4 章：図形と計量 1
1
三角比
1.1
鋭角の三角比・相互関係
98 次の問いに答えよ。 (1) 右図のような直角三角形がある。θ の正弦， θ a = 5(cm) c = 4(cm) b = 3(cm) 余弦，正接を求めよ。 (2) 右図の三角形 ABC において，頂点 A から辺 B D C A 30◦ 60◦ BC に下した垂線 AD の長さが 10cm のとき，辺 BC の長さを求めよ。ただし答えは有理化する こと。 （広島国際学院大） 99 (1) 平坦な場所に垂直に立った木がある。この木の頂点を A，根もとを B とする。このとき木の根もとから 10m 離れた地点 O において，∠AOB の大 きさを測定したら 37◦であった。木の高さを求めよ。ただし，sin 37◦= 0.602， cos 37◦= 0.799，tan 37◦= 0.754 として計算せよ。 （湘南工科大） (2) 地上 xkm の位置に静止している人工衛星から地球を見ると，地球の半 径が km の円板に見える。ただし，地球は半径が R km の球とする。 （関西大） 100 (1) θ が鋭角で cos θ = 1 3 ならば，sin θ = である。 （八戸工業大） (2) 角 θ が鋭角で sin θ = 1 4 のとき，tan θ = である。 （八戸工業大） (3) 0◦ < x < 90◦かつ tan x = 3 4 のとき，sin x = ，cos x = である。 （東京工芸大）98 (1) 三角比の定義を確認しておきましょう。 θ c a b 正弦(sine) sin θ = b c θ c a b 余弦(cosine) cos θ = a c θ c a b 正接(tangent) tan θ = b a (2) BC = BD + DCとして，2つの直角三角形ABD，ACDの中でBD，DCの長 さを考えます。 99 三角測量の問題です。 (1) 直角三角形AOBを図示してみましょう。 (2) 人工衛星と地球の中心を通る直線を含む平面による切り口を図示してみましょう。 100 与えられた条件から直角三角形を考えて定義に戻ってもよいですし，三角形の 相互関係を用いて考えてもよいでしょう。 では，三角比の相互関係を確認しておきましょう。右下図の直角三角形において θ c a b a2+ b2= c2 が成り立ち ・(a c )2 + ( b c )2 = 1 ・ b a = b c a c ・1 + ( b a )2 = ( c a )2 と変形されるから ・cos2θ + sin2θ = 1 ・tan θ = sin θ cos θ ・1 + tan2θ = 1 cos2θ という関係が成り立ちます。
4 章：図形と計量 1 98 (1) 正弦sin θ = 3 5，余弦cos θ = 4 5，正接tan θ = 3 4 (2) tan 30◦= AD BD より B D C A 30◦ 60◦ 10 BD = AD tan 30◦ = 10 1 √ 3 = 10√3 また，tan 60◦= AD CD より CD = AD tan 60◦ = 10 √ 3 = 10√3 3 したがって BC = BD + DC = 10√3 + 10 √ 3 3 = 40√3 3 (cm) 99 (1) tan 37◦= AB OB であるから，木の高さABは B A O 10 m 37◦ AB = OB· tan 37◦= 10· 0.754 = 7.54 (m) (2) 地球の中心Oと人工衛星Aを通る直線を B A C D O H R R x r θ 含む平面による切り口を考える。切り口におけ る線分OAおよび円板と地球の交点をそれぞれ BおよびC，Dとおき，OAとCDの交点をH とおく。 ∠OAC = θ，CH = rとおくと tan θ = OC AC = R √ (x + R)2− R2 = √ R x2+ 2xR また，△OCH
∽
△OACより ∠OCH = ∠OAC = θ である。このとき tan θ = OH CH = √ R2− r2 r ∴ √ R x2+ 2xR = √ R2− r2 r両辺を2乗して R2 x2+ 2xR = R2− r2 r2 R2r2= (R2− r2)(x2+ 2xR) (x2+ 2xR + R2)r2= R2(x2+ 2xR) ∴ r = R √ x2+ 2xR x + R (km) 100 (1) 与えられた条件より右図の直角三角形を考えて θ 1 2√2 3 sin θ = 2 √ 2 3 sin2θ = 1− cos2θ = 1−(1 3 )2 = 8 9 θ が鋭角よりsin θ > 0であるから sin θ = 2 √ 2 3 (2) 与えられた条件より右図の直角三角形を考えて θ √ 15 1 4 tan θ = √1 15 = √ 15 15 cos2θ = 1− sin2θ = 1− 1 16 = 15 16 θが鋭角よりcos θ > 0であるから cos θ = √ 15 4 ∴ tan θ = sin θ cos θ = 1 4 √ 15 4 = √1 15 = √ 15 15 あるいは，θは鋭角よりtan θ > 0であるから tan2θ = 1 cos2θ − 1 = 1615 − 1 = 115 ∴ tan θ = √ 15 15 (3) 与えられた条件より右図の直角三角形を考えて x 4 3 5 sin x = 3 5, cos x = 4 5 1 cos2x = 1 + tan 2 x = 1 + 9 16 = 25 16 より cos2x = 16 25 0◦< x < 90◦なのでcos x > 0 ∴ cos x = 4 5 sin x cos x = tan xより
sin x = tan x cos x = 3 4 × 45 =
3 5
4 章：図形と計量 1
1.2
鈍角の三角比・相互関係
101 (1) θ が第 2 象限の角で sin θ = 4
5 のとき，cos θ = ，
tan θ = である。 （足利工業大）
(2) 0◦5 θ 5 180◦で，cos θ =− 25 のとき，sin θ，tan θ の値を求めよ。 （長崎総合科学大） (3) 0◦ 5 θ 5 180◦ で tan θ = −2√2 とする。このとき，sin θ = ， cos θ = である。 （八戸工業大） 101 原点を中心とする半径1の円（単位円）で，∠POE = P E x y 1 1 −1 1 θ x y O θ (0◦5 θ 5 180◦)とすると cos θ = x 1 = x, sin θ = y 1 = y, tan θ = y x である。とくにθが鈍角（90◦< θ < 180◦）のとき
cos θ < 0, sin θ > 0, tan θ < 0 である。
101 (1) sin θ = 4 5 より 1 1 −1 θ 4 5 x y O cos2θ = 1− sin2θ = 1− ( 4 5 )2 = 9 25 θが第2象限の角よりcos θ < 0であるから cos θ =− √ 9 25 =− 35 tan θ = sin θ cos θ = 4 5 − 3 5 =− 4 3 (2) cos θ =− 2 5 より 1 1 −1 θ − 2 5 x y O sin2θ = 1− cos2θ = 1− ( − 2 5 )2 = 21 25 0◦5 θ 5 180◦よりsin θ= 0であるから sin θ = √ 21 25 = √ 21 5 tan θ = sin θ cos θ = √ 21 5 − 2 5 =− √ 21 2 (3) 1 cos2θ = 1 + tan 2 θ = 1 + (−2√2)2= 9 ∴ cos2θ = 1 9 0◦5 θ 5 180◦，tan θ < 0よりθは第2象限の角となり，cos θ < 0であるから cos θ =− √ 1 9 =− 13 また，tan θ = sin θ cos θ より
sin θ = tan θ· cos θ = −2√2· ( − 1 3 ) = 2 √ 2 3
4 章：図形と計量 1
1.3
90 °±θ，180 °±θ の三角比
102 tan (90◦− θ) = 7 のとき，tan θ = である。 （八戸工業大）
