１ [11センター本試(旧課程) センター本試]
四角錐 において，三角形 と三角形 は合同で， ， ， であり，底面の四角形 は長方形である。 とおき， ，
， とおく。
を ， ， を用いて表すと ア イ である。辺 を に 内分する点を とすると， ウ
エ
オ エ
カ
エ となる。
さらに辺 の中点を ， 点 ， ， の定める平面を とし，平面 と辺 との 交点を とする。点 は平面 上にあることから， は実数 ， を用いて
と表されるので，
キ ク
ケ コ サ シ となる。一方，
点 は辺 上にもある。これらから， ス
セ となる。
また， ･ ソ タ ， ･ チ ， ･ ツテ である。よって，
･ を計算すると， ト のとき，直線 と直線 は垂直になる ことがわかる。
数学共通テスト対策講座⑨（ベクトル）
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２ [16センター本試 センター本試]
四面体 において， ， ，
であるとする。また，辺 上に点 をとり，辺 上に点 をとる。以下， ，
， とおく。
， であるような実数 ， を用いて ， と
表す。
･ ･ ア ， ･ イ であることから
ウ エ オ カ キ となる。
したがって， が最小となるのは ク
ケ ， コ
サ のときであり，この とき シ となる。
三角形 の重心を とする。 シ のとき，三角形 の面積を 求めよう。
･ ス から， セソ である。
したがって，三角形 の面積は タ である。
また チ
ツ
テ
ト であり，点 は線分 を ナ ： に内分 する点である。
以上のことから，三角形 の面積は ニ
ヌ である。
数学共通テスト対策講座⑨（ベクトル）
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３ [14センター本試(旧課程) センター本試]
座標空間において，立方体 の頂点を
， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，
とし， を ： に内分する点を ， を ： に内分する点を とする。
上の点 ， 上の点 および ， の 点は同一平面上にあり，四角形 は平行四辺形であるとする。
四角形 の面積を求めよう。ベクトル を成分で表すと
アイ ， ウ ， エ となり，四角形 が平行四辺形であることに より， オ である。 オ に当てはまるものを，次の ～ のうちから一 つ選べ。
ここで， ， ， ， ， ， と表すと， オ であるので， カ ， キ となり， は を ： ク に内分することがわかる。また， と について ･ ケ ， コ ， サシ となるので，四角 形 の面積は スセ である。
四角形 を含む平面を とし，点 を通り平面 と垂直に交わる直線を ， と の交点を とする。 と三角錐 の体積を求めよう。
， ， とおくと， は および と垂直であるから，
･ ･ ソ となるので， タ ， チツ
テ であることがわ かる。 と が垂直であることにより， ト
ナニ となり， を求めると
ヌ ネノ
ハヒ である。 は三角形 を底面とする三角錐 の高さであるから，三角錐 の体積は フ である。
数学共通テスト対策講座⑨（ベクトル）
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４ [10センター追試(旧課程) センター追試]
三角形 の 辺に接する円 内接円 を とし，その中心を とおく。この円と辺 との接点を ，辺 との接点を とし， ， とおく。 である とし， ･ とおく。
なお，一般に円の外部の点 からその円に 本の接線を引き，その接点をそれぞれ ， とするとき， が成り立つ。
ベクトル は，ベクトル ， を用いて の形に表される。
ア である。 ･ イ であることから，実数 を を用いて表すと
ウ
エ となる。
とおく。点 が辺 を に内分するとする。辺 と円 との接点を とすると， オ
カ であり， キ
ク である。
一方， であり， ケ であるから， は と ･ を 用いても表される。これより コ
サ が成り立つことがわかる。したがって，
は を用いて シ
ス セ とも表される。
線分 と線分 との交点を とする。ベクトル を実数 ， を用いて と表すとき，実数 は
ソ タ と表される。したがっ て， チ
ツ のとき，線分 と辺 とは平行になる。このとき，点 は辺 を テ ト に内分する。
数学共通テスト対策講座⑨（ベクトル）
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