<研究論文>意思決定モデルの存在定理 利用統計を見る

著者

旭 貴朗

著者別名

Asahi Takao

雑誌名

経営論集

巻

35

ページ

11-21

発行年

1990-03-30

URL

http://id.nii.ac.jp/1060/00005723/

Creative Commons : 表示 - 非営利 - 改変禁止 http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/3.0/deed.ja

意 思 決定 モ デ ルの 存 在 定 理

旭 貴 朗 11 1. はじめに 本稿で はシステム行動を説明する ための数理 モデル（ システ ム・ モデル） につ いて考察 する。システ ム・ モデルには, 少な くともっ ぎの2 種類があ る。 第↓の システム・ モデルは, 入力と出力 の関係を方程式（とくに関数 の組） に よってモデル化 したもので， これにより システ ム行動を説明することがで きる。 この場合 は方程式 を満足 する変 数の値 が システム行動 あるいはシステ ムの状態をあ らわしている。 これを入力 出力 型 のモデルと呼ぶことにする。 このモデルを利用 したシステム行動 の説明 において は， 入力， 出力，状態と い う概念が重要であ る。 このタイプの モデルに関 しては， オ ートマト ン， 微 分（差分）方程式 モデルなど， システ ム研究 に日常的 に利用 されており，分 類 もなされて いる1）。 一方，第2 のシステム・ モデルは最適化 モデルに代表 されるもので， ある 制約条件 の範囲のなかで目的関数を最大化す るようにシステムは行動すると い った説明をすることができる。 この場合 は， 目的関数 がある値以上であ れ ばよいとする意味 の満足化 モデルも含む ものと し，両者を含 む総称として目 標追求型のモデルと呼ぶことにす る。 この モデ ルを利用 した システム行動の 説明 において は，制約条件（代替案），目的関数，最大（ 極大）イヒ／最小（極 小）イヒ／満足化 という概念 が重要である。 このようなモ デルは， 経済学や経 営学において は人 間の意思決定を モデル化 すると きに利 用される。 またオペ レーショ ンズ・ リサ ーチにおいて も，意思決定 のための モデルとして利用 さ れる。 しかしながら個々 の研究にお いて モデルが作成 さ れることが多いとし て も， さまざまな目 標追求型 のモデルの間 の関係 につい て研究がなされるこ と は少ない。 そこで ここで は目標追求型 のモデルの一種 としでの意思決定 の モデルを中心 に考え る。 本稿では， 意思決定にお ける選択活動の モデルを提案する。 その際にまず 一般的なモデルを先に定式化 し， その後で特殊 なモデルとして パラメータ選

択モデルと行動 選択 モデ ルを定式化する。さらに， ふたっ のモデルの適用範 囲について述 べる。 2 。諸定義

↓D=(M,P,g)

Ψ

↓meΨ(D)P(m)

⊂UXY

決定問題 選択活動 決定解 行動 図1 意思決定における選択活動 意思決定と は，なん らか の対象（ システム）を観察 す ることにより自分の 直面 する問題を明か にし， 問題解決 のための代替案を設計 し， そ の代替案 の なかか らふさわしい ものを選択し， しかるのち選択さ れた代替案 を対 象に対 して実行する（作用 させる）一連 の過程であ る。H.A. サイモ ンは，これを￨青 報活動，設計活動，選択活動，実行活動に分類した2）。以 下 ではこの一連 の過 程の中から，選択 活動の部分（図1 ）を定義する。ここで いう選択 活動とは， 意思決定者 が直面 して いる決定問題から何 らかの方法で決定解を求 め， それ を対象 に作用さ せるという活動 のことであ る。 ［行動 システ ムP （m ）］ まず注意すべ きことは， 本稿で対象 とす るシステ ムの行動が 数学 的意味の 「関係」として表現さ れ，さ らにこれが代替案 によってパ ラメ ータづけ られて いることである。ある代替案m を対象 に作用させることによって，対 象 はP （m ）という行動 をと るとす る。ここで行動P （m ）は，P （m ）⊂UxY と記 述さ れる。 これは数学的意味 の「関係」であ る。 U y 図2 行動 システム すなわち人力u に対してy を出力 する システ ムをP （m ） と記述 するのであ

