数学の授業における「予想」のあり方に関する一考察 : ｢予想」のタイプと「予想」のさせ方・取り上げ方に着目して

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(1)Title. 数学の授業における「予想」のあり方に関する一考察 : ｢予想」のタイプと「予想」のさせ方・取り上げ方に着目して. Author(s). 谷地元, 直樹. Citation. 北海道教育大学紀要. 教育科学編, 65(1): 305-316. Issue Date. 2014-08. URL. http://s-ir.sap.hokkyodai.ac.jp/dspace/handle/123456789/7553. Rights. Hokkaido University of Education.

(2) 北海道教育大学紀要(教育科学編)第 6 5巻第 1号 J o u r n a lo fH o k k a i d oU n i v e r s i t yo fE d u c a t i o n( E d u c a t i o n lVo . l6 5 .No. l. 平成 2 6年 8 月. Augus . t2 0 1 4. 数学の授業における「予想」のあり方に関する一考察「予想」のタイプと「予想」のさせ方・取り上げ方に着目して. 谷地元直樹. 北海道教育大学附属旭川中学校. A Studyont h eE x p e c t a t i o ni nmathc l a s s e s -F o c u s i n gont y p e s，howt oe x p e c tandhowt ot a k eup一. YACHIMOTON a o k i AsahikawaJ u n i o rHighS c h o o lA t t a c h e dt oH o k k a i d oU n i v e r s i t yo fE d u c a t i o n. 概要本研究は，問題解決の授業における「予想」のあり方に着目し，「予想」の意義や先行研究を踏まえながら「予想」のタイプを明らかにすること，さらには「予想」のさせ方や「予想」の取り上げ方について具体的に提案することをねらいとしている。本研究で扱う研究対象となる実践例については，「予想」に関わる相馬氏の 2つの著書を分析・考察することにした。ここでは，提示する問題と「予想」との関わりを示しながら，いくつかの視点から「予想」のタイプを考察した。この考察から，「予想」には 2つのタイプ(匝感タイプ・直観タイプ)が存在することと，「予想」のさせ方や「予想」の取り上げ方については，明確にされていないことが確認できた。これらの分析・考察を踏まえて，本研究では問題解決の授業における「予想」に着目し，その意味や意義を見直すとともに，「予想」のさせ方(時間・手段)と「予想」の取り上げ方(挙手・指名)を具体的に提案した。また，比較授業を行い「予想」のあり方について考察した結果，問題解決の授業の中に教師が「予想」を適切に位置づけたり，効果的に「予想」をさせたり意図的に「予想」を取り上げたりしながら，本時の課題を明確にしていくことの重要性を確認することができた。. 1.研究のねらい算数・数学の授業では，「予想」はとても重要. である。また，数学的活動の 1っとしても，生徒が主体的に取り組める活動とおさえることができる。「予想」を取り入れた授業については，いく. 3 0 5.

(3) 谷地 yじ直樹. っかの丈献や先行研究がある。その中でも相馬氏は「予想」に関する著書の中で，その意義ゃあり方を明確にとらえている。筆者は問題解決の授業を日常的に実践しながら，「予想」を取り入れた授業を継続して行っている一人である。「予想」を取り入れた授業は実践されているが，予想させたことを学習活動のどの段階でどのよう. 明確に位置づけている。 (3) 問題の結果や考え方について見当をつけることそもそも「予想」の意味は，「前もって見当をつけること(新明解国語辞典)J， 1"前もって想像. i c t i o n a r y )J と一般的にすること(三省堂 WebD は意味づけられている。. に生かせばよいのかを具体的に示した論文はな. 数学教育で用いられる「予想」は，直観的に見. い。また，予想したことを効果的に生かしていく. 当をつけることであり，「仮説」や「見通し」と. 方法についても，現段階では明確にされていない。. はその性質は異なる。問題の答えを予想すること. このような現状を踏まえて，数学の授業における. によって，問題解決の過程で生徒の思考の幅を広. 「予想」のあり方について，提示する「問題」と. げたり，追求意欲を喚起させること等の効果を与. の関わりから，研究する必要があると考えた。. えるものである。ここで，「見通し」と「予想」. そこで，本研究は，問題解決の授業における「予. という用語は，算数・数学教育の中でもよく使わ. 想」のあり方に着目し，「予想」の意義や先行研. れるが，その意味には違いがあることを触れてお. 究を踏まえながら「予想」のタイプを明らかにす. く。. ること，さらには「予想」のさせ方や「予想」の. ( 2 ). 取り上げ方について具体的に提案することをねらいとしている。. 1"予想」の意義. 予想させることのねらいはいくつか考えられる。例えば「思考の幅を広げたり J，1"考え方の追求を促す」ことだけではなく，「追究意欲を高める」. 2 . 研究の方法. ことにも効果的である。「予想」を取り入れることで，「予想」を確かめようとする気持ちが高まる。. 研究を進めるに当たっては，「予想」の意味を確. 工藤氏は，授業のおける「予想」の必要性につい. 認するとともに，先行研究を通して「予想」の意. て，「日常生活は，予想→確認の中で充実感を得. 義をおさえていく。また，相馬氏の 2冊の著書(1)(2). ている」ことを例に挙げ，「予想」なくしてこの充. を分析・考察していく。ここでは，提示する「問. 実感は得ることはできないことを強調している. 題」と「予想」に着目し，「予想」のタイプと「予. このように，生徒が自ら予想することで，それを. 想」のさせ方・「予想」の取り上げ方について分. 確かめようとし，そこに「考えてみたい J，1 " 答え. 析・考察していく。. が知りたい」といった課題意識や追求意欲が高ま. これらを踏まえて，「予想」のさせ方・「予想」. ( 4 )。. るものと考える。. の取り上げ方について，具体的な提案を示す。ま. 予想した事柄を確かめていく過程を通じて，数. 3つの学級を比較した授業実践を行い，これ. 学的に考える力や問題解決能力を培うことにもつ. までの考察と具体的な提案を基に，問題解決の授. ながると考える。ここでは，「予想」を基に自分. 業における「予想」の位置づけをさらに明確にし. なりに考えることに大きな意味がある。熊倉氏は，. ていく。. 個人で考える活動の必要性を指摘しており，見当. た，. 違いの方法であっても短時間でも取り入れること. 3 . 研究の内容 1"予想」の意味. ( 1 ). 「予想」の意味について，相馬氏は次のように. 3 0 6. に，数学的な思考力の高まりが期待できると著書の中で述べている。 (5) 最後に，「予想」は，問題を解決する上での「明らかな誤答を防ぐ」ことに効果的だと考えられる。.

