantξ＝e2η“etτ⊂tanθ， 一一蒜llV1＋。，9，・・ec…d9・ Pour que la fbnction＆appaエtienne h la famille C（1），∠），1e nombre 1）doit etre identique ou supξaieur b εs／c， comne la valeur absolue． de ＆pourσ＝Oetθ＝Oest es^c． D’autre part， pour que la trallsfbrmationダsoit Cohtractive，． il est n6cessaire que la d6riv6 partie皿e de＆par rapport au paramもtreσsoit born6e par un nom− bre c・nstant k inf6rieur a un・P・ur estimer cette d6riv6 nouS prenons la valeur particUliere・θ＝π／4，1a raison de quoi est que nous vouHons obten辻Ie r6sultat negatif． E皿r6a五t6， nouS voyolls que ￡＆（ πt’ス「）……＋・♂一・［÷llM1＋9，・・ 姥一券llM1葦多・一姥］ et， quant aux hlt6graux de la』demiere fbrmule，五1a premiere et I2 la seconde， nous obtenons les in6gant6s ・・〉±ll．侮多、 一，・窪…。，・ ・2＜券ll諸夢・，・1・・d9−，震6・・ Id， nous’posonsσ＝ερ（ρ＞s）；comme D≧εs／c， la fonction constante F＝σapP頗ient bla famille C（D，4）si le parametreεest petit． Ensuite， si Ie nolhbreρsubit la restriction ・ 、 「， ．s＜・＜1三”， gn．obtient les Idations pour la． valeur petite du parametre ε 2ερ＋P「＜η（ε，ερ）＜4ερ＋ρ7， et puls 五〉，・嘉，〉、、，．pr（Vlz4ερ＋P「十εc）＞12，、i＿、 ・2＜，1鑑・＜、，， 繧睾、，。），＜n，￡．pr、一、・ Cela condu並1’in6galit6 ￡＆（ ．π．t・万）＿ρ〉吉・・＋・一・一・・・…l qUi indique que son terme gauche eroit a 1，in丘ni s1亘vant que le param加eεcon−・・rge…szer…il・n・m・・e…ap・an・…鋤・・us−』alle・・（・・1ヲP）
（ぷ‡：三〃・1ヲり・ Nous savons．?獅Un que la transf（）rrnation．ダh・est pas COntractive．SUR CERTAINS TH重OR主MES bE J． K． HALE
5．r 3． Stabilit6 des▼ari6t6s int6gradx．』Apropos de la stabi匠t6 des vari6t6s int6− 9r・ux n・gs av・n・1・th6・・迦・・uivant・d・nt 1・dem・n・t・航i・n la白6伍t・P・r M・n・ sieur Hale， bien entendu sous la cond輌tion 4’） au lieu de 4）， incomp1翫ement sur quelque part［3］；． nous donnerons la d6monstration complらte a une part fa．cne pres．、 TH孟oREME 3． SupPosons que le systもme（4）satisfasse b toutes les conditions dul Th60rさme 2． Soitぷ1．la dimension de la somme directe des espaces Propres eri sens g6n6ralis6， ass㏄i6s aux valeurs propres de la matrice C， les parties r6elles desquelles soient n6gative§’ ?煤@soitぷ2 celle par rapport h la matrice A． Et soient∫et g les fbnctions v㏄torielles traitbes dans le Th60reme 2． 11existent alors des nombres positifsε2，κ， c，σo etσ1 qUi satisfont b−la condition suivante：pour dlaque valeur du parametreε∈（0，ε2）et pour les Valeurs arbitraires to etθo de variables’etθ， on peut const油e les vari6t6s」駈（to，θo，ε）etハ（2（’o，θo，ε）9 hdimensionぷ1 etぷ2， contenues dans les vari6t6s S．（ao）一｛xlX∈E蛎」1同｜≦σ。｝et s。（σ。）一｛ル∈E・， llγll≦σ。｝ respectivement， sur lesquelles on fasse la proposition suivante． Soit（θ（’）， x（t），夕（’））1a solution du syst迦e（4）pour’≧to sous la condition ini− tiale θ（’o）＝θo， x（’o）＝xo， et Jイto）＝γo． Les points∫（to，θo，ε）et g（’o，θo，ε）se pla㏄nt sur k鵬s vari6t6s M，（to，θo，ε）et M，（’o・θo・ε）resp㏄tivement；si le Point（xo，γo）apPa1tient b la vari6t6 S．