意思決定モデルの存在定理13 る。この シス テ ムが 代替 案m によ って，そ の構造( 入 出力 の 範 囲 や，入 出力 の関 係) を変 化 さ せ る こと も可 能 で あ る。 こ のよ うな 定 式 化 の目 的 は， 諸理 論 にお け る モ デ ル の比 較 を す る ため にあ る。 定 義1 選 択 的 意 思 決 定 モデ ル つ ぎの7 項 目 の組 を 選 択 的 意思 決定 シス テ ムと呼 ぶ。(M,U,Y,P,V,G, ＼)。 − ただし,M,U,Y は代 替案 集 合，外 乱集 合，出力 の集 合 と呼 ぶ。集 合P ＝{P−(m) ⊂UXYmeM} は意 思 決定 と行 動 を結 び付 け る関 数 の集 合 で，各 々 のP(m) は代 替 案m に対 す る行動 と 呼 ぶ。V は評 価値 の集 合 で あ る が， 本稿 で は実数 の集 合 であ る と す る。関 数G ：MxP →V は行 動P(m) を 評 価 す るた め の評価関 数 で あ る。 合 成 関数g ＝GP:M →Vs.t.g(m) ＝G(m,P(m)) を 特 に目的 関 数 と呼 び評 価 関 数 と区 別 す る。 ま たD ＝(M,P,g) と 書 き， こ れを 一 決 定問題 と呼 ぶ。Ψ を決 定 原 理 と 呼 ぶ。Ψ は代 替 案 集 合M の な か か ら評 価関 数 に もとづ い て解 を もと め る アル ゴ リズ ムであ る。 たと え ば最 適 化 や満 足化 を 想定 し て い る。Ψ(D) ⊂M を 決定 解 と呼 ぶ3)。 ， この定義1 によって規定さ れる意思決定構造に対して，必 ず次のような集 合 が定まる。 ト 定義2 行動 制約， 決定行動 次のふたつの集 合，P ＝＝UP(m) −P(M) 。 − meM S ＝UP(m) ＝P(Ψ(D)) 。me Ψ(D) をそれぞ れ行動制約およ び決定行動 と呼ぶ。 3. 選択的意思 決定モデ ルの存在定理 ここで は意思決定 と行動 の関 係について考察す る。 選択的意思 決定 モデル （定義1 ）によ って規定される意思決定構造が与え られたと き，かな らず行動 制約P と決定行動S が定まる。 このとき，一般 にS ⊂P であ る。一方，次の 命題はその逆 のことを考えてい る。 つまり任意 に行動制約 と決 定行動 が与え

られたとき， そのような行動を導 くような選択的意思決定 モデルが定式化可 能であることを示している。 命題1 任意の2 集合P ⊂UXY とS ⊂UXY に対して，もしS ⊂P ならばごあ る選 択的意思決定 モデルが存在 し,P ＝P(M) ，S=P( ＼(D)) であ る。 この命題 は，あ る行動 パ ターンを もって行動 するシス テムに は， その行動 の源泉としての意思決定構造を想定 で きるということを示 している。 もちろ ん，そのような意思決定構造 は仮説的 な ものであり，実 体として存在するか ど うか は実証 できるとは限 らない。 しかしながら機能 として， そのような も のを考えることには理論上 の意 味かおる。 意思決定 と行動を結び付 ける もの はP(m) であ る。一 般に はP(m) をど のように定式化 するかは，研究対象 と研究 者の興味によって異 なることにな る。 そこで，以下で は選択的意思 決定 システ ムを特殊化 して考え る。 まずパ ラメ ータ選 択 の選択 モデルを 提示 す る。 す なわち各 要素 が自身 の行動 パ ラ メータを選択 するものであ る。 定義3( パ ラメ ータ選択 モデル) 定義↓において， 関数P ：MxU →Y が存在 し， 意思 決定 と行動 の間の関

