<4D F736F F F696E74202D D488A778AEE B4F93B982CC8AEE A2E707074>

(1)

Tokyo Institute of Technology Laboratory for Space Systems (LSS)

宇宙工学基礎

（軌道の基礎）

松永三郎

機械宇宙学科・機械宇宙システム専攻

Tokyo Institute of Technology

ニュートン

ニュートンの

の

の法則

法則

第

第１

１ １法則

１ 法則

法則）

法則

））

）

力

力が

が作用

が

作用

作用しない

しない

しない限

限

限り

り、

り

、

、質点

質点

質点は

は

は静止

静止ないしは

静止

ないしは

ないしは一定速度

一定速度

一定速度で

で

で運

運

動

動する

する

する。（

。（

。（慣性

慣性の

慣性

の

の法則

の

法則

法則）

））

）

→

慣性空間

慣性空間、

慣性空間

、

、慣性座標系

慣性座標系の

慣性座標系

の

の定義

定義

第

第2法則

法則

法則）

法則

））

）

慣性座標系

慣性座標系における

慣性座標系

における質点

における

質点

質点の

の

の運動

の

運動

(1)

F：

：：

：全作用力

全作用力

全作用力，

，

， p=mv：：：：並進運動量

並進運動量

並進運動量（

（（

（質量

質量と

質量

と

と速度

速度

速度の

の

の積

積

積）

））

）

慣性系

慣性系を

を

を規準

規準

規準として

として

として時間微分

時間微分

時間微分を

時間微分

を行

を

行

行う

う

ことに

ことに注意

注意

第

第3法則

法則）

法則

））

）

全

全ての

全

ての

ての作用

作用には

作用

には

には、

、

、向

向

向きが

きが反対

きが

反対

反対で

反対

で

で大

大

大きさの

大

きさの

きさの等

等しい

等

しい

しい反作用

しい

反作用

反作用が

反作用

が

存在

存在する

する

する。（

する

。（

。（作用

作用

作用・

・反作用

・・

反作用

反作用の

反作用

の

の法則

法則

法則）

））

）

( )

p

F

=

ɺ

t

d

(2)

２

２ ２体問題

体問題

体問題の

の

の基本微分方程式

の

基本微分方程式

２

２ ２つの

つの

つの質点

質点

質点に

質点

に関

に

関

関する

する

する運動方程式

する

運動方程式

F

r

₂

=

−

2

ɺ

m

F

r =

₁ 1

ɺ

m

r

F

ˆ

1 2 1 2

F

=

−

=

外力

外力：

：：

：

r

1

1 ˆ

1 2

F

m



_









+

−

=

ɺ

ニュートン

ニュートンの

の

の万有引力

万有引力

万有引力：

：：

：

1₂ 2

,

G

:

万有引力定数

r

m

G

F =

2体問題

体問題

体問題の

の

の基本微分方程式

基本微分方程式

基本微分方程式：

基本微分方程式

：：

：

+

₃

=

0 r

r

ɺ

µ

ɺ

(

m

₁

m

₂

)

:

重力定数

G

+

=

µ

： m

₁

に対するm

₂

の運動方程式

⇒

r

/

ˆ

,

1 2

r

=

−

=

基本微分方程式

基本微分方程式の

の

の特徴

特徴

0

3

=

+

r

ɺ

µ

ɺ

1) r を –r に変えても式は不変 ⇒ m

₂

に対するm

₁

の運動方程式でもある

t を –t に変えても式は不変 ⇒ 時間反転で物理は不変

2) 質量m

₁

+m

₂

を固定原点とする単位質量m

_u

の運動を表す:

3)外力（重力）はスカラー・ポテンシャルで表せる :

4)質量中心という考えは運動方程式を導く際に必要としない

5) ２つの質点という仮定は、球対称質量分布を持つ球対称物体へ拡張可能

=> つまり、ニュートンの２体問題は、太陽、地球、月などの球状物体に高い精度

で適用可能（テキストの問参照

レポート課題

）

0

3

=

+

r

m

_u

ɺ

_u

µ

r

V

r

µ

=

−

=

−

∂

−

=

−

=

₃

grad

,

r

rɺ

ɺ

(3)

運動

運動の

の

の積分

の

積分

n次元 2階常微分方程式

(

x

, x

,

t

)

F

x

ɺ

₌













=

n

x

⋮

2 1

x













=

n

F

⋮

2 1

( )

t

x

x =

(

,

t

)

=

const.

