基礎数学 I – 練習問題

(1)

基礎数学 I – ^練習問題

2006/06/26

西岡

http://c-faculty.chuo-u.ac.jp/˜ nishioka/

第 1 章基礎的な関数

1 分数関数

問題

1.1.

関数

f (x) = 1

x + 2 + 3

のグラフは関数

g(x) = 1

x

のグラフをどのように平行移動したものか

.

問題

1.2. (i) n

を自然数として,

f (x) = 1

x ⁿ

の概形を描け.

(ii) f (x) = x + 1

x ² + 1

の概形を描け

. (iii) f(x) = x ³ + 1

x ² + 1

の概形を描け

.

問題

1.3.

不等式

5x − 6

x − 2 ≤ x + 1

をみたす

x

の範囲を求めよ

.

問題

1.4.

関数

f (x) = x + 1

x + 2

のグラフの概形を描け

.

解答

問題

1.1 f (x)

は

g(x)

のグラフの中心を

(0, 0)

から

(−2, 3)

に平行移動したものである.

1

(2)

b. n

が奇数の場合:

(ii)

(3)

(iii)

問題

1.3 (a) x > 2

とする

.

このとき

5x − 6 ≤ (x + 1)(x − 2) ⇒ 0 ≤ x ² − 6x + 4 = (x + 3) ² − 5.

よって

x ≥ −3 + √

5 ∼ −0.76

もしくは

x ≤ −3 − √

5 ∼ −5.2.

仮定が

x > 2

だから

,

結局

x > 2.

(b) x < 2

とする

.

このとき

5x − 6 ≥ (x + 1)(x − 2) ⇒ 0 ≥ x ² − 6x + 4 = (x + 3) ² − 5.

よって

−3 − √

5 ≤ x ≥ −3 + √ 5

つまり

, (a)

と

(b)

より

x > 2

もしくは

− 3 − √

5 ≤ x ≥ −3 + √ 5.

問題

1.4 2 ^指数関数

問題

2.1.

次の関数のグラフを描け

.

(i) f (x) = 3 ^x , (ii) f (x) =

³ 1 3

´ _x

, (iii) f (x) = ( √ 2) ^x .

3

(4)

(iii) (a ^x ) ^y−z (a ^y ) ^z−x (a ^z ) ^x−y

問題

2.5. x

¹²

+ x ⁻

¹²

= 3

のとき

,

次の値を求めよ

.

(1) x + x ⁻¹ (2) x ² + x ⁻² (3) x ³ + x ⁻³

解答

問題

2.1 (i)

(ii)

(5)

(iii)

問題

2.2 (i) 32 = 2 ⁵ . (ii) 2 ^1/2 = √

2 = 4 ^x−1 = 2 ^2(x−1)

だから

, x = 5/4.

(iii) 2 ^x ≡ y

とおくと,

y ² − 3 · 2 · y − 16 = 0. ⇒ (y − 8)(y + 2) = 0.

y = 2 ^x > 0

に注意して

, y = 8.

つまり

x = 3.

問題

2.3 (i) a ^3/7 = √

⁷

a ³ . (ii) a ^0.2 = a ^1/5 = √

⁵

a. (iii)

⁵

r 1

a ³ = a ^−3/5 . (iv) p

a √

a = p √

a ³ = a ^3/4 .

問題

2.4 (i)

簡単な計算で

¡ a ^1/4 − a ^−1/4 ¢¡

a ^1/4 + a ^−1/4 ¢¡

a ^1/2 + a ^−1/2 ¢

= ¡

a ^1/2 − a ^11/2 ¢¡

a ^1/2 + a ^−1/2 ¢

= a − a−1.

(ii)

実際に計算する

:

¡ a ^1/3 + a ^−1/3 ¢¡

a ^2/3 − 1 + a ^−2/3 ¢

= a − a ^1/3 + a ^−1/3 + a ^1/3 − a ^−1/3 + a ⁻¹ = a + a ⁻¹ . (iii)

(a ^x ) ^y−z (a ^y ) ^z−x (a ^z ) ^x−y = a x(y−z)+y(z−x)+z(x−y) = a ⁰ = 1.

問題

2.5 (i)

まず

9 = 3 ² = (x ^1/2 + x ^−1/2 ) ² = x + 2 + x ⁻¹

より

x + x ⁻¹ = 7 .

(ii)

49 = 7 ² = (x + x ⁻¹ ) ² = x ² + 2 + x ⁻²

だから

x ² + x ⁻² = 49 − 2 = 47.

(iii)

329 = 7 · 47 = (x + x ⁻¹ )(x ² + x ⁻² ) = x ³ + x ⁻¹ + x ¹ + x ⁻³ = x ³ + x ⁻³ + 7

だから

, x ³ + x ⁻³ = 322.

5

(6)

問題

3.2.

次の式を簡単にせよ.

(i) log ₂ 2

3 + 3 log ₂ 3 − log ₂ 9 (ii) log ₂ 18 + 1 2 log ₂ 1

3 − 3 2 log ₂ √

³

12 (iii) log ₃ 2 · log ₈ 9 (iv) (log ₂ 5 − log ₄ 0.2)(log ₅ 2 + log ₂₅ 0.5)

問題

3.3. a + b = 6 (0 < a < b), log _a b + log _b a = 5

2

のとき

, a, b

の値を求めよ

.

問題

3.4.

次の対数関数のグラフをかけ

.

(i) f (x) = log ₃ (x − 1) (ii) f (x) = log ₂ 4x (iii) f (x) = −2 log ₂ x + 1

問題

3.5.

次の方程式および不等式を解け

.

