曲線と曲面の幾何学

曲線と曲面の幾何学

第 2 回追加資料 (10 月 14 日 )

曲線と曲面の幾何学第２回ですどうぞよろしくお願い致します

二次曲線の分類

今回は前回の座標変換の例題も兼ねて二次曲線の分類をしてみましょう

二次曲線

� =� � ²

� ²

� ² + � ²

� ² =1

  � ²

� ² − � ²

� ² = 1  

�

�

�

    �

�

    �

0

0

  0  

高校までに習った二次曲線と言えばこの三つでしょう

� =� � ²

� ²

� ² + � ²

� ² =1

  � ²

� ² − � ²

� ² = 1  

→ 　 放物 線

式を見ただけ で 

�

    �

0

0

  0  

�

�

左の式は二次関数ですから式を見ただけでグラフは放物線とわかります図はａが正の場合です

� =� � ²

� ²

� ² + � ²

� ² =1

  � ²

� ² − � ²

� ² = 1  

→ 　 放物

線 → 　 楕

円

式を見ただけ で 

�

    �

0

0

  0  

�

�

    �

真ん中の式は関数ではありませんが楕円の方程式ですね

� =� � ²

� ²

� ² + � ²

� ² =1

  � ²

� ² − � ²

� ² = 1  

→ 　 放物

線 → 　 楕

円

→ 　 双曲 線

式を見ただけ で 

�

    �

0

0

  0  

�

�

    �

そして右の式は双曲線これも一目式を見ればわかります楕円との違いは二次の項の係数の符号でしたプラスとプラスなら楕円プラスとマイナスなら双曲線です

� =� � ²

� ²

� ² + � ²

� ² =1

  � ²

� ² − � ²

� ² = 1  

→ 　 放物

線 → 　 楕

円

→ 　 双曲 線

式を見ただけ で 

�

0

0

  0  

�

�

    �

�

− � ²

� ² + � ²

� ² =1  

プラマイ入れ替わると左右でなく上下に現れます

� =� � ²

� ²

� ² + � ²

� ² =1

  � ²

� ² − � ²

� ² = 1  

→ 　 放物 線

→ 　 双曲 線

式を見ただけ で 

�

    �

0

0

  0  

�

�

�    

�

　 　 ⇒ 長径 短径 　　  　

→ 　 楕 円

�

さらにただ楕円とか双曲線とかだけでなくもう少し詳しい情報もわかります例えば楕円では長径と短径も一目でわかります長径と短径が等しい時は円です

� =� � ²

� ²

� ² + � ²

� ² =1

  � ²

� ² − � ²

� ² = 1  

→ 　 放物

線 → 　 楕

円

式を見ただけ で 

�

    �

0

0

  0  

�

�

  �  

� = �

� �  

� =− �

� �  

→ 　 双曲 漸近線は 線 ^�

2

� ² − � ²

� ² = 0  

�

双曲線では右辺を０にすれば漸近線の方程式が得られます図ではａもｂも正だとして式を書いています

�� = �

もう一 つ 

�

0

    �

二次曲線としてはもう一つ反比例のグラフも出て来ましたこちらの方が先でしたねこれも図はａが正の場合です

�� = �

→ 　 ( 直角 ) 双 曲線

もう一 つ 

�

0

    �

漸近線は座標軸

これは漸近線が座標軸となるような直角双曲線２枚前までの右側ので言うとａとｂの絶対値が等しい場合と相似ですがその場合漸近線はｙ＝

±

� �   ² +��� + � � ² + �� + �� + � = 0

→ 　 ??? 　 判定した い！

今回の問題は

グラフを 描かずに

�

0

    �

さて今回の問題は一般の二次曲線つまり２変数の二次方程式で表される平面図形をどのような曲線か判定し分類しようと言う問題ですそれもグラフを描かずに式を見ただけで

平行移動したものでは？

ここまで見て来た例のどれかを平行移動すればよいものももちろんあります　　後ｘとｙを入れ替えてみたりとか…まあそれだけで何とかなると楽なのですが

� =� � ²

� ²

� ² + � ²

� ² =1

  � ²

� ² − � ²

� ² = 1  

�

�

�

    �

�

    �

0

0

  0  

平行移動したものは

・・・

とりあえずそれぞれ平行移動したものはどんな式になるか試しに計算してみましょう

� =� � ²

� ²

� ² + � ²

� ² =1

  � ²

� ² − � ²

� ² = 1  

�

�

�

    �

�

    �

0

0

  0  

�   − � = � ( � − � ) ²

(�   ,� )

→    

平行移動したものは

・・・

左の放物線を右にｐ上にｑ平行移動した式は赤字で書いた通りなんですが二次の項はやはり１項だけです

� =� � ²

� ²

� ² + � ²

� ² =1

  � ²

� ² − � ²

� ² = 1  

�

�

�

    �

�

    �

0

0

  0  

(   � , � )

