算額(その12) : 方内交斜三円術利用統計を見る

(1)

算額(その12) : 方内交斜三円術

著者名(日)

米山忠興, 木下宙

雑誌名

東洋大学紀要. 自然科学篇

号

52 ページ

87-96

発行年

2008-03

URL

http://id.nii.ac.jp/1060/00002534/

Creative Commons : 表示 - 非営利 - 改変禁止 http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/3.0/deed.ja

(2)

東洋大学紀要自然科学篇第52号：87−96（2008） 87

算額（その12）＊

方内交斜三円術

米山忠興＊＊，木下宙＊＊＊

Historical Japanese Geometry on Vbtive Tablets（12）

Three Circles and Two Oblique I．ines in Square ホ＊＊＊＊ Tadaoki YONEYAMA， Hiroshi KINOSHITA 図1 ＊平成19年度東洋大学特別研究（個人研究）「和算と算額の研究」の支援によって行なわれた．・・自然科学研究室〒112−8606 東京都文京区白山5−28−20 Natura1 Science Laboratory， Toyo University， 2＆20 Hakusan 5， Bunkyo−ku， Tokyo，112−8606， Japan ＊＊・国立天文台名誉教授〒181−8588 東京都三鷹市大沢2−21−1 Professor EmeritUs：National Astronomical Observatory，2−21−1 Mitaka￡ity， Tokyo，181−8588， Japan

(3)

88 米山忠興木下宙 1．方内交斜三円術ここで採り上げる「方内交斜三円術」は，厳密には「算額」からの問題ではなく，「精要算法巻之下』に載っている問題である．タイトル・ページのカラーの図1のように，正方形を2本の斜線で「適当に，うまく」分割して，その各部分に大・中・小の三円を入れるとき（ただし一本の斜線（甲斜）は，正方形の頂点を通る），三円径と正方形の大きさの関係は如何？ということである．ただし，甲斜・乙斜をいい加減にとると，あとの図4の矩形LCFHのようになって，カラー図1のようには小円が矩形の4つの辺に接することが出来ない．東北大学の和算資料データベース：「和算ポータル」によれば，藤田定資著・安島直円訂の『精要算法』は，上・中・下三巻の木版刷り刊本で，天明元年（1781年）の出版であるが，下巻にある安島直円の「顕」は安永八年己亥（1779年）となっている．この問題は，巻之下の17ページにもおよぶ「鉤股弦無奇」と「三斜及積無奇」の表のあとの第二間である．精要算法はこれまでもときどきは見ていたが，この問題にとくに注目したことはなかった．作家の鳴海風氏が和算家についての講演会を開くポスターにこの問題図を用いていたのを，木下が見つけて，問題を解き始めた．はじめは，とにかく解いてみようということで，解析幾何で強引に答えを出した．最終的にユークリッド幾何で解くと，余りにも簡単に解けてしまったので，ここで紹介するのを，躊躇したほどだった．しかし，以下のような理由で，簡単で，しかも非常にきれいな結果が出ているので，敢えてここで紹介することにした． ①大・中二円だけでも，甲斜と乙斜は必ず直交している． ②三辺が3：4：5の簡単なピタゴラスの三角形である． ③最後の（3つの円ではなくて）4つの円の大きさの比は，4：3：2：1である． ④高校数学のレベルで，十分に理解し，楽しむことが出来る．なお，上の③の一番小さい「第4の円」については，木下の高校の同級生：横田捷宏氏の指摘による．

(4)

89 方内交斜三円術

［方内交斜三円術］

叱

精要算法

今有如圖方内隔甲乙斜容大中小圓

撫只云大中小圓径甲乙斜及方面六和

語間方面幾何

答日方面一十二寸

術日置只云藪以︸＋乗之以五＋除之得方面合間

(5)

90

_{米山忠興木下}

宙皿．解析幾何による解法 A（0， B（0，0）

_{ax十by十e＝0}

C（1，0） 1_E （_，0） 1−c まず，正方形ABCDの座標を上の図3のようにとる． y座標がマイナスになるのは，横書き原稿の図としては描きにくいので，ここでは『精要算法』の図を90°回転して考えることにする．問題図のような二斜線と三円が描けたとき，一つの頂点Aを通りDC上の点F（1，c）で交わる直線（甲斜）と， BCの延長線上の交点をEとする． AABE， AFDA に内接する円の中心と半径をそれぞれ，01，02；r1， r2とする．