(4) 数学の授業における「予想」のあり方に閲する一考察. 例えば次の問題は，誤答となる「予想、」が比較的. の提示する問題について，尾坂氏は予想しやすい. 出やすい。 (6). 問題の 3つの条件を挙げている。 (7). [実践例にある問題(問題 1 6 )]. -全員が予想、できるような問題 .異なる予想、が出る問題 -新たな課題が生じる問題問題解決の授業に「予想」を生かしていくためには，主に「決定問題」の形で問題を提示するこ. 多くの生徒からは 13袋」という誤答が出され. とが基本となる (8)。その理由は，生徒の「予想」. る。しかし，おおよその答えを想像しながら問題. が比較的出されやすく答えやすいことにある。な. を解決することが重要であり，自分で考えながら. お，決定問題のタイプは，次の① ④である。. 13袋より多いだろう」と気付いていくことに十. 分に意味がある。特に図形や関数の単元では，視覚的に捉えて予想できる問題も数多くあることから，正解に近い「予想」をもち合わせながら自分なりに課題を追究していくことが大切である。さて，「予想」の意義として，相馬氏は著書の中で 3点明らかにしている. ( 3 )。また，本研究で. は「予想」の意義を新たに 1点付け加えて，次のように 4点にまとめた。. ① I~ はいくつか」. 〈求答タイプ〉. ② I~ はどれか，どちらか」. く選択タイプ〉. ③ I~ は正しいか」. 〈正誤タイプ〉. ④ I~ はどんなことがいえるか J. <発見タイプ〉. これらの 4つのタイプの問題を提示することで，生徒に予想させることが可能となる。. 0 題の決定問さて，次に示す[表 1]は，新旧 5 題を，上記の①. ①学習意欲を高める. ②考え方の追究を促す. ③思考の幅を広げる. ④明らかな誤答を防ぐ. ④のタイプに応じて分類した結. 果である。 [ 表 1 :決定問題のタイプ]. タイフ。. 旧予想. ※ ( )内は割合. 新予想. 合計. これら 4つの意義は，問題解決の学習を進める. ①. 4間 ( 0 . 2 9 ) 9問 ( 0 . 2 5 ) 1 3問 ( 0 . 2 6 ). 上で欠くことはできない要件となる。しかし大切. ②. 7間. ( 0 . 5 ) 2 1問 ( 0 . 5 8 ) 2 8問 ( 0 . 5 6 ). なのは，生徒自身が予想する活動の重要性をどれ. ③. 0間. ( 0 ) 6問 ( 0 . 1 7 ) 6問 ( 0 . 1 2 ). だけ実感できているのか，さらには指導する教師. ④. 3間 ( 0 . 2 1 ) 0問. が，「予想」の意義をおさえ，「予想、」を意図した. ( 0 ) 3問 ( 0 . 0 6 ). 決定問題としては，②の選択タイプが最も多く，. 授業を構築できているかという点にある。. 新旧予想の問題において双方ともに半数以上を占. ( 3 ) 新旧 2冊の文献の分析・考察から. めている。なぜ，この選択タイプが，「予想」を. 本研究では，「予想」のあり方について研究を. 生かすための問題提示に多く用いられているのだ. 進めるために，相馬氏の「予想」に関する 2冊の. ろうか。筆者はその要因を，次のように考えてい. 著書(1)(2) (以下，旧予想，新予想、と称する)を. る。. 基に，「予想」の内容や方法等を分析・考察する。. -選択肢を与えることで，問題の答えが見える形. 0題の「問題」この旧予想と新予想には，あわせて 5 とそれに対する「予想」の例と扱い方が記載され. となり，予想しやすくなる。「予想」が分かれる可能性が高まり，「予想」の. ている。以下，筆者が「問題」と「予想」のあり. 理由や正答をめぐって課題追究の意欲が増す。. 方について分析した結果とその考察を示す。. 8聞のうち，「二択タさらに，②の選択タイプ 2. [決定問題のタイプについて] まず，予想、させるために必要となるのは，授業のスタートに「問題」を提示することである。こ. 0問あり，特に新問題では一見両イプ」の問題は 2 方が正答に思えるような二択タイプが多い傾向にある。. 3 0 7.

