2013.10.7.

2013.10.7.

数学

IA

（工学部地球環境工学科・建設都市工学コース）

担当：原 隆（数理学研究院）：数理教育研究棟

219

号室，092-802-4441 ([email protected])

       この科目の

web page

は

http://www2.math.kyushu-u.ac.jp/˜hara/lectures/lectures-j.html

 の下

Office hours:

暫定的に，月曜の夕方（午後

4

時半〜6時過ぎまで）．

また，講義終了後に直接に，または

e-mail

で間接に質問を受け付けます．

概要：この講義は互いに関連する２つの部分に分かれる．第１部では常微分方程式の理論の基礎を学ぶ．第２部 では「ラプラス変換」と，その常微分方程式への応用を学ぶ．

キーになる概念：常微分方程式，解の存在と一意性，線型微分方程式，定数係数線型微分方程式，ラプラス変換

内容予定：統一シラバスとは「解の存在と一意性」が加わった分，若干のズレがあることに注意．（以下は大 体の目安です．皆さんがどのくらい食いつけるかで，ある程度の変更はあり得ます．）

I.

微分方程式について（７回程度）

1.

微分方程式とは？どんな場面で出てくるのか？

2.

変数分離で解ける場合

3.

解の存在と一意性（微分方程式の基本定理）．ここまでを３回以内でやる予定．

4.

線型微分方程式の定義と性質（特殊解と一般解，重ね合わせの原理，基本解系）

5.

定数係数線形常微分方程式（１未知関数，高階）

6.

定数係数線形常微分方程式（連立系）

挿入.

I

の後で中間試験！（ただし，中間試験を「小テスト数回」にするかも）

II.

ラプラス変換と常微分方程式（５回程度）

1.

ラプラス変換の定義

2.

ラプラス変換の基本的性質

3.

ラプラス変換を用いた，常微分方程式と積分方程式の解法．

4.

デルタ関数？

III.

非線型微分方程式の一般論（残り時間と相談して；もしかしたら

I

の最後に持ってくるかも）

中間試験などのやり方は進度と相談して決め，講義やプリントで連絡する．その日取りは，上の「内容予定」

からずれるかもしれない．知らないうちに試験が終わっていた，とならないように，十分，注意されたい．

教科書：

• E.

クライツィグ：常微分方程式（技術者のための高等数学１）培風館

• E.

クライツィグ：フーリエ解析と偏微分方程式（技術者のための高等数学３）培風館

上の教科書が既に入荷してるかどうか，自信がありません（申し訳なし）．ただし，今日はプリントを配った から，教科書無しでも十分大丈夫なはず．来週は休日なので，第２回の時までには十分に入荷してるでしょ う．

カリキュラムでは「常微分方程式」と「ラプラス変換」の両方をやることになっているので，大変申し訳ないが２ 冊の教科書を使用する．ただし，この２冊は工学部の学生さんなら持っていて損はないものだし，「フーリエ変換」

などの講義にも使えるから，買って欲しい．

参考書：

•

吉田耕作：微分方程式の解法（岩波全書）．

•

ポントリャーギン：常微分方程式（裳華房）．

以上の２冊は（数学者が書いたにしては）数学以外の人にも非常にわかりやすく，かつ実用的に書かれていて，し かし，数学的な基礎ははずしていない．ちょっと高度なことを知りたい人には絶対にお奨めである．

評価方法：

何回かの小レポートや中間テストなどと期末試験の成績を総合して評価する．その際，期末テストでの一発逆転 もある程度可能なような配慮をする．暫定的に以下のように決めるが，最初の

2，3

回が終わった後で，若干の変更 をするかもしれない．講義室がかなり狭いので，中間試験ができないかもしれません．履修者数によって，中間試 験の扱いを以下と変える（重みを減らして，レポートの重みを増やす）可能性がゼロではありません．暫くは評価 方法が確定しませんが，ご了承下さい．

中間テストをやる場合，その具体的な実施日時は追って講義中に通知します．

•

最終成績は一旦，１００点満点に換算してから，この大学の様式に従ってつける．

•

その１００点満点（「最終点」と呼ぶ）は，以下のように計算する．

–

まず，「レポートと中間試験の点」「期末試験の点」をそれぞれ

100

点満点で出す．

–

次にこの２つを以下の式で「平均」し，一応の総合点を出す：

（総合点

A） = 0.20 ×

（レポートと点）

+ 0.40 ×

（中間の点）

+ 0.40 ×

（期末の点）

（総合点

B） = 0.05 ×

（レポートと点）

+ 0.05 ×

（中間の点）

+ 0.90 ×

（期末の点）

ただし，上の計算式の重みを若干変更する可能性はあることを承知されたい．（例えば，総合点

A

で，中 間と期末の比を

4 : 6

にする可能性がある．また，総合点

B

は，単純に「期末の点」にする可能性もある．

–

最終成績は

（最終点）

= max {

（総合点

A） ,

（総合点

B） }

とする．つまり，（総合点

A）と（総合点 B）を比べて，良い方をとるのだ．

この講義では（上位

10%の人だけがわかるような）進んだ話題はあまり扱わない．そのため，

「できる」人が退屈す ることも考えられる．そのようには自主的な学習を奨める意味で，「期末で一発逆転」（総合点

B

はほとんど期末だけ の点だから，期末で一発逆転と書いても良いだろう）も可能なようにした．ただし，「期末の一発勝負」がうまくい く人は多くないだろうと思われる（期末試験は中間試験やレポートよりは難しい）から，あくまで自己責任でやっ てくれ．期末の一発勝負で成績が悪くても，苦情は一切受け付けないからね！（できる人が少ないだろうと思いつつ もこの形式をとるのは，僕の美学にこだわっているからである．）