AE：y＝一（1−c）x＋1

（1−c）x＋y−1＝0 1 y＝0のとき，x＝ 1−c

AF＝1＋（1−c）2−2−2c＋c2≡d

AE2−1＋（1」c）2−（1（こ三）詰1 d ∴AE＝ 1−c 三角形とその内接円の関係から，号（1＋1↓，＋、ll−，）一｝・f， c

111

（2）（3）

(6)

方内交斜三円術 91

1 （4）

「1＝2＿c＋d

・，一（1−c）・1−，圭論． ⑤

また，2円：Olと02の共通外接線のうち， A（0，1）から遠い方（乙斜）を ax−1−bツ十e＝0，（6）ただし，a2十b2＝1 （7）とおく．すなわち α e （6）’

y＝一万x−b

よく知られているように，点（x。，y。）と直線：ax＋by＋e＝0の距離は lax。＋by。十el （8）

工

で与えられるが，いま，2円は直線に関して同じ側にあるから，絶対値に拘わらず同符号であればよい．｛

ar1十brl⊥e＝rl

（9）（10） a（1−r9 ＋b（1−r9 ＋e−r2 （9）’ （a十b）rl−rl十e＝0 ｛（10）’ （α斗b）（1− r2）−r2十e＝0 これを（a＋b），eの2元連立方程式として解く．（a十b）（rl十r2−1）＝（rl−r2） a＋b一昔言、−1＋（ 1−（1−c）1−c）一（2−c十d）一一S・よって（9）から・一｛・一（・＋b）｝・1−｛・＋i｝（，−i＋d） c＋d （11）（12） d（2−c十d）’ また，（11）と（7）から・・＋｛−a−S／2−1 2

_{2α2＋・弓＋》−1−・}

ここで，

ず一1−♂｝♂−c2 T（2ず＋♂）−2（1、≒だから

a2

_{{多・−1デー・}

（ 1α十一 d）（a−1デ）一・（13）

(7)

92

_{米山忠興木下}

宙・（a，b）一（−t，L7’），（1言6，−t）よって，醜（・）の傾きは一堰￨、iil・一｝，（14）（1 − c）（15） 1 2本の共通外接線のうち，傾きの大きい方は， 1−c’ （ここまでは，円03は関わっていないので，FはDC上の任意の点である．よって，この傾きは，Aを通る任意の直線と円Ol，円02の共通外接線の一つは，必ず直交していることを示している．［あとの皿の二斜線の直交を参照．］）・（a，・b）一（−t，L7−L’）・（16）次に，円03を考える．直線：ax＋by＋e＝0と点03の距離も公式（8）で与えられるが，絶対値の中の符号については，直線で区切られる2つの半平面のうち，原点（O，0）を含む方の半平面では，eの符号と一致する．いま，（12）から， e＞0で，03は原点と反対の半平面にあるから，マイナスをとる．（以下も同様である．） a（1−r3）＋b r3＋e ＝ −r3 ，（17）

mzi；

直線：AEと03の距離については，原点で絶対値の中がマイナスで，03も同じ半平面にあるから，（1−c）（1−r，）＋r、−1 ＝ −r3・（1−c）2十1 （17） ⇒ r3（1−a一トb）＝一（a十e）（18）⇒r3（c十d）＝c c（1−a十b）十（a十e）（c十d）＝0 （19）にa，b， eを代入すると， c（1＋7＋Li’）＋（一｝＋（18）（17）’ （18）’ （19） d（c十d2−c十d））（c＋d）−o c（2−c十d）2十（c＋d）｛（c十d）一（2−c＋d）｝＝O c｛（2−c）2十2d（2−c）十d2｝十（c十d）・2（c−1）＝O cd2十2d｛（2c−c2）十（c−1）｝十c｛（c2−4c十4）十（2c−2）｝＝O cd2十2d（−c2一ト3c−1）十c（c2−2c十2）＝0 2c d2＝2d（c2−3c十1） cd＝（c2−3c一ト1）両辺を2乗して，

(8)

