* 先物市場と競争企業の投資決定*

先物市場 と競争企業の投資決定*

板 谷 淳 一

1. は じめに

今 日の債券,株式を中心 とす る金融先物市場や農産物 や貴金属 などの商品先I 物市場の発達 は,企業や家計の不確実性下の経済行動 に対 して大 きな影響 を持 つようになった｡特 に,先物市場の存在 は経済主体 に対 して不確実性 に対す る

‑ ッジ (hedge)のための有効 な手段を提供す る^｡

本稿では,商品 (生産物)の先物市場が利用可能であるとき,不確実 な生産 物 の販売価格 に直面す る企業の投資決定及 び生産決定を考察す る｡

Lealand(1972)やSandmo(1971)らは,先物市場が存在 しない時,不確実 な生産物 の販売価格 に直面す る企業の産出量決定を分析 した｡彼 らの結果 によ れば,企業が危険回避者である限 り,均衡産出量 は確実性下のそれより小 さ く なり,販売価格 に関す る不確実性の度合 (確率関数 の分散)の増加 あるいは企 業の絶対危険回避度の増加 は均衡産出量の減少を もた らす ことを証明 した｡

他方,Halthauzen(1979)やFeder,JustandSchmitz(1980)らは,生産 物 の先物市場が存在す るとき,企業 の生産決定,特 に,産出量 の決定が先物市 場 の価格 によってのみ決 まり, スポッ ト市場で決 まる価格 に関す る主観的確率 分布や企業の危険に関す る態度か ら独立 していることを明 らかに した｡言 いか えると,先物市場が利用可能 なとき,企業の生産決定 は不確実性 の影響 を全 く 被 らないことを示 した (これは,separation propertyと呼ばれている)｡

*本稿 を作成 す るにあた り, 小樽商科大学 の土曜研究会の参加 メ ンバ ーの方 々よ り有 益 な コメ ン トをいただいた ことを感謝 したい ｡ もちろん, 本稿 に含 まれ る誤 りはす

べて筆者 の責任であ る｡

〔375〕

言 うまで もな く以上 の著者 たちの分析 は, 1期間分析 あるいは静学的分析で ある^｡ しか し,企業が生産す る財の中には長期の生産過程を必要 とし,生産要 素が長期 にわたり企業内部に固定化 されるような ものが存在す る^｡ さ らに,生 産要素 の中に も資本 のように投入水準の調整 に時間 と費用 を要す るものがあ る｡ このような場合,投資決定が企業の生産活動 にとって重要 な決定変数 とし て加わ って くる｡同時 に生産活動が長期 に及ぶ とき,企業が直面す る不確実性 は一般的に増大す る傾向がある^｡ そ して, 不確実性が増大す るほど,. 企業 に

とって先物市場を使お うとす るイ ンセ ンティブが強 くなると予想 される｡つま‑

り,生産過程の長期化 により,企業 は先物市場 の利用をより積極的に考慮す る ようになる^｡

以上の考察か ら,先物取引決定 と投資決定を同時に分析す ることは,不確実 性 に直面す る長期 の企業 モデルにおいて重要かつ現実的な研究課題 と思われ る^｡ 従 って,本稿では,Haltohauzenらの分析を多期間に拡張 して,先物市場 が利用可能 な時,企業の長期 にわたる最適産出決定および最適投資決定に関す

る分析を行 う^｡

この論文の構成 と結論 は以下 のようにまとめ られ る｡次節では,投資活動を 行 う危険回避型の競争企業モデルを構築 して,最適労働投入畢及び最適投資量 を決める 1階条件を導出する｡第 3節では,危険回避型の競争企業の投資水準 が,先物市場が存在す るとき,不確実性か ら独立であるか どうかを調べる｡わ れわれの考察 によれば,最適投資の水準 は,先物市場が存在 していて も不確実 性の影響 を被 り,特 に価格不確実性 の増加 は今期の最適投垂水準を減少 させ, それが次期の資本投入量の減少を導 き, さらに, この ことが次期の産出量 を減 少 させ ることが示 される^｡ すなわち,先物市場が存在 して も,投資活動 を行 う 危険回避型 の競争企業 はもはや不確実性か ら独立 でな くなることが証明 され

