四変数基本対称式の解放

再考 「ガロア風 ４次方程式の解の求め方」

The second-thought of “the Galois-style way to solve a quartic equation”

Oomori, Yasuhiro in Himeji City, Japan Jan.6, 2013 Abstract 「ガロア風４次方程式の解の求め方」で求めた根を表す “𝑣” を変数とする関数𝜌(𝑣)は、次数が大きく 表記が煩雑でした。本文では、手順 Step1.5 で求めた “𝑙3”を変数とすることで “根”の簡素な表記を求め ます。 付記 1 §6. 𝑙3を根とする既約方程式 付記 2 §7. 手順 Step2 の拡張版 - 𝒱と𝑣の関係式- 付記 3 §8. 手順 Step1.3 の備考 - “根を未知数とする完全平方式の対称関数”- † 本文では、「有理的、関数、有理関数、添加、変数、平方根、立方根、順列の groupe、順列の groupe の置換、方程式の groupe、方程式の groupe の置換」等の用語及び使い回しは、上記の 論文（邦訳）から借用しています。

§1. 定義 ４次方程式は「ガロア風４次方程式の解の求め方」に引き続き次の式(1)と定義します。 𝑓(𝑥) = 𝑥4_{+ 𝑜𝑥}3_{+ 𝑝𝑥}2_{+ 𝑞𝑥 + 𝑟 = 0 𝑜, 𝑝, 𝑞, 𝑟 ∈ ℂ} = (𝑥 − α)(𝑥 − β)(𝑥 − γ)(𝑥 − δ) α, β, γ, δ ∈ {ρ ∈ ℂ|𝑓(ρ) = 0} (1) ⟺ � α + β + γ + δ αβ + αγ + αδ + βγ + βδ + γδ αβγ + αβδ + αγδ + βγδ𝑞 αβγδ = = = = −𝑜 𝑝 −𝑞 𝑟 (1′) ここで{𝑜, 𝑝, 𝑞, 𝑟}は既知数、{α, β, γ, δ}は未知数。 また、関数𝒱を式(2)で、 𝒱(α, β, γ, δ; 𝐀, 𝐁, 𝐂, 𝐃) ∶= 𝐀α + 𝐁β + 𝐂γ + 𝐃δ (2) 𝐀, 𝐁, 𝐂, 𝐃は既知数。 “根を未知数とする関数” 𝑙3を式(3)で定義します。 𝑙3= α + β − γ − δ (3) 𝑙3式(3)を関数𝒱で表すと、式(4)と成ります。 𝑙3= 𝒱(α, β, γ, δ; 1,1, −1, −1) (4) 𝒱(α, β, γ, δ; 1,1, −1, −1)を今後の簡便性を考慮して“𝜓(α, β, γ, δ)”式(5)とします。 𝒱(α, β, γ, δ; 1,1, −1, −1) ∶= 𝜓(α, β, γ, δ) (5) “𝑙3‡”は「ガロア風４次方程式の解の求め方」の手順 Step1 で“有理的な関数” 式(6)として求まっていま す。 ‡: “関数 𝑙3(𝑜, 𝑝, 𝑞, 𝑟)”は多価関数になるので１価を選択しています。 𝑙3= �1₃Ø2+ω₃ �3 1₂�Ø3+ �Ø4�+ω 2_𝐶 3 � 1 2�Ø3+ �Ø4� −3 = α + β − γ − δ (6) ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧Ø1∶= −𝑜 Ø2∶= −4𝑓”�−𝑜₄� Ø3∶= 3Ø2𝐶 − 𝐷̇ Ø4∶= Ø32− 4𝐶3 (6.2) �𝐶 ∶= 4𝑓” 2_�−𝑜 4� + 3 ∙ 43𝑓 � −𝑜 4� 𝐷̇ ∶= −43_𝑓”3_�−𝑜 4� − 33∙ 43𝑓’2� −𝑜 4� (6.3)

�𝑓’(𝑥) ∶= 𝑑𝑑(𝑥) 𝑑𝑥 = 4𝑥3+ 3𝑜𝑥2+ 2𝑝𝑥 + 𝑞 𝑓”(𝑥) ∶=𝑑2_𝑑𝑥𝑑(𝑥)2 = 12𝑥2+ 6𝑜𝑥 + 2𝑝 (6.4) 本文では「ガロア風４次方程式の解の求め方」の手順 Step2’、手順 Step3’として “有理的な関数 𝑙3 ” 式(6)と“ 根 α ”との関係式を求め、さらに“ 根 α ” および“ 根 β, γ, δ ”を“有理的な関数 𝑙3 ”を変数と する関数として有理的に求めます。