方内交斜三円術 c2_{i2−2c十c2）＝（c2−3c十1）2} 2c2−2c3→−c4＝c4十9c2十1−6c3十2c2−6c 4c3−9c2十6c−1＝0 （c−1）2（4c−1）＝O

c≠1⇒c＝1．

4 このcを用いて，（・）⇒d−1＋（・一・）・一・＋（量）2一旦（・）⇒肥一、ll−i−÷一丁丁

またm・−1，BE−iだから

AB：BE：AE＝3：4：5． 1 （4）⇒「1＝2＿，＋d＝ 1 ＿1 2＿旦＋」Σ 3 4 4 （・）⇒・・一（1−・）・・−i十｝旦

（・8）’⇒・・一☆、4，；・

一十 4 4

5丁

＝ 2 3 十 2 4 2 4 93

(9)

94 _{米山忠興木下} 宙皿．Euclid的解法［二斜線（甲斜・乙斜）の直交］

A

B L

D

C E 正方形ABCDの一つの頂点Aを通り， DC上の任意の点Fで交わる直線と， BCの延長線上の交点をEとする．AABE， AFDAに内接する円の中心をそれぞれ01，02とする． AO 1の延長とBCの交点をLとし， LからAEに垂線をおろし，その足をHとし，さらにその延長線とDCの交点をMとする． AABLと∠IAHLにおいて，∠ABL＝∠AHL＝∠R，∠BAL＝∠HALだから，残りの ∠ALB＝∠ALHであり， ALは共通だから， AABL≡AAHL．よって，円01はBLと接しているから， HLとも接しているはず．また， AB＝AH．

次に2点AとMを結んで，AADMとAAHMを考える．∠ADM＝∠AHM＝∠R，

AD＝AB＝AH， AMは共通だから，鉤股弦の定理により， DM＝HM．よって，△ADM≡△AHM．円02はDMと接しているから， HMとも接している．（さらに，02はAM上にある．）ゆえに，円Oi，円02の共通接線であるLMは， AEと直交している．しかし，たとえば上の図4のような点Fをとると，矩形LCFHの4辺すべてに内接する円は描けないが，点Fをうまくとると次の図5のように，4辺すべてに内接する円を描くことが出来る．

(10)

方内交斜三円術 95 ［三円径］

A

B

_L

_C

D

図5

u

E

『精要算法』の問題図（図1∼図2）にあるような二斜線：甲斜・乙斜と，三円：大圓・中圓・小圓が描けたとする．前述のように，AE⊥LMだから，三円の中心：01，02，03は，それぞれの円が内接する矩形の長い方の対角線：AL， AM， LF上にあることは明らかである．（小円の中心03 がLF上にあることは， AABE。。 ALHEから，かんたんに示せる．）次に，三円の半径を，それぞれ，r1， r2， r3とする．∠ALB＋∠FLC＝∠Rだから， AABL。・・ALCFであり， BL＝LH＝LCだから， LはBCの中点である．ここでもAB＝1とすると，

器一…：⇒CF−1・r・一号・

また，∠IABE Oつ∠IFDA だから， …FD−1・i⇒r、・r・一・・i⇒r・一一1− ri CE＝uとおくと， AABEと∠IFCEにおいて， ⊥

1−⊥⇒4u＿1＋u⇒u＿1

3 1十u u よって，AABEは三辺の比が

(11)

96 米山忠興木下宙

3：4：5の直角三角形である． A 三角形、4ABEの面積と内接円0、（rl）の半径の関係から， 1＝−9一丁（1＋旦＋旦 3 3）−S・丁゜1 rl 12 1 4 2’「5−＝万’3 B

． 1 3 1 1 1

”「1＝言・「2＝4「1＝−Zi−・「3＝’2−「1＝6・

また・二斜線はM−i・号一号，

LM＿s×」＿」Σ． 6 3 2 …一丁，・r・−1，…一そ・よって，問題文の条件：六和は，

8十6十4十15十10十12 55

_{12 ’AB＝］7’AB＝55寸}

．’．AB＝12寸．さいごに，AFHMの内接円を考え，その半径をr4とする． AFHM≡AFCEで， AFCE o。，tlLHE，・H−÷，FC−tだから， r・一丁・・一吉ゆえに，・…，・・・…一噤E丁・丁・☆一・・3・2… 『精要算法』では，大・中・小の三円だけを問題にしているが乙斜と「四円」の美しい関係であることが分かる． ⊥3 ここに述べたように， E 甲・（方内交斜三円術の項終り）

算額(その12) : 方内交斜三円術 利用統計を見る