（σo）×Sh（σo） 一ハ41×M2（o立・晒et M， sont nature皿ement les signes abr696s）， alors dans quelque instant le point（x（t）， y（t））fUit hors de la vari6t6ふ（σ1）×Sπ（の）；si le point（xo易ノo）， au contraire， se place sur−」Vi×M，， alorS le point （x（t＞， IY（t）） s’apP；oche de telnPs en temps de la vari6t6 int6grale Se ou， en d6tail， on obtient 1’in6galit6 pourξ≧’o （7） llx（’）一∫（’，θ（1う，ε）｜1十llツ（t）−8・（’，θ（’），ε）ll ≦ce一ε「c｛t−’0）｛11XO−∫（to，θ0，ε）［1十‖γ0−9（to，θ0，．ε）ll｝．． Nous remettons la d6monstration de ce th60reine， oc6upant beaucoup de placeラa un peu plus tard et proposops le TH亘OR主ME 4． （8） Soit ’ 裟一・（・）＋＠（’，・，x，・，・）＋・e・（・・，x，・，・） 篇一・Cx＋・x（・，・， x，・y，・）＋・・x・（’，・，・，・，・） 砦一・＋r（’，・，・，・，・） un systeme pertufbato辻e， qui remplisse toutes les conditions du Th60reme 2， con・ cernant b∂（ε），（㌧ノ1，θ，−et Y et， en outre， les conditions suivantes：・ ’・） d｛・）一（；）＋h（・）・ll・h（・）ll−・（・）（と→・）， o血1e sygne 1． ou O repr6sente le p−v㏄teur ou（k−P）−vecteur， dont chaqUe coinpOSant5？L ． ・．．1．．・． A．ICHINOHE ．・ soit un OU Z6ro， ・：7）lon 1`isse prendre Une』majora血te Mそε）de mahiere qde r6gant6：’ihfihit6Simalg． ε＝o（M（ε））．s’6tab血＄se；’§ans『d6tr血e la vaHdit6 de．．1a cOndition 4），・ ．一 ㌃．「〉 ’．W）：・1eS・fbぴctiOns VectO】rieHes「．θ＊．et 2r＊et『1e口fs d6riv6es．part缶Ues d？，6fdre’ptもniiei・’ par・’irapPO】佗査二θダx・・etジSo姪nt． botndeS et．cδntinues・unifdt血6me㎡：B…雄 fal）po註．’・／i’1． tgP・le・紅͡亘飴r．・lles．・Clr亘｛・P，・Ψe興IU’画6diq・C・4．Pe・igd・．・エ、・apP；比’．
41’．ll訂麺旦．．．∫ 『．．．「・．．．． 、．．．．．． ．．、．∵。
，lr）1．、興．㊨s、．．． ．＝．．ビ．＼．． 一．『乱．．．．．べ∫・．．．・∫．鴇，1・．＿：Tllθ・（’＋ちφ＋・…s・γ…泌．・．・・一．・・一．．・．『
et 』ヒ ！ 「． ・ ． ． ’ ．．．『． ．』． 1 「、「： ÷！1．・（・＋・，φ＋・…x・…泌．∵、．．．1 −・・9・g・・t．…S・611・．Vec麺・・飾m・6m・nt−P頑apP・・t a皿、卿鵬叫・．ちφ・3・．エ・、 γet e s血ant que le n・血b㏄τ．crgis撃、a．1’輌， o血．缶s signesφet尋㏄p矯nte就l re・pecti・・m・nt・，dg・．P’ 9t（k：抄・ecteur・et．1・卿rφ＋・1・v臨田・d・nt le・c・mpO−SantS SOientφ・＋τ，…，φP＋τ・ ． ． 『・ ．．．
On・P・ut・10・s p・斑伽u亘・hqp｛・鵬斑・d・．vari・bles・d・m・niere qu・．le・y・t迦e 仕ansfbm6 satisfらsse b toutCs les cgnditions dU Th60reme 2；par cons6quent，1㏄ 己・u騨・．dr・．Th6・・emp．S ，2．βt 3・eSt・4t・・且d…． ・、：． ．一．．．，・D加・疏励泌編吻ε．ぶ迦s：dWns−la』d6m6・・t・加i・n・n呼即館ie・二
（1）．：S・pP・・dp・．．q・e缶S吊m娠㎝ヒρCtオ麺t l・飴mC（6）・・ti・le・d・grdS・d・．《：一’ e仁4＿sok｝nt托spec6vement∫1 etぷ2． SOit（θ（t），・．x（t），ッω）1me・sdutiOn．． du sySteme（4），． d6丘nie sur l，intewalle［ンo， oo）et−’c6ntenue dans Eゐ×Sm（R）×」R潟（R’）．’ Cetfe Soluti61匿． 民mplhi r6quation血t69ro−diff6rentielle 》 ’ ．． ・ ．‘ ．L （9） p咀’≧向．Comme les’fonctions x（t） et y（’）sont bornbes， sous le signe fb】mules ci−dessus sont bor皿6S；cela signi丘e que lbs V㏄teu『s b， et b2 bnt l （1の ：・・一（：）…一ほ）一’（β・とE・・；．β・と画∴−．＾．． Prenons un皿olnb工e co皿stant」（o，「恥p民D蛎皿nρ励．C・nstant P・P・sitif maiS C・nVe頑1e？、
