解析学２ No.7 2006.12.14
3.2 偏微分
担当：市原以下,二変数関数z=f(x, y)と,点P(a, b)を考える.
偏微分係数
¶ ³
lim
h→0
f(a+h, b)−f(a, b)
h が存在するとき,「z=f(x, y)はxに関して偏微分可能である」という.
その極限値を,z=f(x, y)の点Pにおけるxについての偏微分係数といい, ∂f
∂x(a, b)で表す.
lim
h→0
f(a, b+h)−f(a, b)
h が存在するとき,「z=f(x, y)はyに関して偏微分可能である」という.
その極限値を,z=f(x, y)の点Pにおけるyについての偏微分係数といい, ∂f
∂y(a, b)で表す.
µ ´
注意: ∂ はアルファベットの書体の一つで表示された「d」であり, 「ラウンド ディー」などと読ま れる.
¶ 偏導関数 ³
z=f(x, y)が,定義域のすべての点において,xに関して偏微分可能であるとする. このとき,
「点P(a, b)に対して,xについての偏微分係数∂f
∂x(a, b)を対応させる」
として得られる二変数関数を,z=f(x, y)のxについての偏導関数といい,z= ∂f
∂x(x, y)で表す.
z=f(x, y)が,定義域のすべての点において,yに関して偏微分可能であるとする. このとき,
「点P(a, b)に対して,yについての偏微分係数 ∂f
∂y(a, b)を対応させる」
として得られる二変数関数を,z=f(x, y)のyについての偏導関数といい,z= ∂f
∂y(x, y)で表す.
µ ´
¶ 偏微分 ³
xについての偏導関数を求めることを「xについて偏微分する」といい, yについての偏導関数を求めることを「yについて偏微分する」という.
µ ´
偏微分係数・接平面
¶ ³
z=f(x, y)が,点P(a, b)において,xとyに関して偏微分可能であるとする.
AをPにおけるxについての偏微分係数とし,BをPにおけるyについての偏微分係数とする.
このとき,式z=A(x−a) +B(y−b) +f(a, b)によって表される平面を,z=f(x, y)の点P(a, b) における接平面と呼ぶ.
µ ´
例題8 二変数関数z=x3−3xy2を偏微分しなさい. また点(2,1)での偏微分係数を求めなさい. さら にその点での接平面の式を求めなさい.
8
解析学２ No.7 2006.12.14
3.2 偏微分
担当：市原問題23 次の二変数関数を偏微分しなさい. また与えられた点での偏微分係数を求めなさい.
(1)z=x3−3xy+y3 (2,1)
(2)z= cos(2x+ 3y) (0,−π)
(3)z=xex+y (−2,−1)
問題24 次の二変数関数の与えられた点における接平面を求めなさい.
(1)z=x2y+xy2 (1,−1)
(2)z= x
x+y (−1,2)
