<研究論文>輸送計画問題への静学的/動学的アプローチ 利用統計を見る

ーチ

著者

高桑 宗右ヱ門

著者別名

Takakuwa Soemon

雑誌名

経営論集

巻

37

ページ

1-17

発行年

1991-03-30

URL

http://id.nii.ac.jp/1060/00005709/

Creative Commons : 表示 - 非営利 - 改変禁止 http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/3.0/deed.ja

輸送計画問題への静学的／動学的 アプ ローチ

次

緒

目I

-ご 一p 二1 高 桑 宗 右 ヱ 門 11 111 IV V VI 輸送 問題 と輸送 ／割当問題 輸送 問題 輸送 ／割当問題 数 値 例 結 言 1 I. 緒 言 生 産 シ ステム におい て，ロジスティ ックスは物 財 の場所 の移動 を意味す る。 具体的 には， 素材をい くつ かの供 給業 者 か ら購 入して， 生産 シ ステム内 のい くつかの工 場 に必要量 に応 じて配分 す る場 合 とか， 完成 した製品をい くつ か の工 場 （生産地 ）か らい くつ かの倉 庫や市場 （消費地） へ， 要求 量 に応じ て 移動す る場合などのように,物財を流通 させる問題 は「輸送問題（transportationproblem ）」 と呼ば れ る巴 一一般 には，総費 用が最 小 にな るように計画 がたて られる。 この輸 送問題 は， 従来 よ り輸 送型線形 計画モデ ル に基づ いて解析 がお こな われてい る。しかし，輸送時 間 や輸送 手段 な どを含 めた動学 的 な（ダ イナ ミッ クな）解析 を行 うには限 界があ る。 そこで， 本研究で は，ダ イナ ミッ ク性を考慮 した輸 送問題 への最 適化 アプ ローチ を提 唱す る。そして，数値例 を示 すこ とにより その有効性を確 認す る。 H 。 輸送問題と 輸送／割当問 題 従来 の輸 送問題で は,工場側 か ら市場側 へ製品が輸送 さ れる場合 につ いて

各工場 の供 給量 と各市場の需 要量 が与 えられ，総輸 送費用 が最 小 にな るよ う に， それぞれの輸 送量 が決 定さ れ る。 図1 にこの問題 を示 す。 輸 送量 供 給量 工 場a ＼ 百 α2 α3 図1. 従来 の輸送問 題(3 工場4 市場の 場合) 市場 需要量 ろ. ＆ ＆ ＆ この輸送問題で得 られた最適解は輸送手段（た とえばトラック）の種類や 積載量 といった輸送形態や，輸送時間のダ イナミック性について考慮されて いない。輸送問題に関する意思決定者 と，輸送の割 り当てに関する意思決定 者は同一の場合 もあ れば，異なる場合 もあ る。本稿で は，両者を考慮した輸 送／割当について,1 つの統一的 なアプ ローチを提唱する。 本稿で提唱するアプ ローチの流れを図2 に示す。以下に本アプ ローチの特 徴を列挙する。 剛 本アプローチは，伝統的な輸送問題 と輸送／割当問題 とに大 きく2 つの 段階に分けられる。

