空間図形の体積

4

149 三角形の外接円の半径は正弦定理を利用して求めることができます。Aから底 面BCDに下ろした垂線の足は，AB = AC = ADならば，三角形BCDの外心と一 致します。

150 相似な立体図形A，Bの相似比がa:bであるとき，A，Bの体積比はa³:b³ です。本問では，求める立体（四面体）の体積をV とおくと

V = (1

2 )3

×(四面体OABDの体積)

= (1

2 )3

× 1

2(正四角錐OABCDの体積) です。

151 (1) △CMR

∽

△CBA（相似比1 : 3）です。

(2) GC，SR，PMを延長して三角錐をつくりましょう。

4

149 ∠BCD =θ とおき，三角形BCDに余弦定理

A

B D

C

3 2

√5 を用いると

cosθ= 3²+ 2²−(√ 5)² 2·3·2 = 2

3 0^◦< θ <180^◦よりsinθ >0だから

sinθ=√

1−cos²θ=

√ 1−(

2 3

)2

=

√5 3

三角形BCDの外接円の半径をRとする。三角形BCD に正弦定理を用いると

2R= BD

sinθ ∴ R=

√5 2·

√5 3

= 3 2

Aから三角形BCDに垂線AHを引く。このとき，三平方の定理より A

B D

C 3 ^||

||

||

3 2

√5

H









BH =√

AB²−AH²=√ 9−AH² CH =√

AC²−AH²=√ 9−AH² DH =√

AD²−AH²=√ 9−AH²

∴ BH = CH = DH

よって，Hは三角形BCDの外心と一致するから BH =R= 3

2

∴ AH =√

AB²−BH²=

√ 9− 9

4 = 3√ 3 2 したがって，三角錐ABCDの体積は

1

3 × △BCD×AH = 1 3 × 1

2 ·3·2·

√5 3 × 3√

3 2 =

√15 2

三角形BCDについて，BC² = CD²+ DB² が成り立つから，∠CDB = 90^◦で ある。このことに気づけば，三角形BCDの外接円はB，Cを直径の両端とする円で あり，Rは

R= BC 2 = 3

2 と求めることができる。

150 求める立体は四面体OABDと相似であり，

C D

A

B O

H M

C A

O

H

|| ||

4

2√ 2 相似比は 1

2 ^{なので，求める体積}V は V =

(1 2

)3

×^（四面体OABDの体積）

= 1 8 × 1

2 ×^{（正四角錐}OABCDの体積）

ここで，Oから平面ABCDへ下ろした垂線の足を Hとおくと

AH = 1

2AC = 1 2

√4²+ 4²= 2√ 2 であるから

OH =√

OA²−AH²=

√

4²−(2√ 2)²

= 2√ 2

∴ V = 1 16 × 1

3 ·4²·2√ 2 = 2√

2 3 (cm³) 151 (1) △CMR

∽

△CBAであり

MR : BA = CM : CB = 1

3CB : CB = 1 : 3

∴ MR = 1

3AB =1 cm

(2) 図のように3直線 GC，SR，PMの交点をTとお

M C

R

P G

S T

3 3 2 3

2 くと，三角錐TMCRと三角錐TPGSは相似となり，相 似 比 は MC : PG = 2 : 3 な の で ，体 積 比 は 2³: 3³= 8 : 27である。

よって，求める体積V は V =

( 1− 8

27

)×^（三角錐TPGSの体積）

である。

△PGS = 1

2 ·PG·PS = 1 2 ·3· 3

2 = 9 4 TG =hとおくと，TC : TG = 2 : 3より

(h−3) :h= 2 : 3

2h= 3(h−3) ∴ h= 9 であるから

（三角錐TPGSの体積）= 1

3 × △PGS×h= 1 3 × 9

4 ×9 = 27 4 したがって

V = 19 27 × 27

4 = 19 4 (cm³)