103 (sin 20◦− cos 20◦)2+ (sin 70◦+ cos 70◦)2= （愛知学院大）
104 sin 160◦ cos 70◦+ cos 20◦ sin 70◦の値を求めよ。 （東北芸工大）
102 余角の公式です。 sin (90◦− θ) = cos θ cos (90◦− θ) = sin θ tan (90◦− θ)= sin (90 ◦− θ) cos (90◦− θ) = cos θ sin θ = 1 tan θ 103 角を20◦に統一することを考えましょう。
sin 70◦= sin (90◦− 20◦) = cos 20◦ cos 70◦= cos (90◦− 20◦) = sin 20◦ ですね。 104 補角の公式も使えるようにしましょう。 sin (180◦− θ) = sin θ cos (180◦− θ) = − cos θ tan (180◦− θ)= sin (180 ◦− θ) cos (180◦− θ) = sin θ − cos θ =− tan θ 補角，余角の公式を使って，角の統一をはかります。
102 tan (90◦− θ) = 7より 1
tan θ = 7 ∴ tan θ =
1 7
103 sin 70◦= sin (90◦− 20◦) = cos 20◦ cos 70◦= cos (90◦− 20◦) = sin 20◦
1 1 −1 sin 20◦ cos 20◦ 20◦ cos 70◦ 70◦ sin 70◦ x y O より
(sin 20◦− cos 20◦)2+ (sin 70◦+ cos 70◦)2 = (sin 20◦− cos 20◦)2+ (cos 20◦+ sin 20◦)2 = (sin220◦− 2 sin 20◦· cos 20◦+ cos220◦)
+ (cos220◦+ 2 sin 20◦· cos 20◦+ sin220◦) = 2(sin220◦+ cos220◦) = 2
104 sin 160◦= sin (180◦− 20◦) = sin 20◦ cos 70◦= cos (90◦− 20◦) = sin 20◦ sin 70◦= sin (90◦− 20◦) = cos 20◦
1 1 −1 20 ◦ sin 20◦ 20◦ 160◦ cos 20◦ x y O より
sin 160◦cos 70◦+ cos 20◦sin 70◦ = sin 20◦sin 20◦+ cos 20◦cos 20◦ = sin220◦+ cos220◦= 1
sin 160◦= sin(90◦+ 70◦) = cos 70◦，cos 20◦= cos(90◦− 70◦) = sin 70◦ として，角を70◦に統一して計算してもよい。
4 章：図形と計量 1
1.4
大小比較
105 tan 30◦，sin 30◦，cos 40◦，sin 135◦ を値の小さい方から順に並べると
である。 （北海道工業大）
106 cos 25◦，cos 50◦，sin 50◦のうち値が一番大きいのは であり，値
が一番小さいのは である。 （北見工業大）
105 tan 30◦，sin 30◦，sin 135◦の値は覚えていなければなりません。cos 40◦の値 は知らないので，既知の値と比較して評価します。
たとえば，cos 30◦> cos 40◦> cos 45◦です。
106 cos 25◦，cos 50◦，sin 50◦と，すべての角が第1象限にあります。関数の統一を 考えて，すべてをcosで表してみましょう。
105 tan 30◦= √1 3，sin 30 ◦= 1 2，sin 135 ◦= √1 2 より 1 1 cos 40◦ cos 30◦ cos 45◦ 30◦ 40◦ 45◦ x y O sin 30◦< tan 30◦< sin 135◦
また，cos 30√ ◦> cos 40◦> cos 45◦より 3
2 > cos 40 ◦> √1
2 よって，値の小さい順に並べると
sin 30◦< tan 30◦ < sin 135◦< cos 40◦
106 sin 50◦= sin (90◦− 40◦) = cos 40◦
0◦< θ < 90◦のときθの値が小さいほどcos θの値は大きくなるので cos 50◦< cos 40◦< cos 25◦
であり
4 章：図形と計量 1
1.5
式の値
107 sin θ + cos θ =√2 のとき
sin θ cos θ = , sin4θ + cos4θ =
である。 （北海道工業大） 108 sin θ + cos θ = 1 3 （ただし 0◦5 θ 5 180◦ ）であるとき sin θ = である。 （拓殖大） 109 sin θ + cos θ = 1 2 のとき sin θ cos θ = であり，tan2θ + 1 tan2θ = である。 （足利工業大） 110 0◦5 A 5 180◦のとき tan A + 1 tan A = 10 3 が成り立つとする。 このとき sin A + cos A の値は であり sin A− cos A の値は である。 （日本工業大）
107 sin θ + cos θ =√2の両辺を2乗するとsin θ cos θが得られます。
sin4θ + cos4θ はsin θとcos θ の対称式なので，基本対称式のsin θ + cos θ と
sin θ cos θで表すことができます。
108 sin2θ + cos2θ = 1と合わせて考えてみましょう。sin θ，cos θについての連立 方程式を解くことになります。 また，sin θとcos θの和と積が得られれば，解と係数の関係（数学II）も利用でき ます。 109 sin θ + cos θ = 1 2 の両辺を2乗してみましょう。sin θ cos θが得られます。 tan2θ + 1 tan2θ = ( sin θ cos θ )2 + ( cos θ sin θ )2 ですから，これもsin θとcos θの対称式です。 110 tan A + 1
tan A もsin A + cos Aもsin Aとcos Aの対称式ですが， sin A− cos Aは対称式ではありません。しかし，2乗すると対称式です。
また，tan A + 1 tan A =
10
3 からsin A cos Aの値を得ることができます。 sin2A + cos2A = 1と合わせて，(sin A± cos A)2 の値を求めましょう。 sin A± cos Aの符号をおさえることも大切です。
4 章：図形と計量 1
107 sin θ + cos θ =√2の両辺を2乗すると sin2θ + 2 sin θ cos θ + cos2θ = 2 sin2θ + cos2θ = 1より
1 + 2 sin θ cos θ = 2 ∴ sin θ cos θ = 1
2
また
sin4θ + cos4θ = (sin2θ + cos2θ)2− 2 sin2θ cos2θ = 12− 2 · ( 1 2 )2 = 1 2 108 sin θ + cos θ = 1 3 より cos θ = 1 3 − sin θ sin2θ + cos2θ = 1にcos θ = 1
3 − sin θを代入し，cos θを消去すると sin2θ + ( 1 3 − sin θ )2 = 1 ∴ 2 sin2θ− 2 3 sin θ− 89 = 0 sin θ = tとおくと 9t2− 3t − 4 = 0 ∴ t = 3± √ 32+ 4· 9 · 4 18 = 1±√17 6 0◦5 θ 5 180◦より，05 t 5 1であるから sin θ = t = 1 + √ 17 6 sin θ + cos θ = 1 3 の両辺を2乗して sin2θ + 2 sin θ cos θ + cos2θ = 1
9 sin2θ + cos2= 1より 1 + 2 sin θ cos θ = 1 9 ∴ sin θ cos θ =− 49 よって，解と係数の関係（数学II）より，sin θ，cos θを解とする2次方程式は t2− 1 3t− 49 = 0 ∴ 9t 2− 3t − 4 = 0 以下，同じ。
109 sin θ + cos θ = 1
2 の両辺を2乗すると sin2θ + 2 sin θ cos θ + cos2θ = 1