(i) (log ₄ x) ² = log ₂ 8x (ii) log ₂ x = log _x 2 (iii) − 2 ^log

²

^x + 4 ^log

²

^x = 2 (iv) log ₂ (x − 3) + log ₂ (x + 5) < 2 log ₄ (3x + 5)

(v) log ₂ (x − 1) + 2 log ₄ (x + 3) ≥ log ₂ 5

問題

3.6.

次のものを大小の順に並べよ

.

(i) 1 < a < b < a ²

のとき

, 2, log _a b, log _b a, log _ab a ² (ii) a ² < b < a < 1

のとき

, log _a b, log _b a, log _a a

b , log _b b a , 1

2

解答

問題

3.1 (i) (a)

底を

3

とする対数関数を考えると

−2 = log ₃ 1/9.

(b)

底を

8

とする対数関数をとる

: −2/3 = log ₈ 0.25 = log ₈ 1/4.

(ii) (a)

対数関数の定義より

1/2 = 16 ^−1/4 . (b)

同様に

, 32 = 4 ^5/2 .

問題

3.2 (i) log ₂ 2

3 +3 log ₂ 3−log ₂ 9 = log ₂ 2

3 +log ₂ 3 ³ −log ₂ 9 = log ₂ ( 2 3 ·27· 1

9 ) = log ₂ 2 = 1.

(ii) log ₂ 18 + 1 2 log ₂ 1

3 − 3 2 log ₂ √

³

12 = log ₂ 18 + log ₂ 1

√ 3 − log ₂ (12 ^1/3 ) ^3/2

= log ₂ ¡ 18 · 1

√ 3 · 1

√ 12

¢ = log ₂ 18

√ 36 = log ₂ 3.

(iii) log ₃ 2 · log ₈ 9 = log ₃ 2 · log ₃ 9

log ₃ 8 = log ₃ 2 · 2 log ₃ 2 ³ = 2

3 .

(7)

(iv) log ₂ 5 − log ₄ 0.2 = log ₂ 5 − log ₄ 1/5 = log ₂ 5 − log ₂ 1/5

log ₂ 4 = log ₂ 5 + 1

2 log ₂ 5 = 3 2 log ₂ 5.

また

log ₅ 2 + log ₂₅ 0.5 = log ₅ 2 + log ₂₅ 1/2 = log ₂ 5 + log ₅ 1/2

log ₅ 25 = log ₅ 2 − 1

2 log ₅ 2 = 1 2 log ₅ 2.

よって

(log ₂ 5 − log ₄ 0.2)(log ₅ 2 + log ₂₅ 0.5) = 3

2 log ₂ 5 · 1

2 log ₅ 2 = 3

4 log ₂ 5 · log ₂ 2 log ₂ 5 = 3

4 .

問題

3.3

5 2 = log _a b + log _b a = log _a b + log _a a

log _a b = log _a b + 1 log _a b

ここで

x ≡ log _a b

とおくと

5 2 x = x ² + 1 ⇒ (2x − 1)(x − 2) = 0.

つまり

log _a b = x = 2

もしくは

log _a b = x = 1/2.

Case 1. log _a b = x = 2 ⇒ b = a ² . a + b = 6

だから

a ² + a = 6 ⇒ (a + 3)(a − 2) = 0 ⇒ a = 2, b = 6 − a = 4.

Case 2. log _a b = x = 1/2 ⇒ b ² = a.

前と同じ計算で

b = 2, a = 4

となるが

, a < b

に反する

.

問題

3.4 (i)

(ii) f (x) = log ₂ 4x = log ₂ x + log ₂ 4 = log ₂ x + 2.

7

(8)

問題

3.5 (i) log ₂ x = a

とおくと

log ₄ x = log ₂ x

log ₂ 4 = a

2 . log ₂ 8x = log ₂ x + log ₂ 8 = a + 3.

よって

( a

2 ) ² = a + 3 ⇒ a ² − 4a − 12 = 0 ⇒ (a − 6)(a + 2) = 0

これより

a = 6, −2

だから

x = 2 ^a = 64, 1/4.

(ii) log ₂ x = a

とおくと

a = log _x 2 = log ₂ 2 log ₂ x = 1

a .

これより

a ² = 1

だから

, a = ±1.

よって

x = 2 ^a = 2, 1/2.

(iii)

まず

4 ^log

²

^x = (2 ² ) ^log

²

^x = 2 ^{2 log}

²

^x = 2 ^log

²

^x

²

, 2 ^log

²

^x = x

に注意する

.

−x + x ² = 2 ⇒ (x − 2)(x + 1) = 0 ⇒ x > 0

だから

x = 2.

(iv)

つぎの不等式が得られる

:

log ₂ (x − 3)(x + 5) < 2 log ₄ (3x + 5) = 2 log ₂ (3x + 5)

log ₂ 4 = log ₂ (3x + 5).

これより

3x + 5 > (x − 3)(x + 5) ⇒ 0 > x ² − x − 20 = (x − 5)(x + 4) ⇒ −4 < x < 5.

(9)

log( )

の

( )

は正でなければいけないから

, x > 3, x > −5, x > −5/3

を満たしている

.

よって

, 3 < x < 5.

(v) log ₄ (x + 3) = log ₂ (x + 3)

log ₂ 4 = log ₂ (x + 3)

2

だから

log ₂ 5 ≤ log ₂ (x − 1) + log ₂ (x + 3) = log ₂ (x − 1)(x + 3).

これより

5 ≤ (x − 1)(x + 3) = x ² + 2x − 3 = 0 ⇒ (x + 4)(x − 2) ≥ 0 ⇒ −4 ≤ x ≤ 2.

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