上に書いたように，上記の評価方法は若干，変更する可能性がある．しかしその場合でも，「レポートと中間期末 を平均した結果」と「期末を主にした結果」の良い方を取る，ことには変わりがない．

なお，上のように「期末の一発逆転」が可能になっているので，期末試験の範囲は当然，「今学期にこの科目で習っ たこと全部」である．決して，中間以降の範囲ではないので，くれぐれも間違わないように．

合格（最低）基準：

合格のための条件（A, Bがとれる条件ではない！）は，講義中に出題する例題，レポート問題と同レベルの問題 が解けることである．（ただし「時間がなくてレポートは出せないけど試験には出すぞ」などの指示を講義中に与え ることもあり得る．）具体的に書くと，大体，以下のようになる（進度の都合で若干の変更はあるし，後で思いつい て追加するかもしれないから，注意）．

•

変数分離で解けるタイプの常微分方程式が解けること．

•

線形常微分方程式の基本解系の概念がわかっていること．

•

定数係数線形常微分方程式が解けること．

•

簡単な関数に対して，ラプラス変換，逆ラプラス変換が計算できること．

•

ラプラス変換の応用としての常微分方程式の解法（初歩）がわかっていること．

レポート，宿題について：

講義中に何回か，簡単なレポート問題を出題する．またそれ以外に提出は求めないが「お奨めの宿題問題」など も出すだろう．これらの出題の意図は「この程度できれば講義についていけるし，合格も可能だ」という目安を与

えることと家庭学習の引き金にすること，である．成績評価に占めるレポートの比重は高くないが，この講義をこ なす上では重要な意味があるので，面倒でもやってみることを強く奨める．

特に一言：

常微分方程式は時間発展のある系を記述するのには非常に自然な道具ですから，理学・工学のいたるところに顔 を出します．この講義では，その微分方程式が使えるようになることを目指してください．

この科目に関するルール：

世相の移り変わりは激しく，僕が学生だったときには想像すらできなかったことが大学で行われるようになりま した．そのうちのいくつかは良いことですが，悪いこともあります．オヤジだとの批判は覚悟の上で，互いの利益 のために，以下のルールを定めます．

•

まず初めに，学生生活の最大の目的は勉強することであると確認する．

•

講義中の私語，ケータイの使用はつつしむ．途中入室もできるだけ避ける（どうしても必要な場合は周囲の邪 魔にならないように）．これらはいずれも講義に参加している他の学生さんへの最低限のエチケットです．

•

僕の方では時間通りに講義をはじめ、時間通りに終わるよう心がける．

•

重要な連絡・資料の配付は原則として講義を通して行う（補助として僕のホームページも使う

—-

アドレス は最初に書いた）．「講義に欠席したから知らなかった」などの苦情は一切，受け付けない．

•

レポートを課した場合，その期限は厳密に取り扱う．

•

期末試験を行った後では，特別の救済措置を講じない予定である．（この大学が定める「病気など正当な理由 による追試験」は行うが，それ以外の「救済レポート」や「温情の追試験」などは一切やらないということ．） 逆に期末試験までなら，皆さんの学習を助ける努力は惜しまないつもりである．

• E-mail

による質問はいつでも受け付ける（[email protected]）．ただ，回答までには数日の余裕を 見込んで下さい．

第１回レポート問題：

問

1

： 以下の微分方程式を解け．「解け」と言った場合，初期条件が与えられていれば初期条件を満たす解を，初 期条件が与えられていなければ一般解を求める，というのはこの講義での暗黙の了解事項である． （最初なので，

非常に簡単なものもたくさん，含まれています．）

(1) yy ⁰ + 2x = 0

(2) y ⁰ = 4 + 2y ²

(3) xy ⁰ = y ² + y

  初期条件は

y( − 1) = 3 (4) xy ⁰ + y = 0

  初期条件は

y(1) = 2 (5) x ³ y ⁰ + 2x ³ = 0

  初期条件は

y(1) = 2 (6) 2xy ⁰ + x ² = 0

  初期条件は

y(0) = 1

問

2

： 空気中をボールが落ちる場合，空気の抵抗も考えに入れると，ボールの高さ

h(t)

は，

mh ⁰⁰ = − mg − γh ⁰ (1)

という微分方程式に従う（

m

はボールの質量，

g

は重力定数，

γ > 0

は空気の抵抗を表す比例定数）．

時刻

t = 0

でボールが高さ

0

のところに静止した状態から落ち始めた場合のボールの運動を，微分方程式を解く ことによって論ぜよ（特に，

h(t)

を

t

の関数として求めよ）．なお，重力の強さ

g

は一定で，また，地面には無限 に深い穴が掘ってあって，そこを落下して行くものとしてよい．

番外問題：これまでの講義内容で改善したらよいと思うところ，わかりにくかったところ，講義への要望などがあ れば自由に書いてください．また，質問があれば，それもどうぞ．この番外問題は成績には一切関係ないことを保 証しますから，次回からの講義を良くするつもりで書いてくださると助かります．