§2. 手順 Step2’ - 「ガロア風４次方程式の解の求め方」の手順 Step2 を読みながら - ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧𝑙_{−𝑜 =}3 = α + β − γ − δ (2 − 1.1.1)_{α + β + γ + δ} 𝑝 = αβ + αγ + αδ + βγ + βδ + γδ −𝑞 = αβγ + αβδ + αγδ + βγδ𝑞 𝑟 = αβγδ � (2 − 1.1.2) Step2’.1 式(2 − 1.1) より“有理的な関数 𝑙3 ” と一つの“根 α ”との恒等式(2 − 1.2)に {𝑙3− (α + β − γ − δ)} = 0 (2 − 1.2) 恒等置換を除く“方程式の groupe”(𝐺)の根の置換の内で“根 α ”を変換しないすべての置換“ 𝝉𝑛 ” 𝑛 ∈ {1,2,3,4,5}と “有理的な関数 𝑙3 “とからなる次の式(2 − 1.3)を、 𝑔′ = {𝑙3− 𝝉1𝜓(α, β, γ, δ)}{𝑙3− 𝝉2𝜓(α, β, γ, δ)}{𝑙3− 𝝉3𝜓(α, β, γ, δ)}{𝑙3− 𝝉4𝜓(α, β, γ, δ)}{𝑙3− 𝝉5𝜓(α, β, γ, δ)} (2 − 1.3) ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧𝝉_𝝉1= (γδ) 2= (βδ) 𝝉3= (βγ) 𝝉4= (βγδ) 𝝉5= (βδγ) 両辺にかけると恒等式 式(2 − 2) が得られます。 𝐹′(𝑙3, α, β, γ, δ) ∶= {𝑙3− 𝜓(α, β, γ, δ)}𝑔 = 0 ⇓ {𝑙3− (α + β − γ − δ)}{𝑙3− (α + γ − δ − β)}{𝑙3− (α + δ − β − γ)} _{× {𝑙3− (α + β − δ − γ)}{𝑙3− (α + δ − γ − β)}{𝑙3− (α + γ − β − δ)} = 0} ⇓ (𝑙3− 𝑙3)(𝑙3−𝑙2)(𝑙3− 𝑙4)(𝑙3− 𝑙3)(𝑙3− 𝑙2){𝑙3− 𝑙3} = 0 _{(2 − 2)} � 𝑙1 𝑙2 𝑙3 𝑙4 ∶= α + β + γ + δ ∶= α − β + γ − δ ∶= α + β − γ − δ ∶= α − β − γ + δ (2 − 3)