(5) 谷地 yじ直樹. 二者択一の問題は，どちらも正解に見えたり，一見判断しにくいものを出題することができ，生. ]園. イ一岡山. ※ ( )内は割合新予想. 合計. 8間 ( 0 . 5 7 ) 120問 ( 0 . 5 6 ) 128問 ( 0 . 5 2 ) 0お) 1 1 6問 ( 0叫) 12 2問 ( 0叫) 6間 (. ドの i 潟のf1J すいを総￨到したとき事総泌!交i として ! i 守しいのはア，イのどんらだろうかず. 。. フ一. [新問題:授業例 9 (おうぎ形)]. : タ一・予. 4-. 内. の例が挙げられる。. の一日. 「予想」のタイプに応じて分類した結果である。想一 l 予一・・園. 能となる。例えば，二択タイプの問題として，次. さて，次に示す[表 2]は，新旧 50題の問題を，表一 [-. 徒が迷ったり悩んだりしながら予想することが可. 問題を解決する上で重要な役割を果たすと考えた。. 新旧予想を合わせると，直感タイプが半数以上を占めることがわかる。これは「予想」本来の意味(問題の結果や考え方について見当をつけるこ. この二択タイプは，正誤タイプ I~ は正しいだ. と)に基づいた結果とも考えられる。例えば，直. ろうか」に変換して提示することもできる。この. 感的に予想する問題として，次の例が挙げられる。. 問題では，「側面図としてアになるだろうか?J. [新問題:授業例 1 5 (式の計算の利用)]. と提示することができ，こうした表現の仕方の違いで，両タイプの問題を生徒の実態に応じて出題することが可能となる。 [予想のタイプについて]. l: i ! l がl l k n j C ' )I E J i j f J(1)1 II !ニ'fi人的』う l こ1 ' ]が後している. この. c[ l j< 7 )I 自 i l f t が太き主き.1¥と Bいのはどちらだろうかね. この問題は選択タイプであり，視覚的に捉えや. 次に，「予想」のタイプについてである。問題. すいことから，多くの生徒がどちらかを選んだり，. について，何をどのように予想させるのかが重要. ときには「同じ」と予想することもある。このよ. であり，「予想」の内容によって，授業展開が大. うに，生徒全員が「予想」に取り組むという活動. きく変化していくと考えられる。この「予想」の. を重視する点からも，上記のような問題を通じて，. タイフ。については，それ自体を分類した先行研究. 当てず、っぽう的な「予想(おおよそ，大体，見た. はない。そこで，提示する問題との関わりを踏ま. 目)J も数学の問題を解決する上で必要だと考え. えながら，「予想」のタイプを次のように分類す. る。. ることにした。. その一方で，. a 直感的に予想させる(直感タイプ) →見た目で感覚的に捉えながら瞬時に答える. b :直観的に予想させる(直観タイプ) →既存の知識や技能を基に考えながら答える. b (直観タイプ)の問題も半数近. くあることがわかる。例えば，直観的に予想する問題として，次の例が挙げられる。 [新問題:授業例2 5 (平方根 aイ己)] " 行8 0I 却でJ の仁給である J U.OIこはどんな自然数が入るだろうか〉. b (直観タイプ)で授業を行う. この問題の場合は，口と Oに入る数を感覚的に. ことが多くあった。その中では，新たな課題を見. 捉えて予想することは難しい。ある程度の知識や. 出したり，深く追究することができるように，数. 技能が必要であり，既習内容を基に答えることに. 学的にイメージさせながら予想する活動を取り入. なる。また，直観的に予想することは，直感的に. れていた。しかし，先ほど尾坂氏が予想しやすい. 予想するよりも考える時聞が必要となることも想. 問題の 3つ条件を示したように，全員が予想する. 定される。. 筆者は今まで，. ことを可能にするためには，問題の答えを見た目で判断したり，感覚的に捉えて答えることができるような a (直感タイプ)も大切である。そこで，. 2つの「予想」のタイプ(直感・直観タイプ)が，. 3 0 8. [決定問題→予想のタイプについて] 次に示す[表 3]は，決定問題のタイプと「予想」のタイプを合わせた結果である。.

(6) 数学の授業における「予想」のあり方に閲する一考察. [ 表 3 :問題→予想のタイプ]. ※ ( )内は割合. その一方で，新予想では「発見タイプ」が出題. タイプ合計旧予想新予想 ①→ a 2間 ( 0 .1 4 ) 7間 ( 0 . 1 9 ) 9間 ( 0 . 1 8 ). されていないことから，④→ a (発見→直感)や ④→ b (発見→直観)は大きく減少している。こ. 0 .1 4 ) 2間 ( 0 . 0 5 ) 4間 ( 0 . 0 8 ) ①→ b 2間 ( ②→ a 4間 ( 0 . 2 9 ) 1 1間 ( 0 . 3 2 ) 1 5間 ( 0 . 3 0 ). のことを言い換えると，直感・直観的な「予想、」. 0 . 2 2 ) 1 0間 ( 0 . 2 8 ) 1 3間 ( 0 . 2 6 ) ②→ b 3間 ( ( 0 ) 2間 ( ③→ a 0間 0 . 0 5 ) 2間 ( 0 . 0 4 ). いない可能性があることも推察できる。. ( 0 ) 4間 ( 0 . 1 1 ) 4間 ( 0 . 0 8 ) ③→ b 0間 ( 0 ) 2間 ( ④→ a 2間 ( 0 .1 4 ) 0間 0 . 0 4 ). ④→ b. 1間 ( 0 . 0 7 ) 0間. ( 0 ). を促すためには，「発見タイプ」の問題は適して. [予想のさせ方について] 次に，「予想」のさせ方についてである。教師. 0 . 0 2 ) 1間 (. が「予想しよう」と問いかけることは容易である. 全体としては，②→ a (選択→直感)の組み合. が，どのように予想させるかが重要である 0 1予想」. わせが最も多いことがわかる。その理由としては，. の内容が直感的なものであればあるほど，端的に. 「問題を把握しやすい J， 1答えを予想しやすいん. 聞き返すことが必要である。また，少し考えない. 「課題を掴みやすい」などが挙げられる。例えば，. と予想できない場合もあり得る。この「予想」の. ②→ a (選択→直感)の問題として，次の例が挙. させ方については，新旧 50題の問題を，. げられる。. 2つの視点から，次のように分類することにした。. 0 (多角形の外角の和)] [新問題:授業例2 むの e j l j ) 院の外郊の布[とが角形の外角. 。〉手J I (えとちら治宝え; きいどろうか υ. ヘ /. 1と Hの. 1 :すぐに答えさせる I I :少し考えてから答えさせるまず，「予想」のさせ方で大切なのは，答えを予想する時間をどの程度確保するかである。そこ. ここでは，生徒の直感的な「予想、」を促すもの. で，新旧 50題の問題を分析したところ， 40題につ. が図の存在と選択肢にある。また，自分で図をか. いては予想する時間に関する記述があった。その. く活動を取り入れることで，外角の意味やその特. 結果は[表 4]の通りである。. 徴に迫る授業を展開することが可能になる。この. [ 表 4:予想のさせ方]. タイプの問題の傾向としては，図を用いた問題が. 旧予想. ￨新予想. ※ ( )内は割合. ￨合計. 多くあり，グラフを用いた問題は少し含まれてい. 8間 ( 0 . 7 3 ) 125問 ( 0 . 8 6 ) 13 3問 ( 0制. る程度である。. 3間 ( 0 . 2 7 ) 14問 ( 0 . 1 4 ) 17問 ( 0 . 1 7 ). さらに新予想で大きく増加傾向にあるのは，②. 「予想」のさせ方については，. 1 (すぐに答え. → b (選択→直観)や③→ b (正誤→直観)であ. させる)が 8割である。この結果からは，直感・. る。例えば，③→ b (正誤→直観)の問題として，. 直感的に予想させるためには，時間をとらない方. 次の例が挙げられる。. が効果的であることが読み取れる。その一方で，. [新問題:授業例 3 (式の値)]. I (少し考えてから答えさせる)は，. -x lシンいて.. に出題されている。これらは「視覚的に判断しに. ).， rß;~\ と千五 {.さんは昭次めように I 訴しているね. 太郎 T t. r . <Iまれの数だと ! & tう i. 花子さん. i そうとは 1 9 {らないと Y 4 1うわj. どちらが1 1'しいどろうかの. 会話を交えた形での正誤タイプによる提示方法. 7つの問題. くい J， 1論理的に考える時聞が必要」となる問題であった。例えば， Iの問題として，次の例が挙げられる。. に加え，既習内容を基に直観的に予想させる問題である。筆者による実践からも，生徒の「予想」は分かれ，課題解決に向けたよい取組が見られた授業例である。. 3 0 9.

