<4D F736F F F696E74202D20315F899E97CDA5944D89F090CD93FC96E5835A837E83698E9197BF2E >

(1)

(2)

1. 応力解析の概要

･･･････････

3 2. 熱伝導解析の概要

･･･････････

35 3. 熱応力解析

･･･････････

54 4. 対称モデルのすすめ

･･･････････

57 5. 外部境界条件

･･･････････

62 6. 線形解析と非線形解析

･･･････････

65 7. 過渡解析

･･･････････

73 8. 特異点

･･･････････

77 応用編

基礎編

(3)

１．応力解析（Galileo）の概要

･応力解析の種類

･解析オプション

･材料定数

･ボディ属性

･境界条件

･結果表示

・ステップ

_{/熱荷重の設定}

(4)

応力解析の種類

先端に荷重を受けた梁（例題1）

ボールの衝突（例題32）

鐘の固有振動（例題11）

静解析

座屈解析

過渡解析

共振解析（固有振動解析）

調和解析（強制振動解析）

「つりあいの式」を解く。

[K] {x}= {f}

「つりあいの式」を解く。

[K] {x}= {f}

運動方程式を解く。

[M]{a} + [C]{v} + [K]{x} = {f}

運動方程式を解く。

[M]{a} + [C]{v} + [K]{x} = {f}

(5)

先端に荷重を受けた梁（例題1）

ボールの衝突（例題32）

鐘の固有振動（例題11）

ツインタワーの強制振動解析（例題16）

H形鋼の座屈（例題48）

固有振動を求める。

{ [K] - ω

2 _{[M] } {x} = {0}}

固有振動を求める。

{ [K] - ω

2 _{[M] } {x} = {0}}

正弦振動する強制力で励起さ

れる振動を求める。

{ [K] - ω

2 _{[M] } {x} = {f}}

正弦振動する強制力で励起さ

れる振動を求める。

{ [K] - ω

2 _{[M] } {x} = {f}}

静解析

座屈解析

共振解析（固有振動解析）

調和解析（強制振動解析）

応力解析の種類

過渡解析

(6)

先端に荷重を受けた梁（例題1）

ボールの衝突（例題32）

鐘の固有振動（例題11）

一定値以上の圧縮力によって発

生する座屈モードを求める。

一定値以上の圧縮力によって発

生する座屈モードを求める。

静解析

座屈解析

共振解析（固有振動解析）

調和解析（強制振動解析）

応力解析の種類

過渡解析

(7)

応力解析の種類

(8)

解析オプション：

(9)

加速度

モデルに慣性力maを発生させる。

解析オプション

(加速度，角速度)

自重（重力加速度）で変形する梁（例題４）

角速度

モデルに慣性力（遠心力）mrω

2 _{を発生させる。}

遠心力での変形解析（例題23）

モデル全体に

重力を印加

(10)

② 応力解析の種類を５つの中から選ぶ

① モデルの絵を描く

（ＣＡＤデータのインポートも可能）

⑥ 境界条件（印加する力など）を設定する

③ 解析オプション（補助的な味付け）を設定する

④ 各ボディ（構成部材）の材料定数を設定する

⑤ 各ボディのボディ属性（材料定数以外の性質）を設定する

⑦ 解析ボタンを押してしばらく待つと、結果が得られる

応力解析の流れ

(11)

材料定数

○ 弾性定数（ヤング率、ポアソン比）

○ 密度

(12)

材料定数

○ 弾性定数（ヤング率、ポアソン比）

○ 密度

(13)

材料定数

○ 弾性定数（ヤング率、ポアソン比）

○ 密度

○ 線膨張係数

線膨張係数，弾性定数に関しては

異方性を設定することもできます。

(14)

② 応力解析の種類を５つの中から選ぶ

① モデルの絵を描く

（ＣＡＤデータのインポートも可能）

⑥ 境界条件（印加する力など）を設定する

③ 解析オプション（補助的な味付け）を設定する

④ 各ボディ（構成部材）の材料定数を設定する

⑤ 各ボディのボディ属性（材料定数以外の属性情報）を設定する

⑦ 解析ボタンを押してしばらく待つと、結果が得られる

応力解析の流れ

(15)

初期ひずみを用いた薄膜内部応力の解析（例題４１）

ボディ属性（材料定数以外の属性情報）

(16)

ボディ属性（材料定数以外の属性情報）

方向タブで異方性材料の向きを指定できます。

第３軸だけが特別な異方性材料の場合、

第３軸の方向をベクトル指定することで、

材料の向きを表すことができます。

(17)