（2） 第i 段階の輸送問題では,VAM を用いて初期基底可能解を求め,次いで，MODI

により， その最適解を求 める。(3

） 第1 段階で得られた輸送問題の最適解を制約条件に加え，利用可能な輸 送手段を念頭 において，第2 段階の輸送／割当問題 を定式化する。

〔 第1 段 階 〕 輸 送 問 題 r-- ―--〔第2 段階〕 輸送／割 当問題 輸 送 計 画 問 題 へ の 静 学 的 ／ 動 学 的 アプ ロ ーチ3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ︲ 。( ( 静学的) 最 適解 (動学的) 実施可能性 チェ ック 図2. 輸送問題と輸送／割当問題 (4） 輸送手段 とそれぞ れの輸送量 を組合 せ論的 に求 め， シ ミュレ ー ション実 験 により， 実 施可能性 を検討 し，最終的 な代替 案を決 定 す る。 Ⅲ。輸送問題1. 輸送 問題 の定式化 基本的 な輸 送問題 は， 次の よ うに表現 さ れる。 図1 の ように訂 個の供給源 （工場）（/＝1 ，2,..., 顛 か ら川 固の需要地 （市場）（7＝1,2, …,N ）へ あ る製品 を輸 送した い場合, 各工場 限 お ける可能な供 給量a 涜 各市場ノで要求 す る需要量 かが わかっ てお り，かつ 各工場 から各市場 への運送 に要す る単位 製 品 当り輸送 費 用（輸 送 単価）Cijが与 え られてい るとき， 総 費用 が最 小にな る ように各工場 か ら各 市場 への輸送量心 の最適値を決 定す る。

この問題 は， 次 のよ うに定式化 で きる。 肛 目標 関数 （総 費用）2＝Σ ≒1 制約条件 ： ｙ Σ 戸i 訂 Σ /＝1 Xij ＝ αi Xij ＝bj MN ΣQi ＝Σ 匁 ニ1 ／＝1 ｙ Σ ノニ1 非負条 件 （非 負輸 送量）Xij≧0 CijXii 1 ＝ ． ２ ( 最 小 化) 2, ‥.,M jニl,2 ，.‥ ，N 剛 ② (3) (4) i＝1,2, ・.・？M, ノ＝1 ，2,...,iV （5） ここ に，式(2)は工 場jから各工 場 へ の出荷量 の総 和が その工場 の供給量 に等 しい こ とを，また式(3)は市場ヅヘ 各工 場 か ら供 給さ れる輸送量 が その市場の需 要量 に等 しい こ とを示 す。 そし て，式(4)は供 給量 と需要量 が等 しい場合( 需 要均 衡) を意味す る( そうで ない場合， 両 者 の差 に相当 する量 を供 給す る， ない し受 け入 れる仮想的 な( ダ ミー) 工 場 ないし市場 を仮 設す る)。2. 輸 送問題 の解法 輸 送問題 はIII.1 で示 したよ う に線形 計画 問題 として定式化で きるから， 一般 の線形計 画問題 の よう にシンプ レ ッ ダ ス法 を適用 して最適 解を求 めるこ とがで きる。 しかし問題 の構 造的 特 殊性 に着 目し て， 基 底可 能を求 めるた め の種 々の アプ ローチ が提 唱さ れてお り， かつ最適 化 アプ ローチ も確立 してい る。 輸送 問題 の初期基底可 能解 を求 めるた めの方法 としては，北 西隅法(The

輸送計画問題への静学的／動学的アプローチ5northwestcornermethod), 行最小輸送 単価法（Therowminimummethod).