係 がP(m) ＝{(u,y 川y ＝P(m ，u)} で与 えられるような選択 モデルをパ ラ メータ選択 モデルであると呼ぶ。

決定理論 を例にとって説明を加え る。2 つの関数y=P(m,u) ，v＝G(y)

が与え られたとする。 このと き結合関数v ＝GP(m ，u) は利 得表を 表わして

いる。通常m は代替案,u は自然 の状態，y は意思決定 の結果 と呼 ばれてい

る。定義3 にしたがうとP(m)

こ{(u ，y川y ＝P(m ，u)}

g(m) ニMin{G(y)I(u,y) ￡P(m)} ＝MinGP(m ，u)

Ψ(D) ＝{m ＊￨g(m ＊) ＝Maxg(m)}.

と表現す ることができる。 ただし，決定原理 がミニマッ クス原理の場 合を定 式化 した。 決定理論 はパ ラメ ータ選択 モデルを用いていると考え ることがで

意思決 定 モデルの存在定理15 次の命題 は，命題1 と同 様に，行動制約 と意思 決定行 動が与 えられたとき， そのような行動を取るようなパ ラメータ選択 モデルが定式化可能であ ること を示してい る。 命題2 任意の集合S,P ⊂UXY に対 して， 次を仮定す る。S ⊂P,U ＝D(S) ＝D(P) 。 − − このと き， これを説明するパ ラメ ータ選択 モデルが存在 し,P こP(M),S ＝P

（Ψ（D ））で あ る。 た だ し,D （S) こ{u￨ （ ∃y ）（（u,y ）￡S）}で あ り ， こ れ を ド メ

ー イ ン と 呼 ぶ 。 命 題2 が 示 す よ う に ， こ の モ デ ル は 行 動 制 約 と 実 際 の 行 動 の ド メ イ ン が 同 じ 場 合 に だ け 適 用 可 能 な モ デ ル で あ る 。 制 御 理 論 や サ イ バ ネ テ ィ ク ス に 関 連 す る 理 論 に お け る シ ス テ ム ・ モ デ ル は こ の よ う な 場 合 が 多 い 。 た と え ば ブ ロ ッ ク 線 図 の よ う に ， 要 素 の 入 力 出 力 関 係 が 規 定 さ れ て お り ， そ れ ら 複 数 の 要 素 の 間 の 結 合 の 仕 方 と 全 体 の 行 動 の 間 の 関 係 を 問 題 に す る と き に は こ の モ デ ル で 十 分 で あ る 。 実 際 シ ス テ ム 設 計 と い う も の は ま さ に こ の よ う な シ ス テ ム を 取 り 扱 う こ と に な る 。 つ ま り 要 素 を 組 み 合 わ せ て 全 体 を 構 成 す る よ う な 場 合 で あ る 。 七 か し な が ら ， 経 営 学 に お け る 組 織 の 行 動 を 問 題 に す る と き に は 「 要 素 シ ス テ ム （ こ こ で は 組 織 成 員 ） の 行 動Si そ の も の が 変 化 し ， 場 合 に よ っ て は ド メ イ ン の 変 化 も 伴 い ， そ の 結 果 組 織 全 体 の 行 動S が 変 化 す る 」 と い っ た モ デ ル が 必 要 に な る 。 次 の モ デ ル は シ ス テ ム が 自 身 の 行 動 そ の も の を 選 択 す る も の で あ り ， 定 義1 に お い てP （m ） ＝ニ ｛m ｝ と 定 式 化 さ れ る モ デ ル で あ る 。 定 義4 （ 行 動 選 択 モ デ ル ） 定 義1 に お い て 意 思 決 定 と 行 動 の 間 にP （m ） ＝ ｛m ｝ な る 関 係 か お る と き ， 行 動 選 択 モ デ ル で あ る と 呼 ぶ 。 このと きもちろんmeUxY,M ⊂UxY である。また決定行動 に関 して は，S ＝P(Ψ(D)) コF(D) ⊂P ＝M が成 り立 つ。 す なわ ち行動 制約P が代 替案M であり， 決定 行動S とはまさに意思決定 の解 ＼(D) で あるような場合であ る 。 命題1 およ び命題2 と同様に次が成 り立つ。 命題3