この式(2 − 2)を展開し式(2 − 1.1.2)で変数変換すると式(2 − 4) になります。 𝐹′(𝑙3,α, 𝑜, 𝑝, 𝑞) ∶= 𝐹′(𝑙3, α) ∶= �𝑙33− 𝑙32(4α + 𝑜) +1₂𝑙3{(4α + 𝑜)2− 𝑜2} − 𝑑2� 2 = 0 (2 − 4.1) ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧𝑐2∶= 4𝑓”2�−𝑜₄� − 43𝑓 �−𝑜₄� = 𝑙22𝑙32+ 𝑙22𝑙42+ 𝑙32𝑙42 𝑜2∶= −4𝑓” �−𝑜₄� = 𝑙22+ 𝑙32+ 𝑙42 𝑑2∶= 8𝑓’ �−𝑜₄� = 𝑙2𝑙3𝑙4 (2 − 4.2) 𝐹′(𝑙3, α, 𝑜, 𝑝, 𝑞)式(2 − 4) は上記の式(2 − 2)の根の対称性から、 “方程式の groupe”(𝐺)のすべての根の 置換に対して恒等性を保存します。すなわち、すべての置換∀𝝈 ∈ 𝐺に対して 式(2 − 5) が成り立ちます。 𝝈𝐹′(𝑙3, α, 𝑜, 𝑝, 𝑞) = 0 ∀𝝈 ∈ 𝐺 (2 − 5) 特に、置換𝝈1と𝝈7 式(2 − 6)では �𝝈1 = (αβ)(γδ) = �αβγδβαδγ� 𝝈9∶= (αβ) = �αβγδ_βαγδ� (2 − 6) 次の式(2 − 7)が成り立ちます。 �𝝈1𝐹′(𝑙3, α, 𝑜, 𝑝, 𝑞) = 𝐹′(𝝈1𝑙3, 𝝈1α, 𝝈1𝑜, 𝝈1𝑝, 𝝈1𝑞) = 𝐹′(𝑙3, β, 𝑜, 𝑝, 𝑞) = 0 𝝈9𝐹′(𝑙3, α, 𝑜, 𝑝, 𝑞) = 𝐹′(𝝈9𝑙3, 𝝈9α, 𝝈1𝑜, 𝝈1𝑝, 𝝈1𝑞) = 𝐹′(𝑙3, β, 𝑜, 𝑝, 𝑞) = 0 (2 − 7) よって、“ α ”と “ β ”を“ ξ ”式(2 − 8)で表すと、 ξ ∈ {α, β} (2 − 8) 式(2 − 4.1)と式(2 − 1.1.2)から“ α ”と“ β ”を２つの共通根とする連立方程式 式(2 − 9)が得られました。 �𝑓(ξ) = 𝜉 4_{+ 𝑜𝜉}3_{+ 𝑝𝜉}2_{+ 𝑞𝜉 + 𝑟 = 0} 𝐹′(𝑙3,ξ) ≜ 𝐹′(𝑙3, ξ, 𝑜, 𝑝, 𝑞) = �𝑙33− 𝑙32(4ξ + 𝑜) +1₂𝑙3{(4ξ + 𝑜)2− 𝑜2} − 𝑑2� 2 = 0 (2 − 9)

Step2’.2 -「命題Ⅴ」を読みながら - ２つの共通根をもつ連立方程式 式(2 − 9)を変形し、“ ξ ”の次数が 2 次の既約方程式を導出し、さら にその２次の方程式を変形し“根 ξ ”を“ 𝑙3を変数とする関数”としてを求めて行きます。 式(2 − 9)の因数から、“ ξ ”の次数が 2 次の方程式(2 − 10) が得られます。 𝑙3(4ξ + 𝑜)2− 2𝑙32(4ξ + 𝑜) + 2𝑙33− 𝑜2𝑙3− 2𝑑2= 0 (2 − 10) よって“ 根 ξ ” は“ 𝑙3を変数とする関数”𝜌′(𝑙3) 式 (2 − 11)で表せ有理的に求りました。 ξ = 𝜌′_(𝑙 3) ∶=1₄�−𝑜 + 𝑙3± �𝑜2− 𝑙32+ 2𝑑_𝑙2 3� (2 − 11.1) ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧𝑐2= 4𝑓”2�−𝑜₄� − 43𝑓 �−𝑜₄� 𝑜2= −4𝑓”�−𝑜₄� 𝑑2= 8𝑓’ �−𝑜₄� (2 − 11.2)

§4. 手順 Step3’ -「原理の補助定理Ⅳ」を読みながら - 上記Step2’の式(2 − 7)では �𝝈1𝐹(𝑙3, α) = 𝐹(𝝈1𝑙3, 𝝈1α) = 𝐹(𝑙3, β) = 0 𝝈9𝐹(𝑙3, α) = 𝐹(𝝈9𝑙3, 𝝈7α) = 𝐹(𝑙3, β) = 0 (2 − 7) が成り立ちました。 次の、置換𝝈6式(3 − 1)で 𝝈6∶= (αγ)(βδ) = �αβγδ_{γδαβ� (3 − 1)} 式(2 − 7)を変換すると式(3 − 2)が成り立ちます。 �𝝈6𝐹(𝑙3, α) = 𝐹(𝝈6𝑙3, γ) = 0 𝝈6𝐹(𝑙3, β) = 𝐹(𝝈6𝑙3, δ) = 0 (3 − 2) よって、“ γ ”と“ δ ”を“ η ”式(2 − 10)で表すと、 η ∈ {γ, δ} (3 − 3) “ γ ”と“ δ ”を共通根とする連立方程式 式(3 − 4)が得られます。 �𝑓_𝐹′(𝝈(η) = 0 6𝑢, η) = 0 (3 − 4) これより“ γ ”と“ δ ”は式(3 − 5)で表せます。 η = 𝜌′(𝝈8𝑙3) (3 − 5) 𝝈6𝑢は式(3 − 6)の関係があるので 𝝈6𝑙3= 𝝈6𝜓(α, β, γ, δ) = 𝜓(γ, δ, α, β) = −α − β + γ + δ = −𝑙3 (3 − 6) よって、“ 根 η ” は“ 𝑙3 ”を変数とする関数𝜌′(𝑥)を用いて 式 (3 − 7) と表せ有理的に求りました。 η = 𝜌′(−𝑙3) (3 − 7)