4

2.11 正四面体

152 1

辺の長さが

2

の正四面体

ABCD

におい

_A

D B

C M

θ

て，辺

BC

の中点を

M

とし，

∠AMD =θ

とする。

このとき，cos

θ =

であり，三角形

AMD

の面積は である。 （北海道工業大）

153 1

辺の長さが

1

の正四面体

OABC

の辺

OA

上に点

P

がある。

∠BPC =θ

とする。cos

θ= 5

13

で

OP< 1

2

のとき，BP の長さは であり，OP

の長さは である。 （独協医科大）

154

一辺の長さが

1

の正四面体

OABC

に

O

C A

B P

h θ

おいて，辺

OA

を

3 : 1

に内分する点を

P

と

する。

∠BPC =θ

とし，三角形

BPC

の面積 を

S

とおく。

(1)

線分

BP

の長さは である。

(2) cosθ=

，S

=

である。

(3)

正四面体

OABC

の体積を

V

とおくと，

V =

である。

(4)

点

O

から三角形

BPC

に下ろした垂線の長さ

h

は である。

（東邦大）

152 正四面体は4つの合同な正三角形を面とする四面体です。また，Mは辺BCの 中点より，AM，DMはそれぞれ正三角形ABC，DBCの中線であり，三角形AMD はAM = DMの二等辺三角形です。三角形AMDの3辺の長さがわかれば余弦定理 よりcosθの値が求められますし，cosθの値からsinθの値，そして面積を求めるこ とができます。

153 △BPCはBP = CPの二等辺三角形です。cosθの値が与えられているので余 弦定理の利用を考えます。

154 (3) Oから底面ABCに下ろした垂線の足Hは OA = OB = OC

より三角形ABCの外心です。さらに，三角形ABCは正三角形であり，正三角形に おいては外心と重心は一致するので

Hは重心 でもあります。これより

AH = 2

3 ×^{（中線の長さ）}

です。

あるいは，AHは三角形ABCの外接円の半径でもあるので，正弦定理を用いて AB

sin 60^◦ = 2×AHより AH = √1 3AB としてもよいですね。

(4) 四面体OPBCの体積を，hを使うものと使わないものとで2通りに表してみま しょう。

4

152 AM，DMは正三角形の中線より

A

D B

C M

| θ

|

2 AM = DM = 2 sin 60^◦=√

3 三角形AMDに余弦定理を用いると

cosθ= (√

3)²+ (√ 3)²−2² 2·√

3·√ 3

= 1 3

0^◦< θ <180^◦よりsinθ >0であるから sinθ=√

1−cos²θ=

√ 1−(

1 3

)2

= 2√ 2 3 したがって

△AMD = 1 2 ·√

3·√ 3· 2√

2 3 =√

2

153 BP =xとおく。BP = CPなので，△BPC^{に余弦定理を用いて} O

C A

B P

y

x θ x cosθ= x²+x²−1

2·x·x = 2x²−1 2x² これとcosθ= 5

13 ^より 2x²−1

2x² = 5 13 26x²−13 = 10x² x²= 13

16

∴ BP =x=

√13

4 (∵ x >0)

∠BOP = 60^◦なので，OP =yとし，△OBPにおいて余弦定理を用いると (√

13 4

)2

= 1²+y²−2·1·ycos 60^◦ y²−y+ 3

16 = 0 (4y−3)(4y−1) = 0

∴ OP =y= 1 4

(∵ y < 1 2 )

