１
[2011 広島大]
を満たす自然数 ， は存在しないことを証明せよ。
， を異なる自然数とするとき， と の小数部分は等しくないことを 証明せよ。
の値の小数第 位を求めよ。
解説
を満たす自然数 ， が存在すると仮定する。
このとき， であるから …… ①
ところが， ， は自然数であるから， は偶数， は奇数である。
よって，① の等式は矛盾である。
したがって， を満たす自然数 ， は存在しない。
と の小数部分が等しいと仮定する。
このとき，この 数の差 は自然数
である。
その自然数を とすると， より この等式が成り立つことは， の結果と矛盾する。
よって， と の小数部分は等しくない。
の両辺において， を底とする対数をとると すなわち よって …… ② の両辺において， を底とする対数をとると すなわち よって …… ③ ②，③ から， の値の小数第 位は
２
[2016 大阪大] 次方程式
を正の実数とし， を 以上の実数とする。 についての 次方程式
は，不等式 を満たすような実数解 をもつことを 示せ。
を 以上の整数とする。 が で割り切れるような 以上のすべての 整数 を を用いて表せ。
解説
とおく。
･
であるから
また …… ①
， であるから
よって， ， であるから，
，
を満たす実数 が存在する。
ゆえに， 次方程式 は不等式 を満たすような実数解 をもつ。
が で割り切れるとき，
…… ②
となる自然数 が存在する。
② から
よって， は方程式 の解である。
また， ， であるから， の結果より ， を満たす実数 が存在する。
から， と は方程式 の異なる つの解である。
ゆえに，解と係数の関係から
…… ③， …… ④
③ より， であり， ， ， は整数であるから， も整数である。
より， であるから ，
のとき
③ から ④ から よって
このとき， から， は 以上の整数である。
のとき
であるから，① より であるから すなわち
よって，④ から
このとき， から， は 以上の整数である。
， から ，
-1-
３
[2016 京都大] ｎ進数
を 以上の自然数とする。数 ， ， がすべて 進法で表記されているとして，
が成り立っている。このとき はいくつか。 進法で答えよ。
解説
以下， 進数であることを，その数の右下に と書いて表す。 例えば， 進数 は と書く
， ， を 進数で表すと
， ，
よって，与式から …… ①
① の左辺の素因数は のみであるから， の素因数も のみである。
また， は 以上の自然数であるから，
は 以上の整数 …… ② と表される。
このとき，① から
すなわち， であるから …… ③
③ において
とすると 左辺 ， 右辺 よって，③ は成り立つ。
とすると 左辺 ， 右辺 よって，③ は成り立たない。
とすると 左辺 ， 右辺 よって，③ は成り立つ。
のグラフと直線 の位置関係は右の図 のようになるから，③ を満たす 以上の整数 は
のみである。
② から， のとき よって，求める の値は
この解答では，③ を満たす より大きい は存在しないことを，グラフを利用 して確かめた。
のとき， が成り立つことを数学的帰納法で証明して，確かめても よい。
４
[2012 神戸大] 微分積分
を正の実数とする。 つの放物線 ， が異なる
点で交わるとし， つの放物線によって囲まれる部分の面積を とする。
の値の範囲を求めよ。
を を用いて表せ。
の最大値とそのときの の値を求めよ。
解説