る｡第5節では,若刊のコメ ン トが与え られ る^｡ 付録では,最適投資決定のた めの1階条件の導出が詳細 に与え られ る｡

先物市場 と競争企業の投資決定 377

2.モ デ ル

本節では,われわれは有限な計画期間にわた り生産活動を行 う競争企業を想 定する｡計画期間の長 さを T期間 とす る^｡ 各期間tにおいて,企業 は資本投入 (Kt)及 び労働投入 (Lt)を用 いて,生産物 (Yt)を生産す る｡その時用 い られ る生産技術 は次のよ うな適時的に不変 な生産関数 によって書 き表せ る｡

Yt‑F(K^t,Lt) (1)

この関数 は次のよ うな標準的仮定を満足す るものとす る｡ 2階微分可能 な連続 関数,凹かつ規模 に関 して収穫一定,各生産要素 に関す る限界生産性の非負性｡

さらに,非本質的な複雑化を避 けるために,企業 は在庫を持 たないものとす る^｡ 企業 は今期 に生産 された生産物を今期のスポ ッ ト市場 あるいは先物市場で売 ることができると想定す る｡その時,スポ ッ ト市場で決 まる価格 (Pt) は確率変 数であ り,先物市場で決 まる価格 (P壬)は確定的であるとす る｡さらに,毎期の

スポット市場の価格 は次のように外生的に与 え られると仮定す る^｡

Pt‑P+∂t t‑1, 2, .‥,T (2) ただ し, 軌ま一定な平均価格,Otはtに関 して独立かつ同一 な確率分布 を もっ 確率変数,E(Ot)‑ 0かつ E(Of)‑dZとす る^｡ 企業 は, また賃金率Wtの もと で毎期,労働市場か ら労働を雇用す るものとす る^｡ 生産物市場 の不確実性 に焦 点 を合わせるために, 各期の賃金率Wtは計画期間中,非確率的かつ一定 な外 生変数 とす る｡

企業 はさらに投資活動を行 うが, その際,It(≧0)の投資をお こなうと,

C(It)の調整費用を支出 しなければな らないと仮定す る(1)｡ただ し,投資の調整 費用関数 は次のような性質を持っ ものとす る｡

C(0)‑0, C′(Ⅰ)>O forI≧^{0, C〝(Ⅰ)}>0. (3)

資本 は一定の率 (0^<∂<1)で減価償却す るものとす る^｡ その結果,資本 ス

(1) 本稿で定義 されている投資の調整費用関数 は,投資財の購入費用を含む｡

トックの調整方程式 は,

Kt+1‑It+(1‑♂)Kt t‑1,2, …,T

Kl :glVen

(4)

で与 え られ る｡ただ し,Klは企業が初期 に保有 している資本 ス トックを表す｡さ らに,̲T期末 の残存 資本 ス トック量 に対 して次のような制約 があるものとす る｡

KT.1≦K (5)

われわれ は企業 がつ ぎのよ うなネ ッ ト･キ ッシュ ･フローの現在価値 の総額 に関す る期待効用 を最大化す るよ うに雇用及 び投資計画 を第 1期 に選択す ると 想定す る｡

EIU(_t∑Rt_‑T1nt) (6)

ただ し,nt‑Pt(Yt‑ht)+Pれ‑wLt‑C(It),(1/R)‑1は 1期間 の利子率,ht

は先物高場 で販売 され る量,Elは第 1期 で利用可能 な情報量 に関す る条件付 き 期待値 オペ レーターを表す｡ われわれが対象 とす る企業 は,危険回避型 の企業

なので,企業 の リス クに対す る態度 は,次 のよ うな特性 を もつ効用関数 によっ て示 され る^｡

U′(.)>O U〝(.)<0 (7) 分 析 上 の簡 便 化 の ため に,次 の よ うな短 期 利 潤 の最 大 値 関数 を定 義 す る

(Hartman(1972))^{(2) ｡} ただ し,内点解 の存在 を仮定す る｡

f*(K^t,Pt)‑max(PtF(K^t,Lt)‑wLt),t‑1,2, ‥.,T (8) Lt

生産関数 の一次同次性 か ら,

f*(K^t,Pt)‑Ktf(Pt) t‑1, 2, …, T (9)

と表す ことがで きる｡ただ し,f(Pt)は凸関数 であ り,かっf*(.)はKtとPtの

(2) 投資計画 は計画期間 の当初 に生産物市場 の不確実 な価格 が実現す る前 に決定 され る｡ また,労働投入 は各期 の確率変数 であるスポ ッ ト価格が実現 した後で決定 され●●●●■ ●●●●●