k膓cas llβ、ll≦P et．、 tion， contenue dans le domaine、Ek×Sh（D（ε））XSn（D（ε））， so堅 arbitraireθ（τo）＝θo． Nous ddevonS mla血tenant．le ’vet近ier．．ヒ． 。Spit・iS’e．1a famiHe des e珂］sembks・−des fonctiOns． yectOrielles continueS 袈一tt（・）＋卿，T?cε）．、．1．∵『．「二．
・（‘）・・llゐ（・（・r’））x（r・・（・）・・（・∼，ツ（r）・・油＋克（r（’・一’））・・ メ’）一！r，・A（・一’）γ（…ω・・ω・メ・）・・）工（’・一’）・・ ’ 1es・valeurs de d’㎞t垣娠￠t・，興s亘t・・、缶・．t・・鵬・．d・輌・・de−．． Xe仁r s㏄ondb et troisieme afbrme sup6rieUr・au no励re K／2、 et poSons 1）（ε）r1【bM〔ε）◆ on 】P∋11t ミoutellir・．dk〕』I STI llβ・ll≦P qug le． Systeme（？）qveq（10）垣t・鵬et une seule solur Ia cond註ion in血iakら （θ（’），x（」ウジグ ’ s■ ’ SUR（取TAINS T正IEORJIMES I肥」． K． HAI』E ．53 メ’））・q・i・ubissent・la．：t・・t・i・ti・n『 P同巨≦D（ε）’碇］1ア1≦ρ（・）・D緬ss・n・1・t・an・fb・血a− tionτ 、 、、．：・．・− 1・∫1．．：．．1．．．1 ．∴．．・一二．．・’1．．．・∵．一
。。＿eceq面、Ui、，・一τ｛9（！）ill（’1輿1＝｛θ≧1少や（！竺一
・・ω一・・＋1：叉（・）＋θ侮・ω・メ担・）・・）担・’、 ”
・・ω一・ll，lc（・（・一・）x（三1・・（・∼・・（・）・・（・）；r）頃痴ζ・（’6−’））（：） 二 ・・ω一1：，’A（τ一’）．．】r（τ， θ（τ），・x（τ）・ンぼε）輌（・・一・）（屋、）・ ’： P・町1’・n糎mb1・（θ…yl．・pP・覚…血．a l・fq緬・X・・n・btie・d・a』・i・eg・lite．s l［・・（・）・ll＜・多（M＋2δD（・））＋βllβ・ll ll・・ωll＜三（M＋・・D（・））＋βllβ・1 oti les signes M et 6 reprdSente皿t respectivement M（ε）etδ（ε， D（ε）， D（ε））comme llous qvons pr6c6de㎜ent 1’employe’・Si 1’on pre旦ait auこpr6alable le no血bre P inf洛 迦一・噸（K・−5）／β・P・・ ・Xgm・le・一（K・三5）／・β・・・・・・・…1’・・e・・li・・ 三、（M＋2δD（・））＋β1β・【1≦D（・）．（・1・2）・ q・i・ig唖qu・τ・・t u・・t・an・fbm蜘n de r・・p・ce・・s・en 1Ui−mein・・o・・n・u・d・v・n・ d6丘血1e nor卿fi de 1，espa㏄‘Xe poUr． r6tissir i montrer que la transfbnnation r deviendra contraCtivg． Mais，㏄la n’est qu’un emploi de circonstance． P噺ons un no血bre X apPartenant b 1’intervalle（0，4）pqr gxemple X一α／2， et posons ；（θω，x（t），γω）一αsup llθωθ一・・｛t−t・）1‘ ＋b｛lsup ll x（t）e−・・（ま一㌔）1＋sup l巨（t）e−・x｛H・）1［｝一， en prenant deux nombres positifs a et b， lesquels． nous d6fi血ons plus tard． Soient （θ1，’xl，、γ1）就 （θ1’， x1’， y1’）kハs ilnages de deuX．6k…ments （θ， x， y）et（θ’， x’，γ’） de 1，espace banachien par la transfbrmationτ；et．soient 4θ，∠θ1，．…et∠θ，…16s 《liffG…rencesθ一θ’，θ1rθ1’，・’・・et（θ一θ’）e一ε＝（t→・｝etc． Par un，calcul bref on obtiendra les in6gaHt6s l蜘1＜，｝（…pllZ・1＋…pl蜘＋・・up剛）， 1蜘k。誓，（・…llZ・ll＋・・upllZ・ll＋・・up・1）・Zy”）・− 1み・1＜。竺、（・・upllZ・｜1＋・・upl蜘＋S・upl剛），
・μ・…⑭・）＜（ll，7a＋票り・叩｜吻 ＋（エ．α十4βδbεx 」α一．駕・）（s・pllみ1＋・up剛） et， Par cons6quent，1’in6galit6 d6sir白∋ ． ． ．∵54
A．ICHINOHE
． ． P（4θ1，∠tXl，4ジ1）＜q・フ（∠1θ，「］x，4｝り （q＜1）， s輌1’on peut pre皿dre les nombres a et b qui subissent la restrictio皿一i？ta＋農・＜a，乏・＋雲・＜・，