列 最 小輸 送 単 価 法 （Thecolumnminimummethod ）,VAN （Vogel'sapproximationmethod ） な どが あ る。 こ こで は， 比 較 的 容 易 に最 適 解 に近 い解 が得 ら れ るVAM を 用 い て, 初 期 基 底 可 能解 を求 め るこ と に す る。さ ら に， 最適解を得 るた めの アプ ローチ として,MODI （Modifieddistributionmethod ） を適 用 す る「呪 こ れ ら2 つ の ア ル ゴ リ ズ ム を 連 続 し て 適 用 す る こ とに よ り， 第1 段 階の輸 送 問 題 の最 適解 を得 るプ ログ ラ ムを作 成 し た［注1 ］。以 下 にVAM お よびMODI の ア ル ゴ リ ズ ム の 大 略 を示 す。 剛VAM の手 順 （ ステ ップ1 ） 各 行 につ い て， 最 も低 い輸 送 単 価 と2 番 目 に 低 い輸 送 単 価 と の差 の絶 対値 （「ペ ナ ル テ ィ 数 」 とい う） を求 め る。 （ ステップ2 ）各 列 につ い て， ス テ ップ1 と同 様 の「ベ ナ ル テ ィ 数 」求 め る。 （ ス テップ3 ）「ペ ナル テ ィ数 」 の う ち，最 大 の値 を もつ 行 （ また は列 ） を 見 い だ す。 （ ス テップ4 ） 割 り当 て 得 る最 大 数 量 を， その行 （ また は 列 ） 中 の最 小輸 送 単 価 の セノレに割 り当 て る。 （ ステ ップ5 ） す べ て の割 り当て が終 了 す る まで ， ス テ ップ1 な い し4 を 繰 り返 す ○ ＝ （2 ）MODI の 手 順 （ス テップ1 ） 初 期 基 底 可 能 解 を求 め る に こで はVAM に よ る）。 （ ス テップ2 ）1 つ の“0" を 佑 か吻へ割 り付 け る。 そ し て， す べ て の 割 り付 け ら れた 七片 につ い て,Ui 十杓 十町 ＝0 を満 た す 哨 とり を決 定 す る。 （ ス テップ3 ） 空 の （割 り付 け ら れて い な い） セ ル につ い て，（Ui 十め 十Cij） の値 を計 算 す る。 も し，す べ て の（Ui 十防十dj ）の 値 が非 負 で あ れば 最 適 解 が 得 られた。 さ もな くば， 次 の ステ ップ へ行 く。 （ ステップ4) 負 で 最 も小 さ い（zむ十り 十dj ）の値 を もつ 空 の セ ル を 見 いだ す。 そ七 て， 次 にθ− パ ス を見 い だ す。1 ）負で 最 も小 さ い 脳 汁 り 十Cij）の値 を もつ 空 の セノレか ら始 め，こ れ を最 初 の 十∂セノレとす る。2 ）垂 直 あ る い ぱ 水 平 方 向 へ の み 移動 し，すで に割 り付 け ら れた セノレヘ 進 む。3) セル は， 十∂l， 一馬， 十 妬， …, −∂， 十e （元 の位 置 ） と交 互 に割 り付 け られ る。

（ ステ ップ5 ）−e を割 りつ けられた セル の な かで, 割 り付 けら れた配分量 が 最 小の分 だけ， 十θのセル は増加 し， 一汐の セル は減少 させ る。 （ ステ ップ6 ） ステップ1 ないし5 を ステップ4 で示 した最 適解 が得 られ る まで繰 り返 す。 IV 。輸 送／割 当問 題1. 輸 送／割 当問題 の定式化 輸送計 画解析 の結果， 各工場 か ら各市場 へ の輸 送量( 総量) が決 定され る と，次 は輸 送手段( た とえばト ラッ クや船 な ど，以後 ト ラン スポー ク と呼ぶ) への積 載量 を具体的 に決定 するこ とが問 題 とな る。 この問題 を輸 送 ／割当問 題 と呼 ぶ こ とにす る。 ここで,ttiを工場ii ＝1 ，2,..・,M) にお け る供給量 とし，あ( ＝1 ，2,.. ●, 川 を市場ノにお け る需要量 とす る。 これ らは輸 送計 画の段階で すで に確定 し てい る もの とす る。 そして，工 場訪’ら市場プヘ の力番 目のト ラン スポークの有 無 を表 わす変 数 としてy尚 を新 たに導 入 す る。また√各工 場 一市場 間 に割 り当 て られるト ラン スポ ークの総 台数 をPijで示 す。各ト ラン スポー クに割 り当て が可能な積載 容量( 限度) を/ijkで 示 し， 実 際の割 り当 て積 載量 をtijnで 表 す こ とにす る。なお, 特定 の工 場 一市場 間の輸 送 を割 り当 て られたト ラン スポー クは， 他の工場 もしくは市場で の輸 送 に は割 り当て られない もの とす る。 こ の問 題の ゴールや制約条件 は次 のよ うに ま とめ られ る。 巾 。 ト ラン スポー クの総 台数 を最 小化 す る。(2) 。 各工 場 にお け る平均 在庫量 を最 小化 す る。(3) 。 各工場 にお いて， ト ラン スポー クで積 み出さ れ る積載量 の総和 は その工 場 の総 生産量 に等 しい。(4) 。 各 市場 にお いて， ト ラン スポー ク から積 みおろ さ れる積載量 の総和 は そ の市場 の総 需要 量 に等 しい。(5) 。 各ト ラン スポークの割 り当て積 載量 は積 載容 量限度 を越 えない。(6) 。 割 り当て可 能なト ラン スポー ク ぱ， 運搬 の割 り付 けがあ るかあ るい はな いの いず れかで あ る。