る｡ このような投資決定を事前的決定,労働投入決定を事後的決定 とも呼ぶ｡

先物市場と競争企業の投資決定 ³⁷⁹ 増加関数 である｡

(9)式 をを目的関数 (6)に代入 して,整理す ると,次 のよ うな目的関数が 得 られ る｡

T

EltUlIRtt‑1 lKtf(P.)‑Pth.+Pftht‑C(It)]]) 冨ilXE 従 って,企業 の目的 は,(2),(3),(4),(5)の制約下で,(10)を最大 化す る投資計画及 び先物市場への販売計画 Ht,ht)F=1を選択す ることと同値 に

なる｡この問題 を解 くためには,確率的動的計画法(stochastic dynamic pr0‑

gramming)を適用すればよい(詳 しい解 き方 については付録 みよ)｡内点解 の存 在 を仮定すれば,最適投資水準 を決 め る1階条件 はつ ぎのよ うになる^(3)｡

E(U′(.)[R(f(Pt+1)+(1‑♂)C′(It+1))‑C′(It)])‑0

t‑1,2,…,T 遵ilD 他方,先物市場への最適販売量 の1階条件 は,

E(U′(.)(PL1‑Pt+1))‑0 t‑1, 2,…,T (12) で与 え られ る｡

参考解 として,危険中立型 の企業 の最適投資の1階条件 を与 ネてお く｡

(ll)式 は次のよ うに修正 され る｡

E([R(f(Pt.1)+(1‑6)C′(It十1))‑C:(It)])‑0

t‑1,2^{, …,}T (13)

もLEPt.1<PLlな らば, 危険中立型 の企業 はその期 に生産 された全ての生 産物 を先物市場 で販売す る｡その結果,(13)式 の中のPt十1をPf.1に入れ換 え て,(13)式 は生産物市場 の不確実性 より完全 に独立 になる｡ もしEP.+1>Pf.1

(3) 利潤最大化の2階条件が満足されていることを確認するために,次のような関数を 定義する｡

g(lt)‑EtU′(.)[R(f(Pt+1)+(1‑♂)C′(It+1))‑C′(It)]). g(It)をItで微分すると,

g'(It)‑E(U"(.)lR(f(Pt.1)+(116)C'(It.1))‑^C(I.)]2+Rl‑C"(I.)])<0

をえ る^｡

な らば,(13)式その ものが最適投資を決 める｡このとま,投資決定 は先物市場 が存在 していて も,生産物市場 の不確実性の影響を被 ることになる｡危険中立 型の企業の投資決定 に関す る詳 しい議論厄,Hartman(1972)に譲 り,われわ れは次節において先物市場が存在す る時,危険回避型の企業の投資決定を考察 する｡

3.危 険 回避 型企 業 の産 出決定 及 び投 資 決 定

(12)式を (ll)式 に代入す ると,､われわれは次のような結果を得 る｡

E(i(Pt.1)+(116)C'(It.i)‑(C'･(It)/R))

ニ ー cov[U′(.),f(Pt.1)]/(REU′(.))

‑ cov[U′(.),f(Pt.1)](PL1‑EPt.1)

Rcov[U′(.),Pt

+ 1 ]

(14)式 を観察す ることによりわれわれは次の ことが容易にわかる｡先物市 場が存在す るにも関わ らず,企業の投資決定 は明 らかに生産物価格の不確実性 か ら独立ではない｡ さらに,投資の最適水準が不確実性 の影響を被 るため, ス

トック調整式 (4)式を通 じて,次期の資本 ス トック (Kt+1)の水準 も影響 され ることになる^｡ この結果,次期の産出量水準 も不確実性の影響を受 けることに なる^｡ したが って,Haltohauzenらによって確立 された生産決定 と先物取引決 定の間の分離性 (separationproperty)は,投資決定を含む企業の動学 モデル

では成立 しな くなると言える^｡ .