§5. ４次方程式の根 Step2’、Step3’と「ガロア風４次方程式の解の求め方」の Step1 をまとめると、４次方程式の根は𝑙3を 用いて式(4 − 1)と表せ有理的に求りました。 { ρ | 𝑓(ρ) = ρ4_{+ 𝑜ρ}3_{+ 𝑝ρ}2_{+ 𝑞ρ + 𝑟 } = { 𝜌} 1′(𝑙3),𝜌1′(−𝑙3), 𝜌2′𝑙3, 𝜌2′(−𝑙3) } (4 − 1) ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎧_𝜌 1′(𝑥) =1₄�−𝑜 + 𝑥 − �𝑜2− 𝑥2+ 2𝑑_{𝑥 �}2 𝜌2′(𝑥) =1₄�−𝑜 + 𝑥 + �𝑜2− 𝑥2+ 2𝑑_{𝑥 �}2 (4 − 1.2) ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧𝑐2∶= 4𝑓”2�−𝑜₄� − 43𝑓 �−𝑜₄� 𝑜2∶= −4𝑓”�−𝑜₄� 𝑑2∶= 8𝑓’ �−𝑜₄� (4 − 1.2.2) 𝑙3= � 1₃Ø2 + ω ₃ 3�1₂�Ø3+ �Ø4� + ω 2_𝐶 3 � 1 2�Ø3+ �Ø4� −3 𝜔: 𝜔2_{+ 𝜔 + 1} = 0 (4 − 1.3) ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧Ø1∶= −𝑜 Ø2∶= −4𝑓” �−𝑜₄� Ø3∶= 3Ø2𝐶 − 𝐷̇ Ø4∶= Ø32− 4𝐶3 (4 − 1.3.2) �𝐶 ∶= 4𝑓” 2_�−𝑜 4� + 3 ∙ 43𝑓 � −𝑜 4� 𝐷̇ ∶= −43_𝑓”3_�−𝑜 4� − 33∙ 43𝑓’2� −𝑜 4� (4 − 1.3.3) �𝑓’(𝑥) ∶= 𝑑𝑑(𝑥) 𝑑𝑥 = 4𝑥3+ 3𝑜𝑥2+ 2𝑝𝑥 + 𝑞 𝑓”(𝑥) ∶=𝑑2_𝑑𝑥𝑑(𝑥)2 = 12𝑥2+ 6𝑜𝑥 + 2𝑝 (4 − 1.4)