輸 送 計 画 問 題 へ の 静 学 的 ／ 動 学 的 アプ ロ ーチ7 したがっ て，次 の ようなベ ー スライン・モ デル を得 る。

栃

ΣX

Σ

訂

Σ

i＝l ノ＝i f

ｙ

Σ

(y) ブ=i

訂

Σ

1 ＝ ． ２ tり-K

ハ

Σ

ん＝l 几 Σ k＝l -k ＝l ( 最 小化) ti抄yi作 帽りijk Vijk -の 一 一 あ 鍛in{l 匹 ，bj ＼ 九皿 ＝ 祖in[l匹 ，bj Vijk （2 ≦X ≦Pi _ヅ） -｜ 1 (最 小化) ( 尺 ＝DK-l Σtijk ＼ ル＝l foralli ，j，k 0 (6) (7) (8) (9) ゆ Ｄ ＧGI 2 。輸 送／割 当問題 にお ける積 載量 と在庫量 の関係 第l 段 階 にお い て，特定 の工場 か ら特定 の市場 へ の総 輸送 量 が決定 される と， 第2 段階 におい て， ト ランスポーク の種類 ， 台数，積 載量 を決定 す るこ とが問題 とな る。 ここで， もし，割 り当 てるこ とので きるト ラン スポークが 一 意 に決定 さ れ る場合 には， それが解 とな る。 しか し， い くつ かの代替案が あ る場合 には,IV.1 で 定式化 した目標 に応 じ て最 適解 が決 定さ れるこ とに

な る。 犬 工場 か らの製品 をト ラン スポー クが輸 送す る場合，大 別し て,2 つ のケー スが考 えられる。1 つ は，工 場 にお いてト ラン スポー クが待機 して いて， 定 められた数量 の製品が生産 され る とただ ちに輸送を行 うヶ− スで あ る(図3) 。 工 場 の 在 庫 量 工 場 の 在 庫 量 （b ）l 回あ たり の輸 送量 が少ない場合 図3. 輸送量と工場の在庫量の関 係 時 間 もうひ とつ は，輸 送予 定 の製品 の生 産 が完了 していて， すぐ輸 送で きる状 態 にあ るケー スであ る。 はじ めに， 工場で ト ラン スポ ーク が待機 して予定数量 の製 品 が生 産さ れ る とすぐ に輸 送す るケー スにつ い て考察 す る。 簡単の ため， 生産 量 や需要量 は 直線的 に変化 す る もの とす る。図3 におい て，（a） および（b ）の場合 を比較

