ア 　必要十分条件である．

次の の中にあてはまるものを， ア ～ エ から選べ．同じものを 回以上用いて もよい．

　 ア 　必要十分条件である．

　 イ 　必要条件であるが十分条件ではない．

　 ウ 　十分条件であるが必要条件ではない．

　 エ 　必要条件でも十分条件でもない．

　ｐ： は，ｑ： であるための

　 　 のとき 　　よって， は不成立．

　　　　また， は成立．　 　 イ

　ｐ： は，ｑ： であるための

　 　 は成立．また， のとき

　　　　よって， は不成立．　 　 ウ

　ｐ： が無理数であることは，ｑ： と がともに無理数であるための 　 　 ， とすると は無理数であるが は有理数．

　　　　 ， はともに無理数であるが は有理数．

　　　　よって， ， はともに不成立．　 　 エ

　 ， は実数とする．ｐ： であることは，ｑ： であるため 　　の

　　　　よって， は成立．　 　 ア

　実数 ， について，ｐ： は，ｑ： であるための 。 　 　 のとき

　　　 かつ または かつ

　　　いずれの場合も　　 ， 　　　　すなわち　　

　　　よって，「 」は真である。

　　　また，「 」は偽である。　 反例： ，

命題小テスト（必要 十分条件の判定）①

-1-

　　　ゆえに， は， であるための十分条件である。　 　 ウ 　

　△ の 辺の長さを ， ， とする。 を最大辺とするとき，

　　ｐ： は，ｑ：△ が直角三角形であるための 。

　 　「 が直角三角形である」は偽である。

　　　 反例： ， ，

　　　また， が直角三角形であるとき， が最大辺であるから，三平方の定理に 　　　より　　 　　　　すなわち　　

　　　よって　　 　　　したがって，

　　　「 が直角三角形である 」は真である。

　　　ゆえに， は， が直角三角形であるための 必要条 　　　件である。 　 イ

　実数 ， について，ｐ： かつ は，ｑ： であるための 。 　 　 かつ のとき　　

　　　よって，「 かつ 」は真である。

　　　また， のとき　 かつ または かつ

　　　よって，「 かつ 」は偽である。　 反例： ，

　　　ゆえに， かつ は， であるための十分条件である。　　 　 ウ 　 つの三角形の面積が等しいことは，それらが合同であるための 。

　 　必要条件であるが十分条件でない　　　 　十分条件であるが必要条件でない 　 　必要十分条件である　　　　　　　　　 　必要条件でも十分条件でもない 　 　 つの三角形の面積が等しいとき，それらが合同

　とは限らない。　 反例：右図

　また，合同な つの三角形は明らかに面積が等しい｡

　ゆえに， つの三角形の面積が等しいことは，

　それらが合同であるための必要条件である。

　 　 ア

　ｐ： は，ｑ： であるための 。

　 　 のとき　 ･

命題小テスト（必要 十分条件の判定）①

-2-

　よって，「 」は真である。

　また，「 」は偽である。（反例： ）

　ゆえに， は であるための十分条件である。 　 ウ 　 ， は実数とする。ｐ： は，ｑ： であるための

。

　 　「 」は偽である。（反例： ， ）

　また， のとき，両辺を 乗すると　 　よって，「 」は真である。

　ゆえに， は であるための必要条件である。　 　 イ

命題小テスト（必要 十分条件の判定）①

-3-