レポート提出について：

（今回は（来週が祭日なので）特別です．ちょっと面倒でしょうが，お願いします．） 上の問に解答し，

10

月

15

日（火）16:00時までに，

数理教育研究棟 

219

号室（原の部屋）の前のボックスに

提出してください．整理の都合上，用紙はできるだけ

A4

を使ってください（A4というのは，このプリントと同じ 大きさです．B5だと紛失しても知らんよ）．また，２枚以上にわたる場合は何らかの方法で綴じてくだされ．

第一回レポートの略解

問

1

： すべて変数分離形なので，定石通りやります．C, C

⁰

は任意の定数です．

(1) yy ⁰ = − 2x

なので

∫

y dy = − 2

∫

x dx

つまり

y ² = − 2x ² + C

もちろん，上のは

y

について解いて，y

= ± √

C − 2x ²

とするのが最終形だが，ここまでやらなくても，まあ，良 い．（初期条件を代入する際などに，上のように解ききらない方が便利なこともあるので．）

(2) ∫

dy 2 + y ² =

∫

2 dx

を解いて

1

√ 2 arctan ( y

√ 2 )

= 2 x + C

つまり

y = √

2 tan(2 √

2x + C) (3) ^dy _dx = ^y

²

_x ^+y

なので，

∫ dy y ² + y =

∫ dx

x

の両辺を積分して

log ( y

1 + y )

= log | x | + C

つまり

y

1 + y = C ⁰ | x |

つまり

y = C | x | 1 − C | x |

今，x

= − 1

で初期条件を与えているので，

| x | = − x

とする．更に初期条件から

C = 3/4

と決まるので，

y = − 3x 4 + 3x

が答え．（ここのところ，「Cが正のはず」と思って止まってしまった人が一人いたはず．その人はよく考えているの で，良いことですが，上のように，本来は

| x |

がでることに気付くとちゃんと解けます．）

(4) ^dy _dx = − y/x

なので

∫ dy y = −

∫ dx

x

つまり

log y = − log x + C

つまり

yx = C ⁰

が一般解．初期条件から，

C ⁰ = 2

とわかるので，答えは

y = 2/x

．（ここも本当は

log | x |

などとすべきだが，

x = 1

での初期条件なので省略した．）

(5)

この問題と次の問題は，

x = 0

では微分方程式が

0 = 0

になってしまう．このような場合は，x

6 = 0

で与えられ た微分方程式を満たす解を求める，のが要求されている．ともかくやると

x 6 = 0

では両辺を

x ³

で割って，

y ⁰ + 2 = 0

という事である．この答えは高校から知ってる訳で，

y = − 2x + C

だ．初期条件を入れて

C = 4．つまり，答えは y = − 2x + 4

なのである．

(6)

今度も，x

6 = 0

では微分方程式は

y ⁰ = − x/2

に等しい．ので，この一般解は

y = − x ²

4 + C

である．初期条件を入れて

C = 1

だから，答えは

y = 1 − x ² 4

（注意）この

(6)

の場合，初期条件は

x = 0

で与えられていて，そこでは微分方程式は

0 = 0

となり，何の制限に もなっていない．しかし，

x 6 = 0

では上のように一般解が決まる．そこで，

x = 0

での

y

が

x 6 = 0

での

y

と連続に なっていると仮定するならば，上のように解が一意に定まる．

微分方程式の問題においては，ほとんど常に，解

y(x)

は

x

の連続関数（普通はもっと強く，微分可能な関数

—

微分方程式を考えているのだから，微分可能は当然！）と仮定して考えることが暗黙の了解になっている．

問

2：

この微分方程式は

h ⁰ (t)

を改めて

f(t)

という未知関数と思うと，f

⁰ = − g − (γ/m)f

と思える．これは変 数分離形なので，

∫

df

g + γf /m = −

∫

dt

つまり

g + γ

m f = Ce ^{− γt/m}

という一般解が得られる．初期条件は

t = 0

にて

f = 0（静止）なので，これから C = g

であって

f (t) = − mg

γ (1 − e ^{− γt/m} )

が得られる．この両辺を積分すれば

h(t)

が得られるので計算すると

h(t) − h(0) = − mg γ

∫ t 0

dt ⁰ (1 − e ^{− γt}

⁰

^/m ) = − mg γ

(

t − m(1 − e ^{− γt/m} ) γ

)

となり，初期条件

h(0) = 0

と合わせて，

h(t) = − mg γ

(

t − m(1 − e ^{− γt/m} ) γ

)

が得られる．

（考察）このような物体の運動は，始めは等加速度運動に近いが，そのうち，空気抵抗が無視できなくなって，最 終的には一定の測度に近づく事は予想できる．上の

f = h ⁰

は測度であって，これは確かに，t

→ ∞

で

v _∞ := − mg/γ

に近づく．この

v _∞

が空気抵抗と重力が釣り合った，終端測度である．また，tが非常に小さい場合は，指数関数を テイラー展開すれば

f (t) ≈ − gt

となって，確かに等加速度運動である．

h(t)

の方は，この終端測度（v

_∞

）で落ちて行く項がよく見えている．また，tが非常に小さい場合は，指数関数 をテイラー展開すれば

h(t) ≈ − g 2 t ²

となって，もちろん，これも等加速度運動である．

講評：簡単な問題でしたが，かなり計算間違いが目立ったようです．確実に計算できるようになって下さいね．君 たちは建築都市工学が専門なんです．計算間違いばっかりする人の設計した都市に進んで住む人はいないと思いま すよ．

•

問

1

の

(2), arctan ( √ y

2

)

= 2 √

2 x + C

までは出たが，これから

y = ...