(7) 谷地 yじ直樹. [新問題:授業例 8 (角の二等分線)]. [ 表 5 :予想の取り上げ方]. FのI : i J で. 2つの i 良線 e .'"から wしい間市離にある . o : 、はいくつあるだろうか》. 旧予想. ~，. ~. -~. ア九、一、件、、、、. ※ ( )内は割合. 新予想. 合計. 1間. ( 0 . 5 ) I2 0問 ( 0 . 8 7 ) I2 1問 ( 0 . 8 4 ). 1間. ( 0 . 5 ) I 3問 ( 0 . 1 3 ) I 4問 ( 0附. 「予想」の取り上げ方については，旧予想では九九. 町、、件、、、.....11/. ほとんど記述がないが，新予想では i (挙手)が. この場合は，少し考える時間を与えるとともに，. 圧倒的に多いことが明からとなった。その一方で，. 机間指導を通して生徒の考えを把握することが大. i (指名)は合わせて 4題とわずかだが，例えば，. 切である。この I (少し考えてから答えさせる). i (指名)の問題として，次の例が挙げられる。. は，どちらかと言えば図形の問題で多く出題され. [新問題:授業例3 0 (式の値)]. ている傾向がある。また，「誤答が生かされる」問題や「いくつかの予想が出される」問題でも，. { iのi 喝で x( I ) j l 町 [ 土 ¥ -~ < "")だろう治、大. Eが用いられていることが確認できた。 [予想の取り上げ方について]. この場合は誤答を取り上げ，どちらが正しいか. 最後に，「予想」の取り上げ方についてである。. を比較・検討することが課題となっていく。そこ. 「予想」の取り上げ方は，課題把握に向けた活動. で，机間指導の中で「予想」をおさえ，意図的に. として大きな意味がある。教師側で意図的に取り. 指名しながら答えさせることが大切である。実際. 上げていかなければ，期待する「予想」が出され. の授業では 6と 3の関係から，多くの生徒が x=. なかったり，大多数の「予想」に圧倒されてしま. 5と予想する。取り上げる順も誤答から扱うこと. う恐れもある。教師側としては，少数の「予想」. が，思考活動を重視していくことに効果的である。. を大切にしながら，「本当にそうか?J， Iいつで. 今回の新旧予想の全体の傾向としては，半数の. もいえるのか?Jと言った問いかけを交えながら，. 問題で「予想」の取り上げ方に関する記述がない. 課題追究に向けて学習への意欲を喚起させていき. ことが確認できた。「予想」は本時の課題に直結. たい。. していく大切な活動であるがゆえに，「予想」の. 「予想」の取り上げ方については，新旧 50題の. 取り上げ方については，いくつかの具体例から提. 問題を，次の iと 1 1の 2つの視点から，次のよう. 案する必要があると考える。. に分類することにした。. ( 4 ). i 生徒に挙手させて「予想」を取り上げる 1 1. 教師側から生徒を指名して「予想」を取り上げる. 大切なのは，生徒の「予想」を教師が把握できているのか，また授業展開に大きく左右する「予想」を見つけ出すことができるかどうかである。そこで，新旧 50題の問題の傾向を分析したところ， 25題については「予想」の取り上げ方に関する記. 述があった。その結果は[表 5]の通りである。. I予想」のさせ方・取り上げ方の提案. ①「予想」のさせ方の提案「予想」のさせ方については，「予想させる時間」と「予想させる手段」の 2つの視点から，教師が意図的に予想させることが重要だと考えた。視点 1 : [予想させる時間] 1 :すぐに答えさせる. I I :少し考えてから答えさせる視点 2: [予想させる手段] ア:頭のなかで予想させるイ:メモしながら予想させるまず，視点 1の「予想させる時間」を適度に与えることが重要である。「予想」の時聞が長すぎ. 3 1 0.