c，est−h−dire ・ 訣一α竺，・）−1＜会く（1＿η εx）（。讐，・）−1・ −Parce que les quantit6sγλ／ε，ηノεetδsont j血finit6simales ＝・ o（1）tous， on peut chois辻 Ies nombresぴet b de teHe maniere que ron y s’attende． Ainsi， Ia． contractivit6 de la ’ transformation T assure 1’existence de la solution en questio皿et son unicit6． （II）Nous voulons construire les vari6t6s Ml（to，θo，ε）et M2（’o，θo，ε）que le th60reme demande． Soit TF， G（〃， t，θ）㏄qui eSt consid6r6 dans le th60reme pr6− c6dent， F et G 6tant naturellemeIlt des 616ments de la famille（7m（Z），∠）et de C．（D， A）． Prenons deux fonctions vectorie皿es UF，cβi et UF， Gβ i， dξfinies sur le produit［’o， oo）×Ekcomme ce qUi sUit： “
UF・…（・・の一・∼t。」c（・（r−・）・趾・T・，・（r−’…の・F（…T・，・（r−’，’，・）），． G（r・磁一’・・の）寅・＋Jc（・（’・一・）（8，）酬・・）−llみ⑭櫛・“一…）諏ぽ一’・’・・））・
G（t，TF， G（τ一t，））｝d・＋」A（’・一・（8，）・ ．Nous devons d6montrer que sous le norme〃la transfbrmationダβ： ・ 」多多一β（F， G）＝（UF， Gβ1， UF， Gβ2） est une contraction de 1，espa㏄（Jm（1），『∠）×（］n（D，∠）ell lui−meme， si nous prenons convenablement les nombres 1），∠，σetε1， parmi lesquels・1es trois premiers dependent du paramらtre ε， et que nous restreignons les valeurs des vecteurs β、 etβ2 et le parametreεpar les in6galit6s Ilβ・‖， Hβ211≦σ et O≦ε≦ε、． Pour pareik∋s in6galit6s nous allons dor6navant dire brievement cornme oe qui suit：que les v㏄teursβ1 et β2sont born6s par le nombreσ． ． On voit ais6ment que la valeur de la f（）nction vectorielleこら， Gβ1 et㏄11e de la fonction vecto「ielleむb・Gβ2 sont inf6rieures au nombre i（M＋2δA）＋βσpour rensem− ble（」F， G）∈（ぷ（D，4）×Cn（D，4）・et pour llβ、 ll，］1 B2 ll≦σ． Ici， nous apPortons la rest1ゴction ’ω5（M＋2δの＋β・≦D・ Φ）・＋2γ・≦丁・・， −
d’o心il r6sulte que la diffC…rence des valeurs de［IF， Gβ1 pourθet pourθ’est born6e par ’． εβ（λ＋2δA） ‖θ一θ’‖ εα一η一2γ∠1 et ce皿b de こIF， Gβ2 par ノ「SUR CERTAINS’IH重OREMESi DE J． K． HALE
55
一 砦崇鵠llρ一・’1・、 ’
Et， d，autre part， on voit que les di丘るrences UF， Gβ1 ” UE’， c’β1 etの，Gβ2−［な’，G’β2 sont born禽s respectiveme皿t par ［（O，＋、諜竿、，4＋5・］（・upll醐1＋・・p・ilG一ぴ｜D et ［（O，＋、当譜≧、r4＋三・］（・upH酬＋・up・11G−・D・Aj・ut・ns laτestricti・n ．こ、
（・） εε饗㌍裟≦・
（・） （鵠鵠γ［α，一；三、，4＋α一，竺、，、］＋K・≦4
Les signesハイ，δ，η‘?狽メD repr6sentent， bien entendu， les（1uantit6s ハイ（ε），δ（ε，1），1））． η（ε，」D，D）etc． Les conditions（a）一（d）seront bien rempHes pourvu que l’on prenne・・ux n・杣・e・K…K・・up…ur・…杣・e芸X・・p・・e
D・醐・）・一（・・DI D）…≦丁（Ke−9−⇒M（・）