4 sin2θ + cos2θ = 1より 1 + 2 sin θ cos θ = 1 4 ∴ sin θ cos θ =− 38 また tan2θ + 1 tan2θ = ( tan θ + 1 tan θ )2 − 2 tan θ · 1 tan θ = ( sin θ cos θ + cos θ sin θ )2 − 2 = ( sin2θ + cos2θ sin θ· cos θ )2 − 2 = ( 1 sin θ cos θ )2 − 2 =(− 8 3 )2 − 2 = 46 9 110 tan A + 1 tan A = sin A cos A + cos A sin A = sin2A + cos2A cos A sin A = 1 sin A cos A よってtan A + 1 tan A = 10 3 より 1 sin A cos A = 10 3 ∴ sin A cos A = 3 10 このとき
(sin A + cos A)2= sin2A + 2 sin A cos A + cos2A = 1 + 2· 3
10 = 8 5
(sin A− cos A)2= sin2A− 2 sin A cos A + cos2A = 1− 2 · 3 10 = 2 5 0◦5 A 5 180◦かつsin A cos A = 3 10 > 0なので sin A > 0，cos A > 0 すなわち，sin A + cos A > 0なので sin A + cos A = √ 8 5 = 2√10 5 sin A− cos A = ± √ 2 5 =± √ 10 5
4 章：図形と計量 1
1.6
方程式
111 以下の方程式をみたす x を求めよ。ただし，90◦5 x 5 180◦ とする。 6 cos2x + cos x− 1 = 0 （専修大） 112 2 cos2θ + 3 sin θ− 3 = 0 をみたす θ の値を求めよ。 ただし，0◦< θ < 180◦とする。 （滋賀大，手塚山大） 113 0◦5 θ < 180◦の条件で，次の方程式をみたす θ は である。 cos2θ +√3 sin θ cos θ = 1 （立教大 改）114 連立方程式 cos2x + sin2y = 3 2 sin x cos y = 1 4 について，次の問いに答えよ。 ただし，0◦5 x 5 180◦, 0◦5 y 5 180◦ とする。 (1) sin x + cos y の値を求めよ。 (2) x を求めよ。 (3) y を求めよ。 （産能大） 111 cos xの方程式なので，cos x = tと置換すれば，tの2次方程式です。なお，置 換したときには，置き換えたtの値の範囲に注意しましょう。 112 cos θとsin θで表されていますから，どちらか一方に統一します。本問は cos2θ = 1− sin2θ と置換することによって，sin θのみの方程式となります。
113 上と同じように，sin θまたはcos θで表そうとするとsin θ cos θの項がじゃま ですね。両辺をcos2θでわってみましょう。tan θのみの方程式となります。ただし， わるときには（分母）= 0\ のチェックを忘れないようにしましょう。
114 cos2x + sin2yはsin xとcos yで表すことができます。この変形により，本 問の連立方程式はsin xとcos yについての対称式となりますね。
111 90◦5 x 5 180◦より，−1 5 cos x 5 0であり，cos x = tとおくと 6t2+ t− 1 = 0 (3t− 1)(2t + 1) = 0 −1 5 t 5 0より t = cos x =− 1 2 ∴ x = 120 ◦ 112 2 cos2θ + 3 sin θ− 3 = 0より 2(1− sin2θ) + 3 sin θ− 3 = 0 ∴ 2 sin2 θ− 3 sin θ + 1 = 0 · · · ·⃝1 sin θ = tとおくと，0◦< θ < 180◦であるから 0 < sin θ5 1 ∴ 0 < t5 1 したがって，⃝1 より 2t2− 3t + 1 = 0 (2t− 1)(t − 1) = 0 ∴ t = sin θ = 1 2, 1 0◦< θ < 180◦より θ = 30◦, 90◦, 150◦
113 cos θ = 0のときは成立しないので，cos θ= 0\ であり，与式の両辺をcos2θで わると 1 +√3· sin θ cos θ = 1 cos2θ tan θ = sin θ cos θ，1 + tan 2θ = 1 cos2θ より
1 +√3 tan θ = 1 + tan2θ ∴ tan θ = 0, √3 0◦5 θ < 180◦より θ = 0◦, 60◦
4 章：図形と計量 1 114 (1) cos2x + sin2y = (1− sin2x) + (1− cos2y) = 2− (sin2x + cos2y) なので，cos2x + sin2y = 3
2 を変形すると sin2x + cos2y = 1
2 したがって
(sin x + cos y)2= sin2x + cos2y + 2 sin x cos y = 1
2 + 2· 14 = 1
ここで，0◦5 x 5 180◦なので，sin x= 0であり，sin x cos y > 0であることから， sin x > 0，cos y > 0となり
sin x + cos y > 0 ∴ sin x + cos y = 1
(2) sin x + cos y = 1かつsin x cos y = 1 4 なので 1 4 = sin x(1− sin x) sin2x− sin x + 1 4 = 0 ∴ sin x = 1 2 0◦5 x 5 180◦より x = 30◦, 150◦ (3) (2)より cos y = 1− sin x = 1 − 1 2 = 1 2 0◦5 y 5 180◦より y = 60◦
1.7
不等式
115 0◦< θ < 135◦のとき，不等式 2 sin2 θ− cos θ − 1 > 0 を解け。 （龍谷大） 116 不等式 2 cos2θ + sin θ− 2 < 0 を解け。 ただし，0◦< θ < 180◦とする。 （川村学園女子大） 117 0◦5 θ < 90◦のとき，cos θ = √ 3 2 をみたす θ の値は ，tan θ > 1 √ 3 をみたす θ の範囲は < θ < である。 （西日本工業大）115 sin2θ = 1− cos2θを利用すると，cos θのみで表せます。
116 cos2θ = 1− sin2θを利用すると，sin θのみで表せます。
117 0◦5 θ < 90◦のとき，tan θ = √1
3 となるθは30
◦です。tan θ > √1 3 とな るθの範囲は単位円の中で確認しましょう。
4 章：図形と計量 1 115 2(1− cos2θ)− cos θ − 1 > 0 x y O 1 1 1 2 − 1√ 2 60◦ 135◦ cos θ = tとおくと，与式は 2t2+ t− 1 < 0 (2t− 1)(t + 1) < 0 − 1 < t < 1 2 ∴ − 1 < cos θ < 1 2 ここで，0◦< θ < 135◦より 60◦ < θ < 135◦ 116 2(1− sin2θ) + sin θ− 2 < 0 2 sin2θ− sin θ > 0 sin θ(2 sin θ− 1) > 0 ∴ sin θ < 0, sin θ > 1 2 x y O 1 1 −1 1 2 30◦ 150◦ 0◦< θ < 180◦より 30◦ < θ < 150◦ 117 0◦5 θ < 90◦，cos θ = √ 3 2 より x y O 1 1 −1 1 √ 3 30◦ θ = 30◦ 次に，tan θ = √1 3 をみたすθはθ = 30 ◦なので， 0◦5 θ < 90◦において，tan θ > √1 3 をみたすθ の範囲は 30◦ < θ < 90◦
1.8
最大・最小
118 0◦ 5 θ 5 180◦ のとき，2 cos2θ + 2 sin θ + sin2