( � − � ) ²

� ² + ( � − � ) ²

� ² =1  

→    

平行移動したものは

・・・

真ん中の楕円を同じように平行移動した式でも二次の項は２項のままです右の双曲線は同様なので省略します

�� = �

�

0

    �

(�   ,� )

(  

→    

平行移動したものは

・・・

そして座標軸を漸近線とする直角双曲線でも二次の項はやはり１項のまま

平行移動しても二次の項は増えない！

要するに平行移動しても二次の項は増えませんこれはｘとｙを入れ替えても同様です

の間 二次の項が３項になると・

�� = � ・・

�

0

    � と

中途半端に傾いた直角双曲線？

� ²

� ² − � ²

� ² = 1  

�

�

0

    �

�

0

では二次の項が３項に増えるのはどんな時かと言うと例えば直角双曲線なら４５度ではなくてもっと中途半端に漸近線が傾いている場合とか

の間

� ²

� ² + � ²

� ² =1

  � ²

� ² − � ²

� ² = 1  

�

    �

�

    �

0

  0  

より一般には・

�� = � ・・

�

0

    � と 又は

楕円などの可能性もあ り

より一般には楕円と双曲線の間みたいな場合もありうるわけでどちらになるかわからないその変わり目も気になりますがそれはちょっと後回しにして

� �   ² +��� + � � ² + �� + �� + � = 0

式を見てもすぐには楕円とわからな い！

例えば楕円でも傾いている と 

�

0

    �

まあ仮に楕円らしかったとしてもその楕円だと言うことを式を一目見て判断できるかと言うとそれはちょっと難しそうなわけで

� �   ² +��� + � � ² + �� + �� + � = 0

　 　 _{と表せるはず！}

でも座標軸を取り換えれば

�

0

    �

�

�  

    �

�  

0

でも上手い座標変換を見つければ本当に楕円ならきっと皆さんがよくご存じの形の方程式で表されるはずなので

実対称行列の対角化を利用して

式が簡単になる座標軸を見つけよう！

それを目指して考えるときにとても役に立つのが実対称行列の直交行列による対角化ですなぜかと言うと

+ ¿

�� + � = 0

❑

� � � ¿

( f _は c _に取り替 え )

行列とベクトルを用いて表示す ると

�

0

    �

�

�  

0

�

�    

２変数の二次方程式は一般に実対称行列Ａを用いて表せて…定数項にｆを使うのは気持ち悪いのでｃに取り替えました

+ ¿

� �

� � + � = 0

❑

� �

� � �

� � ¿

行列 A の固有ベクトルがよい座標軸を作 る！

行列とベクトルを用いて表示す ると

�

0

    �

�

�  

0

  �   ₁

�   ₂

�

�    

Ａの固有ベクトルで単位ベクトルなものをＶ１Ｖ２とすると実対称行列ではこれらは直交するので並べてできる行列Ｐは直交行列でその方向に座標軸をとれば

� ²

� ² + � ²

� ² = 1  

楕円と確認

！

Ａの固有値が共に正 ( 又は共に 負 )

ならば座標変換して整理して

�

�  

0

  �   ₁

�   ₂

�

�    

二次の項の内ＸＹの項が消えてＡの固有値が同符号なら楕円とわかると言う訳ですそれなら二次の項だけ調べればよいのかと言うとそこまで甘くはありませんと言うのも…

� ²

� ² + � ²

� ² = 0  

一点

ただし定数項の符号次第で は

�

�  

0

  �   ₁

�   ₂

� ²

� ² + � ²

� ² = − 1  

空集合

�

�  

0

  �   ₁

�   ₂ ∅

平行移動したときに一次の項や定数項も影響を受けて変わり右辺に移項して整理した定数項の符号がどうなるかは計算してみないとわかりませんその結果次第では一点とか空集合の場合もあるわけです

� ²

� ² − � ²

� ² = 0  

交わる二直線

�

�  

0

  �   ₁

�   ₂

固有値が正と負 ( 双曲線のタイプ ) では

同じことは他の曲線のタイプでも起こり固有値が異符号つまり双曲線タイプでは右辺が０なら漸近線自身つまり交わる二直線になってしまいますし

� ² =− 1

�

�  

0

  �   ₁

�   ₂

� ² =1

平行な二直 線

�

�  

0

  �   ₁

�   ₂

� ² =0

重なる二直 線

�

�  

0

  �   ₁

�   ₂

∅

空集合

固有値が正と０ ( 放物線のタイプ ) では 　 　 　 （又は負と０）

他に平行な二直線が重なってしまって結局１本だけになる場合や空集合もあります ０固有値があるつまり放物線タイプなら一次の項が残っていてくれないと平行な二直線が現れたりします楕円から双曲線への変わり目は実はこれ