et， en outre， que Ie parametreεso鯉su伍samment petit． En pareille・circonstance la transfb】㎝ation㌔多多一 ﾀdev．ient contractive et e1］e a donc le point fixe （φ（’，θ，β、，β2，ε），q（ち『θ，β、，β2，ε））∈（≒（Z），4）×Cn（D；∠D； il contient le parametre’。， mais nous ne l’inscrivons jamais；en outre，皿ous omettrons d’aprdS des c註constan㏄des autres arguments ult6rk｝urement． Nous d6丘nissons les vari6t6S MI et M2： M，（’0，θ0，e）一｛IX＝0（’0，θ0，β1，β2，ε）川β111， llβ2｜1≦σε｝⊂Sm（1）β1） ハ4』（右），θo，ε）一｛γ一●（’o，θo，β、，β2，ε）111β、ll，‖β211≦σε｝⊂Sn（Dε、）， o心σεest une valeur de 6五mit6e ci−dessus et Dε1 est la valeur Kc〕ハ4（ε1）． Nous lemarquons que l’ensemble des fbnctio皿s v㏄torienes （11） θ（t）一乃，v（τ一t。，θ。）， x（t）＝￠（’，θ＠），β、，β2，ε） et γ（t）＝Ψ（t，θ（t），β・，．β2，ε） n’est pas autre chose que la solution de l’6quation int6gro−diff irentie皿e， trait6e dans la partie O）． （III）Nous allo皿s examiner la Ielation entre l’ensemble（0，Ψ）et 1’ense血bIe（f， g）， 「le dernier desquels est aPParu dans le th60reme pr6c6dent． SupPosons que le no血bre・・・…n・・K・・…h・iS・d…覚・q・・1・n輌
ｹ（K・−E）・・・…輌・…舳・・
頁元，1equel nous avons adopt6 pour d6montrer le Th60reme 2， et posonsθ＊ω ＝7ン，9（’一’o，’o，θo）．Alors la solution sur la vari6t6 j㎞虻6grakハ・∫ε．du systeme（4） θ＊（t）， x’『（t）＝∫（’，θ＊（t），ε）， γ＊（t）＝9（t，θ＊（t），ε） eSt ce皿e， sut）issant la 1血1丘tation ．ll x＊ll・，）1 y＊．ll≦Klルtl〔ε）． Les valeurs xo＊ et yo＊ des fbnctions vectorie皿es x＊etγ＊ b l’instant t＝ to ・・＊一（ ＊α1β、＊）…＊一（ぽ） 『56 ・．・’・． A．．IC胴OHE．「 ： ‘1“ s・・tb・rne…par・a・P・u・1・P・tit・・Y．alg・・’d・・，：car．・n p・ut SupP・ser． qu。16 n。m・ b・e・・鶴t・uperi・u・ ・u…抽・e K・M（・）・’ `in・i，・n・a噸q・・1・・nSemble（θ・ω， ・＊ω・ア＊ω）h’e・・P…u・hes el・≡queゴ1・．・・1・ti’・・d・1’姻i・面・egt・一唖・斑・i・限 （9）av㏄（1旬pourβ・＝β1＊・β2ヨβ2＊， sous Ia cond並ion血亘tiale．θ（t。）＝三θ。，ξt quξ： si 「on pose po町1a si正ロpligit60＊（t’θ）＝φ（t，θ，β，＊；一β2＊，ε）6t V＊￠，の＝璽（’，θ，β、＊，β2＊，ε）， on a les identit6s 9 ・ ・． ．一 θ＊ω＝万・く＠一’・・’・・θ・）−TQ・，e・（t−｛・，砺θ・） 1．ix＊ω＝∫￠，θ＊ω，ε）＝φ＊（t，θ＊ω） ツ＊ω＝9（’，θ＊ω，ε）＝v＊＠，θ＊ω）； ．． ．．i，． cela ne signifie pas n6anlnoi皿s que la fonction vectorielle∫bU g coincid6 avecψ＊
ou塑＊． Nous citerons ult白缶urement㎜exemple poUr輪1誼碇㏄sujet．
（「のN・uS・xgt−n・ns．輻n血c・mment：la sgluti・n dUySte証④、・。pP，。ehet￡il。 de la．va「i6t6 i・t6卿＆・d。・・la zv・16田㎞・i・19・（θ・・K・…）・・a 1’m・・叫・・sp・…W sur le．produit．’「E・×．’ノ∪㌦』×Mll． Si 1，0n pose ． ． 1 ー く ・・一（α1β，）・炉㈲・ ．．t．．／ ㏄tt…1・ti・n・・t・qssi・lq・・1・ti・n亘・1’6q・吻⑪t69r・−di・ff6・e・ti・ile．⑨岨（1旬，．par c・n蜘・nt・lle・万緬証・’
i11），・㌧P・u・e・㎞er l・価・e’n。・． en面・・。1咀i。血（11） et la．va「i6t6 int69r・1・ぷ・・il伽t・・tim㏄鋤・nt・e 1’・nS・mble（の，．eq・，・t（0堂・酊・） et puis entre I’ensemble （￠＊，●＊） et （f，9）；en r6’alit6 cette estimation．．．exige．．un prooessus up．peU long． Ngus．マoulons d6s（埣mais．6mettre le signeεdans chacune ．des exp「essi・n・d・f・g・X・． y・．gt・・． P・肛1・・㎞輌6・・t㎝pl・測’・xpre・・i・h．・． ψ（ら θ）’ 一’皇ア（t， θ）， の＊（’， θ）．ou 聾「＊（’， θ）． au lieu de ￠（t・θ・β・・、β・・ε）・．望●亘θ，’β・，，β2；ε）， ，￠（t，θ，β、＊，β2＊，ε）， Ou ロ（τ，θ，β、＊，β2＊，ε） comme 1㎞、pr6C6dent竺．、“@ 、 、 ．．． ． Nous CoπHnengons． par remalquer que la premiere mt6grale de 1’expression、巫のr・［∼1→」c（・の・瓶T・・f（u・・の・：∫（・砺・垣・）i・’