（時間に対して不変）

G

x ɺ

x

となるのを

運動

運動の

の

の積分

積分

と呼ぶ

例：2体問題では、

エネルギー

と

角運動量

が運動の積分

上式で 2n 個の積分が存在すれば、系を

完全可積分

と呼ぶ

例：2体問題では、

したがって、2n=2×3=6個の積分が完全解を持つために必要

(

t

)

G

x ɺ

, x

,

が上式の解のとき、任意の関数

の中で

          = 3 2 1 x x x x x x F=− µ₃

r

x =

２

２ ２体問題

体問題

体問題の

体問題

の

の運動

の

運動

運動の

の積分

の

積分

積分：

：：

：面積分

面積分

_{面積分 c}

面積分

昇交点方向 c s / 軌道面赤道面昇交点方向方向 f a i Ω 北極点方向 b i c i r i r i ω u k θ j γ i i 軌道面垂直方向（面積分方向）

0

3

=

+

r

µ

ɺ

( )

を計算すると

×

r

0 =

×r

r

ɺ

これを変形して、

( )

0 の形にする

d

=

t

(

)

(

)

0 d

d

=

×

⇔

×

=

×

+

×

=

×

r

ɺ

t

より

0 =

× r

r

一定

=

×

r

c

r ɺ

：

面積分

(area integral)

角運動量保存則を表し、特に、cを

角運動量ベクトル（軌道面ベクトル）

と呼ぶ

幾何学性質：

cは運動の軌道面に垂直

、言い換えれば、

軌道面が存在

する

(4)

２

２ ２体問題

体問題

体問題の

の

の運動

運動

運動の

の積分

の

積分

積分：

：：

：エネルギー

エネルギー

エネルギー積分

積分

積分h

積分

( )

を計算する

:

⋅

rɺ

₀

3



=









 + r

r

µ

ɺ

_・

(

)

(

)

(

)

に注意して・・・・・・       = =       − =       − = r r r r r r r r r r r r ɺ ɺ ɺ ɺ ɺ ɺ 3 3 _d d 2 d d d d d d 2 1 r t t r t t

µ

一定

・

₋

₌

h

₌

r

µ

r

ɺ

2

1 運動エネルギー

位置エネルギー

（ポテンシャル・エネルギー）

エネルギー積分

h ： 2体エネルギー（ケプラー・エネルギー）とも呼ぶ

2 2 2 v E=r ɺɺ⋅r =

r

V

=

−

µ

      + = h r v 2

µ

速さ：

無限遠

r

→

∞

）











>

=

<

=

∞

0 if

2

0 if

0

0 if

h

v

虚数

     > = < 双曲線軌道（開軌道）放物線軌道（開軌道）期的）楕円軌道（閉軌道、周 0 0 0 h h h

V

E

h

=

+

h

r

v

2

−

µ

=

2

1

２

２ ２体問題

体問題

体問題の

体問題

の

の運動

運動

運動の

の

の積分

積分：

積分

：：

：ラプラス

ラプラス

ラプラス（

（レンツ

（（

レンツ

レンツ）

））

）積分

積分

_{積分 f}

r

c

=

×

ɺ

r

+

₃

r

=

0 r

µ

ɺ

×

(

)

0

3

×

=

+

×

⇒

c

r

ɺ

r

ɺ

r

µ

(

x

×

y

)

×

z

=

x

⋅

zy

−

y

⋅

zx

を用いて

(

) (

)

[

]

0

3

−

=

+

×

r

c

ɺ

・

ɺ

・

r

µ

(

c

r

)

r

c

×

ɺ

=

×

ɺ

t

d

_[

_{( ) ( )}

_]

r

⋅

−

⋅

=













_ɺ

3

d

r

t

µ

0 d

d

=













_×

₊

r

c

r

t

µ

ɺ

_c

_×

_r

₊

_r

₌

_一定

₌

₋

_f

r

µ

ɺ

次の関係式に注意して

即ち

:

ラプラス（レンツ）積分

f を

を

ラプラスベクトル

ラプラスベクトル（

（離心率

（

離心率

離心率ベクトル

ベクトル

ベクトル）

）

大

大きさが

きさが

きさが離心率

きさが

離心率

離心率に

に

に比例

比例（

比例

（

（後述

後述

後述）

）

(5)

運動

運動の

の

の積分

積分

_{積分 c, , , , f 間}

間

間の

の

の関係

関係

0 =

f

c・

c と f は

互いに垂直

：

＝＞

f は軌道面内にある

f の

姿勢方向は3つの角

（オイラー角）

で表現

できる

_









近点引数軌道傾斜角昇交点角

　

:

ω

Ω

i

昇交点方向 c s / 軌道面赤道面昇交点方向方向 f a i Ω 北極点方向 b i c i r i r i ω u k θ j γ i i 軌道面垂直方向（面積分方向）

f, r のなす角を

θ

とすると、その内積は

θ

cos

fr

=

⋅ r

f

(

×

)