Honda(1983)やHaruna(1986)のモデルでは,生産物価格の不確実性 に加 えて,生産技術に不確実性 を導入 して,separationpropertyの不成立 を示 し た｡他方,Katz(1984)は先物市場 に不完全競争の仮定を導入 して,同様 に, separation propertyの不成立を主張 した｡ しか し,われわれのモデルではそ のよ うな付加 的 な不確実性 や市場 の不完全性 をわざわ ざ導入 しな くとも, Haltohauzenの設定 によ り近 い競争企業 モデルでseparation propertyの不 成立が示 されたと言える^｡

さらに,(14)式の共分散項の符号が危険回避型企業の最適投資水準 と危険中

先物市場 と競争企業の投資決定 381 立型企業の最適投資水準 との大小関係 を決 め る上で重要 な役割 を果 たす｡EU′

>o (あるいは (PL1‑EP.十1)/cov[U'(.),Pt十1]>0)(4)なので,(14)式 は次の 関係式を意味す る｡

E[f(Pt.1)]妻 (C′(It)/R)‑(1‑6)C′(It+1) ifandonlyifcoV[U′(.),f(Pt+1)]享0

さ らに,次の2つの微係数 を計算 して∴U〝<0とf′>0を使 うと, (3U′/3β什1)‑U〝･Kt+､1･(3f/apt.1)･(apt+1/3β什1)<0

(3f/3β什 1) ‑ (3f/apt+1)･(3Pt.1/3∂什1)>0

31引

(16)

を得 る｡ したが って,(15)式 の共分散項 の符号 が負であることがわか る｡

最終的に,われわれ は次の不等式 を得 る｡

E[f(Pt+1)]>(C′(It)/R)‑(1‑♂)C′(It+1) (17) (17)式 の経済的解釈 は次のように与え られ る｡資本 1単位の増加 によ りもた らされ る利潤増加分 (資本 に関す る限界利潤)の割引現在価値が投資の'限界費

/

用 マイナス投資の置換費用 より大 きくなるよ うに畢適投資水準 が決 め らること を意味す る｡すなわち,(14)式 で決 まる投資水準 と,(13)式で決 まる危険中 立的企業 の最適投資水準 を比べ ると,明 らかに,危険回避型 の企業の投資水準 が低 くなる｡さ らに,(4)式 よ り今期 の投資水準が次期 の資本投入量 を決定す るため,次期 の資本投入量 も小 さ くな り,結果 として,次期の産 出量 も小 さ く なる｡以上 の結果 は,先物市場が存在す るにもかかわ らず,Halthausenの主張 す るseparation propertyが成立せず, む しろLealandや Sandomoらの先 物市場 が存在 し'ない場合 の結果 と一致す るO

次 に, 特殊 なケースとして, f(Pt+1) がPt+1の 1次関数の場合を考 えてみ る(5)｡すなわち,

(4) もLEPt+1<^Ptf.1な らば, 危険回避型の企業 はけっしてスポ ッ ト市場 を利用 しない で,全ての生産物 を先物市場 に供給す る｡当然,同 じことが,危険中立型 の企業 に

もあて はまる｡

(5) このよ うな生産技術 として,次 のよ うな ものが考 え られ る｡ レオ ンチェフ型生産技 術,あるいは資本だけを生産要素 と して用 いる生産技術 など｡

f(Pt+1) ‑ap t+1+b I t‑1,2,…,T (18)

ただ し,aとbは非確率的な定数｡(18)式 を (14)式 に代入 して整理す ると, apL1+b+(1‑♂)C′(It+1)‑〜(C′(It)/R)‑0

t‑1,2, …,T (19)

を得 る｡この場合には,最適投資水準 は生産物価格の不確実性 より独立 になり, 先物市場 は危険回避型の企業の生産物 に対 して, ‑ ッジ (hedge)の役割 を果

た しているといえる(^6)｡

しか し,上記の結果はあ くまで資本の限界利潤関数 (f(Pt.1))のPt.1に関 し て線形 という特殊 な場合 にのみ有効な結果であ り,f(P^t+1)がより一般的な形, すなわち,非線形 なf(Pt+1)に対 しては先物市場が存在 して も,Haltohazenの 主張す るseparation propertyは成立 しないと言える^｡

4.む す ぴ

この論文の主要 な結果の要約 と簡単 なコメントを与える^｡ 第一 に,‑生産物市 場 の販売価格 が不確実であ り,かつその財 に対 して先物市場 が完備 していて ら,危険回避的な競争企業が長期 にわたり投資活動 を行 うとき, もはや,先物 市場 は生産決定 に対 して,‑ ッジ(hedge)の役割 を果たさず,企業の最適産出 決定及び最適投資決定 は不確実性か ら独立ではな くなる^｡ すなわち,投資決定 を行 う動学的な企業モデルでは, 一般 にseparation propertyは不成立であ