・＠＋・・T…（u・tlの）｝du＋∫ご’㊤・d㎝飴一剛． ．v laqe恥n・us expr㎞・ns en fbrmeゾ（らθ）， ait la vale皿． ． r ：．こ@ 」c（・＠・一・）（βi。）・ ・一・・ω 一 ・
et la premiere i皿t6grale∂， d6finie de la meme maniさre pour la fbnctio丑v㏄torielle 9，ait．1a vak氾r 輪一・（β！・）・ ・一・・ω・ ・・L・ff・t・．㎝t≒・ar・t．・・㎎t・de 1・・el頒i・n，万，，垣．e・ω｝」θ・（・＋あρ・．噸血βa。、P・in・le・・・…弓穴・…ω）一・（漬’；・・伽翻・・（・）−A9（t，・・ω）…6。i
de suite les f4）】mes co皿sid6r6es． Ret・um・ns a 1・・elati・n en仕e en鵠mbles（万8）・t（φ＊， y・）． P民n・n・dan・1’espa。eほ へ
SUR CERTAINS THEOREMES DE J． K． HALE
57 ‘7m（D・の・C・（D・のun・．．・gi・・｛（f‘・91・）｝・d6丘輌d・lq・manier・・uiv・・…．． ．．（ん9・）一（f，9），（ん＆）一 ．9−b＊（f‘一・，9i．・）， ． ∴ o心1）et A sont㏄ux d6cid6s dans la partie pr6c6dente． Bien e皿tendU cette． suite converge vers l，616merit二（φ＊，Ψ＊）dans l，espace banachien CSi（D，∠）×Cn（D，∠）soutenu へ り 1）ar le norme〃． Or la diff6renceノてt，θ）一五（’，θ） est 6gale b ∫（’，θ）一∫（τ，θ＊（t））， 1aquelle est major6e pour’≧’o par la folli tion 『． 去・（・）・θ一・一（・一’・・ll・一・・（釧1，” ．T・・ ”告・◎一εβ堤2響，’・一・＋・・4
et la diff6rence g（’，θ）−gi（t，θ）． est m司orξe par la fbnction T・（1）・・一・α一L・｛・−t・・｜1・一・・ω1卜 Nous remarquolls enc barticulier que les fbnctions vecto｝ie皿es f et五〇nt la meme valeur pourθ＝θ＊ωet il en est de m5me p6Ur get gi， d’o口il s’ensuit l’6ga五t6 7｝1，81（〃，t，θ＊（t））＝θ＊＠十μ）． 1 ’ …m・・・…s−nの・u・1・一・・s…α’・…m』・ar・・n…ム1’血・・r・all・（号・α） et soient （F， G） et （F，， G’） des．．＿616ments de （7m（1）；∠D×（7．（D，∠1）， 1） et ∠ 6tant resp㏄tivement KeM（ε）et、吃λ（ε， KoM（ε）， Ko」灰ε））． Et su卯osQPs que l’on ait les relations（12）｛1篇冤）蒜1畿㌶）麟：1㍑。＿）（，．，。，）1，一，。（釧1．
Alors， pour la valeur convenablement petite du parametreεo皿obtient l’in6galit6 コsulvante
llダβ・（F， G）−Lタ〔St（F’，のll≦％・e−〔α’・一工xま一’・｝llθ」θ＊ωll， ・Uh・・t・n n・励珂・・it迂過缶田a・n・桓d6P・nd・nt dti paraptet・e・・ Pour d6montrer ce lemme nous voulons estimer la valeur absolue de la deriv6e ；｜1職・蛤・）一乃・，・’（・，ちの｜1； 『 eUe est majorbe par la fbnction Lll乃，G（u，’，θ）−1『｝’，■（u，’，θ）ll十γq・e−（α’ε一L｝（t−to｝一（α’ε一L）“＋Lj％l llθ一θ一＊（Oll， par suite，1a diff6ren㏄乃，σ二処’，G’est major6e pour’o一τ≦〃≦O par la fonction 1α’：そ。・一・’…・”・−L）｛t→・｝11θ二θ＊ωll et pour u≧O par la fbnction． 。’12ttr−L eL・一‘”・二LX品・）II・e一θ＊（釧1・ 《：e fait entraille restilllatioI1 ． 』 llJ多一β＊（F，G）一ダβ＊（F’， G’）‖≦h（ε）q・θ一｛α’ε一L｝（t一まo｝‖θ一θ＊＠）‖， ・（・）一・［α’告。（・鋼＋司（。，12，li’＋芸。）・ ． puisqueγ（a＋26A）一・（ε）． etδ一・（i），・n peUt r6mpla㏄rλ（ε）par un nombre c・nstant58
A．ICHINOHE