任意 の2 集 合P ⊂UXY とS ⊂UXY に対して，もしS ⊂P ならば，ある行 動選択 モデ ルが存在し,P こP(M) こM,S ＝P(Ψ(D)) ＝Ψ(D) であ る。 サイモンは組織におけ る人間 行動を誘因 と貢献の間 の関 係に注目して論じ た4)。いま意思決定者 は，自分の意思 決定状況を把握し，自分の取 るべき行動 の代替案をM ＝UXY と知 覚 してい る ものとす る。 こ こでU はあ らゆる誘 因 の実現値を集 めた集合で，同 様にY はあら ゆる貢 献 の実現値 を集 めた集 合 であ る。 さて，各々の代替案m ＝(u,y)eM は，サイモンの定式化 によ るとg(u,y) ＝φ(u)寸(y) と評 価さ れる。 ただし φ は誘因u の効用を定 める関数 で，φ は 貢 献y の効用 を 定 め る関 数 で あ る。 このと き意思 決定 者 の 行動S ⊂UXY は， 満足化原理 に もとづ く ものであり，S ニ{(u,y)Ig(u ，y)＝φ(u)-φ(y) ≧0) と書 くことがで きる。 この場合 の決定原理 は満足化原理であ るが，経済学 などで は最適化原理 も 用いられる場合 もあ る。 もしも必 要であ れば次のよ うに定義す ることも可能 であろう。1) 満足原理 は,me Ψ(D) ← →・g(m) ≧0，2) 最適原理 は,me Ψ(D) ←一一( ∀m')(g(m') ≧g(m) →m' ＝m) このように規定 される意思決定構造 に対して, 必ず決定解集 合 ＼(D) ⊂M ⊂UXY が定 まる。 すな わち与え られた システ ムS ⊂UXY がなぜそうであ るかという問い に対 して,(M,U,Y,g, Ψ) という説明変数 によ ってS ＝Ψ(D) であ ると説明するモデ ルが行動選択 モデルなのであ る。 また意思決定構造を規定 する( 一 種の) パ ラメ ータ(M,g, Ψ) が変化 する ことによって， システ ム行動S も変化 することに注意しよう。S ＝S(M,g, Ψ)。それは同 じ人間 であ って も，代替案の知覚 の程度 や評価の しか たによっ て行動 が異 なることに相当 する。 このように行動選択 モデル は， 内部構造 が 変化す るような システ ムを目 標追求 という概念 によ って表現 してい るのであ る。 4. お わりに 以上， 選択的 意思 決定モデ ルを定義 し，その特殊例として， パ ラメータ選 択 モデルと行動 選択 モデ ルの2 つを区別し た。 その他に も特殊 モデルを考え

意思決定 モデルの存在定 理17 ることは可能であ ろうが，本稿で はふたつのモデルに焦点をあて だ。 パ ラメータ選択 モデ ル 行動 選択 モ デル 図3 選択的意思決定 モデルにおける特殊 モデ ル パラメータ選択 モデルと行動 選択 モデ ルの違い は命題2 と命題3 で明 らか にされてい る。すな わち，パ ラメータ選択モデルは行動 制約P と実際 の行動S のドメイ ンは等 しい。 一 方行動 選択 モデルで はド メ イ ンが変 化 して もよ い。後者 は関数 で は扱え ない意思決定行動 を考察対象と する場合 に有効 であ ろ う。 本稿では，数理的意思決定論を展開するための準備と して， 基礎的な作業 を行なったことになる。命題3 の下の説明に もあ るよう に， 誘因と貢献 の効 用を もとにした意思決定 の モデルは行動 選択 モデルを利 用してい る。 もし も 経営組織とい うものが意思 決定を要素とする複雑な システ ムであ るならば， その理論構造 の分析のために はこのよ うなモデルを もつ 統一 的 な システ ム理 論が必要であ る。 そこで は従来の人力出力 とい う概念で はなく，目 標追求 と いう概念が重 要であろうと推察される。 注 1 ）高 原 ［4 ］ 第3 章 で は， こ れ ら の モ デ ル の特 徴 づ け と 同 等 性 を 証 明 し て い る 。2 ） サ イ モ ン ［5 ］p.59.3 ）こ の定 義 は， 高 原 ［1 ］［3 ］［4 ］に お け る 目 標 追 求 シ ス テ ム の 概 念 を 拡 張 し た もの で あ る。 目 標 追 求 シ ス テ ム は 後 述 す る パ ラ メ ー タ モ デ ル に 相 当 す る 概 念 で あ る。 目 標 追 求 シ ス テ ムを 特 殊 例 と し て 含 む と い う 意 味 で ， こ の 選 択 的 意 思 決 定 モ デル は拡 張 概 念 に な/つ て い る 。4 ） サ イ モ ン ［2 ］p.170 −182.5 ） 広 重 ほ か ［6 ］p.9.