と直す時に間違える．

•

同じ問題，

C

の入り方がおかしい

— C

は積分した時に付けるべきだが，最後の答えに

+C

とした人が数名．

問

1

の

(2)

は

2

割くらいしかできていなかった模様．

•

問

1

の

(3), (4). log

を外すところで失敗する人多数．特に

z = log x + C

の両辺の指数をとると，なぜか

e ^z = z + C ⁰

になる人が大変に多かった．出来は

5

割程度．

•

何人か，e

^{log x}

を堂々と残している人がいました．これくらいは

x

に直して下さいな．

•

問

2

，

h ⁰

を未知関数と見る事に気づかなかった人多数．

•

問

2．ややこしい式だけど，やはり計算間違いが多い．

１０月２１日：今日は「解の存在と一意性の定理」についてやります．

第２回レポート問題：問題番号は通し番号です．今日は問

3

から始まります．

問

3：

以下の微分方程式を，逐次近似法を用いて解け．

（注意：逐次近似法で解くのは，大抵の場合，非常に効率が悪い．なので，この問題はあくまで，「微分方程式を 習ったのだから一回はやってみよう」という類いの問題である．ただし，万策尽きたときや，数値的に求める場合 には，逐次近似法とその仲間は役に立つことも多いのは授業で説明した通り．）

なおこの問題，奇麗に

y _n (x)

が書き下せず，級数の形になってしまうかもしれない．その場合は，n

→ ∞

の極 限で「その級数がどんな関数のテイラー展開になっているか」を考えて，最後の答えを出すと良い．

(1) y ⁰ = y

 初期条件は

y(0) = 1 (2) y ⁰ = 2xy

  初期条件は

y(0) = 1 (3) y ⁰ = − 2x + y

  初期条件は

y(0) = 1

問

4

： 上の問

3

の各微分方程式を，逐次近似法を使わずに解け．(1), (2)は変数分離形なので簡単に解けるだろ う．

(3)

は変数分離形ではないのだが，答えを良くにらんで，うまく変数変換すると解けるはずである．

問

5

： 逐次近似法は忘れて，前回の復習．以下の微分方程式を解け．

(1) xy ⁰ = y ² + 3y + 2

  初期条件は

y(1) = 2 (2) y ⁰ = y ² + 4

  初期条件は

y(0) = 2

番外問題：これまでの講義内容で改善したらよいと思うところ，わかりにくかったところ，講義への要望などがあ れば自由に書いてください．また，質問があれば，それもどうぞ．この番外問題は成績には一切関係ないことを保 証しますから，次回からの講義を良くするつもりで書いてくださると助かります．

レポート提出について：

上の問に解答し，

10

月

28

日（月）の授業開始時に，原まで提出して下さい．

整理の都合上，用紙はできるだけ

A4

を使ってください（A4というのは，このプリントと同じ大きさです．B5だ と紛失しても知らんよ）．また，２枚以上にわたる場合は何らかの方法で綴じてくだされ．

10

月

28

日（第

3

回）：今日は一般論をまとめた後，「線型」の微分方程式（特に定数係数，斉次）に入ります．

今回と次回のところ，教科書では

2.2, 2.3, 2.4, 2.14

節です．

なお，先週の内容がわかりにくかった人が多数いたのではないかと思います．今週の後半からはよりわかり やすく，また例題も出来ると思います．

第

3

回レポート問題：

（今日，どこまで行けるかわからないので，簡単に

ODE

を解く問題です．）

問

6：

以下の

ODE

を解け（初期条件を満たす解を求めよ）．あまり使わない記号だが，(c)の

y ⁰⁰⁰⁰

とは，もちろ ん，

y

の

4

階微分を表している．

a) y ⁰⁰ − 3y ⁰ + 2y = 0,

初期条件は

y(0) = 3, y ⁰ (0) = 1 b) y ⁰⁰⁰ − 7y ⁰ + 6y = 0,

初期条件は

y(2) = 0, y ⁰ (2) = 8, y ⁰⁰ (2) = 4

c) y ⁰⁰⁰⁰ − 2y ⁰⁰⁰ − y ⁰⁰ + 2y ⁰ = 0,

初期条件は

y(0) = 4, y ⁰ (0) = 3, y ⁰⁰ (0) = 0, y ⁰⁰⁰ (0) = 0 d) y ⁰⁰⁰ − 5y ⁰⁰ + 8y ⁰ − 4y = 0,

初期条件は

y(0) = 4, y ⁰ (0) = 2, y ⁰⁰ (0) = 0

なお，

(c)

の係数は整数にはならないだろう．また，

(b)

の初期条件は

x = 2

で与えていることに注意．

番外問題：これまでの講義内容で改善したらよいと思うところ，わかりにくかったところ，講義への要望などがあ れば自由に書いてください．また，質問があれば，それもどうぞ．この番外問題は成績には一切関係ないことを保 証しますから，次回からの講義を良くするつもりで書いてくださると助かります．

レポート提出について：

（今回は（またもや来週が祭日なので）特別です．ちょっと面倒でしょうが，お願いします．）上の問に解答し，

11

月

5

日（火）16:00時までに，

数理教育研究棟 

219

号室（原の部屋）の前のボックスに

提出してください．整理の都合上，用紙はできるだけ

A4

を使ってください（

A4

というのは，このプリントと同じ 大きさです．B5だと紛失しても知らんよ）．また，２枚以上にわたる場合は何らかの方法で綴じてくだされ．

第

2

回レポートの略解

問

3：

(1)

解きたい微分方程式＋初期条件は

y(x) = 1 +

∫ x 0

dz y(z)

と同値である．よって，

y ₀ ≡ 1, y ₁ = 1 +

∫ x 0

dz = 1 + x, y ₂ = 1 +

∫ x 0

dz (1 + z) = 1 + x + x ² /2

y 3 = 1 +

∫ x 0

dz (1 + z + z ² /2) = 1 + x + x ² /2 + x ³ /6

などとなっていく．ここらで上の形を一般的に書いてみると，どうも

y n (x) =

∑ n k=0

(x) ^k k!