② 応力解析の種類を５つの中から選ぶ

① モデルの絵を描く

（ＣＡＤデータのインポートも可能）

⑥ 境界条件（印加する力など）を設定する

③ 解析オプション（補助的な味付け）を設定する

④ 各ボディ（構成部材）の材料定数を設定する

⑤ 各ボディのボディ属性（材料定数以外の性質）を設定する

⑦ 解析ボタンを押してしばらく待つと、結果が得られる

応力解析の流れ

(18)

境界条件の設定

(19)

集中荷重

（点に設定）

圧力

（面に設定）

線分布荷重

（辺に設定）

※

面分布荷重

（面に設定）

※

※トータル荷重入力の場合単位は[N]となる

力の境界条件

印加する力を指定する。

(20)

印加するトルクを設定する。

(21)

（例題３）

梁の先端の変位を指定

梁の根元を固定（変位をゼロに指定）

変位の境界条件

Ｘ方向，Ｙ方向の動きは拘束しない。

_{Ｙ方向の動きをゼロに拘束する。}

変位（移動量）を指定する。

(22)

回転軸周りの回転角を指定する。

回転変位の境界条件

拘束①

拘束②

(23)

（例題２８）大変形をともなう接触解析

接触の境界条件

一方に「接触面」、他方に「被接触面」の境界条件を設定しておかないと、

お互いの存在を認識することができず、お互いを無視してすりぬけます。

お手数ですが「接触面」「被接触面」の設定をお願いします。

接触面

被接触面

(24)

簡易接触

（例題４３）

摩擦を考慮した接触解析１

簡易接触の境界条件

最初から接触している面どうしに関しては、簡易接触の境界条件を使用する

ことができます。

○ 通常の接触の設定と比較すると、計算が軽くなります。

× 通常の接触と簡易接触を混在させると逆に計算が遅くなります。

× １メッシュ以上の横ズレが発生するモデルで簡易接触を使うと、

誤差が大きくなります。

(25)

補足

描画した段階で２つのボディが図形的に接触している場合、その境界面に何

の境界条件も設定しないと、両者は固着しているとみなされます。

両者が固着していない場合には、簡易接触もしくは接触／被接触の境界条件

を設定してください。

(26)

② 応力解析の種類を５つの中から選ぶ

① モデルの絵を描く

（ＣＡＤデータのインポートも可能）

⑥ 境界条件（印加する力など）を設定する

③ 解析オプション（補助的な味付け）を設定する

④ 各ボディ（構成部材）の材料定数を設定する

⑤ 各ボディのボディ属性（材料定数以外の性質）を設定する

⑦ 解析ボタンを押してしばらく待つと、結果が得られる

応力解析の流れ

メッシュ分割は自動

生成されます。

(27)

(28)

(29)

－応力解析に関する補足－

「ステップ／熱荷重」の設定

(30)

熱荷重

解析オプションの「熱荷重」を選択すると

温度変化による膨張収縮によって発生する変形を解析できます。

熱荷重

(31)

多段階熱プロファイル

Step３

Ｓｔｅｐ５

多段階の温度変化も設定可能

発生

(32)

ボディのバース／デス設定

ボディ属性設定の中の「解析領域」タブで設定します。

Step３

(33)

ボディの材料特性切り替え

ステップ毎にボディの材料物性を切り替えることも可能です。

ボディ属性設定の中の「材料切替」タブで設定します。

(34)

境界条件のON/OFF切り替え

(35)

２．熱伝導解析（

_{Watt）の概要}

･解析条件

･材料定数

･ボディ属性

･境界条件

･結果表示

(36)

中央に10W発熱体，外周４辺は0℃に固定（例題４）

熱伝導解析の種類

0sec

80sec

160sec

240sec

過渡解析

初期温度状態から時間ステップを刻んで

熱伝導方程式を解く。

時間軸上での温度変化が分かる。

上図の例は過渡解析。

定常解析

長時間経過後の到達状態を求める。

温度の時間変化がゼロという条件で

熱伝導方程式を解くことにより、長時間後

の到達状態（定常状態）を一気に求める。

※ 定常状態の存在しない系（温度が際限なく上がり続ける系など）で

(37)

熱伝導解析の種類

(38)