(8) 数学の授業における「予想」のあり方に閲する一考察. ては，直感・直観的に予想することの意味はかき消され，学習への興味・関心の高まりが薄れる恐れもある。また，問題によっては少し考えさせながら予想する場合がある。その際には， Iーアのように黒板の図をよく見せながらゆっくり予想さ. [改訂した問題] 右の直方体で .Aから. ¥ 1 U. G. までひもをかけていく。このとき，どのルートが短いだろうか?. せたり， Iーイのようにノートにメモしながら「予. 提示した問題と「予想」のタイプは②→ aであ. 想」を促すことも可能である。次に，直感・直観的に予想させるためには，視. り，図形を視覚的に捉えながら直感的に予想する. 、点 2の「予想させる手段」を，教師側の方針とし. ことを期待した。問題を提示した際には， 3つの. て持ち得ていることが重要と考える。例えば，. ルートを色分け(辺 B C上は緑，対角線 A C上は. 1. アは「予想」の多くの場面で，直感的に予想さ. 青，辺 C D上は赤)し，「予想」は色を答えさせた。. せる方法として効果的に取り入れることが可能で. 次に「予想」のさせ方を検証するために，同じ. ある。また，新旧 50題の問題の中で最も多かった ②→ aは，その典型的な「予想」のさせ方といえる。. 3つの学級で次のように. 「予想」のさせ方を変えながら授業を実施した。なお，「予想」の取り上げ方は，どの学級も挙手. 本研究では，「予想」のさせ方として，「予想させる時間」と「予想させる手段」の 2つを組み合わせて行うことが重要だと考え，これを具体的に次の図のように示した。決定問題のタイプや問題の内容に. ァ [Iーア]. のさせ方は 1-. -学級 A→. 時間: 1，手段:ァ. ・学級 B→. 時間. I，手段:ァ. ・学級 C→. 時間. I，手段:イ. 問題を提示し，チョークで色分けしながら問題を I I. 把握させた。次に「どれが最も短い?J と問いか. 1ーイ， Iー. ア， Iーイの 4つ. させて把握した。. 予想させるまでの授業の進め方は，まず黒板に. 応じて，「予想」. ア，. 問題提示を行いながら，. けて「予想」を促し，少し待った後に緑→青→赤 [Iーイ]. に分けることがで. の順で挙手させた。この実践による「予想」の結 1 .. 果は， [ 表 6]の通りである。. 寸. きる。この中で，直観的に予想させることは，広. [ 表 6 :生徒の予想]. い範囲で用いることが可能となる。また，見た目. 学級 A Iーア. 学級 B H ーア. 2 ( 0 . 0 5 ). 6 ( 0 . 1 6 ). 1 1 ( 0 . 2 9 ). 青(対角線上) 30(0.79). 1 7 ( 0 . 4 5 ). 1 7 ( 0 . 4 5 ). 赤(辺 CD上). 4 ( 0 . 1 1 ). 1 2 ( 0 . 31 ). 9 ( 0 . 2 4 ). その他. 2 ( 0 . 0 5 ). 3( 0 .0 8 ). 1 ( 0 . 0 2 ). や感覚を大切にした問題になればなるほど，直感的に予想させることが望ましく，. 1 アで行うこ. とが最も効果的だと考える。この提案の検証としては，第 3学年の空間図形の単元を用いて授業実践を行った。ここでは，ある実践例集の問題を一部改訂して，次のように問題を提示することにした。 (6) [実践例にある問題(三平方の定理の利用)]. ※ ( )内は割合. 緑(辺 BC上). 学級 C Eーイ. [学級 Aについて] 黒板に問題の図を見せながら，同様の問題の図を配付した。数秒間待った後に，すぐに「予想」を取り上げた。 8割ほどの生徒が，最も長くなる青に挙手した。その際には，「青が正しいそうだ」という空気が教室中に広がった。この青を予想した生徒は，見取図のイメージから誤答を選択した. 3 1 1.

(9) 谷地 yじ直樹. と考えられる。その結果からか，個人で追究させたときには，すぐに「青じゃない J， 1まっすぐにならない」と気付き始めた生徒が数人いて，学級全体が疑問の雰囲気に包まれた。また，その他については，「緑と赤は同じ(青ではないことに気付いていた )J と予想した生徒と「この図では判断できない」と予想した生徒が 1名ず、ついた. 次の 2点が明らかになった。 -視点 1 (予想させる時間)は，視覚的に捉える問題では Iが効果的である。領域や単元によって， 1とEを併用することが必要となる. 0. ・視点 2 (予想する手段)をアからイに変えることで，生徒の思考がより深まり，直感的な. O. [学級 Bについて] 問題を提示した後に，問題の図を配付した。図. 予想、を直観的な予想、に変容させることができる。. 0 秒ほどとり，頭の中で各自を見せながら時間を 3. 0 題の問題では， Iーイで本研究で、扱った新旧 5. 予想させた。時間をとることで空間図形の認識力. 予想させる問題は 5題程度しかないことから，「予. が高まったのか，「予想」は緑や赤と答える生徒. 想」のさせ方としては，頭の中で考えること(I. が増加した。そこで，「どれか正しいのか?J と. ーアや Eーア)が一般的であるといえる。また，. 発問して課題追究に向かわせた。授業後に青と予. 教師が問題の特徴や「予想」のタイプを把握した. 想しなかった理由を確認したところ，「対角線は. 上で，「予想」に必要な時間を生徒の様子から判. 長そうだから J， 1見た目では短いけど直方体なの. 断し，適切に予想させることに大きな意味がある. で、」などと答えた。また，その他では「緑と赤が. ことを強調したい。. 同じ」と予想した生徒が 2名，また「他にも色々. ②「予想」の取り上げ方の提案. ありそう」と予想した生徒が 1名いた。予想させ. 「予想」の取り上げ方については，「挙手」と「指. る時間を増やすことで，生徒はこの短い時間に思. 名」の 2つの視点から，教師が目的をもって生徒. 考を巡らしていたことがわかる。. の「予想」を取り上げることが重要だと考えた。. [学級 Cについて] 学級 Bと同様に配付した図を見ながら，予想す. 0 秒ほどうえた。生徒のノートを見回っる時間を 3 た後，挙手させて「予想」を確認した。結果は青が最も多くなったが，緑と予想する生徒が増え，. :生徒に挙手させる. α:教師側から指名する(意図的) i-s:教師側から指名する(無意図的) 1 1. 基本的な「予想」の取り上げ方としては， i ( 挙. 全体としては「予想、」が大きく分かれた。生徒か. 手)が考えられる。即座に「予想」の傾向をつか. らも「分かれた」との声があがり，正解を知りた. むことができる上に，生徒自身が周りを見渡すこ. いという追求意欲が喚起された。ある程度正確な. とで学級全体における「予想」の状況を知ること. 図を与えてノートにメモしながら予想すること. も可能となる。. で，「予想」が分かれたと考えられる。授業後に. 0題の問題では，「予想」の取り上げ方の新旧 5. 緑と答えた生徒に理由を確認したところ，「図を. 記述があった 2 5題のうち， 2 1題が i (挙手)によ. よく見ると青はないと思った J，I赤と緑で、迷った」. る「予想、」である。さらに，挙手による「予想」. と答えた。ノートにメモしながら予想する活動を. の取り上げ方が多い理由は，問題のタイプとの関. とることで，直感・直観的に捉えるだけではなく，. 0 題の問題で決定問題②(選択わりが深い。新旧 5. 数学的に考えながら論理的に予想していることが. タイプ)が半数以上を占めていることからも，. わかった。また，その他では，「赤と青が同じ」. (挙手)は「予想」の取り上げ方として適切だと. と予想した生徒が 1名いた。. 考えられる。. [ 1予想」のさせ方の考察]. 一方で，. この授業実践から，「予想」のさせ方について，. 3 1 2. 1. i (指名)はわずかであり，「予想」. の取り上げ方としては，効果が無いようにも感じ.