輸送計画問題への静学的／動学的アプロ―チ9 す る。工 場j か ら工 場プヘ の総 輸 送 量 は同 量 で あ るが, （b ）の場 合 の ほ うが,(a ） の 場 合 よ り も工 場 に お け る平 均 在 庫量 が 少 な く,1 回 の輸 送 量 も少 ない 。 ま た， 市場 に対 す る供 給 間隔 が短 い。 しか し， その反 面 ， 輸 送 に必 要 なト ラン スポ ーク の 台 数 は 多 く な る。 し た がっ て， ト ラ ン スポ ー ク の 積 載 量 と工 場 側 の 在 庫量 に つ い て， ど ち らを重 要 視 す るか に よっ て採 択 す る代 替 案 が決 定 さ れ るこ とに な る。 次 に， 輸 送 予 定 の 製 品 が す べ て 完 成 し てい て， す ぐ に輸 送 で き る状 態 にあ るヶ − ス につ い て は， ト ラン スポ ーク1 台へ の割 り当 て 量 が 多 い 場 合 七少 な い 場 合で ぱ， 市 場 側 にお け る平 均 在 庫 量 が 異 な る。 こ の ヶ − ス にお い て も， ト ラ ン スポ ー ク の 台数 や積 載 量 を 考 慮 し て意 思 決 定 す る こ と に な る63. 輸 送 ／ 割 当 問 題 の シ ミュ レ ー シ ョ ン ・モ デ ル 輸 送 ／割 当 問 題 の 動 学 的 な 解析 を 行 うた め に， こ こで は， シ ミュ レ ー ショ ン 技 法 に よ るモ デ ル 化 お よび 解析 法 を提 唱 す る。 シ ミュ レ ー ショ ン ・モ デ ル で は, 物 理 的 な シ ス テ ムの 動 き・ 変 化 を表 現 す るモ デ ル を構 築 し，シ ミュ レ ー シ ョ ン実 験 を 遂 行 す るた めの 実 験 条 件 を指 定 す るパ ラメ ー タ 設定 を 行 うこ と が 必要で あ る。 シ ミュ レ ー シ ョ ン 実験 を 実施 す るの に必 要 なデ ー タ を， 輸 送 計 画 の場 合 と 対 比 して表1 に示 す。 また， 物理 的 な シ ス テ ム を 規 定 す るモ デ ル は， ト ラン 表1. 入力に必 要なデ ータ 輸 送 型 線 形 計 画 モ デ ル シ ミ ュ レ ー シ ョ ン モ デ ル 工 場 数 市 場 数 輸 送 単 価 （ 各 工 場 か ら 各 市 場 へ ） 輸 送 経 路 （ 各 工 場 か ら 各 市 場 へ ） 所 要 時 間 （ 各 工 場 か ら 各 市 場 へ ） 供 給 量 （ 各 工 場 ご と ） 需 要 量 （ 各 市 場 ご と ） 輸 送 ユ ニ ッ ト1 回 当 り 輸 送 量 輸 送 ユ ニ ッ ト 数 ＊ ＊ ＊ ＊ 木 ＊ ＊ ＊ ＊ ＊ ＊ ＊ ＊

スポー クの動 きをシ ミュレー ション ・モ デル として表現 すればよ く，図4 の よ うに簡 潔 に表 すこ とがで き る。 図4 で は，工 場 におい てト ラン スポ ークが 工場側 市場側 図4. シ ミュレ ー> ヨン・ モデル におけ るトラン スポ ータの動 き( 輸送／割 当問題) 待機 していて,定 められた数量の製品 が生産さ れるとただ ちに輸 送を行 うケー スをモデ ル化 してい る。 す な わち，工 場で は指 定数量 の製品が生産 さ れる ま で， ト ラン スポー クが待機 す る。 そし て，工場 を出発後 は市場 へ向 い， 市場 へ到着後 は製品 を積 みおろ し て，再 び工 場 へ戻 る。 V 。数 値 例 本稿で示 した手順 に基づ い て， 簡 単 な数値例 について， コンピュ ータ実験 を行う。 小 ま,i ミ場数 が3, 市場 数 が4 の場 合 につい て検討 する。各工場 の生産数， 各巾場の需 要数，および輸送 単価 をコンピュ ータへの入力の形で図5 （a）に 示 牛。 この輸送 問題 は線形 計画 モデ ル として次の ように表現 す るこ とがで き し 呻.f,y.は， 生産量 と需要量 が個， 輸送 単価 が10,000 円で あ る。）