材料定数

金Au

315 銀Ag

427 銅Cu

402 SUS301

16 ﾎﾟﾘｶｰﾎﾞﾈｰﾄ0.2

ﾎﾟﾘｴﾁﾚﾝ

0.22 ｶﾞﾗｴﾎﾟ

0.293 熱伝導率の例 [W/m/deg]

熱伝導率

熱の伝わりやすさ

過渡解析では、熱伝導率，密度，比熱全てを設定

いただく必要があります。

定常解析で必要なのは、熱伝導率の設定だけです。

密度

単位体積あたりの質量

比熱

温度１℃上昇に必要な熱量

（1Kgあたり）

(39)

各ボディの発熱量を設定できます。

・「総発熱量での設定」「発熱密度での設定」いずれも可能

・発熱密度の空間分布を与えることも可能

・温度依存性を持つ発熱密度も設定可能（温度依存性を「あり」にして設定）

・発熱量に時間プロファイルを持たせることも可能（時間依存をオンにして設定）

ボディ属性（材料定数以外の属性情報）

(40)

各ボディの初期温度を設定できます（過渡解析の場合）。

デフォルトでは、全てのボディに同じ初期温度（過渡解析の条件設定の中に含ま

れる）が設定されています。ボディ属性設定の中で、各ボディに個別の初期温度

を与えることができます。

(41)

(42)

例題１

柱天面：１００℃

← 温度指定の境界条件

柱底面：０℃

← 温度指定の境界条件

柱側面：断熱

温度指定の境界条件

温度分布

金

SUS

熱流束

金

SUS

熱流束：熱の流れ

熱流束が天面から流入、底面から流出。

(43)

熱流束流入の境界条件

例題１3

柱天面：熱流束1×10

5 _[w/m

2 _]流入

_{← 熱流束流入の境界条件}

柱底面： 25℃

柱側面：断熱

熱流束

温度分布

銅

Ni

銅

Ni

← 熱流束流入ゼロの境界条件

(44)

熱伝達係数の境界条件

放熱量（熱流束流出量）＝ h × （θ- θa）

h : 熱伝達係数， θ：放熱面温度， θa：環境温度

底面200℃

温度分布

熱流束分布

θa

h

h=10000 (→25℃)

底面100℃

(45)

②自然対流

もっと実際的な放熱の設定

①

②

①強制対流

(46)

右記の公式を用いて計算する。

※ 実体は熱伝達係数の境界条件。

v

v：流速

L:代表長さ

L

v

h



3 .

86 /

平均熱伝達係数h

強制対流の境界条件

強制対流条件下の放熱

（熱流束流出量） = h×(θ－θa)

θa

ｖ

L

θ：表面温度

θa：室温（環境温度）

(47)

強制対流の境界条件

１Wで発熱するチップの実装された基板

+y方向1[m/s]の風を当てたとして

オモテ面とウラ面に強制対流による放熱を設定（例題７）

平均熱伝達係数hを全面に付与するため、全体的な放熱は計算できるが、

風上風下の区別はできない。

v

L

v：流速

L:代表長さ

L

v

h



3 .

86 /

平均熱伝達係数h

強制対流条件下の放熱

（熱流束流出量） = h×(θ－θa)

(48)

自然対流

自然対流の境界条件

強制的に与えられる風ではなく、広い開放空間に

静かに置かれた状態での自然対流による放熱。

温度差によって自然発生する上昇気流が計算の前提。

十分に広い空間に放熱面が露出しているということが

計算の前提。

θ：表面温度

θa：室温（環境温度）

h’：面の大きさと向きから決まる係数

自然対流条件下の放熱

（熱流束流出量） = h’× (θ－ θa)

1.25

(49)

h’（自然対流係数）は、面の向

きと大きさから定まる係数。

※ 自動計算されます。

θa

θ：表面温度

θa：室温（環境温度）

（熱流束流出量） = h’× (θ－ θa)

1.25 自然対流の境界条件

(50)

③環境輻射

（周囲空間への輻射）

環境輻射の境界条件

強制対流，自然対流による放熱に続いて、環境への輻射による放熱の設定を説

明します。

環境輻射による放熱は、強制対流もしくは自然対流による放熱と同じ面に付与す

ることができます。

(51)

θa

f ：放熱量（熱流束）

θ：表面温度

θa：室温（環境温度）

環境輻射による放熱

f = k・σ (θ

4 _{－ θ a}

4 ₎

k : 輻射係数

σ : ｽﾃﾌｧﾝﾎﾞﾙﾂﾏﾝ係数

k

・ kは輻射率と形態係数の積

・形態係数は１と仮定

・したがってk＝輻射率

・輻射率は0と1の間の値

・輻射率＋光の反射率＝１

・１と仮定する形態係数は

厳密には0と１の間の値

平面、もしくは上に凸の面では１

環境輻射の境界条件

(52)