曲線とは言えないものも 分類には欠かせない

これらはとても曲線とは言えないんですけれども完全に分類するためには候補として入れておかないと不完全なので無視することはできないわけです二次曲線の分類のあらましは大体こんなところで具体的な式変形は講義ノートでしっかり学習しておいて下さい

二次曲面の分類

講義ノートでは問として出題して略解だけ書いておいた二次曲面の分類についても少しだけ補足しておきましょう

→ 　 二次曲面の分類

！

同じことを３変数で考え ると 

グラフを 描かずに

�

�

�

変数が２から３に増えるだけで基本的な問題意識や考え方は二次曲線の場合と全く同じです

+ ¿

�� + � = 0

❑

� � � ¿

やはり行列 A の対角化に帰 着

行列とベクトルを用いて表示す ると

�

�

�

使うのは実対称行列の対角化です行列とベクトルを用いて表示すると前と全く同じ式に見えますが

固有値の符号だけでも場合分けは多い

＋ ＋ 　 　

＋ ー ー 　 　 ー

＋ ー ー 　 　 ー ー 　 　 ０

＋ ー 　 　 ０

＋ ＋ 　 　 ０

＋ ＋ ー 　 　

ー 　 　 ０ ０

＋ 　 　 ０ ０

これに一次の項の有無や定数項の符号 も ( ただし中括弧 　 {  で括ったのは同タ

イプ )

行列が３次なので固有値の場合分けの数がどっと増えてさらに一次の項の有る無しや定数項の符号も影響して来ます

とりあえずどんな曲面が 現れるのか一通り

二次曲線の時のように放物線・楕円・双曲線と言う目標があると考えやすいのでとりあえずどんな曲面が登場するのか一通りご紹介しておきましょう

二次曲線の回転面

�

¿

� =¿� ¿

� ² + � ²

� ² + � ²

� ² =1

  � ² + � ²

� ² − � ²

� ² =1  

目標とするとこ ろは

�

�

�

�

�  

    �

�

�

�

式ではなく絵で思い浮かべやすいのはやはり回転面かと思うのでとりあえず二次曲線の回転面から…縦に切ると元の二次曲線横に切ると円になるのがポイントです

こんな回転面も

� ² + � ²

� ² − � ²

� ² =0

  � ² + � ²

� ² − � ²

� ² =− 1  

他にも・ ・・

交わる二直線も

二次曲線の一種と考えれ ば

( 直 ) 円錐も仲間→

平面での切り口に

放物線・楕円・双曲線が 一通り現れるので

二次曲線のことを

円錐曲線とも呼びます

�

    �

�

�    

�

    �

双曲線が上下に現れた場合は別の曲面になりますついでに漸近線を回転してできる円錐も仲間に入れておきましょう

√ ^{� 2 + � 2 � = �}

反比例のグラフの回転面 は 

�

�

�

四次曲線なので対象外

⇔

ちなみに反比例のグラフの縦軸に関する回転面は根号を外すと四次方程式になってしまうので今回の分類には出て来ません

楕円面

� =� � ² +� � ²

� ²

� ² + � ²

� ² + � ²

� ² =1  

回転面を縦か横に延ばすか縮めると

・・・ � ²

� ² + � ²

� ² − � ²

� ² =1  

楕円放物面 一葉双曲面

�

�

�

�

    �   �

�

�

�

さてこれらの回転面を水平方向に伸び縮みさせると横の切り口が円から楕円に変わり

楕円錐

さらに・ ・・ _� ²

� ² + � ²

� ² − � ²

� ² =− 1

� ²  

� ² + � ²

� ² − � ²

� ² =0  

二葉双曲面

�

    �

�

�    

�

    �

５種類の二次曲面の代表が得られます絵は回転面のときと変えていないので心の目で伸び縮みさせてみて下さい

回転面と無関係なものがもう一 つ �   =� � ² − � � ²

双曲放物面

�

�

�

これらの他に回転面からの伸び縮みでは得られない曲面として双曲放物面がありますこれは縦に切ると放物線横に切ると双曲線になるような曲面ですがこれを加えた６種類を覚えておきましょう

切り口には交わる二直線 も �   =� � ² − � � ²

双曲放物面

�

�

�

ちなみに双曲放物面を真ん中で横に切ると交わる二直線も現れます切り口の双曲線が前後から左右に入れ替わる瞬間です一般に二次曲面を切る平面を動かして行くと二次曲線の変形が得られその途中に曲線ではないものが一瞬現れたりします

楕円柱 ( 面 )

� =� � ²

� ²

� ² + � ²

� ² =1  

後は二次曲線の柱面

� ²

� ² − � ²

� ² =1  

放物柱面 双曲柱面

�

�  

    �

�

    �   �

�

�  

    �

最後に二次曲面としてはあまり新味は無いのですが二次曲線の柱面も忘れないでおきましょう

他に平面１～２枚や直線などの曲面でない例も二次曲線のとき同様いくつかありますがここでは省略します