5 問 80 分です . 裏もあります .

龍谷大学> 理工学部> 数理情報学科>樋口>担当科目>2005年>応用ベクトル解析∇> ファイナルトライ アル

応用ベクトル解析 ∇ ファイナルトライアル

樋口さぶろお

注意

1.

外部記憶ペーパー作成 10 _{分＋答案作成} 80 _分 .

2.

5 _問 80 _分です . _{裏もあります} .

3.

出席チェックのときに学生証を見せてね.

4.

過程も答えよう. 最終的な答えが正しいことがわかるような過程を記そう.

5.

問題文に現れない記号を使うときは, 定義を記そう.

6. 3

次元の右手系

7.

各自の点数は, 生協メール

で個別にお知らせします.

ここに届いたメールは, Web ページ

で見られます.

8.

答案は返却しません.

1

曲面

のパラメータ表示を

とする.

における接 平面の方程式, またはパラメータ表示を求めよう.

2

始点を

終点を

とする曲線

のパラメータ表示が,

で与えられている. またベクトル場

とする. 線積分

Z

C

V ·dr

を求めよう.

3

スカラー場

とベクトル場

に対して次の量を計算しよう.

1. ∇f 2. ∇ ·(∇f) 3. ∇ ·V 4. ∇ ×V

うらにつづく

1Copyright c°2005 Saburo HIGUCHI. All rights reserved.

http://hig3.net/(講義のページもここからたどれます),へや:1号館5階502

1

4

曲面

のパラメータ表示を

とする. ベクト ル場

に対して面積分

Z

S

(∇ ×V)·ndS

を考える. ここで,

の単位法線ベクトル

の向きは,

の

成分が正の値を取るように選ぶ.

この面積分をストークスの定理を用いて線積分に書きかえよう. 答の線積分は, 1 個の変数

の 定積分

a(· · · ·)du

の形に書き表そう

5

曲面

のパラメータ表示を

とする. ベクト ル場

に対して面積分

Z

S

V ·ndS

を求めよう. ただし,

の単位法線ベクトル

の向きは,

の

成分が負の値を取るように選ぶ.

6 講義の録画に関するアンケート

これは成績に関係ありません.

0

これまでに録画を何回再生しましたか. 該 当するものひとつをえらんでください.

1. 0

回.

へ.

2. 1

回.

へ.

3. 2-5

回.

へ.

4. 5-10

回.

へ.

5. 11

回以上.

へ.

A. 0回の人への質問

A1

再生しなかった理由について, 該当するもの

1.

再生方法がわからないため.

2.

授業終了時点で十分に理解できているため

録画を見ても理解が深まるとは思えない

ため.

4.

録画を見る時間がないため.

5.

その他の理由. よかったらお書きください.

B. 1回以上の人への質問

B1

録画は理解に役立ちましたか. 該当するも のひとつにチェックしてください.

(a)

役立ったことが多い.

(b)

役立たなかったことが多い.

(c)

どちらともいえない.

B2

何を期待して録画を見ましたか. 該当する ものすべてにチェックしてください.

(a)

出席した回のよくわからなかったとこ ろを確かめるため.

(b)

欠席した回の内容を知るため.

(c)

欠席した回の要点だけを知るため.

(d)

録画を見れば出席の必要がないため.

(e)

その他の理由. よかったらお書きくだ さい.

B3

講義の録画について, 録画方法, 提供方法 などについて改善すべき点があれば書いて ください.

おしまい

龍谷大学>理工学部>数理情報学科>樋口>担当科目>2005年>応用ベクトル解析∇>ファイナルトライア ル略解

応用ベクトル解析 ∇ ファイナルトライアル略解

樋口さぶろお

ご注意とお願い

この略解は注意深く作成しているつもりですが, 間違いが含まれていることがあ ります. 後から間違いに気づいたときは

に訂正版を置いています. 特に次年度以降の試験勉 強に利用される場合, Web から最新版を入手されることをお奨めします.

去 年より前の授業

科目名

1

∂r

∂s(s, t) = (1,0,2s−2t), ^∂_∂t^r(s, t) = (0,1,8t−2s).

よって,

において,

符号を好みで選んで,

n(2,1) = +

∂r∂s(2,1)× ^∂r_∂s(2,1)

¯¯^∂r

∂s(2,1)× ^∂_∂s^r(2,1)¯

¯ = + (−2,4,1)

|(−2,4,1)|.

よって, 方程式は

0 = (r−r(2,1))·n(2,1) = ((x, y, z)−(2,1,4))· (−2,4,1)

|(−2,4,1)| (1)

すなわち

一方, パラメータ表示は

∂s(2,1)s+ ∂r

∂t(2,1)t+r(2,1) = (s+ 2, t+ 1,2s+ 4t+4). (2)

このパラメータ表示

から

を消去しても方程式

が得られる.

2

dr

dt(t) = (1,2t,3t²)

なので,

C

V ·dr = Z ₀

2

V(r(t))· dr

dt(t) dt= Z ₀

2

(−t², t³−t, t)·(1,2t,3t²) dt=· · ·=−84 5 .

3

1. ∇f = (1,2,−3)e^x+2y−3z(= (1,2,−3)f(r)).

2. ∇ ·(∇f) = 14e^x+2y−3z(= 14f(r)).

3. ∇ ·V =x²+y² +z²(= |r|²).

4. (∇ ×V)_x = ^∂(zx_∂y²⁾ − ^∂(yz_∂z²⁾ = 0−2yz. y, z

成分は変数の入れ替えで求めることができて,

∇ ×V =−2(yz, zx, xy).

2Copyright c°2005 Saburo HIGUCHI. All rights reserved.

http://hig3.net(講義のページもここからたどれます),へや:1号館5階502.

4

S

x y

z n C² C1

2 1

S

は

の形なので, 境界

は,

の

つの部分からなる.

境界の向きは

と右ねじの法則から定まる.

C₁

パラメータ表示

2π). z

軸の正の方向から見て時計回りで, 始点

終点

C₂

パラメータ表示

2π). z

軸の正の方向から見て反時計回りで, 始点

終点

ストークスの定理より,

S

(∇ ×V)·ndS = Z

∂S

V(r(u))· dr du(u)du

= Z ₀

2π

V(r₁(u))· dr1

du(u)du+ Z _2π

0

V(r₂(u))· dr2

du(u)du

= Z ₀

2π

(−sinu,cosu,−1)·(−sinu,cosu,0) du +

Z _2π

0

(−2 sinu,2 cosu,−1)·(−2 sinu,2 cosu,0) du

= Z _2π

0

3 du= 6π.

5

∂r

∂s(s, t) = (−tsins,2tcoss,0), ^∂_∂t^r(s, t) = (coss,2 sins,+2t)

なの で,

n=±

∂r∂s ×^∂r_∂s

¯¯^∂r

∂s ×^∂_∂s^r¯

¯ =± (4t²coss,2t²sins,−2t)

|(4t²coss,2t²sins,−2t)|.

t ≥ 0

なので, (n)

という条件より, + 符号をとる. ヤコビアン

を求めると, いつものよう に

の分母の部分と等しく

となり,

Z

S

V ·ndS = Z _2π

0

ds Z ₂

0

dtV(tcoss,2tsins, t²)· (4t²coss,2t²sins,−2t)

|(4t²coss,2t²sins,−2t)| ·¯¯(4t²coss,2t²sins,−2t)¯¯

= Z _2π

0

ds Z ₂

0

dt(5t³sin 2s−2t⁵) =−128 3 π.

6

ご協力ありがとうございます.

4