物体間輻射

モデルの表面間での輻射による熱交換

高温の上板からの輻射で加熱される下板

(53)

結果表示(熱伝導解析)

温度

FIX

(54)

(55)

再録：応力静解析・熱荷重オプション

FIX

熱荷重で反りが発生するバイメタル（例題7）

温度分布を持たない事例であれば、

応力解析の熱荷重で解析できる。

（熱伝導解析は不要）。

(56)

発熱チップ

応力解析と熱伝導解析の両方を選択

変位ベクトル

_{熱応力解析例題３}

チップ発熱によって発

生する温度分布で発

生する変形の解析

熱伝導解析で得られる温度分布を使いたい場合

(57)

４．対称モデルのすすめ

・対称モデルを解析するメリット

・対称境界条件（応力解析）

(58)

対称モデルを解析するメリット

解析モデルに対称性がある場合、

モデルを対称面でカットした対称モデルを解析することができます。

BEAM

フルモデル

対称モデル

計算コスト（時間やメモリ量）を大幅に削減できます。

(59)

対称境界条件（熱伝導解析の場合）

熱伝導解析の場合は、対称面に断熱境界を設定します。

Ｘ

Ｙ

Ｚ

断熱

注意：発熱ボディを分割する場合は

発熱量も変更する必要あり

フルモデルでの解析結果

(60)

対称境界条件（応力解析の場合）

応力解析の場合は、対称面の変位の垂直成分を固定します。

BEAM

Ｘ

Ｙ

Ｚ

Ｙ変位固定

Ｘ変位固定

(61)

対称境界条件

BEAM

Ｘ

Ｙ

Ｚ

解析的には同じ意味

対称面の境界条件を選択いただくと、対称面を

意味する適切な境界条件が自動設定されます。

(62)

(63)

外部境界条件（デフォルト境界条件）

有限要素法のシミュレーションでは、モデル最外周の全ての面に境界条件

を付与する必要があります。

しかし、モデル最外周の全ての面への境界条件設定を、ユーザーの皆様に

強要すると非常に使い勝手が悪くなります。

Femtetでは、ユーザーの皆様が境界条件を付与しなかったモデル最外周

面に「外部境界条件」を適用する仕様になっております。

(64)

(65)

６．線形解析と非線形解析

・線形と非線形解析

・応力解析での非線形解析

・熱伝導解析での非線形解析

(66)

線形と非線形解析







































4

3

2

1

4

3

2

1

44

43

42

41

34

33

32

31

24

23

22

21

14

13

12

11 b

b

x

a

有限要素法においては、節点毎に配置された未知数ｘ

_i

に関する連立一次方程式

（行列方程式）を組立てて、それを解きます。

線形解析

：行列組立とその求解を１回行えば解が求まる解析。

非線形解析

：行列組立と求解を複数回繰り返す必要がある解析。

(67)

「形」が刻々と変化する。

「形」を少しずつ変化させながら、求解を繰り返す。

(68)

２種類の幾何学非線形

大変位

根元の微小なひずみが先端に大きな移

動（変位）を発生させる効果を考慮。

(69)

大変位

微小変形解析では無視される

「回り込み」を考慮して解析（例題6）

非線形解析の事例・大変位

大変位オフ（線形解析）

微小変形解析結果が拡大されるだけ。

ちょっとヘンな解析結果になる。

大変位オン（非線形解析）

「少し変形させてモデルを作り直す」という

計算を繰り返す。

（非線形解析）

(70)

２種類の幾何学非線形

1.0 ?

5N

0.2 2N

_0.4

1N

線形解析の矛盾

ひずみが大きい場合（0.1以上）は、

大ひずみ（非線形解析）を使ってく

ださい。

1.2 ?????