θ の最大値は ， また最小値は である。 （東海大） 119 0◦5 θ < 90◦で f (θ) = tan2θ + 2 sin2 θ + 3 cos2θ の最小値を求める。 次の に当てはまる数や式をかけ。 サインとコサインの関係より + = 1 · · · ·⃝1 両辺を cos2θ で割ることによって + = 1 cos2θ · · · ·⃝2 が得られる。与式より
f (θ) = tan2θ + 2 sin2θ + 3 cos2θ サインとコサインの関係⃝ を使って1 f (θ) = 2 + + tan2θ · · · ·⃝3 2 ⃝の関係を使って f (θ) = 1 + cos2θ + = ( cos θ− )2 + 3 よって， = 1 のとき，すなわち，θ = のとき，f (θ) の最小値は となる。 （徳島文理大） 120 関数 f (x) = sin2x + a cos x + 1 について，0◦5 x 5 180◦とする。 (1) a = 1 のとき，f (x) の最大値は ，そのときの x の値は ◦で ある。 (2) a が 0 < a < 2 の値であるとき，f (x) の最大値が 5 2 となるような a の 値は である。 (3) a が a = 2 の値であるとき，f(x) の最大値は ，そのときの x の 値は ◦である。また，f (x) の最小値は ，そのときの x の値は ◦である。 （帝京大）
4 章：図形と計量 1
118 cos2θ = 1− sin2θを利用して，与式をsin θについての2次式とみます。
0◦5 θ 5 180◦ですから，sin θは05 sin θ 5 1の範囲で動きます。 119 親切な誘導に従い，f (θ)をcos θについての関数として変形します。 問題文の関係式⃝1，⃝2 は誘導がなくても頭に入っていなければならない等式です。
120 sin2x = 1− cos2xを利用すると，f (x)はcos xについての2次式となりま す。cos x = tとおくと，tについての2次関数の最大・最小問題となります。
0◦5 x 5 180◦より−1 5 t 5 1です。定義域と軸の位置に注意しながらグラフを かき，最大値，最小値を求めましょう。
118 sin x = tとおくと，0◦5 θ 5 180◦より t y O 2 1 3 min max 05 t 5 1 であり
2 cos2θ + 2 sin θ + sin2θ = 2(1− sin2θ) + 2 sin θ + sin2θ = − t2+ 2t + 2 =−(t − 1)2+ 3 05 t 5 1より
t = 1すなわちx = 90◦のとき，最大値は 3 t = 0すなわちx = 0◦, 180◦のとき，最小値は 2
119 0◦5 θ < 90◦でf (θ) = tan2θ + 2 sin2θ + 3 cos2θの最小値を求める。
サインとコサインの関係より sin2θ + cos2θ = 1 · · · ·⃝1 次に，両辺をcos2θでわることによって 1 + tan2θ = 1 cos2θ · · · · 2 ⃝ が得られる。与式より
f (θ) = tan2θ + 2 sin2θ + 3 cos2θ サインとコサインの関係⃝1 を使って
f (θ) = tan2θ + 2(1− cos2θ) + 3 cos2θ = 2 + cos2θ + tan2θ · · · ·⃝3 2 ⃝の関係を使って f (θ) = 1 + cos2θ + (1 + tan2θ) = 1 + cos2θ + 1 cos2θ = ( cos θ− 1 cos θ )2 + 3 よって，cos θ− 1 cos θ = 0のとき，f (θ)は最小となる。このとき cos θ− 1 cos θ = 0 ∴ cos 2 θ = 1 0◦5 θ < 90◦から，cos θ = 1すなわちθ = 0◦ のとき，f (θ)は最小値3となる。
4 章：図形と計量 1 120 f (x) = sin2x + a cos x + 1 = (1− cos2x) + a cos x + 1
=− cos2x + a cos x + 2 cos x = tとおくと，0◦5 x 5 180◦より−1 5 t 5 1であり f (x) =−t2+ at + 2 =− ( t− a 2 )2 + a 2 4 + 2 = g(t) (1) a = 1のとき t y O −1 1 2 9 4 1 2 max g(t) =− ( t− 1 2 )2 + 9 4 −1 5 t 5 1より，g(t)すなわちf (x)について 最大値は g ( 1 2 ) = 9 4 0◦5 θ 5 180◦より，t = 1 2 のとき cos x = 1 2 ∴ x = 60 ◦ (2) 0 < a < 2のとき，軸の方程式t = a 2 は t y O −1 a 2 5 2 1 max 0 < a 2 < 1をみたすから，−1 5 t 5 1における g(t)の最大値はg ( a 2 ) である。よって a2 4 + 2 = 5 2 ∴ a =√2 (∵ 0 < a < 2) (3) a= 2のとき，y = g(t)のグラフの軸の方程式t = a 2 t y O −1 −a + 1 a 2 1 a + 1 max min は a 2 = 1をみたすから，−1 5 t 5 1におけるg(t)の 最大値は g(1) = a + 1 最小値は g(−1) = −a + 1 である。0◦5 θ 5 180◦より，t = 1のとき cos x = 1 ∴ x = 0◦ また，t =−1のとき cos x =−1 ∴ x = 180◦ だから，f (x)の 最大値はa + 1，そのときのxの値は0◦ 最小値は−a + 1，そのときのxの値は180◦
2
図形への応用
2.1
余弦定理
121 右図の△ABC において，辺 BC，CA，AB A B C a b c A H の長さをそれぞれ a，b，c とし∠A の大きさを A で表す。C から AB に垂線 CH を引く。△ACH に おいて CH = ，AH = である。した がって，BH = 。そこで，△BCH に三平 方の定理を適用することにより，余弦定理 a2= が導かれる。 （高知工科大）122 (1) 三角形 ABC において，AB = 3，AC = 2，∠A = 60◦ のとき，
BC = である。 （福岡工業大）
(2) △ABC において ∠B = 30◦，AB =√3，AC =√13 のとき，
BC = である。 （八戸工業大）
(3) △ABC において，AB = 5，BC = 8，CA = 7 とする。このとき，cos B の値は であり，また△ABC の面積は である。
4 章：図形と計量 2 121 直角三角形ACHに着目しましょう。 A H C b A sin A = CH b , cos A = AH b ですね。 122 (1)“2辺と夾角 ”が与えられたときの問題です。 x2= b2+ c2− 2bc cos A (2)“2辺と1つの角 ”が与えられたときの問題です。角が2辺の夾角でないときは， 三角形は1通りに決まるとは限りません。 (3)“3辺 ”が与えられたときの問題です。余弦定理はcos B = c 2 + a2− b2 2ca の形で も使われます。 A B A C b c x (1)の図 B A A C C || || c b b x x′ (2)の図 B C A b c a (3)の図
121 直角三角形ACHにおいて CH = AC· sin A = b sin A AH = AC· cos A = b cos A よって BH = c− b cos A 次に，直角三角形BCHに三平方の定理を用い A B C a b c A H ると a2= CH2+ BH2 = b2sin2A + (c− b cos A)2
= b2sin2A + c2− 2bc cos A + b2cos2A = b2(sin2A + cos2A) + c2− 2bc cos A = b2+ c2− 2bc cos A 122 (1) 余弦定理より A B A C 2 3 60◦ BC2= 32+ 22− 2 · 3 · 2 cos 60◦ = 9 + 4− 6 = 7 BC > 0より BC =√7 (2) BC = xとおくと，余弦定理より B C A A C √ 3 √13 x 30◦ 13 = 3 + x2− 2√3x cos 30◦ x2− 3x − 10 = 0 (x− 5)(x + 2) = 0 x > 0より BC = 5 【注意】本問は一意的に定まりました。2次方程式が異なる正の2解をもつときには 注意しましょう。 (3) 余弦定理より B C A 7 5 8 cos B = 25 + 64− 49 2· 5 · 8 = 1 2 0◦< B < 180◦より B = 60◦ 次に，三角形の面積は △ABC = 1 2 · 5 · 8 · sin 60 ◦= 10√3