となってるようだ．これを数学的帰納法で証明しよう．実際，これを仮定すると

y _n+1 (x) = 1 +

∫ x 0

dz y _n (z) = 1 +

∫ x 0

dz

∑ n k=0

(z) ^k k! = 1 +

∑ n k=0

(x) ^k+1 (k + 1)! =

n+1 ∑

k=0

(x) ^k k!

となって，帰納法より上の

y n (x)

が正しいことがわかる．求めたい解は

y(x) = lim

n →∞ y _n (x) = lim

n →∞

∑ n k=0

(x) ^k k! = e ^x

と求められる．（もちろん，ODEに代入すると解になってるし，初期条件も満たしてる．）

(2)

解きたい微分方程式＋初期条件は

y(x) = 1 +

∫ x 0

dz 2zy(z)

と同値である．よって，

y ₀ ≡ 1, y ₁ = 1 +

∫ x 0

dz 2z = 1 + x ² , y ₂ = 1 +

∫ x 0

dz 2z (

1 + z ² )

= 1 + x ² + x ⁴ 2 y 3 = 1 +

∫ x 0

dz 2z (

1 + z ² + z ⁴ 2

)

= 1 + x ² + x ⁴ 2 + x ⁶

6

などとなっていく．ここらで上の形を一般的に書いてみると，どうも

y n (x) =

∑ n k=0

(x ² ) ^k k!

となってるようだ．これを数学的帰納法で証明しよう．実際，これを仮定すると

y _n+1 (x) = 1 +

∫ x 0

dz 2z y _n (z) = 1 +

∫ x 0

dz 2z

∑ n k=0

(z ² ) ^k

k! = 1 + 2

∑ n k=0

x ^2k+2

(2k + 2) k! = 1 +

∑ n k=0

(x ² ) ^k+1 (k + 1)! =

n+1 ∑

k=0

(x ² ) ^k k!

となって，帰納法より上の

y _n (x)

が正しいことがわかる．求めたい解は

y(x) = lim

n →∞ y _n (x) = lim

n →∞

∑ n k=0

(x ² ) ^k k! = e ^x

²

と求められる．（もちろん，ODEに代入すると解になってるし，初期条件も満たしてる．）

(3)

解きたい微分方程式＋初期条件は

y(x) = 1 +

∫ x 0

dz {− 2z + y(z) } = 1 − x ² +

∫ x 0

dz y(z)

と同値である．よって，今までと同様に計算して

y 0 ≡ 1, y 1 = 1 − x ² +

∫ x 0

dz 1 = 1 + x − x ² , y 2 = 1 − x ² +

∫ x 0

dz (

1 + z − z ² )

= 1 + x − x ² 2 − x ³

3 y 3 = 1 − x ² +

∫ x 0

dz (

1 + z − z ² 2 − z ³

3 )

= 1 + x − x ² 2 − x ³

6 − x ⁴ 12

となる．どうも読めないので，もう少し行くと，

y ₄ = 1 − x ² +

∫ x 0

dz (

1 + z − z ² 2 − z ³

6 − z ⁴ 12 )

= 1 + x − x ² 2 − x ³

6 − x ⁴ 24 − x ⁵

60 y 5 = 1 + x ²

2 +

∫ x 0

dz (

1 + z − z ² 2 − z ³

6 − z ⁴ 24 − z ⁵

60 )

= 1 + x − x ² 2 − x ³

6 − x ⁴ 24 − x ⁵

120 − x ⁶ 360

などとなっていく．ここらで上の形を一般的に書いてみると，どうも

y n (x) = 1 + x −

∑ n k=2

x ^k

k! − 2x ⁿ⁺¹ (n + 1)! = −

∑ n k=0

x ^k

k! + 2 + 2x − 2x ⁿ⁺¹ (n + 1)!

となってるようだ．これを数学的帰納法で証明しよう．実際，これを仮定すると

y _n+1 (x) = 1 − x ² +

∫ x 0

dz y _n (z) = 1 − x ² −

∫ x 0

dz

∑ n k=0

z ^k k! + 2

∫ x 0

(1 + z) −

∫ x 0

2z ⁿ⁺¹ (n + 1)!

= 1 − x ² −

∑ n k=0

x ^k+1

(k + 1)! + 2x + x ² − 2z ⁿ⁺²

(n + 2)! = 1 −

n+1 ∑

k=1

x ^k

k! + 2x − 2z ⁿ⁺² (n + 2)!

=

n+1 ∑

k=0

x ^k

k! + 2 + 2x − 2z ⁿ⁺² (n + 2)!