6N

(71)

熱伝導解析での非線形解析

(72)

その他の非線形解析

- 応力解析で、下記の材料を扱う場合

弾塑性材料，クリープ材料，粘弾性材料，超弾性材料

- 熱伝導解析で、下記の境界条件を使う場合

自然対流，環境輻射，物体間輻射

(73)

７．過渡解析

※

応力過渡解析を行うためには

応力拡張オプションが必要です。

(74)

過渡解析タブ

熱伝導解析や応力解析の過渡解析を行う場合は、過渡解析タブを設定します。

過渡解析においては、時間を小刻みに進行させながら解析を行います。

過渡解析タブの中では、下記を設定します。

(75)

時間的に変化する発熱量

発熱量（ボディ属性）や各種境界条件（温度、熱伝達・環境輻射の環境温度、熱

流束）に時間依存性を持たせることができます。

(76)

時間的に変化する境界条件

応力解析の過渡解析では機械境界のうち、変位、荷重、圧力に

時間プロファイルを持たせることが可能

(77)

８．特異点

(78)

特異点

応力（静水圧）

針先端

51MPa

針先端

102MPa

針先端

1,024MPa

メッシュを細かくしても、特異点の応力は収束しません。（真値である

∞に近づきます）。

(79)

特異点

上記のようなモデルにおいても、梁の付け根が特異点となります。

（付け根に丸みをもたせれば、特異点ではなくなります）。

特異点は決して珍しいものではありません。

応力集中する場所に、現実に即した「丸み」などが設定されていないと特異点になります。

メッシュを細かくしても応力の値が収束しないとき、特異点である可能性が高いです。

(80)

特異点

梁根本

1GPa

梁根本

1.3GPa

梁根本

2.1GPa

メッシュを細かくしても、特異点の応力は収束しません。（真値である

∞に近づきます）。

特異点から２メッシュ程度以上離れた場所の結果は信用できます。

応力（最大主応力）

(81)

特異点

特異点が存在する場合の対応

① 特異点近辺（２メッシュ以内）のデータを考察対象から外す。

② モデルに現実に即した「丸み」などを持たせて特異点を無くす。

③ 構造パラメータ（寸法など）をふった水準間比較などの場合には、メッシュサイズを揃

えて水準間比較を行う。（特異点付近の解析値は、絶対値として信用できないが、同

じメッシュサイズなら水準間相対関係は保たれると仮定する）。

④ エネルギー開放率など、応力以外の物理指標を使って考察をする。

※ 詳細はＦｅｍｔｅｔヘルプの中の「Ｊ積分」に関する記述を参照ください。

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目次

1. 応力解析の概要

･･･････････

3

2. 熱伝導解析の概要

･･･････････

35

3. 熱応力解析

･･･････････

54

4. 対称モデルのすすめ

･･･････････

57

5. 外部境界条件

･･･････････

62

6. 線形解析と非線形解析

･･･････････

65

7. 過渡解析

･･･････････

73

8. 特異点

･･･････････

77

応用編

基礎編

１．応力解析（Galileo）の概要

･ 応力解析の種類

･ 解析オプション

･ 材料定数

･ ボディ属性

･ 境界条件

･ 結果表示

・ ステップ

/熱荷重の設定

応力解析の種類

先端に荷重を受けた梁（例題1）

ボールの衝突（例題32）

鐘の固有振動（例題11）

静解析

座屈解析

過渡解析

共振解析（固有振動解析）

調和解析（強制振動解析）

「つりあいの式」を解く。

[K] {x}= {f}

「つりあいの式」を解く。

[K] {x}= {f}

運動方程式を解く。

[M]{a} + [C]{v} + [K]{x} = {f}

運動方程式を解く。

[M]{a} + [C]{v} + [K]{x} = {f}

先端に荷重を受けた梁（例題1）

ボールの衝突（例題32）

鐘の固有振動（例題11）

ツインタワーの強制振動解析（例題16）

H形鋼の座屈（例題48）

固有振動を求める。

{ [K] - ω

2

[M] } {x} = {0}

固有振動を求める。

{ [K] - ω

2

[M] } {x} = {0}

正弦振動する強制力で励起さ

れる振動を求める。

{ [K] - ω

2

[M] } {x} = {f}

正弦振動する強制力で励起さ

れる振動を求める。

{ [K] - ω

2

[M] } {x} = {f}

静解析

座屈解析

共振解析（固有振動解析）

･応力解析の種類

･解析オプション

･材料定数

･ボディ属性

･境界条件

･結果表示

・ステップ

_{/熱荷重の設定}

_{[M] } {x} = {0}}

_{[M] } {x} = {0}}

_{[M] } {x} = {f}}

_{[M] } {x} = {f}}

_{を発生させる。}

初期ひずみを用いた薄膜内部応力の解析（例題４１）

ボディ属性（材料定数以外の属性情報）

ボディ属性（材料定数以外の属性情報）