4 章：図形と計量 2
2.2
三角形の成立条件
123 三角形 ABC において，辺 AC の長さが 8，辺 AB の長さが 4 であ るとする。このとき，辺 BC の長さ a の範囲は < a < で あり，角 A が鈍角であるときの a の範囲は < a < である。 （駒澤大） 124 三角形△ABC の各辺の長さがそれぞれ AB = x− 1, BC = 2, AC = 5 − x であるとする。このとき，次の各問いに答えよ。 (1) x のとりうる値の範囲を求めよ。 (2) x が (1) で求めた範囲を動くとき，三角形の面積がとる値の最大値を求 めよ。 （同志社大 改） 123 3辺の長さがa，b，cとなる三角形の成立条件は A B C c a b a− b < c < a + b であり，∠Aが鈍角である条件は b2+ c2 < a2 です。 124 2辺の長さと夾角が与えられたときの△ABCの面積Sは A B C c a b S=△ABC= 1 2ab sin C ( = 1 2bc sin A = 1 2ca sin B ) 3辺の長さが与えられたときの△ABCの面積Sは S =√s(s− a)(s − b)(s − c) ただし，s = a + b + c 2 という公式（ヘロンの公式）もあります。123 三角形の成立条件より B C A 4 a 8 8− 4 < a < 8 + 4 ∴ 4 < a < 12 · · · ·⃝1 このもとで，∠Aが鈍角ならば 42+ 82< a2 ∴ a > 4√5 1 ⃝と合わせて 4√5 < a < 12 124 (1) 三角形の成立条件は (x− 1) − (5 − x) < 2 < (x − 1) + (5 − x) ∴ x− 3 < 1 −1 < x − 3 < 1より 2 < x < 4 (2) ∠C = θとすると，余弦定理より cos θ = 2 2+ (5− x)2− (x − 1)2 2· 2(5 − x) = 28− 8x 4(5− x) = 7− 2x 5− x 三角形ABCの面積は A B C x− 1 2 5− x θ △ABC = 1 2 · 2 · (5 − x) sin θ = (5− x)√1− cos2θ = (5− x) √ 1− ( 7− 2x 5− x )2 =√(5− x)2− (7 − 2x)2 =√−3x2+ 18x− 24 =√−3(x − 3)2+ 3 (1)より2 < x < 4だから，△ABCの面積の最大値は x = 3のとき，最大値√3 s = (x− 1) + 2 + (5 − x) 2 = 3とおくと，ヘロンの公式より △ABC =√s(s− x + 1)(s − 2)(s − 5 + x) =√3· (4 − x) · 1 · (x − 2) =√−3x2+ 18x− 24 （以下解答と同じ）
4 章：図形と計量 2
2.3
正弦定理
125 正弦定理 a = 2R sin A（R は外接円の半径）が成り立つことを鋭角三 角形の場合について証明せよ。 （杏林大） 126 (1) △ABC において ∠A = 60◦，BC = 2 のとき，外接円の半径を求 めよ。 （法政大）(2) 半径 4 の円に内接する三角形 ABC で 4 sin (A + B) sin C = 3 のとき， C = ◦または， ◦であり，AB = である。
（西日本工業大） (3) 三角形 ABC において，∠B = 30◦，∠C = 105◦，辺 BC の長さが 10 の
とき，辺 AC の長さを求めよ。 （東京電機大）
127 △ABC において，sin A : sin B : sin C = 5 : 6 : 7 とする。最大角を θ とするとき，cos θ = である。 （日本工業大） 125 円周角の定理を用いて直角三角形をつくります。鈍角のときの証明は教科書を 見てください。 126 (1) 外接円の半径を求めるには，まずは正弦定理です。 (2) つまり，△ABCの外接円の半径は4です。また，三角形の内角の和A + B + C は180◦でしたね。 (3) 2角がわかれば，残りの1角がわかります。 127 正弦定理を用いれば
sin A : sin B : sin C = a 2R : b 2R : c 2R = a : b : c であり，角についての条件式を辺についての条件式に書き直すことができます。
125 右図のように，Bを通る直径BDを引き，直 C A B D O a 2R 角三角形DBCをつくる。円周角の定理より，∠A = ∠Dであるから a = 2R sin D = 2R sin A （証終） 126 (1) 外接円の半径をRとすると，正弦定理より C A B 60◦ 2 BC sin A = 2R ∴ R = 1 2 · BCsin 60◦ = 2√3 3 (2) A + B + C = 180◦だから
sin (A + B) = sin (180◦− C) = sin C 4 sin (A + B) sin C = 3 ∴ sin2C = 3
4 0◦< C < 180◦より 0 < sin C 5 1 よって sin C = √ 3 2 ∴ C = 60 ◦または120◦ また，△ABCの外接円の半径をRとするとR = 4だから，正弦定理より AB sin C = 2R ∴ AB = 2R sin C = 2· 4 · √ 3 2 = 4 √ 3 (3) ∠A = 180◦− (30◦+ 105◦)= 45◦より，正弦定理を用いて B C A 30◦ 105◦ 10 AC sin 30◦ = BC sin 45◦ ∴ AC = BC · 1 sin 45◦ · sin 30 ◦= 10·√2· 1 2 = 5√2 127 △ABCの外接円の半径をRとする。 正弦定理 a sin A = b sin B = c sin C = 2Rより sin A = a 2R, sin B = b 2R, sin C = c 2R なので，sin A : sin B : sin C = 5 : 6 : 7のとき
a : b : c = 5 : 6 : 7 したがって，t > 0としてa = 5t，b = 6t，c = 7tと表せる。 最大辺cの対角Cが最大角θなので，余弦定理より cos θ = a 2+ b2− c2 2ab = 25t2+ 36t2− 49t2 2· 5t · 6t = 1 5
4 章：図形と計量 2
2.4
外接円・内接円の半径
128 3 辺の長さが 2，3，4 である三角形の最大角の余弦および外接円の半 径を求めよ。 （東京女子大 改） 129 三角形 ABC において AB = 8，AC = 5，BC = 7 とする。このとき， ∠A の大きさおよび内接円の半径 r を求めよ。 （城西大） 130 3 辺の長さが a, b, c の直角三角形の外接円の半径が 3 2, 内接する円の 半径が 1 2 のとき，次の問いに答えよ。ただし，a= b = c とする。 (1) a の値を求めよ。 (2) b と c の値を求めよ。 （群馬大） 128 最大辺の対角が最大角であり，3辺の長さが与えられているので，余弦定理を 用いれば最大角の余弦を求めることができます。 129 △ABCの内心（内接円の中心）をIとして，内接 B C A I r r r 円の半径をrとおくと△ABC=△ABI + △BCI + △CAI = 1 2 · AB · r + 12 · BC · r + 12 · CA · r = r 2(AB + BC + CA) です。 130 直角三角形の外接円の直径2Rは斜辺に一致します。また，直角三角形の内接 円の半径rは，前問のように面積に関連付けて求めることもできますが，次のように 考えて求めることもできます。 a = BE + EC = BD + CF = (c− r) + (b − r) ∴ r = b + c− a 2 a b c C A B a b c D E F r r r || || ||| ||| | |