§6. 付記１ 𝑙3を根とする既約方程式 𝑙3を根とする既約方程式を求ます。 “方程式の groupe”(𝐺)の置換すべてを用いて𝑙3= α + β − γ − δを置換した関数は重複を除いて次の式 (6 − 1)と成ります。 𝐺𝑙3= �(α + β − γ − δ) , (α − β − γ + δ), (α − β + γ − δ),_{(−α − β + γ + δ), (−α + β + γ − δ), (−α + β − γ + δ)�} (6 − 1) この式(6 − 1)から恒等式(6 − 2)が得られます。 {𝑙3− (α + β − γ − δ)}{𝑙3− (α − β − γ + δ)}{𝑙3− (α − β + γ − δ)} × {𝑙3− (−α − β + γ + δ)}{𝑙3−(−α + β + γ − δ)}{𝑙3− (−α + β − γ + δ)} = 0 (6 − 2) 式(6 − 2)を変形すると式(6 − 6)が得られます。 {𝑙3− 𝑙3}{𝑙3− 𝑙4}{𝑙3− 𝑙2}{𝑙3− (−𝑙3)}{𝑙3− (−𝑙4)}{𝑙3− (−𝑙2)} = 0 (6 − 3.1) � 𝑙1 𝑙2 𝑙3 𝑙4 ∶= α + β + γ + δ ∶= α − β + γ − δ ∶= α + β − γ − δ ∶= α − β − γ + δ (6 − 3.2) �𝑙32− 𝑙32��𝑙32−𝑙42��𝑙32− 𝑙22� = 0 (6 − 4) 𝑙36− �𝑙22+ 𝑙32+ 𝑙42� 𝑙34+�𝑙22𝑙32+ 𝑙22𝑙42+ 𝑙32𝑙42�𝑙32− (𝑙2𝑙3𝑙4)2= 0 (6 − 5) 𝑙36− �4𝑓”2�−𝑜₄� − 43𝑓 �−𝑜₄�� 𝑙34+ �−4𝑓”�−𝑜₄�� 𝑙32− �8𝑓’ �−𝑜₄�� 2 = 0 (6 − 6) 𝑙3を根とする既約方程式(6 − 7)が求まりました。 ∴ 𝑙36− 𝑜2𝑙34+𝑐2𝑙32− 𝑑23= 0 (6 − 7.1) ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧𝑐2∶= 4𝑓”2�−𝑜₄� − 43𝑓 �−𝑜₄� = 𝑙22𝑙32+ 𝑙22𝑙42+ 𝑙32𝑙42 𝑜2∶= −4𝑓”�−𝑜₄� = 𝑙22+ 𝑙32+ 𝑙42 𝑑2∶= 8𝑓’ �−𝑜₄� = 𝑙2𝑙3𝑙4 (6 − 7.2)

§7. 付記２ 手順 Step2 の拡張版 - 𝒱と𝑣の関係式- 𝒱を𝑣の関数で表します。 𝒱式(7 − 1)を𝑙1,𝑙2, 𝑙3, 𝑙4式(7 − 2)と𝑣式(7 − 3)で変数変換すると 𝒱 = 𝐀α + 𝐁β + 𝐂γ + 𝐃δ (7 − 1) � 𝑙1= α + β + γ + δ = −𝑜 𝑙2= α − β + γ − δ 𝑙3= α + β − γ − δ 𝑙4= α − β − γ + δ (7 − 2) 𝑣 = α + 𝑖β − γ − 𝑖δ (7 − 3) 式(7 − 4)を得ます。 𝒱 = 𝐀α + 𝐁β + 𝐂γ + 𝐃δ =1₄(𝐀 + 𝐁 + 𝐂 + 𝐃)(α + β + γ + δ) +1₄(𝐀 − 𝐁 + 𝐂 − 𝐃)(α − β + γ − δ)

+1₄(𝐀 − i𝐁 − 𝐂 + i𝐃)(α + iβ + γ − iδ) +1₄(𝐀 + i𝐁 − 𝐂 − i𝐃)(α − iβ + γ + iδ) =1₄(𝑎1𝑙1+𝑎2𝑙2+𝑎4𝑣 +𝑎3𝑣′) (7 − 4) � 𝑎1∶= 𝐀 + 𝐁 + 𝐂 + 𝐃 𝑎2∶= 𝐀 − 𝐁 + 𝐂 − 𝐃 𝑎3∶= 𝐀 + i𝐁 − 𝐂 − i𝐃 𝑎4∶= 𝐀 − i𝐁 − 𝐂 + i𝐃 (7 − 4.1) 𝑣′ ∶= (1 − i)𝑙3+₂𝑖𝑣 = α − 𝑖β − γ + 𝑖δ (7 − 4.2) ここで_{𝑣, 𝑣′と𝑙3, 𝑙4}には次の関係式(7 − 5)がなりたちます。 �𝑣 = 1 2(𝑙3+ 𝑙4) + 𝑖 2(𝑙3− 𝑙4) 𝑣′ =1₂(𝑙3+ 𝑙4) −₂𝑖(𝑙3− 𝑙4) (7 − 5.1) �𝑙3 = 1 2(𝑣 + 𝑣′) − 𝑖 2(𝑣 − 𝑣′) 𝑙4 =1₂(𝑣 + 𝑣′) +₂𝑖(𝑣 − 𝑣′) (7 − 5.2) 式_{(2 − 4.2)を式(7 − 5.2)で変数変換すると式(7 − 6)が得られます。} ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎧𝑐2 = 𝑙22𝑙32+ 𝑙22𝑙42+ 𝑙32𝑙42 = 𝑙22�(𝑣 + 𝑣 ′₎2 2 − (𝑣 − 𝑣′)2 2 � + � (𝑣 + 𝑣′₎2 2 + (𝑣 − 𝑣′)2 2 � 2 𝑜2 = 𝑙22+ 𝑙32+ 𝑙42 = 𝑙22+ �(𝑣 + 𝑣 ′₎2 2 − (𝑣 − 𝑣′)2 2 � 𝑑2 = 𝑙2𝑙3𝑙4 = 𝑙2�(𝑣 + 𝑣 ′₎2 2 + (𝑣 − 𝑣′)2 2 � (7 − 6)