(10) 数学の授業における「予想」のあり方に閲する一考察. られる。しかし，この i (指名)については，新. を取り上げ，全体に共有しながら課題を設定して. 旧予想では次の問題で扱われていた。. いくことが大切だと考えている。. -旧予想 9:①→ a (求答→直感) →自分でかいた図形から四角形を予想する. 0:①→ a (求答→直感) ・新予想 1 →プリントの図に線分を予想して引く. 3:①→ a (求答→直感) ・新予想 2 →多いと思われる日の出方を予想する. 0:①→ a (求答→直感) ・新予想 3 → xの値を予想してノートに記入する. この提案の検証としては，第 1学年の空間図形の単元を用いて授業実践を行った。ここでは，新予想の問題の一部を改訂した次の問題を扱うことにした。. 0の改訂問題(展開図)] [新問題:授業例 1 右の図は，立方体を展開図にしたものである。線分 ABと平行になる線分 C Dは，どこにかき入れるとよいだろうか。. この 4つの問題はいずれも決定問題①(求答タイプ)であり，「予想」は直感タイプであること. 提示した問題と「予想」のタイプは，本研究で. が確認された。ただ，ここでの「予想」の内容と. 示している①→ aであり，図形を視覚的に捉えな. しては，単純な数値を答えさせるだけではなく，. がら直感的に予想することを期待している。ここ. 自分で図をかきながら言葉で予想したり，数値的. では，「予想」の取り上げ方を検証するために同. にも誤答が出やすい問題が設定されていることが. じ問題提示を行い，各学級で次のように比較しな. わかった。. がら授業を実施した。また，「予想」のさせ方に. また， i (指名)の仕方については，教師が生. ついては，図にかき入れながら予想させるために，. 徒の予想の内容を，机間指導などを通して把握し，. Iーイで行うことにした。なお， 3つの学級で実. 意図的に取り上げていくかどうかが重要であると. 施した「予想」の取り上げ方は次の通りである。. 考えた。そこで，教師側からの指名の仕方を α(意図的)と. s (無意図的)に分けることにした。. これらを踏まえて，決定問題のタイプに応じて「予想」の取り上げ方を次のように変えることが，本時の課題の把握や生徒の追究意欲の喚起に効果. ①求答タイプ→ 11α(意図的指名) ②選択タイプ→ i-s (無意図的指名). i (挙手). ③正誤タイプ→ i-s (無意図的指名) または，. -学級 E→ i-s (無意図的指名) ・学級 F→ 1 α (意図的指名) 問題提示では，まず展開図が記載されている問題文を生徒に配付した。次に，黒板で同じ図を示. を与えると考えた。. または，. -学級 D→ i (挙手). i (挙手). ④発見タイプ→ 11-α(意図的指名). 0題の問題を基にしながら，「予想」これは新旧 5 の取り上げ方を考察した結果である。むろん，決定問題のタイプ全てが「予想」の取り上げ方に当. しながら問題を把握させ，手元の図にある展開図ヲl かせることにした。の中に線分 CDを「予想」を取り上げるまでの授業の進め方は，「線分 CDはどこに引けばよいか?Jと発問した後に，ノートに貼った問題の図に線分をかき入れるように指示した。また，教師はその間，短時間で生徒の様子を見回り，かかれている「予想」の例を把握した。この実践による「予想」の結果は， [ 表 7]の通りである。. てはまる訳ではない。本研究の提案としては，決定問題①(求答タイプ)と④(発見タイプ)については，教師の意図に基づいて指名して「予想」. 3 1 3.