154 (1) 三角形ABPに余弦定理を用いると BP²=

(1 4

)2

+ 1²−2· 1

4 ·1·cos 60^◦= 13 16

∴ BP =

√13

4 (∵ BP>0) (2) PC = BP =

√13

4 ^{であるから，三角形}PBCに余弦定理を用いると O

C A

B P

θ

⃝3

⃝1

√ 1 13 4 cosθ= BP²+ PC²−BC²

2·BP·PC = 5 13 0^◦< θ <180^◦よりsinθ >0であるから

sinθ=

√ 1−(

5 13

)2

= 12 13 よって，三角形BPCの面積Sは

S= 1 2 ·

√13 4 ·

√13 4 · 12

13 = 3 8

(3) 点Oから三角形ABCに垂線OHをひくと，Hは三角形ABCの外心であり，三 O

C A

B P

2

1

H M

||

||

角形ABCは正三角形よりHは重心と一致する。よって，辺BCの中点をMとする と，Hは中線AM上にあって

AH = 2

3AM = 2

3 ×1·sin 60^◦=

√3 3 このとき

OH =

√ 1²−

(√ 3 3

)2

=

√6 3 であるから，正四面体OABCの体積V は

V = 1

3 × △ABC×OH

= 1 3 × 1

2 ·1·1·sin 60^◦×

√6 3 =

√2 12

(4) 四面体OPBCの体積をV^′とする。OP : PA = 3 : 1より

O

C A

B P

h

⃝3

⃝1

V^′=V × 3 4 =

√2 12 × 3

4 =

√2 16 また

V^′= 1

3 ×S×h= h 8 でもあるから

h 8 =

√2

16 ∴ h=

√2 2

4

2.12 球

155

一辺の長さが

a

である正四面体

ABCD

に外接する球の半径は

である。 （兵庫医科大）

156

図のように，1 辺の長さ

2

の正方形を底面とす

B C

E D

A

P Q

る正四角錐

ABCDE

があり，その中にちょうどはいる

2

つの球

P

，Q がある。球

P

は正四角錐

ABCDE

の 底面および各側面に接し，球

Q

は正四角錐

ABCDE

の各側面に接している。さらに

2

つの球

P

，Q は互 いに接している。正方形

BCDE

の面積と

△ABC

の 面積が等しいとき，

(1)

辺

AB

の長さは である。

(2)

球

P

の半径は である。

(3)

球

Q

の体積は である。

157

右の図は，線分

BC

を直径とする円を底面とし，点

A

B C

A

を頂点とする直円錐である。AB = 6，BC = 6 のとき，この

直円錐の中に入る球のうち，体積が最大のものを

O

とする。

球

O

の体積を求めよ。

158

右図のように，高さが

1，底面の半径が2

1 2

の円すいの頂点と底面の周が，球に内接してい

る。この球の体積を求めよ。

半径rの球について

r 体積V = 4

3πr³, 表面積S= 4πr²

です。あとは球の半径を求めるために立体の切り口を工 夫します。

155 正四面体ABCDを対称な2つの図形（立体）に分割すると，外接球の中心は この切り口の上にあります。さらに，この切り口を対称な2つの図形（三角形）に分 割すると，外接球の中心はこの切り口の上にあります。

156 2球と側面との接点がどのように表れるか考えましょう。接点と2球の中心を 含む平面による切り口を考えます。

157 頂点Aと直径BCを含む平面による切り口を考えましょう。内接球の中心は切 り口の三角形の内心となります。また，切り口は正三角形となるので，内心は重心に 一致します。

158 円錐の軸を含む平面で切れば，どこで切っても切り口は同じ形となります。

4

155 点Aから三角形BCDに垂線AHをひくと，AB = AC = ADよりHは三角

A

D B

C

H M

⃝2

⃝1

||

||

A

B H M

R O R

形BCDの外心であり，三角形BCDは正三角形よりHは三角形BCDの重心と一致 する。辺CDの中点をMとすると，Hは中線BM上にあるから

BH = 2

3 ×asin 60^◦=

√3 3 a

∴ AH =

√ a²−

(√ 3 3 a

)2

=

√6 3 a 外接球の中心をO，半径をRとすると

OH =

√6 3 a−R よって，三平方の定理より

BH²+ HO²= OB² (√

3 3 a

)2

+ (√

6 3 a−R

)2

=R²

∴ R=

√6 4 a

二等辺三角形MABにおいて，MOは∠AMB の2等分線だから

AO : OH = AM : MH = 3 : 1

∴ R= OA = 3 4AH =

√6 4 a

156 (1) 辺BCの中点をFとすると，△ABCの面積

B C

E D

A

F G と正方形BCDEの面積が等しいので

1

2 ·BC·AF = BC² ∴ AF = 2·BC = 4 よって AB =√

AF²+ BF²=√

4²+ 1²=√ 17 (2) EDの中点をGとし，3点A，F，Gを通る平面に よる切り口を考える。対称性より，2球の中心P，Qは この平面上にある。次頁の図のように各点をとると

FH = 1

2FG = 1

2 ×2 = 1 であり，また

AH =√

AF²−FH²=√

4²−1²=√ 15

ドキュメント内 (1) θ a = 5(cm) θ c = 4(cm) b = 3(cm) (2) ABC A A BC AD 10cm BC B D C 99 (1) A B 10m O AOB 37 sin 37 = cos 37 = tan 37 (ページ 53-64)