輸 送 計 画 問 題 へ の 静学 的 ／ 動 学 的 アプ ロー チ11 **** 斧*************** 芙芙*** 人 力 チ ー タ の 表 示******** 簑***************** 工 場 場 量 市 要 需 ABC 生 産 量1700019000:180d0 ； 1 5000 274 2 8000 331 3 7000 Q ．︶47 4 14000 IODO-J ●一一-- 一一 一一一一一一一 一一一一 一一- 一 一一一一 一一- 一一 一一一 一一一-- 一一一 一一一--- 一一(a) 入 力 デ ー タ - − 秀￥ ￥§ そ§ 漸§§ 心 ぐ％￥ 芙外§§ 漸漸そ 外芙VAM に よ る 解 共§ 脊そ％ 外§ 外§ 共§ 蒼蒼外§ 漸秀そそそ そ分§ 秀で芙 一 一 一 一 一 場ASC 工 市 場 1 3000 2000 0 り 乙 000 0 0 8 3 0 7000 0 4 4000 0 10000 (b)VAM に よ る 解******** 秀******** 秀***** 最 適 解********************* 英****** 芙**** 1 市 場 1 一 一 - − -場ABC 工 5000 0 0 2 0 2000 6000 0 7000 0 −−−−一一一 一 4 2000 0 12000 （C ）MODI に よ る 最 適 解 図5 ． 輸 送 問 題 の 入 力 デ ー タ と 解 目 標 関 数 （ 総 費 用 ）2 ＝2 ×11＋3x12 ＋5 ×13十 ズi4＋l 尨 ＼＋3 池2 キ4 尨3 ＋6 匙4 十 行31 十 莉2 ＋7 お3 ＋2 莉4 （ 最 小 化 ） 匍丿約 条 件: χii十λ:i2十 ズi3十χl4 ＝7,000 池1 ＋ ズ22＋ χ23＋ 力4 ＝9,000X31 十X32 十 エ33＋ 莉4 ＝18,000 気l ＋ 氾 ＼＋ 刺1 ＋X4 ＼ ＝5,000Xl2 十λ:22＋ 池2 ＋ 賑i2=8,000 χi3＋ ズ23＋ 泗3 ＋ ぷ43 こ7,000XlA ＋ 池4 十 泗A 十 池4=14,000

非負条 件 （非 負輸送量） 心 ≧0 ， ＝ ．7 1,2,3 /=1,2,3,4 上 の定式化 にお いては， 供 給量 と需 要量 に関 す る制約 が設定 さ れてい る。 第1 段 階 にお い て,VAM およびMODI を適 用 して作成 し たアルゴ リズムによ り得 ら れた解 の出 力結果 を図5 （b ）お よび（C ）に示 す。図5 （c） より， 第1 段 階 の輸 送 問題 の最適解 として，次 の方策 が得 られた。 工 場A → 市場15,000 ユニ ット 工 場A → 市場42,000 ユニ ット 工場 且 → 市場22,000 ユニ ット 工 場 召 → 市場37,000 ユニ ット 工 場C → 市場26,000 ユニ ット 工 場C → 市場412,000 ユニ ット 次 に第2 段 階の輸 送／割 当問題 に進 む。 こ こで は， 第1 段階で決 定さ れた 数量 の製品 を すべ て輸 送 す るの に支障 が生 じ ない場 合 につい で考慮す る。 ト ラン スポー クの 割 り当てに際して， 次の2 通 りの ケー スがあ る。 ［ ケー ス1 ］割 り当 て可 能なト ラン スポ ークの種類 に制約 があ る場合： この 場合 に は， その 制約の もとに割 り当てを決 定す るこ とに なる。 ［ ケー ス2 ］ト ラン スポー クの割 り当 てに制約 が ない場 合： Ⅳ。2 で考察 し たよ うに， 一 般 に次 の2 つ の目標 が考慮 さ れるこ とにな る。 剛 ト ラン スポ ーク台数の最小化(2 ） 平均 在 庫量 の最小化 ここで は，工 場 は8 時 間1 シフト とし,1 時 間ご とにロ ット 単位で製品 が 生産さ れ るもの とす る。また，工 場 にお い てト ラン スポー クが待機 し ていて， 定 められた数量 の製品が完 成 しだ い輸 送 を行 う場 合 を念頭 にお いてい る。 目標関数 （ト ラン スポークの 台数）PllPl4 几2 Σy _{＼i々＋Σ3^14^ ＋}ΣV22 々k ＝l ん＝l ん＝l