(11) 谷地 yじ直樹. [ 表 7:生徒の予想]. ※ ( )内は割合. 学級D. 学級 E. i-s. 学級F 1 1一 α. いかけながら「予想」を取り上げた。 8名に聞いたところ，正解となる②を全員が予想する結果となった。ここで全体に挙手させると，. 8割以上が. ①半面で半行. 1 1 ( 0 . 2 8 ). 5 ( 0 . 1 3 ). 9 ( 0 . 2 3 ). ②と予想していたことがわかった。しかし，前列. ②空間で半行. 2 8( 0 . 7 ). 3 3 ( 0 . 8 3 ). 2 9 ( 0 . 7 3 ). の生徒のノートを見ると，そのうち 1名は①を予. ③隣りに半行. ( 0 ). ( 0 ). 2 ( 0 . 0 4 ). 想していたにも関わらず，周りの流れからか②に. ( 0 ). 修正して答えていたことが確認できた。この「予. その他. 1円. |I~. 。. 。. 1 ( 0 . 0 2 ). 2 ( 0 . 0 4 ). 。. ペ円. 三円. I~. VII刈~. I~I. UB. UB. 11 UB. [学級 Dについて]. 想」の取り上げ方では，自分と異なる「予想」に士すして「どうして?J，1"違うのではないか」といった疑問の顔つきやつぶやきを聞き取ることはできなかった。最初に指名した生徒からは，①の「予想」が出. ノートに予想した線分をかき入れる様子を見な. されなかった。そこで，他の生徒に聞くと①の「予. がら，すぐに「予想」を取り上げた。一人の生徒. 想」がようやく出された。しかし，正解となる②. のノートを見ながら，「①のようにヲ￨いた人はい. の人数が多すぎて，誤答を生かすことはできない. る ?J と聞いて「予想」を確認した。次に正解と. 雰囲気となってしまった。. なる②を聞くと，多くの生徒が挙手した。他の「予. その一方で，意図がないまま指名して取り上げ. 想」が出されなかったので，この 2つの「予想」. たので，生徒の「予想」をすべて扱うことができ. を終えた後に，「どちらが正しいだろうか?J と. なかった。，.，.------，. 問いかけ，個人で考える時間を設けた。ここまで. 次の 2つは. は短時間に進み，課題をスムーズに提示すること. その他の. ができた。個人で追究させると，展開図を実際に. 「予想」で. A 1. ， 1. |~I I. 1. In. 1 1 l. L____j. . ，. A I ". 11~卜\卜\卜"，1 ". ". IB. ~. 作って調べる生徒がいたり，見取図をかきながら. あり，この生徒は自分の「予想」の妥当性を十分. 位置関係を見出そうとする生徒もいた。 3分ほど. に吟味することができなかったとも考えられる。. 時間をとるだけで，②が正解であることに納得す. ここではやはり，指名の仕方に課題があったとも. ることカ fできた。. 推察できる。. その一方で、，挙手による「予想」の取り上げ方. [学級 Fについて]. が原因だ、ったのか，ある生. 学級 Dと同様に，線分をかき入れる様子を見な. 徒の右のような「予想」を. がらすぐに「予想」を取り上げた。ここでは，机. 取り上げることができな. 間指導しながら生徒の「予想」を教師側で把握し. かった。この「予想」を扱. た。最も多くあった②の「予想」から扱い，「ど. うことができれば，空間図形における線分の位置. こにかいたの?J と問いかけた。その生徒の「予. 関係について考えを深めることも可能となったは. 想」を聞いて「同じだ」という声が多数上がった. ずである。よって，挙手による「予想」の取り上. ので，挙手させて人数を確認した。次に，「他に. げ方や教師の「予想」の把握の仕方に課題があっ. も違う予想、があったよ」と言いながら①の考えの. たとも推察できる。. 生徒を指名し，同じ「予想」の生徒を挙手させた。. [学級 Eについて]. 最後に，「実はまだあったよ」と言いながら③の. 学級 D と同様に，線分をかき入れる様子を見な. 生徒とその他(上に引く，複数引く)の生徒を指. がらすぐに「予想」を取り上げた。前列の生徒を. 名して「予想」を取り上げた。数名の「予想」で. まず順番に指名して，「どこにヲ￨いたの?J と問. はあったが，少数派の意見を取り上げることで，. 3 1 4.

(12) 数学の授業における「予想」のあり方に閲する一考察. 「それは違う」と感じながらも，すでに見取図にメモしながら考え始めている様子も見受けられた。. 提案した。比較授業を実施し，本研究の提案について考察したところ，決定問題のタイプと「予想」のタイ. 個人で追究させると，次のような見取図から展. プを教師が意図して授業を行うことで，生徒の主. 開図を{乍っていくイメージ. 体的な活動が期待できることが明らかとなった。. をかくなどして，正しい線. また，本研究を通じて，問題解決の授業の中に適. 分の位置関係を導き出そう. 切に「予想」を位置づけたり，「予想」を効果的. とする生徒が多くいた。ま. に生かしながら本時の課題を明確にしていくこと. た，正しくない「予想」については，見取図のどこに. の重要性を改めて確認することができた。会. 今後も「予想」のあり方を，授業実践を通じて. 位置するのかを自分なりに. 継続して検証していく。また，本研究を生かしな. 追究する姿もあった。. がら，数学の授業改善について研究を続けたいと. [ r予想」の取り上げ方の考察]. 考える。. この授業実践から，「予想」の取り上げ方について，次の 2点が明らかになった。. [引用文献・参考文献]. .i (挙手)は，直感・直観的な予想をすぐに取り上げることができ，短時間で全体の傾向を把握することに効果がある。. .i (指名)は，①(求答タイプ)と④(発見タイプ)の問題に効果的であり，授業のねらいに沿って意図的に行うことが重要である。本研究で、扱った新旧 50題の問題では，④(発見タイプ)の問題はわず、か 3題であることから， i - α (意図的指名)の効果についてはさらに検証. を進める必要がある。この授業実践からも，教師側が本時のねらいを見定め，生徒の「予想」の様. ( 1 ) 相馬一彦. í~予怨』を取り入れた数学授業の改善 J.. 明治凶書. 1 9 9 5 . ( 2 ) 相馬一彦. í~予想』で、変わる数学の授業 J. 明治図書.. 2 0 1 3 . ( 3 ) 柑馬一彦. i数学教育における「予想」の意義 J .. 第 26. 回数学教育論文発表会論文集. p p. 1 9 3 1 9 8 .1 9 9 3 . ( 4 ) 工藤雅史. í~予想」を取り入れた導入問題の研究 J.. 日本数学教育学会誌.臨時増刊総会特集号 81 . p .2 6 6 .. 1 9 9 9 . ( 5 ) 熊倉啓之数学的な思考力・表現力を鍛える授業. 2 4 J . 明治図書. 2 0 11 . ( 6 ) 相馬一彦/佐藤保 i新『問題解決の授業」に生きる『問. . 明治図書. 2 0 0 9 . 題』集 J ( 7 ) 尾坂宏樹. i自主的・意欲的に課題を追究する生徒の. 相を机間指導の中から捉えた上で，適切に「予想」. . 日本数学教育学会誌.臨時増刊総会特集号 8 5 . 育成 J. を取り上げて授業に生かすことに大きな意味があ. p . 2 5 0 .2 0 0 3 .. ることを強調したい。. ( 8 ) 相馬一彦. í~予想』のための問題の開発 J.. 第 27 回数. 学教育論丈発表会論:え;集. p p .2 1 5 2 2 0 .1 9 9 4 .. 4 . 研究のまとめ. (北海道教育大学附属旭川中学校教諭). 本研究では，問題解決の授業における「予想、」に着目し，その意味や意義を見直すとともに，決定問題に対して「予想」の 2つのタイプ(直感タイプ・直観タイプ)があることを明らかにした。また，「予想」のさせ方と「予想」の取り上げ方について考察を加え，予想する時間や手段，そして挙手や指名による取り上げ方について具体的に. 3 1 5.