128 最大辺の対角が最大角となるので，長さ4の辺と向かいあう角θが最大角であ る。余弦定理より cos θ = 2 2 + 32− 42 2· 2 · 3 =− 14 0◦< θ < 180◦よりsin θ > 0 だから sin θ =√1− cos2θ = √ 1− ( − 1 4 )2 = √ 15 4 外接円の半径をRとすれば，正弦定理より 2R = 4 sin θ ∴ R = 2 sin θ = 2· 4√15 = 8√15 15 129 余弦定理より cos∠A = 8 2 + 52− 72 2· 8 · 5 = 1 2 ∴ ∠A = 60 ◦ △ABCの面積をSとおくと S = 1 2 · AB · AC · sin 60 ◦= 1 2 · 8 · 5 · √ 3 2 = 10 √ 3 また，△ABCの内接円の半径をrとおくと S = r 2(AB + BC + CA) r 2(8 + 7 + 5) = 10 √ 3 ∴ r =√3 130 (1) a= b = cより，aが直角三角形の斜辺の長さとなる。直角三角形の斜辺 a b c 3 b c r は外接円の直径なので a = 2× 3 2 = 3 (2) 三平方の定理より b2+ c2= 32 · · · ·⃝1 直角三角形の内接円の半径をrとすると，r = 1 2 より b + c− 3 2 = 1 2 ∴ c = 4− b 1 ⃝に代入すると b2+ (4− b)2 = 9 ∴ b = 4± √ 2 2 このとき， c = 4− b = 4 − 4± √ 2 2 = 4∓√2 2 （複号同順） b= cより b = 4 + √ 2 2 ，c = 4−√2 2
4 章：図形と計量 2
2.5
円に内接する四角形
131 AB = 4，BC = 5，CA = 6 である△ABC において，△ABC の外 接円上に点 D を A，B，C，D がこの順に並ぶようにとる。CD = 2 のとき， DA = である。 （大同大 改） 132 四角形 ABCD は AB = 4，BC = 4，CD = 5，DA = 9 であり，点 O を中心とする円に内接している。このとき，BD = ，AC = で ある。 （慶應義塾大） 133 円に内接する四角形 ABCD は AB = BC = 2√2，BD = 2√3，∠ABC = 120◦ をみたすとする。ただし，AD > CD とする。 このとき AC = ア √ イ ，∠BDC = ウエ ◦ であり，円 O の半径は オ √ カ となる。 また，sin∠BAD = √ キ ク である。さらに AD = ケ + √ コ ，CD = ケ − √ コ であり，四角形 ABCD の面積は サ √ シ である。 （センター試験）
131 △ABCは3辺の長さが確定しているので，余弦 B C A D 定理を用いればどの角に対しても余弦の値を求めるこ とができます。 また，円に内接する四角形の向かい合う角の和は
180◦です。△ABC，△DACにおいて，∠ABCと∠ADC に対して，向かい合う角の和の関係が適用できます。 132 四角形ABCDを対角線BDあるいはACで2つの B D A C 三角形に分割します。円に内接する四角形の向かい合う角 の和は180◦であることを利用しながら余弦定理を使うの がポイントです。 本問は，最初にBDの長さが問われていますから，BD で2つの三角形に分割します。このとき，C = 180◦− A が成り立ちます。すなわち
cos C = cos (180◦− A) = − cos A となります。 教科書ではあまり取り扱っていませんが，円に内接する四角形の対角線に関する次 の定理があります。 AB· CD + BC · DA = BD · AC （トレミーの定理） 133 条件を図示すると，四角形ABCDはBDに || || 30◦ 2√3 2√2 2√2 よって，2つの三角形に分割されますが，本問はAC を求めることから始まります。ですから，ACによ る分割を考えましょう。 なお，△ABDと△CBDは“2辺と1つの角 ” が等しい三角形です。角が2辺の夾角でないとき， 三角形は1通りには定まらないこともあります。余 弦定理を用いるときは注意しましょう。
4 章：図形と計量 2 131 ∠ABC = θとおく。△ABCにおいて余弦定理を用いると B C A D 4 5 6 2 x θ cos θ = 4 2 + 52− 62 2· 4 · 5 = 1 8 また，DA = xとおく。∠CDA = 180◦− θであ るから，△CDAにおいて余弦定理を用いると 62= 22+ x2− 2 · 2 · x · cos(180◦− θ) 36 = 4 + x2− 4x(− cos θ) x2+ 1 2x− 32 = 0 ∴ x = −1± 3 √ 57 4 x = DA > 0より DA = −1 + 3 √ 57 4 132 ∠BAD = αとおき，△ABDにおいて，余 B D A C 4 4 5 9 α 180◦−α 弦定理を用いると BD2= 42+ 92− 2 · 4 · 9 cos α = 97− 72 cos α · · · ·⃝1 また，∠BCD = 180◦− αなので△BCDにお いて，余弦定理を用いると BD2= 42+ 52− 2 · 4 · 5 cos (180◦− α) = 41 + 40 cos α · · · ·⃝2 1 ⃝，⃝2より
97− 72 cos α = 41 + 40 cos α ∴ cos α = 1 2 1 ⃝に代入して BD2= 97− 72 · 1 2 = 61 ∴ BD = √ 61
同様に，∠ABC = βとおくと，∠ADC = 180◦− βであるから，△ABC，△ADC において余弦定理を用いると AC2= 42+ 42− 2 · 4 · 4 cos β = 32 − 32 cos β · · · ·⃝3 AC2= 52+ 92− 2 · 5 · 9 cos (180◦− β) = 106 + 90 cos β · · · ·⃝4 よって，⃝3，⃝4より 122 cos β =−74 ∴ cos β =− 37 61 3 ⃝に代入して AC2= 32 ( 1 + 37 61 ) ∴ AC = 56 √ 61 61
133 △ABCにおいて余弦定理を用いると B A C D 2√3 x 120◦ 2√2 2√2 AC2= AB2+ BC2− 2AB · BC cos B = 8 + 8− 16 cos 120◦= 24 AC > 0より AC = 2√6 円周角の定理から ∠BDC = ∠BAC = 180◦− 120◦ 2 = 30 ◦ （∵ △ABCは二等辺三角形） 外接円の半径をRとして△ABCにおいて正弦定理を用いると AC sin 120◦ = 2R ∴ R = AC 2 sin 120◦ = 1 2 · 2 √ 6· 2√ 3 = 2 √ 2 よって，△ABDにおいて正弦定理を用いると 2R = BD
sin∠BAD ∴ sin∠BAD = BD2R = 2√3 2· 2√2 =
√ 6 4
また，円周角の定理より，∠ADB = ∠ACB = 30◦なので，AD = xとして，△ABD において余弦定理を用いると (2√2)2= (2√3)2+ x2− 2 · 2√3x cos 30◦ x2− 6x + 4 = 0 ∴ x = 3±√5 ところで，△ABDと△CBDにおいて，BDが共通。∠ADB = ∠CDB = 30◦，AB = BC = 2√2であることから，この方程式の2解は，AD，CDの値である。AD > CD より AD = 3 +√5, CD = 3−√5 四角形ABCDの面積は △ABC + △ACD = 1
2 · AB · BC · sin ∠ABC + 12 · AD · CD · sin ∠ADC = 1 2 · 2 √ 2· 2√2· sin 120◦+ 1 2 · (3 + √ 5)(3−√5) sin 60◦ = 1 2 · √ 3 2 (8 + 4) = 3 √ 3
4 章：図形と計量 2
2.6
三角形の形状決定