となって，帰納法より上の

y n (x)

が正しいことがわかる．求めたい解は

y(x) = lim

n →∞ y _n (x) = lim

n →∞

[

−

∑ n k=0

x ^k

k! + 2 + 2x − 2x ⁿ⁺¹ (n + 1)!

]

= − e ^x + 2 + 2x

と求められる．（もちろん，ODEに代入すると解になってるし，初期条件も満たしてる．）これはちょっと大変でし たけど，最初の

3, 4

項を地道にやればできたはずです．

問

4

：

(1), (2)

については，定石通りなので，略．

(3)

については，問

3

の

(3)

の結果をカンニングして，

z(x) = y(x) − 2x − 2

というのを考えてみよう．この

z

の満たすべき微分方程式は

z ⁰ = y ⁰ − 2 = − 2x + y − 2 = z

初期条件は

z(0) = 1 − 2 = − 1

となる．これは簡単に解けて

z(x) = − e ^x

となる．よって，y(x) =

z(x) + 2 + 2x = − e ^2x + 2 + 2x

となる．

注：右辺に

x

とか

1

などが入っていて惜しいところで変数分離形になっていない場合は，この問のように適当に変 数変換することにより，変数分離形に持って行けることがある

——

とはいえ，右辺が

y

の一次式でないと実際に は難しいことが多いが．

問

5

： やり方は前回と同じだから，簡単に行きます．

(1) ∫

dy y ² + 3y + 2 =

∫ dx

x

つまり

log

( y + 1 y + 2 )

= log x + C

これから

y + 1 y + 2 = C ⁰ x

初期条件から

C ⁰ = 3/4.

よって

y + 1 y + 2 = 3

4 x

これを解いて

y(x) = − 6x − 4 3x − 4

が答え．

(2) ∫

dy y ² + 4 =

∫

dx

つまり

arctan

( y 2 )

= 2x + C

つまり

y = 2 tan(2x + C)

初期条件から

2 = 2 tan(C)

つまり

C = π 4

とわかる．よって，最終的に，

y(x) = 2 tan (

2x + π 4 )

が答え．

今回の講評：

•

各小問を

10

点満点，合計

80

点

•

問

4

の

(1)(2)

は大部分の人ができた．

•

問

3，逐次近似法を理解せずに他の方法で解いた人がいた．

•

問

3

の

(3)

は，まあ少し難しかったようですね．

•

問

5

は案外，できていなかった．「部分分数に直しての積分」ができない人や，分数の計算でミスする人など が多かった．

•

問

5

で，y

= ...

の形に直していない人がやはりいた．初期条件が与えられている場合は，可能な限り，y

= ...

の形に直して下さい．直さない場合は不完全な解答とみなします．

第

3

回レポートの略解

問

6

： （以下で求める解が初期条件と微分方程式を満たすことを，いつも検算する癖をつけよう．大部分の人は 方針は良かったが，初期条件に合わせるところで間違った人は何人かいた．）

(a) y = e ^λx

が解だと思って微分方程式に代入すると，λ

² − 3λ + 2 = 0

が得られる．つまり，e

^x , e ^2x

は共に解に なっていて，重ね合わせの原理より，その線形結合

c ₁ e ^x + c ₂ e ^2x

も解（一般解）．そこで係数を決めてやるのだが，

初期条件から

3 = y(0) = c ₁ + c ₂ , 1 = y ⁰ (0) = c ₁ + 2c ₂

が要求される．これを解くと，

c 1 = 5, c 2 = − 2

が得られるので，初期条件を満たす解は

y(x) = 5e ^x − 2e ^2x

である．

解の一意性から，これ以外には初期条件を満たす解はない．

(b) y = e ^λx

が解だと思って微分方程式に代入すると，λ

³ − 7λ ² + 6 = 0

が得られる．これを因数分解して解く と，λ

= − 3, 1, 2

とわかる．よって一般論から，e

^{− 3x} , e ^x , e ^2x

はすべて解になっていて，重ね合わせの原理より，そ の線形結合

c 1 e ^{− 3x} + c 2 e ^x + c 3 e ^2x +

も解（一般解）．

そこで係数を決めてやるのだが，これはちょっと大変．（もっと良い方法があるけど，それは後で．）普通にやると，

初期条件から

0 = y(2) = c 1 e ^{− 6} + c 2 e ² + c 3 e ⁴ , 8 = y ⁰ (2) = − 3c 1 e ^{− 6} − c 2 e ² + 2c 3 e ⁴ , 4 = y ⁰⁰ (2) = 9c ₁ e ^{− 6} + c ₂ e ² + 4c ₃ e ⁴

が要求される．これを解くと，

c 1 = − e ⁶ , c 2 = − 3e ^{− 2} , c 3 = 4e ^{− 4}

が得られるので，初期条件を満たす解は

y(x) = − e ^{− 3x+6} − 3e ^{x − 2} + 4e ^2x+4 = − e ^{− 4(x − 2)} − 3e ^{x − 2} + 4e ^{2(x − 2)}

である．解の一意性から，これ以外には初期条件を満たす解はない．

（初期条件の，もっと簡単な決め方）

初期条件が

x = 2

で与えられていたので，

c ₁

などの係数もややこしく，解くのに難儀した．実のところ，これは以 下のように考えれば簡単になる．いま，独立変数は

x

であったが，これを

t = x − 2

という変数に変えて，

y(x) = z(t)