この式_{(7 − 6)と式(7 − 4)から𝒱, 𝑙1, 𝑙2, 𝑣}′の連立方程式(7 − 7)が成り立ちます。 ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎧4𝒱 = 𝑎_{−𝑜 = 𝑙}1𝑙1+𝑎2𝑙2+𝑎4𝑣 +𝑎3𝑣′ 1 𝑐2 = 2𝑣𝑣′𝑙22+ (𝑣2+ 𝑣′2)2 = 4𝑓”2�−𝑜₄� − 43𝑓 �−𝑜₄� 𝑜2 = 𝑙22+ 2𝑣𝑣′ = −4𝑓”�−𝑜₄� 𝑑2 = 𝑙2(𝑣2+ 𝑣′2) = 8𝑓’ �−𝑜₄� (7 − 7) 連立方程式(7 − 7)を展開し整理すると𝒱, 𝑙2, 𝑣′の連立方程式(7 − 8)が成り立ちます。 ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧4𝒱 − (−𝑎1𝑜 +𝑎2𝑙2+𝑎4𝑣 +𝑎3𝑣′) = 0 𝑙25− 2𝑜2𝑙23+ (𝑜22+ 4𝑣4)𝑙2− 4𝑑2𝑣2 = 0 𝑙26− 𝑜2𝑙24+ 𝑐2𝑙22− 𝑑22 = 0 𝑣′ =𝑜2_2𝑣− 𝑙22 (7 − 8) 連立方程式(7 − 8)を展開し整理すると𝒱, 𝑙2の連立方程式(7 − 9)が成り立ちます。 ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧4𝒱 − �−𝑎1𝑜 +𝑎2𝑙2+𝑎4𝑣 +𝑎3𝑜2− 𝑙2 2 2𝑣 � = 0 𝑙24+−4𝑣 4_{+ 𝑐} 2− 𝑜22 𝑜2 𝑙2 2₊4𝑑2𝑣2 𝑜2 𝑙2− 𝑑22 𝑜2 = 0 (−4𝑣4_{+ 𝑐} 2+ 𝑜22)𝑙23+ (−4𝑜2𝑣4+ 4𝑑2𝑣2− 𝑜23)𝑙22− 𝑑22𝑙2+ 4𝑜2𝑑2𝑣2 = 0 (7 − 9)

連立方程式(7 − 9)から、𝑙2の 1 次式を求めると𝑣を変数とする関数𝒱 式(7 − 10)が得られました。 �𝒱 =14�−𝑎1𝑜 +𝑎2l2(𝑣) +𝑎4𝑣 +𝑎3 𝑜2− l22(𝑣) 2𝑣 � 𝑙2 = l2(𝑣) (7 − 10.1) l2(𝑥) = 𝜇1(𝑥)𝜆2(𝑥)𝜆3(𝑥) − 𝜇2(𝑥)𝜆1(𝑥)𝜆3(𝑥) + 𝜇4(𝑥)𝜆1 2_(𝑥) 𝜇1(𝑥)𝜆1(𝑥)𝜆3(𝑥) − 𝜇1(𝑥)𝜆22(𝑥) + 𝜇2(𝑥)𝜆1(𝑥)𝜆2(𝑥) − 𝜇3𝜆12(𝑥) (7 − 10.2.1) ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎧𝜆1(𝑥) =−4𝑥 4_{+ 𝑐} 2− 𝑜22 𝑜2 𝜇1 2_{(𝑥) + 𝜇} 22(𝑥) − 𝜇1(𝑥)𝜇3(𝑥) 𝜆2(𝑥) =4𝑑2𝑥 2 𝑜2 𝜇1 2_{(𝑥) + 𝜇} 2(𝑥)𝜇3(𝑥) − 𝜇1(𝑥)𝜇4(𝑥) 𝜆3(𝑥) = −𝑑2 2 𝑜2 𝜇1 2_{(𝑥) + 𝜇} 2(𝑥)𝜇4(𝑥) (7 − 10.2.2) ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧𝜇1(𝑥) = −4𝑥4+ 𝑐2+ 𝑜22 𝜇2(𝑥) = −4𝑜2𝑥4+ 4𝑑2𝑥2− 𝑜23 𝜇3(𝑥) = −𝑑22 𝜇4(𝑥) = 4𝑜2𝑑2𝑥2 (7 − 10.3.1) ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧𝑐2= 4𝑓”2�−𝑜₄� − 43𝑓 �−𝑜₄� 𝑜2= −4𝑓”�−𝑜₄� 𝑑2= 8𝑓’ �−𝑜₄� (7 − 10.3.2)