乃3 乃2 P34

輸 送計 画問題 への 静学 的 ／動学的 アプ ローチ13

十ΣV23fe 十ΣV32fe 十ΣV34fe （最 小化 ）

ル＝lk ＝l k ＝l 目標関数（工場の平均在庫量）3 Σ ら(y ） （最小化）/ ＝1 制約条件Pll ハ4 ΣtiikVil 々＋ Σ/l4 リ14kk ＝lk ＝l 一 一 7,000 几2 乃3 Σ た2リ22 々 ＋ Σ だ3リ23々 ― ・9,000k ＝lk ＝l 乃2 八4 Σ ム2々V32々 十 Σ ム^ny^ね=18,000k ＝l ル＝l

ハ

Σ

ん＝l

乃

Σ

たiftVii ． -5,000 乃2 た2^3^22* ＋ Σ た2ky32k ＝8,000 ん＝lk ＝l

凡s Σ た皿 茜3 々 カ＝l

ハ

Σ

k ＝l ＝7,000 乃4 /l4゛Vl4々 ＋ Σ た4々V34ft ニ14,000k ＝l /liK ＝ 心inI/llK,5,000} （瓦＝1） 尺心twK ＝ 心in1/lIK,5,000 − Σ/ll.f （2 ≦尺≦Pn ）k ＝l

/iAK ＝ 撰in □i4K，2,0001 （K ＝l）K-l

た4K ＝ 加in｛/i4K，2,000 − Σtl4 バ （2 ≦瓦≦Pl4 ） ル＝l た2K ＝ 鍛in ＼I22K,2,000f （瓦＝l) 瓦-l レa 二min{ ん2K，2,000 − Σ だ副 （2 ≦K ≦P2, ） カ＝l た3K ＝ 謂in1/23K ，7,00 バ ト23 ｀ ニmin{/23 ゛.7,000 (尺＝l) K-l Σ だ3kIk ＝l （2 ≦K ≦P23 ） た2K＝min{/32K,6,000! （尺＝l）K-l レ2K ＝minI/32K,6,000 − Σh2k ＼ （2 ≦K ≦P32 ） か＝＼

Vijk 輸送 計画問題 への静学的 ／動学的 アプ ローチ15 min{/34K ，12,000} 床 ＝D K-l 鍛in 膳4K，12,000 − Σ/34ft た＝l 10 1 ＝ （2 ≦ 尺≦P34 ） forallpossiblecombinationsofijandk 上 の定式化 で は， ト ラン スポーク の割 り当て総 台数の最小化 目標 と， 各工 場 におけ る平均在 庫量 の最 小化 目標が 設定 されてい る。 ここで， 平均在 庫量 の値 はシミュレ ーション によっ て得 られ る。 制約条 件は工場 にお け る供 給量 と市場にお ける需要量 に関 す る制約で あ る。yijnは各トラン スポーク につ いて， 割 り当て るか否 かに関す る決 定変数で あ り，tij心よ対応 す る輸 送量で あ る。こ こで は， 問題の規模 が小 さい ので， 解 の組合 せを容易 に見いだ す こ とがで き る。トラン スポークの割 り当 てにつ い て，Ⅳ 。2で 述 べた2 つの ケー スにつ い て検 討してみ る。 その 結果 を表2 にま とめて示 す。 表中， 各工 場 の平均 在 庫 量 は1 日当 りで示 し てあ る。 ケース1 で は，割 り当 て可能 なト ラン スポークは1 種 類で あ り積 載限度 は1 台当り3,000 ユニ ットで あ る。この場 合, 表2 の左 側 よ り2 列 目 に示 す よ う に，各ト ラン スポ ークへの積 載割 り当てが行 われる。た とえば, 工場A か ら市 場1 へは2 台のト ラン スポ ークを割 り当 て， それぞれ3,000 ユニ ット と2,000 ユニット （計5,000 呉ニ ット） を積 載 す れば よいこ とを示 してい る。 さ らに， ケー ス2 で は， ト ラン スポーク の割 り当 てに関し て制約 の ない場 合 につい て， 割 り当 て総 台数の最 小化 と工 場 におけ る平 均在 庫量 の最 小化 の2 袖 の目標 を それぞれ単独で 設定 した場合 の輸 送／割当計画 につ いて も検 討 し た。特 に， ケー ス2 の場合， ト ラン スポー クの総割 り当て台数の最小化 を 図 るには代替 案1 を採択 す るこ とに な る。 他 方，各工場 にお け る平均 在 庫量 の最小化を 目指 す なら代替 案2 を採 択 す るこ とにな る。 なio， 表2 に示 した 平均 在庫量 はシ ミュレー ショ ン実験 に よっ て得 られた もので あ る。 以上 の よ うに，輸 送／割 当問題の具体 的 な実施 可能案 を得 るこ とがで きる。