とかいてみる．すると，xでの微分も

t

での微分も同じだから，微分方程式は

z ⁰⁰⁰ − 7z ⁰ + 6z = 0,

初期条件は

z(0) = 0, z ⁰ (0) = 8, z ⁰⁰ (0) = 4

となる．こうすれば，ややこしい

e ^{− 2}

とかはでないので，割合簡単に

z(t) = − e ^{− 3t} − 3e ^t + 4e ^2t

と求まる．ここで

t = x − 2

を思い出すと，

y(x) = z(t) = − e ^{− 3t} − e ^t + 4e ^2t = − e ^{− 3(x − 2)} − 3 e ^{x − 2} + 4e ^{2(x − 2)}

となる．要するに，独立変数を平行移動して，初期条件を

0

のところに持ってくれば楽，ということです．

(c)

解き方は同じなので，簡単に（詳細を書くとそこそこ大変なので）．

y = e ^λx

が解だと思って微分方程式に代入 すると，

λ ⁴ − 2λ ³ − λ ² + 2λ = 0

が得られる．これを因数分解して解くと，λ

= − 1, 0, 1, 2

とわかる．よって一般論か ら，

e ^{− 1} , e ⁰ = 1, e ^x , e ^2x

はすべて解になっていて，重ね合わせの原理より，その線形結合

c 1 e ^{− x} + c 2 + c 3 e ^x + c 4 e ^2x

も解（一般解）．

後は例によって係数を決める．答えだけ書くと，

y(x) = − e ^{− x} + 5

2 + 3e ^x − 1 2 e ^2x

となっている．

(d)

これも解き方は同じだが，今回は

λ = 2

が重根なので，解は

e ^x , e ^2x , xe ^2x

の線型結合になる．初期条件から 係数を決めると，最終的な答えは

y(x) = 8e ^x − 4e ^2x + 2xe ^2x

となる．

今回の講評：

•

各小問を

10

点満点，合計

40

点

•

今回はかなりの人が出来ていました．良かったです．

•

ただし，初期条件を満たさないもの（例：y

= e ^x

とか）を解として書いている人が数人，いました．初期条 件が与えられてる問題で，初期条件を満たさないのは解ではないですよ．

11

月

11

日（第

4

回）：今日は前回の続きで，定数係数，線型斉次の常微分方程式をやります（特に重根のあ る場合）．前回と今回のところ，教科書では

2.2, 2.3, 2.4, 2.14

節です．

第４回レポート問題：簡単かもしれないけど，だめ押しで出します．ただし，今回は重根のある場合．連 立の場合も含まれています．

自分が練習不足だと思ったら教科書の該当部分の例題はできるだけやっておいて下さい．

問

7

： 以下の

ODE

を解け（初期条件を満たす解を求めよ）．

a) y ⁰⁰ − 2y ⁰ + y = 0,

初期条件は

y(0) = 2, y ⁰ (0) = 1

b) y ⁰⁰⁰⁰ − 2y ⁰⁰⁰ − y ⁰⁰ + 2y ⁰ = 0,

初期条件は

y(0) = 4, y ⁰ (0) = 2, y ⁰⁰ (0) = y ⁰⁰⁰ (0) = 0 c) y ⁰⁰⁰ − 6y ⁰⁰ + 12y ⁰ − 8y = 0,

初期条件は

y(0) = 2, y ⁰ (0) = 3, y ⁰⁰ (0) = 6

問

8

： 以下の連立

ODE

を解け（初期条件を満たす解を求めよ）．今日の講義ノートの「方法１」「方法２」のど ちらを使っても良い．（両方やればベストであるが；今日の講義では「方法

1」しか説明できなかったので，方法 1」

だけでも十分です．）







y ⁰ ₁ = y 1 − y 2

y ⁰ ₂ = − 6y 1 + 2y 2

初期条件は

y 1 (0) = 2, y 2 (0) = − 1

番外問題：これまでの講義内容で改善したらよいと思うところ，わかりにくかったところ，講義への要望などがあ れば自由に書いてください．また，質問があれば，それもどうぞ．この番外問題は成績には一切関係ないことを保 証しますから，次回からの講義を良くするつもりで書いてくださると助かります．