参考文献

［1 ］ 宮沢光一編『経営意思決定』現代経営学全集6, ダイヤモンド社（1983）の第2 章 高原康彦「階層的組織におけ る意思決定」

［2 ］H.A.Simon,ModelsofMan,JohnWiley&Sons （1957）

［3 ］M.D.Mesarovic&Y.Takahara.GeneralSystemsTheory ：AMath むmat-icalFoundation,AcademicPress （1975）

［4 ］ 高原康彦『 システム工学の理論』日刊工業新聞（1974）

［5 ］H.A.Simon,TheNew ノScienceofManagementDecision （Rev.Ed う ，Prentice-Hall （1977）: 稲葉元吉， 倉井武夫訳 『意思決定の科学』 産能大出版 （1979) ［6 ］ 広重 徹，水戸巌訳『ランダウ＝リプ シッツ理論物理学教程：力学（第3 版）』 東京図書（1974） 付録1 （定理 の証明） 命 題1 の 証 明P をP ⊂UxY の 部 分 集 合 族 と す る 。 ま たP={P(m)ImeM} と 書 く 。 − − − −(_(_ にM はP の部分集合のインデックスである。 つまり任意のm に対してP(m) ⊂Pである。あきらかにP ＝P(M) で ある。目的関数を difP(m) ⊂Sg(m)=rotherwise と定義 する。決定問題 はD ＝(M,g) であ る。決定原理 はme Ψ(D)・←→g(m) ＝1 と定義する。 このとき，P( Ψ(D))={m ￡MIP(m) ⊂S} ＝PnS ＝S ． 証明終り 補助定理1u か らY への関数の全体 の集合をF とす る。F ＝{f：U→Y} 。任意 の集合R ⊂UxY に対 し て， 関数 の集 合α(R) ⊂F をa(R) ＝{feF￨( ∀u)((u,f(u))eR)}

と定義す る。 このと き次が成 り立つ。(u ，y)￡R‥( ヨf￡α(R))(y ＝f(u)) 。 証明R(u)

＝{yI( ヨu)((u,y) ￡R)}とす る。R が空集合 でない限り,R(u) は 要素を もっ。選択公理より，あ る関数f が存在 し,ieα(R) 。すな わちa(R)

は空集合で はない。必要十分条件 の証明 は容易 である。

意思決定モデルの存在定理19 補 助定 理2

任意 の関 数 の集 合F °＝{f:U パY} に対 し て 関 係 β(F ゜)C二UXY を次 で定 義 す る。β(F ゜)こ{(u,y)I( ヨfeF ゜)(y＝f(u))} 。こ の と き，つ ぎ が成 立 つ。