る^｡

第二 に,上記 の結果が生 じる主要 な理由は,資本 に関す る限界短期利潤関数

(6) もLP^t.1が独立かっ同一 な確率分布 を持っ確率関数 でないとき,例 えば,定常的な

1階の 自己回帰過程 な らば,すなわち,Pt+1‑戸‑a(^{p t}一戸)+0..11 ただ し,困 <

1,E(β什1)‑0,E(βt.1)‑♂,E(βt+1∂S) ‑0 if t+1キS,Pは平均価格で, かっf(Pt+1)がPt.1につ いて線形 であ って も,separationpropertyが成立 しない

ことが容易 に確 かめ られ る｡

先物市場 と競争企業の投資決定 383 がスポ ッ ト市場での販売価格 に対 して非線形 (凸関数)であることによる｡ こ の関数 の非線形性 は,2っの理 由による｡一つ は,生産技術が要素投入 に対 し て一般 に非線形的であること｡二つには,資本投入 (あるいは投資) と労働投 入の投入時点 に関す るタイ ミングのズ レの存在｡資本投入 に比 べて,労働投入 はよ り伸縮的でかつ調整 にかか る費用がより少 な くて済 むため,I事後的な調整 が容易であるとい う想定 は単 に分析 を容易にす るための ものばか りではな く, きわめて現実性 の高 い仮定 と言 え る｡ したが って,本稿 のモデルのような要素 投入 の扱 い方 はかな り一般性 があると主張で きる(7)｡

ば,先物市場 は危険回避型企業 の生産物 に対 して, ‑ ッジの機能 を果 たす｡つ ま り,企業 の産 出決定 と投 資決定 は生産物価格 の不確実性 よ り独立 にな り, separationpropertyが成 り.立っ ｡ しか し, このよ うな場合が成立す るのは, きわめて強 い仮定が生産関数 になされた場合 のみであることに注意 しなければ な らない｡

第四 に,限界利潤関数 がスポ ッ ト価格 の非線形関数 であるとい う特性 があれ ば;われわれと同 じ結果がえ られ るので,われわれ と異 なる企業 モデルの設定 か らもseparationpropertyめ不成立 を示す ことが可能である｡ た とえば,ス ポ ッ ト市場 で企業が競争的であるという仮定 にかえて,販売量 の大 きさがその 市場価格 に影響す るよ うな不完全競争的なスポ ッ ト市場 を想定すればよい｡ こ のよ うな意味 において,われわれの投資決定 モデルは非線形的 な限界利潤関数 を導出す るための1例 とも言 え る｡

付 録

本文中の (ll)式 の導出 :

(7) よ り一般的 には長期雇用契約の存在,新規雇用の リクルーティング費用や訓練費用 の存在等 により,労働投入 の調整 に も時間 と費用がかか るか も知 れない｡ この方向 へのモデルの拡張 は別 の機会 に譲 りたい｡

本文中の目的関数 (10)式 を (2),(3),(4),(5)式をを制約条件 とし て解 くことは次のよ うなBellman equationを解 くことと同値である｡

E(U(Ⅴ(Kt))‑MaxE(U〔Ktf(Pt+1)‑Ptht‑pわt‑C(It)

+RV(Kt.1)〕) (Al) sujectoto (2),(3),(4),(5)

(A l)式をK^tで微分す ると,

E(U′･Ⅴ′(Kt))‑E(U′･[f(Pt)+^(1‑♂)RV′(Kt十1)]) (A 2) を得 る｡ この式 を1期進 ませ ると,

E(U′･Ⅴ′(Kt.1))‑E(U′･[f(Pt.1)+(1‑♂)RV′(Kt十2)]) (A 3) を得 る｡次 に,(Al)をItで微分す ると,

REtU′･Ⅴ′(Kt.1))‑C′(It)･EU′ (A4)

を得 る｡ (A4)式 を1期進 ませ ると,

RE(U′･Ⅴ′(Kt+2))‑C′(It+1)･EU′ (A5) が得 られ る｡ (A5)式 を (A3)式 に代入す る｡

E(U′･Ⅴ′(Kt+1))‑E(U′･[f(Pt+1)+(1‑♂)C′(It+1)]) (A6)

さらに,(A.6)式 を (A4)式 に代入す ると,

RE(U′･[f(Pt+1)+(1‑♂)C′(It+1)]⁾‑C′(It)･EU′

が得 られ る｡ この式 を整理す ると本文中の (ll)式 が得 られ る｡

References

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