§8. 付記３ 手順 Step1.3 の備考 - “根を未知数とする完全平方式の対称関数”- “方程式の groupe”(𝐺)のすべての根の置換で不変な “根を未知数とする完全平方式の関数”は、 (𝐺) ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎧αβγδ, αβδγ, βαδγ, βαγδ, γδαβ, δγαβ, δγβα, γδβα, αγδβ, αδγβ, γαβδ, δαβγ, δβαγ, γβαδ, βδγα, βγδα, αδβγ, αγβδ, δαγβ, γαδβ, βγαδ, βδαγ, γβδα, δβγα; �𝐺Ⅰ� ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧αβγδ, αγδβ, αδβγ, βαδγ, γαβδ, δαγβ, γδαβ, δβαγ, βγαδ, δγβα, βδγα, γβδα; Fig. 1 ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧�αβγδ_{αβγδ� ∶= 𝝈}′1, �αβγδ_{βαδγ� ∶= 𝝈}′2, �αβγδ_{γδαβ� ∶= 𝝈}′3, �αβγδ_{δγβα� ∶= 𝝈}′4, �αβγδ_{αγδβ� ∶= 𝝈}′ 5, �αβγδ_{γαβδ� ∶= 𝝈}′6, �αβγδ_{δβαγ� ∶= 𝝈}′7, �αβγδ_{βδγα� ∶= 𝝈}′8, �αβγδ_{αδβγ� ∶= 𝝈}′ 9, �αβγδ_{δαγβ� ∶= 𝝈}′10, �αβγδ_{βγαδ� ∶= 𝝈}′11, �αβγδ_{γβδα� ∶= 𝝈}′12_⎭⎪ ⎬ ⎪ ⎫ ≜ 𝐺Ⅰ �𝐺Ⅰ�の置換 Fig. 2 “部分 groupe”�𝐺Ⅰ�のすべての“根の置換” で𝑣 = 𝜑(α, β, γ, δ)を置換して得られる 12 本の関数を元とす る６次の基本対称式𝜃Ⅰ′ 式(8 − 1)から、 𝜃Ⅰ′ ∶= � 𝝈′𝑖 𝑣 ∙ 𝝈′𝑗 𝑣 ∙ 𝝈′𝑘 𝑣𝝈′𝑙 𝑣 ∙ 𝝈′𝑚 𝑣 ∙ 𝝈′𝑛 𝑣 𝝈′𝑖, 𝝈′𝑗, 𝝈′𝑘 𝝈′𝑙, 𝝈′𝑚, 𝝈′𝑛∈𝐺Ⅰ 𝑖<𝑗<𝑘<𝑙<𝑚<𝑛 (8 − 1) ΘⅠ′ 2式(8 − 2)として有理的に求めれます。 Θ_Ⅰ′ 2_{= �𝜃} Ⅰ′ − 𝝉1𝜃Ⅰ′ � 2 = −411₅2_{Δ (8 − 2.1)} Δ= {(α − β)(α − γ)(α − δ)(β − γ)(γ − δ)(δ − β)}2 _{(8 − 2.2)} 𝝉1= (γδ)

Reference：

［１］Évariste Galois ．“ Mémoire sur les conditions de résolubilité des équations par radicaux ”

Internet Archive ．http://archive.org/details/uvresmathmatiqu00frangoog ． ［２］彌永 昌吉 ．“ ガロアの時代 ガロアの数学 第二部 数学篇 ”

㈱シュプリンガーフェアラーク東京，2002 pp233∼250 ［３］“４次方程式の解のリゾルベントを用いた簡素な表記” ［４］“ガロア風 ４次方程式の解の求め方”