①

② βa （R ） ＝RS

⊂R →a （S ）⊂a （R ） _証明省略

命題2 の証明F

こ{m ：U →Y} をU からY へのあ らゆる関数 の集 合 とす る。 代替案集合

をM ＝α(R) とす る。 プロセスモテ ルP：MxU →Y をy こm(u) で定義 する。P(m) ＝{(u,y)Iy ＝P(m,u)} であ る。 目的関数g ：M →R を ー，1ifP(m) ⊂SG(m)={Jotherwise で定義する。 決定問題はD=(M,g) である。 決定原理 Ψ をm ￡＼(D)←・G(m)=1 と定義す る。 ここで， 補 助定 理2, ② よりa(S) ⊂α(R) 。よ ってg の定義 か らΨ(D)={m ￡Mこα(R)I(u)((u,mu) ￡S}＝α(R) ∩α(S) ＝α(S)で あ る。 再 び補助 定理2 よ りC ―βa(S) こβ(Ψ(D))=P( ＼(D)),R こβα(R) こβ(M) コP(M) 。証 明終り 命題3 の証 明M こP ⊂UxY ，またP(m)={m} とする。 目的関数を 1ifP(m) こ{m} ⊂Sg( 面)=rotherwise と定義す る。 決定問題はD こ(M ，g)であ る。 決定原理 はm ￡Ψ(D) 一g(m) こl と定義 する。 このと き，P( ＼(D))＝＼(D)＝{m ＝(u,y)eP ＝M￨(u,y)eS} ＝PnS ニ=S. 付録2 （行 動 選 択 モデ ル の一 般 性 ） 証 明 終 り 行動選択 モデルの場合，代替案m に対 する行動P （m ） は単位集合{m} であり単純であ るために説明力 の不足 が心配さ れる。 ところ が次の物理学の 例を見 れば， 行動選択 モデルの適用可能 な領域が広 いことが分かる。 解析力学 においては，力学系 の状態 は位置と速度によ って表現さ れる5 ）。

また位置ベ クトルX と速度＾゛クト ルV との間 の関係 け なわち状態 の軌跡） は，積分 JでL(x,v,t)dt を極小 にす るように与え ら れる，としている( ハ ミルトンの原理)。ここに関 数L はラグランシアンと呼ば れる もので，たとえば自由落下する1 質点系で は,L ＝mv2/2-mg であ る。 また初期条件としてx(tl) ＝xl,x(t2) ＝x2 が与 えら れて い るものと す る。 ハ ミルト ン原理を 定義1 のよ うに表現 す れ ば，M ＝{m ＝(x,v)Ix(tl) ＝xl,x(t2) ＝x2} ⊂XXVP(m) ニ{m},g(m) ＝g(x,v) ＝JL(x,v,t)dt,D ニ(M,P,g) ，− m ＊εΨ(D)−g(m ＊)D ＝(M,P,g) − ↓ Ψ ←y ニinfg(m) ｛m ＊｝XxV 図4 ハ ミルト ン原理 の図式 と書くことがで きる。 また決定 解m ＊=(x,v) はx

＝v2/2g −(B −A)2/2g(t2 −t1)2−(t2A −t1B)/(t1 −t2).whereA ＝xl −gtl/2g ，B=x2 −gt2/2g 。 特に座標変 換を施 して,tl=O ，xl＝O とすると，x=v/2g −B/t2' 。 であ る。 すなわち，可能 な軌跡 の全体M で はなく,g(m) を極小 にするような軌跡 ＼(D) ⊂M が選択さ れたと考え る原理である。 この事情( ハミルト ンの原理) は，1 質点 の場 合と同様に， 相互作用のあ る複数の質点 からなる力 学系 に もあて はまる。 いま,n 個の質点 に添え字i を付して積分 ∫L(xL …,xn ，vL …,vn ，t)dt を考え れば， これを極小 にす るよ うに力 学系 は運動 す る。 たとえば孤 立 した力 学系 の と きはL ＝Σ

意思決定モデルの存在定理21mivi/2 一U（xL …,xn ）とな る。 こ こにΣ はi に関 す る和 を と る。 第1 項 は 運 動 エ ネ ル ギ ーと 呼 ば れ， 第2 項 の関 数U は ポ テ ン シ ャル ・ エ ネ ル ギ ーと 呼ば れ る。 物理 学 に お い て は， ハ ミル ト ン原理 を もと に， 統 一 的 に力 学 体 系 が再 構 成 さ れた。 そ の た め見 通 しの良 い理 論 構成 に な っ た と い え よ う。 こ のよ う に行 動 選択 モ デ ル の適 用 範 囲 は十 分 に広 い もの と考 え ら れ る。