−

µ

r

=

c

−

µ

r

⋅

=

⋅

2

r

c

r

f

ɺ

：

円錐曲線

を表す

θ

:真近点離角、

:離心率、

:半直弦

一方、

したがって

₌_ω₊_θ u θ r r i t i β θ i n i ω a i f c s /

µ

f

e =

µ

2

c

p =

θ

µ

cos

1 cos

1 /

2

e

p

f

c

r

+

≡

+

=

運動

運動の

の

の積分

積分

_{積分 c, , , , h, , , , f 間}

間

間の

間

の

の関係

関係

(

c

r

) (

c

r

)

r

(

c

r

)

( )

r

f

⋅

=

×

⋅

×

+

⋅

×

+

⋅

=

₂2 2

2 r

r

f

ɺ

µ

ɺ

µ

fの関係式より、

(

x

×

y

)(

z

×

w

) (

=

x

⋅

z

)(

y

⋅

w

) (

−

x

⋅

w

)(

y

⋅

z

)

x

⋅

y

×

z

=

x

×

y

⋅

z

_を用いて

2 2 2 2 2 2 2 µ µ µ ₊ ₌ ₊       _⋅ ₋ = hc r c f r ɺɺ r













−

=

₂2 2

1

2 µ

µ

f

h

c

または

(

2

)

1 e

a

p

=

−

変形して

µ

=

−

=

⋅

=

項

右辺第

項

右辺第

項

右辺第

3

2

1

2 2

c

r

c

r ɺ

ɺ

r

）

長半径（または半長径

:

2h

a

≡

−

µ

(6)

軌道面

軌道面の

の

の姿勢

の

姿勢

姿勢と

と

と宇宙機

宇宙機s/cの

宇宙機

の

の位置

位置

位置の

位置

の

の関係

の

関係

昇交点方向 c s / 軌道面赤道面昇交点方向方向

f

a

i

Ω 北極点方向 b

i

c

i

r i r

i

ω

u

k

θ j γ i

i

軌道面垂直方向（面積分方向）

θ

ω+

= u θ r r i t i β θ i n i ω a i f c s /

軌道

軌道の

の

形

形・

・・

・大

大

大きさ

きさ

軌道

軌道の

の

向

向き

き

古典的軌道要素：

オイラーの軌道６要素

軌道上

軌道上の

の

位置

θ

= 真近点離角

true anomaly

a = 長半径（半長径）

semimajor axis

e = 離心率

eccentricity

= 昇交点赤径

right ascension of the ascending node

i = 軌道傾斜角

inclination

ω

= 近点引数

argument of periaposis

Ω

運動

運動の

の

の積分

積分

積分（

（中間

（（

中間

中間）

中間

））

）まとめ

まとめ

f

r

c

r

c

r

−

=

+

×

=

−

⋅

=

×

r

h

r

µ

ɺ

2

1 











−

=

⋅

2 2 2

1

2

0 µ

µ

f

h

c

f

c

1. 運動の積分

（計7個）

3個

1個

3個

2. 拘束条件式

（計2個）

1個

独立な積分の個数（自由度）は、

７－２＝

５個

であり、完全積分には

もう

_1個

必要

備考

：

対称性により、力学性質が決まる

１）中心力 → 系の

回転対称性

⇒ 角運動量保存則（c=一定）

２）時間を陽に含まない →

時間の平行移動に関する対称性

⇒ エネルギー保存則

３）

隠れた対称性

⇒ ラプラスベクトル f の保存（特に方向）

(7)

ケプラー

ケプラー方程式

方程式

方程式：

：：

：第

第

第6

66 6番目

番目の

番目

の

の運動

運動

運動の

の

の積分

積分

(

r

) (

r

) ( )( ) ( )( )

r

c

r

×

ɺ

=

⇒

⋅

=

c

2

=

×

ɺ

⋅

×

ɺ

=

ɺ

⋅

ɺ

⋅

−

ɺ

⋅

ɺ

h

r

=

−

µ

r

ɺ

・

ɺ

2

1 _{( )}

r r r r_⋅ _⇒ ɺ₌ _⋅ɺ = rr t r t d d d d 2 2 2

₂

2 ( )

_r

2

r

h

r

c

_

₋

ɺ











₊

=

µ

( )

r

f

t

d

d =

0 <

h

r

z

2 µ

+

=

dz z h f h z dt h 2 2 2 2 / 2 −       − = − ± µ

(

)

_            − − −       − = + − ± − h f z h z h f t h 2 / cos 2 2 const. 2 2 1 2 µ 2 2 1 2 2 sin , 2 / cos z h f f h E h f z E  −      =       = −