レポート提出について：

上の問に解答し，

11

月

18

日（月）の授業開始時に，原まで提出して下さい．

整理の都合上，用紙はできるだけ

A4

を使ってください（A4というのは，このプリントと同じ大きさです．B5だ と紛失しても知らんよ）．また，２枚以上にわたる場合は何らかの方法で綴じてくだされ．

第

4

回レポートの略解

問

7

：

(a) y = e ^λx

が解だと思って微分方程式に代入すると，

λ ² − 2λ + 1 = (λ − 1) ² = 0

が得られる．これは重根だか ら，e

^x , xe ^x

は共に解になっていて，重ね合わせの原理より，その線形結合

c 1 e ^x + c 2 xe ^x

も解（一般解）．そこで係 数を決めてやるのだが，初期条件から

2 = y(0) = c 1 , 1 = y ⁰ (0) = c 1 + c 2

が要求される．これを解くと，c

₁ = 2, c ₂ = − 1

が得られるので，初期条件を満たす解は

y(x) = (2 − x)e ^x

である．

解の一意性から，これ以外には初期条件を満たす解はない．

（検算）上の解が初期条件と微分方程式を満たすことを，念のために検算しよう．

(b) y = e ^λx

が解だと思って微分方程式に代入すると，

λ ⁴ − 2λ ³ − λ ² +2λ = 0

が得られる．これはから

λ = 2, 1, 0, − 1

なので，一般解は

c 1 e ^2x + c 2 e ^x + c 3 + c 4 e ^{− x}

となる．初期条件から係数を決めて（詳細はしんどいので略）初期条 件を満たす解は

y(x) = − e ^2x + 6e ^x + 9 − 2e ^{− x} 3

である．解の一意性から，これ以外には初期条件を満たす解はない．

（検算）上の解が初期条件と微分方程式を満たすことを，念のために検算しよう．

(c) y = e ^λx

が解だと思って微分方程式に代入すると，

λ ³ − 6λ ² + 12λ − 8 = (λ − 2) ³ = 0

が得られる．３重根だか らつまり，

e ^2x , xe ^2x , x ² e ^2x

はすべて解になっていて，重ね合わせの原理より，その線形結合

c 1 e ^2x +c 2 xe ^2x +c 3 x ² e ^2x

も解（一般解）．そこで係数を決めてやるのだが，初期条件から

2 = y(0) = c ₁ , 3 = y ⁰ (0) = 2c ₁ + c ₂ , 6 = y ⁰⁰ (0) = 4c ₁ + 4c ₂ + 2c ₃

が要求される．これを解くと，

c 1 = 2, c 2 = − 1, c 3 = 1

が得られるので，初期条件を満たす解は

y(x) = (2 − x+x ² ) e ^2x

である．解の一意性から，これ以外には初期条件を満たす解はない．

（検算）上の解が初期条件と微分方程式を満たすことを，念のために検算しよう．

問

8

： 問題の微分方程式は

d dx

[ y 1

y 2

]

= [

1 − 1

− 6 2 ] [

y 1

y 2

]

と書ける．上の行列の固有値は

4

と

− 1，対応する固有ベクトルは ^t ( − 1, 3)

と

^t (1, 2)

である．よって，一般解は（c

₁ , c 2

は定数）

[

y 1 (x) y ₂ (x) ]

= c ₁ e ^4x [ − 1

3 ]

+ c ₂ e ^{− x} [

1 2 ]

となる．あとは初期条件に合うように

c 1 , c 2

を決めて，

[ y 1 (x) y ₂ (x) ]

= − e ^4x [ − 1

3 ]

+ e ^{− x} [

1 2 ]

つまり

y 1 (x) = e ^4x + e ^{− x} , y 2 (x) = − 3e ^4x + 2e ^{− x}

が答えである．

11

月

18

日：今日は一階連立

ODE

の続きです．前回の後半と今日のところは教科書では直接対応する部分は ありませんが（第

3

章に，もう少し異なった形で載っている），将来絶対に使うだろうからやっておきます．

来週の月曜は九大祭で休みですが，代わりに

11

月

27

日（水）の１限がこの数学

IA

の講義です．やります から，間違わずに来て下さいね．

次回から，講義ノートのプリントは配りません．原の

HP

においてありますから，各自，ダウンロードして 下さい．（http://www2.math.kyushu-u.ac.jp/˜hara/lectures/lectures-j.html の下から，この科目を探して 下さい．「九大 原隆」で検索してもたどれると思います．）

第

5

回レポート問題：

問

9

： 以下の連立

ODE

を解け（初期条件を満たす解を求めよ）．今日の講義の「方法１」「方法２」のどちらを 使っても良い．（両方やればベストであるが．．．）

(1)

 

 



 

 

y ₁ ⁰ = 2y 1 + 2y 2 − 5y 3

y ₂ ⁰ = 3y 1 + 3y 2 − 7y 3

y ₃ ⁰ = 2y 1 + 2y 2 − 5y 3

初期条件は

y 1 (0) = 1, y 2 (0) = 0, y 3 (0) = 0

(2)

 

 



 

 

y ₁ ⁰ = y 1 + 2y 2 − y 3

y ₂ ⁰ = 5y 1 + 4y 2 − 7y 3

y ₃ ⁰ = 4y 1 + 4y 2 − 6y 3

初期条件は

y ₁ (0) = 1, y ₂ (0) = 1, y ₃ (0) = 0

(3)

 

 



 

 

y ₁ ⁰ = 2y ₂ − 4y ₃ y ₂ ⁰ = y 1 + y 2 + 2y 3

y ₃ ⁰ = y 1 − y 2 + 4y 3

初期条件は

y ₁ (0) = 1, y ₂ (0) = 1, y ₃ (0) = 0

この問題は，やり方は講義で説明したとおりだが，固有値や固有ベクトルを求めるのがちょっと大変かもしれない．

（テストに出題するときは，何らかの配慮

—

固有値と固有ベクトルのヒントを与えてしまうとか

—

を行う予定．） 番外問題：これまでの講義内容で改善したらよいと思うところ，わかりにくかったところ，講義への要望などがあ れば自由に書いてください．また，質問があれば，それもどうぞ．この番外問題は成績には一切関係ないことを保 証しますから，次回からの講義を良くするつもりで書いてくださると助かります．

レポート提出について：

（今回は（またもや来週が祭日なので）特別です．ちょっと面倒でしょうが，お願いします．）上の問に解答し，

11

月

26

日（火）16:00時までに，

数理教育研究棟 

219

号室（原の部屋）の前のボックスに

提出してください．整理の都合上，用紙はできるだけ

A4

を使ってください（

A4

というのは，このプリントと同じ 大きさです．B5だと紛失しても知らんよ）．また，２枚以上にわたる場合は何らかの方法で綴じてくだされ．