乃infErieurムun． Le． lemme est ainsi d6montr6． Puisque la prdSUPPosition ．du lemme est remplie pour（醐＝（L g）et（F，，の ＝（ノll，91），‘On・obtient pourθ＝θ＊（01’6galit6 （f2，92）＝ダβ・（ん9i）＝．タ「B’（f，9）＝（ん9・）＝｛f，9） et・nsUite万，，。、（u，’；．θ＊ω）一θ＊（u＋0・雄・s le・re1加i・ns（12）s’6tabHssent p・u・ （F，G）＝（fi，9i），（F’，の＝（f2，92）et pour q＝・hg（ε）．取r6P6tant㏄pro㏄ssus on obtient finaleme皿t l，血6galit6 11プてt， θ）一φ＊（’， θ）1［十ll 9（’， θ）一璽ア＊（’， θ）ll （13） ≦σ（ε）（1＋乃＋乃2＋…）er．（a’・−L｝￠−t・） ll e一θ＊ω1． Enfin nous devons estimer les diff6rehcesφ一￠＊et T一ア＊， en prenant β、 et β2 bom6s par la quantit6． ﾐε． Maintenant nous construisons da皿s respace（7■（D，の ×（rn（Z），∠D deux suites｛（Fi， Gi）｝et｛（Fi＊， Gi＊）｝de sorte que ＼ （Fo， Go）＝（Fe＊， Go＊）＝＝（0， 旬， （Fi， Gi）＝亀」多プβ（K＿］， G’−1）， 侶＊，Gi＊）rターβ・（F＊《＿1，G＊i＿1）； CeS S面t。、 C・nVe・綱・鍋Ctivement Ve・s l’616m・nt（φ， V）etヤers（φ・， V＊）．λCauSe de 1’in6galit6 1 （14） 11 F，（’，θ）一、Fl＊（t，θ）II十llG，（’， θ）−G1＊（’，θ）‖≦ぷ・ε一αε（t→o）〈5・e−a’ε（参一’o｝， ．ぷ＝β（IIβ、一β1＊H＋llβ2一β2＊ID la di宜6rence TF、，・、一処㌔・・、 est皿司’orbe par la f・nction ・・εL芸芸゜’p・…≧0 γぷε芸1二三゜）P・田＋’・）≦・≦・・ on obtient， de la meme maniere que la pr6c6dente，1，inegalit6 11 F、rF・“一 ll ＋ 11 G＞’二G・＊ll≦τ（・）・・〆・（‘−t・｝＋ぷ・θ一αε〔t−t・），τ（・）一・（1）・ On doit remarquer que 1’in向galit6 （14） ne s，agit que sur le premier terrrie de lq derniere fbrme droite， contenant le signeα’， et que l，estimation d，int6grale est faite lin6airement；on obtiendrait rin6gaHt6 11F，“F3＊ll＋IG、−G，＊・II≦τ（1＋めぷ．・〆・｛ま一’・｝＋ぷ・θ一α・（t−t・｝ et en g6n6ral l悟一酬＋llσ・一α＊1≦（r＋τ2＋…＋τト1）…一α’ε｛‘一’・’＋…一αε（’一’・㌧ ク et， en f這isant le nombre i croitre vers l，in丘ni， on aurait lq relation （15）H・一・＊1＋1□＊li≦1竺。〆・（t”…＋・・’a・‘’一’・’≦．1≒ε一a’ε‘’−t・’・ Cela s’engage d’une partλ1’estimation de la diff6renee θ（t）一θ＊（t） et produit， en r6aUt6， sa majorante：．（1θ 禰一・・（釧｜≦1竺。麦畿・ 、．
D’apres’ce《1ue nous avons fait，1es estimations（13），（15）et（1〔D， nous obtenons l’estimation丘nale Hx（t）一∫（’，θω）ll＋ll7⑦一9（’，θ（o）1→1の（t，θω）一∫（t，θ（t））Il＋llT（ちθ（t））−9（’，θω）ll ・ ≦C・e−er（ま一t・｝（llβ、一β、1｜＋llβ2一β21D，ド s SUR CERTAINS［HEO］tilMES DE J． K． HALE 59 ・一［1＋一・iZ−」i−．’・ZE，．11li・e＋。］1こ。・・一α’−2÷・ Tenant compte de l’inegalit6 ． H・β，一β1＊ll．＋‖β2一β2字ll≦．Hx（to）−f（’0，θ0）ll＋‖γ（’O，）−9（’0，θ0）II， ・ on verrai． t−，・quQ la d6monstration de l，estimation（7）est a㏄omplie．．． ．． Quant h la負血‘e de la solution qui se place initialement hors de・Ml×Mz， nous omettons la d6monstration． 1）imonstration du The’oζeme 4． Nous do皿pons−1a d6monstration breve．．Posons F（τ，t，．φ，ぷ，． x，γ，ε）一θ＊＠＋τ，φ＋τ， s， Xeア，ε）； f・（r・’・φ…ろ…）−1：，、・一・・一・・F（・・’・φ…x…．・）d・・ et ・ a（v，’，φ，s， x，ア，ε）−A。（t）Aa（φ）A。（s）a．（x）d。ω＊ノh， o立Ag（∠）・…・Aa（y）sont】［es fbnction en fbrml∋de（3）・，La fbnction vectgrie皿e ti et ses d6dv6es pdtielles d’ordre premier ou second sont major6es par la quantit6 Gωζ（η）／η；1a fbnCtiOn VeCtOrie皿e存τ一θ＊十Tti， qui a I，expreSSiOn SuiVante カ ヤ ti・一θ＊＋opti＝tit＋Σfiφ‘−F＋ηa it＝1 −1・a（・一の・・（φ一φり・・（・−s）・・（x−x）na（・一” ×口7（r，〆，φ’，s’， x’，〆，ε）一．