表2. 輸送 ／割当 計画におけるトランスポ ータヘ の割 り当 てと工場の在庫量 輸 送 経 路 （ 総 輸 送 量 ） ケ ー ス1t ；ik（しjk ） ケ ー ス2 代 替 案1 代 替 案2t;jk

（i 八 ）ti 」μijk ）

工 場A--. 市 場1 （5000 ） 工 場A → 市 場4 （2000 ） 工 場B → 市 場2(2000 ） 工 場B → 市 場3 （7000 ） 工 場C → 市 場2 （6000) 工 場C → 市 場4(12000 ） y□1 ＝3000(3000)y 卜2 ＝2000(3000)yi41 ＝2000(3000)y2gl ＝2000(3000)y23i ＝3000(3000)y232 ＝3000 く3000)y233 ＝1000(3000)y32i ＝3000(3000)y3s2 ＝3000(3000)y34i ＝3000(3000)y3i2 ＝3000(3000)y343 ＝3000(3000)y344 ＝3000(30dO) yi,, ＝5000(5000)yi4i ＝2000(2000)yasi ＝2000 （2000)y23i ＝7000 （10000 ）y32i ニ6000 り0000)y3<i ＝10-000(10000 ）y342 ＝2000 （2000 ） yn1=1000 （1000)yi15=1000(1000)yi4i=1000(1000)yi42 ＝1000(1000)y22l=1000 （1000)y222 ＝1000(1000)y23i=1000 （1000 ）y2S7 ＝1000(1000 ）y32l ＝1000（1000)y32(5 ＝1000(1000 ）ym=1000 （1000 ）ys4 ，12=1000 （1000 工 場A の 平 均 在 庫 量 354.17 604.17 145.83 工 場B の 平 均 在 庫 量 437.50 812.50 145,83 工 場C の 平 均 在 庫 量 375.00 1375.00 125.00

輸送計画問題への静学的／動学的アプD ―チ17 また， シ ミュ レ ー シ ョン の実 行 の様 子 を アニ メ ー シ ョ ンで 表 示 す る こ とに よ り，時 々 刻 々 変 化 す る輸 送 状 態 を観 察 す る こ とが で き る。 アニ メ ー シ ョ ン の 一 例 を 図6 に示 す ［注2 ］。 r ￨ Plantl

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Pl ≪nt3 ．…・｜ U 奏Marke-tl ﹁ い い ﹂ ， l Markei;3 ≫^ ≪こ・ Market2 図6. 輸送 ／割当問題の アニメー ショ ンVI. 結 言 従来輸送問題 として解法 が確立 し てい る問題 につい て， 輸 送機 能が もつダ イナミックな特性 を考慮 して，統一 的 なアプ ロ ーチを提 唱 し，対応 す る一連 のプ ログ ラ ムを作成 した。そして，数値例 によ り その適用可 能性を確認し た。 ［注1 ］輸送問題にはBASIC を用いてプログラムを作成した。 ［注2 ］シミュレーション／アニメーションにはSIMAN ／Cinema を用いて プ ログラムを作成しが 几 文 献 ［1 ］人見勝 人， 『生産管理工学 』コロ ナ社 （1979）7 ］に75. に ］J.p.Ignizio,LinearProgramminginSingle-&Multiple-ObjectiveSystems,PrenticeHallInc.,EnglewoodCiffs,NJ （1982）278-305.

［3 ］高桑宗右 ヱ門（訳）（C.D.Pegden 原著）,rSIMAN によ るFA ・生産 シ ステ ムのシミュレ ーション』コ ロナ社 （1987 ）.