134 三角形 ABC において，BC = a，CA = b，AB = c とする。次の等式 が成り立つときこの三角形はどのような形状か。
(1) a = 2b cos C
(2) sin2A = sin2B + sin2C
(3) a2= b2+ c2+ bc （広島女学院大）
135 △ABC において，∠A，∠B，∠C の大きさをそれぞれ A，B，C とし， 辺 BC，CA，AB の長さをそれぞれ a，b，c とする。次の等式が成り立つと き，この三角形はどのような三角形か。 (1) a cos A = b cos B (2) a cos B− b cos A = c （松山大 改） 136 △ABC において a = BC，b = CA，c = AB と表すとき tan A a2 = tan B b2 が成り立つ△ABC はどのような三角形か。 （横浜国立大 改）
134 三角形の形状決定問題は，正弦定理や余弦定理を用いて，辺の長さa，b，cの みの関係式，または，角の大きさA，B，Cのみの関係式をつくるのがポイントです。 角の関係式にもち込むと，三角比に関するいろいろな公式を使うことが多く，辺のみ の関係式をつくった方がラクな場合が多いです。 (1) 余弦定理より cos C = a 2 + b2− c2 2ab を代入すれば，辺の長さa，b，cのみの関係式が得られます。 (2) 正弦定理より sin A = a 2R, sin B = b 2R, sin C = c 2R を代入すれば，辺のみの関係式が得られます。 (3) 最初から3辺の長さのみの関係式で，辺のみの関係式として，これ以上変形で きそうにありません。そこで，左辺のa2を余弦定理を利用して別の形で表してみま しょう。 135 いずれもcosがあります。余弦定理を利用して辺の長さa，b，cの関係式で表 してみましょう。
136 tanはcosとsinで表すことができます。余弦定理と正弦定理を利用して辺の 長さa，b，cの関係式で表してみましょう。
4 章：図形と計量 2 134 (1) 余弦定理より B C A a b c cos C = a 2 + b2− c2 2ab これを用いてa = 2b cos Cを変形すると a = 2b· a 2 + b2− c2 2ab a2= a2+ b2− c2 ∴ b2= c2 b > 0，c > 0より b = c よって，b = cの二等辺三角形 (2) Rを△ABCの外接円の半径として正弦定理より a sin A = b sin B = c sin C = 2R ∴ sin A = a 2R, sin B = b 2R, sin C = c 2R これを用いてsin2A = sin2B + sin2Cを変形すると
( a 2R )2 = ( b 2R )2 + ( c 2R )2 ∴ a2= b2+ c2 よって，∠A = 90◦の直角三角形 (3) 余弦定理より a2= b2+ c2− 2bc cos A これを用いてa2= b2+ c2+ bcを変形すると b2+ c2− 2bc cos A = b2+ c2+ bc ∴ bc(1 + 2 cos A) = 0 b= 0\ かつc= 0\ より 1 + 2 cos A = 0 ∴ cos A =− 1 2 よって，∠A = 120◦の三角形
135 (1) a cos A =
b
cos B より a cos B = b cos A
B C A a b c さらに，余弦定理を適用すると a· a 2 + c2− b2 2ac = b· b 2 + c2− a2 2bc a2+ c2− b2 2c = b2+ c2− a2 2c ∴ a 2 = b2 a > 0，b > 0より a = b よって，a = bの二等辺三角形 (2) a cos B− b cos A = cで左辺に余弦定理を適用すると a· a 2+ c2− b2 2ac − b · b 2+ c2− a2 2bc = c a2+ c2− b2 2c − b 2 + c2− a2 2c = c a2+ c2− b2− (b2+ c2− a2) = 2c2 ∴ a2 = b2+ c2 よって，∠A = 90◦の直角三角形 136 外接円の半径をRとし，正弦定理，余弦定理を適用すると tan A a2 = sin A a2cos A = 1 a2 · a2R · 2bc b2+ c2− a2 = bc a(b2+ c2− a2)R 同様にして tan B b2 = 1 b2 · b2R · 2ac a2+ c2− b2 = ca b(a2+ c2− b2)R が成り立つ。したがって B C A a b c tan A a2 = tan B b2 bc a(b2+ c2− a2)R = ca b(a2+ c2− b2)R b a(b2+ c2− a2) = a b(a2+ c2− b2) b2(a2+ c2− b2) = a2(b2+ c2− a2) cについて整理して (b2− a2)c2− (b4− a4) = 0 (b2− a2)c2− (b2+ a2)(b2− a2) = 0 (b + a)(b− a){c2− (b2+ a2)} = 0 b + a > 0なので b = a または c2= a2+ b2 つまり，AC = BCの二等辺三角形 であるか，または∠C = 90◦ の直角三角形 で ある。
4 章：図形と計量 2
2.7
面積
137 (1) △ABC において，AB : AC = 2 : 3，BC = 2√7，∠BAC = 60◦
のとき△ABC の面積は である。 （中京大） (2) △ABC において，BC : CA : AB = 2 : 3 : 4 であり，面積が √ 15 3 であ るとき，辺 BC の長さは である。 （昭和薬科大）
138 ∠A = 60◦，AB = c，AC = b である三角形 ABC について，以下の問 に答えよ。 (1) 三角形 ABC の面積を求めよ。 (2) ∠A の 2 等分線が辺 BC と交わる点を P とする。このとき，AP の長さ を求めよ。 （専修大） 139 (1) 平行四辺形 ABCD において，AB = CD = 5，BC = DA = 7，対 角線 BD = 8 であるとき，平行四辺形 ABCD の面積を求めよ。 （自治医科大） (2) 四辺形 ABCD において，∠A = 60◦, ∠B = 75◦, DA = 1, AB = 2, BC =√2 であるとき，この四辺形の面積は である。 （奈良県立医科大） 140 1 辺の長さがそれぞれ x cm の正六角形の面積は cm2，正八角形 の面積は cm2である。 （立教大）
137 (1) △ABCの面積は A B C 60◦ 1 2AB· AC sin ∠BAC です。∠BAC = 60◦ と与えられているので，AB，ACの長さが わかれば面積が得られます。AB : AC = 2 : 3 より，AB = 2x， AC = 3xとおくことができ，BC = 2√7と合わせると，xを求め ることができます。このとき用いるのは余弦定理です。 (2) BC : CA : AB = 2 : 3 : 4より，BC = 2x，CA = 3x，AB = 4xとおくことが でき，3辺の長さが決まれば，余弦定理より頂角の余弦の値を求めることができます。 138 (1) b，cは与えられた長さとして用いてよいので，公式そのものを書けという 問題ですね。
(2) 面積 △ABC = △ABP + △APCに着目して，APについての関係式をつくり ます。 139 (1)（平行四辺形ABCDの面積）= 2×（△ABDの面積）です。 (2) まず，与えられた条件をもつ四辺形を図示してみましょう。あとに四辺形の分割 の仕方を考えます。 140 正八角形の外接円の中心と各頂点を結ぶと正八角形は8個の二等辺三角形に分 割されます。