F（r，ちφ， s，ちハε）］dt’d￠’ds’dx．「dy’， et ses d6riv6es partieUes d’ordre premier par rapPort aux ．arguments φ， ぷ， x et γ 一convergent vers z6ro vecteurs ou z6ro matrices unifoma16ment sUivant que le param6tre P εs’apProche de z6ro， etη刀， par cons6quent， fit＋ΣaiP，−F・aussi， onUa meme pro− ‘＝1 pri6t6． Nous posons ensuite u（’，θ，x， y，ε）＝a（0，ち θ， x：， y，．e） et construisons des．fbnctions vecto亘e皿esσet〃e皿employant．X＊．．On peut choisir des f（）nctions a「ae etη＝ηε， convergeant vers z6ro’av㏄1eur argumentε， de maniらre que l， on ait ． ζ（ηε）G（4e）−o（1）， ε1V（ε）−o（ル1（ε）） （∼V＝G！ωζ（η）／η）． ’ ハr（ε）M（ε）＝・（1），ハr（ε）Z（ε，cルπε）， cM（ε））一・（1）∴． ．． 1V（・）ll h（・）｜1−・（1）， N（・）δ￠， cM（・），’cM（・））r・（1）， acause de la le皿teur de la div創rgence des quantit6s G（4ε）etζ（ηe）／ηε． Supposons que la transfbrmation de variables θ一ζ＋εu（t，ζ，ξ，y，ε） x一ξ＋ε2v（’，ζ，ξ，γ，ε）． ア『γ entrame le systeme nouveau ’．
@ 告頃・）＋＠・（’，ζ，e，・，・） 「 ・
一ε（芝＋Xi（’，ζ，ξ， y，ε）d60 ヒ 』 ’．．．、二’、．．．A．．．ICHINOHE’．．．．．二． ．．．．．．．・ニ ジ，一一一’ ｛藷一一ピ4∼≒−y元（’，ζ，ξ；γ，e）・÷三、．・で （ヒque nous avons a f…血e， il est de d6mon倍r卯e ce l syst扇me lre血plisso． les℃ondii tiOnS dU Th60詫eme 2． On］peut一血Ontrer SailS−pe血e∴ma姪「、 ap廊．le、 p1℃㏄SミUS tr誌10ng， ＜1ue la nouvelle majOrante Ml（ε）et lbs．と膓on§tants．晦schitZienSηi（b，σ，μ），．．γ元（ε’iσ5μ）， 、21（ε，σ，．ot）etδ1（e，σ，＠）soiellt Choisis de maniere・卯e ・ ．．二．：」．、・．、，1 ； 払（ε）＝0（M（ε））， ． ． η、（ε，cM（ε），．cM〔ε））一・（ε），・． ．．． c．．．． ．．．．一 γ、（ε，cルf（ε），・M（・））−0（γ（ε．・M（9），碗（・））＋0（εN（・））．．． ⊥ Z、（，，eM（，）， c1吹ε））−0（λ（・， eル1（ε）， c頑ε））．＋・（・） δ・（ε，cM（ε），聴））−0（a（・・’・傾・）・．・ルκ・））＋0￠N（ε））言馳「・ ㏄1a V白rifie la validit6 du th60reme． N・us vgu1・ns teyminρr．㏄m6m・ir・p訂血er un．ex・mPle・c・n・tnit・pa・・n・・eleves・ ’E・一・4・∫CO・・i“6…S．皿§y・緬・u・・n・鵬d・t／・lg ．pl・n、．≧．．’1
・・f｝÷’一・・sin・θ・．．1＜・ ．．・・一．．・
dx ＝ε㊤＋εScos2の c＜0＜ぷ。 一 〃 11・・t鏑・d・m・・t・e・q・・民・y・teme ・emplit t・titeli’le・・cdnditi・bS du Th6・1em・2 et de troUYer／ICs．fg∼nCtiCns∫ ．etψプ．car npuS somlpPS．49 cas． du systeMe autonome 稔ts㎞Ple． P軍1e calcul bref gn．obtiendra ．「！ ． ．．乃（’十〃，．’，の＝arctan（tanθexp（2εP⇒）， ． 一 ∫（・…）一・・！1．．1‡、云。・θ：蒜⑭ε♪一・のゐ・ −．』一 ・（・・・・…司1、，L，。，1＋、飢・θ：三，⑭，・一・のdv＋・・c！’−t・・…Ct plu≦preCise血ent． ・ ．1 ・ 一 ’・
』一
轣i’，・，・）・・ieS c…θア（1，1，1−、、…．、・・…θ）・． ・1・，・，・6，・r8c？・・θF（1・1・1−．4，：，一…m・θ）・． ＋÷1＋、af・θ．鐸、，・⑭｝F（1；1・1−、，…一・・司 ＋e・e（’−t・）Xo，ξ「蒜鵠書≦緩゜る｝㌔．… ．
・UF・ep・6鵠・t・1輌・・i・・hyp・rgh・m6・riq・…POUrρ（0−arg・・n｛・・ne’・‘exp（2εカ＠一旬｝ on a 1，6galit6 − ’ ． ： x（t）一∫（’，θ＠），ε）＝・φ（’，θ（t），a：o，ε）r∫て’，θ（t），ε） ” 『 『 1：・・一・・c‘t’”・’（X・−k・＊），．∫ ．X・＊一∫（’・・θ…）；donc．1es nombres l cl etκpeuveqt Ooincider．dans㏄cas． Nous remarquons que
la vari6te int69rale x＝＝f（t，θ；b）rie depend．pas du tenips’en r6a正t6． et sa pr（り餌ング s