(13) 谷地 yじ直樹. [旧予想，新予想の問題内容と調査結果] 欄 1: [決定問題のタイプ]→①:求答タイプ，②:選択タイプ，③:正誤タイプ，④:発見タイプ欄 2: [予想のタイプ] → a 直感タイプ b 直観タイプ欄 3 : [予想のさせ方] → 1 :すぐに答えさせる， I 少し考えてから答えさせる，※雫欄は記載なし欄 4: [予想の取りあげ方]→ i 生徒に挙手させる， 1 1 教師側から指名する，※空欄は記載なし問題日￨ 1 日￨2 日￨3 日￨4 日￨5 日￨6. 旧7 日￨8 日￨9. 旧1 0 日￨1 1 日￨1 2 旧1 3 日￨1 4 新1 新2 新3 新4 新5 新6 新7 新8 新9 新1 0 新1 1 新1 2 新1 3 新1 4 新1 5 新1 6 新1 7 新1 8 9 新1 新2 0 新2 1 新2 2 新2 3 新2 4 新2 5 新2 6 新2 7 新2 8 新2 9 新3 0 新3 1 新3 2 新3 3 新3 4 新3 5 新3 6. 3 1 6. 1年 1年 1年 1年 2年 2年 2年 2年 2年 3年 3年 3年 3年 3年 1年 1年 1年 1年 1年 1年 1年 1年 1年 1年 1年 1年 1年 2年 2年 2年 2年 2年 2年 2年 2年 2年 2年 3年 3年 3年 3年 3年 3年 3年 3年 3年 3年 3年 3年 3年. 学習内容と問題丈正負の数「積が最も小さいのはと守れか」方程式 ' 1 司じ解をもつのはとミれか」空間図形，)と m は交わるだろうか」空間図形「最短の道のりは何 cmだろうか」不等式「解が等しくなるのはどれだろうか」 1次関数 '3点は一直線上にならんでいるか」二角形「ム A B Cはどんな二角形だ、ろうか」二角形「長さが等しくなる線分はどれだろうか」相似と比「どんな四角形だろうか」多項式「どんなことがいえるだろうか」平方根「長方形の面積は何?だろうか」二平方の定理「どんな二角形のときか」図形の計量「どちらが大きいだろうか」確率「どちらが起こりやすいといえるか」正負の数「積が小さいのはどちらだろうか」文字と式「太郎君の式は正しいだろうか」丈宇と式「どちらが正しいだろうか」方程式 ' 1 百j じ解になるのはどちらだろうか」方程式「年齢の 4倍になることはあるだろうか」比例、反比例「グラフは正しいだろうか」比例、反比例「去はどれが正しいだろうか」平面同形「等しい距離にある点はいくつだろうか」平面図形「側面図として正しいのはどちらだろうか」空間図形「線分はどこにかき入れるとよいだろうか」空間図形「どんな立体だろうか」空間図形「側面積はどちらが大きいだろうか」資料の活用「どの血液型が多いといえるだろうか」式と計算「太郎君の考えは正しいだろうか」式と計算「円の面積が大きいのはどちらだろうか」連立方程式「どちらで解くとよいだろうか」 1次関数「グフフ A とBはどこで、交わるだろうか」 1次関数「関係を去すグフフはどれだろうか」半千Jと合同「ど Xは何度になるだろうか」平行と合同「外角の和はどちらが大きいだろうか」一宇角形と四角形「四角形 ABCDはどんな四角形か」二角形と四角形「誰の;考えに賛成しますか」確率「一番多く出る組み合わせは何だろうか」多項式「面積はどちらが大きいだろうか」平方根「口， 0にはどんな自然数が入るだろうか」平方根「どちらの;考えに賛成しますか」 2次方程式「すべて解くことができるだろうか」関数「太郎君の考えは正しいだろうか」関数「太郎君の考えは正しいだろうか」相似と比 'Xの値はいくつだろうか」相似と比 'DEとQ Rはどちらが長いだろうか」相似と比「面積が大きいのはどちらだろうか」円「ど aとど bはどちらが大きいだろうか」二平方の定理「面積はどちらがんきいだろうか」二平方の定理「箸をしまうことができるだろうか」標本調査「割合が l白いのはどちらだろうか」. 欄1 ② ② ② ① ② ② ① ④ ① ④ ① ④ ② ② ② ③ ③ ② ② ③ ② ① ② ① ① ② ② ③ ② ② ① ② ① ② ① ② ① ② ① ② ② ③ ③ ① ② ② ② ② ② ②. 欄2 b b a b b a a a a b b a a a b b a b b a b a a a a a b b a b a b b a a b a a b b b b b a a a a a a a. 欄3 I E. 欄4. I E. E I I I I I I I I I I I I I E I I I I I. 1 1. 1. 1. 1 1. 1. I E I I I I I E I I I I E. I I I. 1 1. 1. 1 1.

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