4 章：図形と計量 2 137 (1) AB : AC = 2 : 3より，AB = 2x，AC = 3x と A B C 2x 2√7 3x 60◦ おける。余弦定理を用いると (2√7)2= (2x)2+ (3x)2− 2 · 2x · 3x · cos 60◦ 28 = 4x2+ 9x2− 12x2· 1 2 x2= 4 ∴ x = 2 (∵ x > 0) よって，△ABCの面積は 1 2 · 2x · 3x · sin 60 ◦= 1 2 · 4 · 6 · √ 3 2 = 6 √ 3 (2) BC : CA : AB = 2 : 3 : 4よりBC = 2x，CA = 3x，AB = 4xとおける。 A B C 4x 2x 3x 余弦定理を用いると cos A = (3x) 2 + (4x)2− (2x)2 2· 3x · 4x = 7 8 このとき，0◦< A < 180◦よりsin A > 0だから sin A =√1− cos2A = √ 1− ( 7 8 )2 = √ 15 8 △ABCの面積が √ 15 3 のとき 1 2 · 4x · 3x · √ 15 8 = √ 15 3 x 2 = 4 9 ∴ x = 2 3 (∵ x > 0) よって BC = 2· 2 3 = 4 3 138 (1) △ABC = 1 2bc sin 60 ◦= √3 4 bc B C A P 30◦30◦ x c b (2) AP = xとおくと，(1)より △ABC = △ABP + △APC
√ 3 4 bc = 1 2cx sin 30 ◦+ 1 2bx sin 30 ◦ √ 3bc = (b + c)x ∴ AP = x = √ 3bc b + c APは∠Aの2等分線より BP : PC = AB : AC = c : b △ABPの面積を2通りに考えると 1 2cx sin 30 ◦= c b + c · 12bc sin 60 ◦ ∴ x = √3bc b + c
139 (1) △ABDにおいて余弦定理を用いると A B D C 5 7 5 7 8 cos A = 5 2 + 72− 82 2· 5 · 7 = 1 7 このとき，0◦< A < 180◦よりsin A > 0であるから sin A =√1− cos2A = √ 1− ( 1 7 )2 = 4 √ 3 7 よって，平行四辺形ABCDの面積は 2× △ABD = 2 × 1 2 · 5 · 7 · 4√3 7 = 20 √ 3 (2) △ABDはAB = 2，AD = 1，DB =√3の B D A C 60◦ 30◦45◦ 1 2 √ 2 直角三角形であり，∠DBC = 75◦− 30◦= 45◦で ある。よって，四辺形の面積Sは S =△ABD + △BCD = 1 2 · 1 · √ 3 + 1 2 · √ 2·√3· sin 45◦ = √ 3 2 + √ 3 2 = √ 3 140 1辺の長さがxの正三角形6個分の面積を考えて x || || || 6× 1 2 · x · x · sin 60 ◦= 3√3 2 x 2 (cm2) 次に，正八角形の外接円の半径をrとして， A B O x r r45 ◦|| || OA = OB = r，AB = x，∠AOB = 45◦の△OABを考 える。余弦定理より x2= r2+ r2− 2r · r cos 45◦ x2= (2−√2)r2 ∴ r2 = x 2 2−√2 = 2 +√2 2 x 2 したがって，正八角形の面積は 8× △OAB = 8 × 1 2r 2 sin 45◦= 2√2· 2 + √ 2 2 x 2 = 2(√2 + 1)x2(cm2) 右図より，求める面積は A B O x x √ 2 x √ 2 ( x √ 2 + x + x √ 2 )2 − 4 × 1 2 ( x √ 2 )2 = (√2 + 1)2x2− x2 = 2(√2 + 1)x2 (cm2)
4 章：図形と計量 2
2.8
相似形の面積比
141 図の三角形 ABC において，辺 AB を 3 等分 B R S C Q P A する点をそれぞれ P，Q，辺 BC を 3 等分する点を それぞれ R，S とする。このとき，△BQR，△PQS， △ABC の面積比は : : であ る。 （湘南工科大） 142 右図において，長方形 ABCD と長方形 A B F C D E AEFB が相似であり，四角形 CDEF が正方形で あるとする。長方形 AEFB の面積を S1，長方形 ABCD の面積を S2とするとき AB : BC = 1 : ， S1: S2= 1 : である。 （北海道工業大） 143 1 つの円に内接する正六角形の面積を S，外接する正六角形の面積を T とする。このとき，S : T を求めよ。 144 図のように，正五角形 ABCDE の対角線 A B C D E F G H I J の交点をそれぞれ F，G，H，I，J とする。 (1) ∠ABH と ∠AHB の大きさの比は， ∠ABH : ∠AHB = 1 : である。 (2) 線分 IH と線分 AI の長さの比は， IH : AI = 1 : である。 (3) 五角形 FGHIJ と正五角形 ABCDE の面積 の比は，五角形 FGHIJ : 正五角形 ABCDE = 1 : である。141 相似な平面図形A，Bの相似比がa : bであるとき，A，Bの面積比はa2: b2 です。 142 長方形ABCDと長方形AEFBが相似であることから AB : BC = AE : AB であり，四角形CDEFが正方形であることより AB = BC− AE です。AEを消去することによりABとBCの関係式が得られます。AB = 1，BC = a， AE = xとしても一般性は失われません。 143 正六角形は中心Oを1つの頂点とする6個の正三角形に分割されます。各正 六角形の一辺の長さの比が相似比であり，2つの正六角形の面積比は，(相似比)2と なります。 144 正五角形の中にはいくつかの相似な三角形があ A B C D E A B C D E I H || || ··· · · ·· ·· ·· ります。 (1) 正五角形の内角の総和は△ABC， △ACD，△AEDの内角の和に等しいから ∠BAE = 180◦× 3 5 = 36◦× 3 = 108◦ 36◦を•で表すと，△ABH内の角は右図のようになり ます。
(2) △AIH
∽
△BAHであり，△IABが二等辺三角形 であることに着目します。4 章：図形と計量 2 141 △QBR
∽
△PBS∽
△ABCであり， B R S C Q P A | | | || || || 相似比は1 : 2 : 3だから △QBR : △PBS : △ABC = 12 : 22: 32 また，Rは線分BSの中点だから △QBR : △QRS = 1 : 1 よって，△ABCの面積を9とすると △QBR = 1 △PQS = △PBS − △QBR − △QRS = 4− 1 − 1 = 2 よって，求める面積比は △BQR : △PQS : △ABC = 1 : 2 : 9 142 AB = 1，BC = a，AE = xとおく。 長方形ABCDと長方形AEFBが相似であることか A B F C D E 1 a x || || || || ら a : 1 = 1 : x ∴ ax = 1 · · · ·⃝1 また，BF + FC = BCより x + 1 = a · · · ·⃝2 1 ⃝，⃝2よりxを消去すると a(a− 1) = 1 a2− a − 1 = 0 a > 0より a = 1 + √ 5 2 したがって AB : BC = 1 : a = 1 : 1 + √ 5 2 であり，長方形ABCDと長方形AEFBが相似であることから S1: S2= 12: a2= 1 : 3 + √ 5 2143 図のようにO，A，B，C，Dをとる。円の半径 O 30◦ A B C D OAの長さをaとすると，内接正六角形と外接正六角 形の辺の比は AB : CD = AB : 2AD = a : 2a tan 30◦ = 1 : ( 2· 1√ 3 ) =√3 : 2 ∴ S : T = (√3)2: 22= 3 : 4
144 正五角形ABCDEの内角の総和は△ABC，△ACD，△AEDの内角の総和 180◦× 3に等しいから ∠BAE = 180◦× 3 5 = 108 ◦ ∠BAI = ∠ABI = 180◦− 108◦ 2 = 36 ◦ ∠AIH = ∠AHI = 72◦ である。 (1) ∠ABH : ∠AHB = 36◦: 72◦= 1 : 2 (2) IH = 1，AI = xとおくと A B H I || || || · · ·· ·· · △AIH
