第 2 回レポート問題解答例 [1] (1)

(1)

第2回レポート問題解答例

[1]

(1) 式(1C)の両辺を時間tで微分すると、

t

t 

 





 

₀ ^E となる。

また、式(1B)の両辺の発散をとると、

t

 

















 E

J

H) ₀

(  となる。

左辺はベクトル恒等式よりゼロとなる。つまり、(H)0 である。従って上式より、

t t







 

 









  E J 

J ₀

0 であり、従って、

t







 

J (1E) の電荷保存則の式が導かれる。

(2) 式(1A)は、微分形式でのファラデーの電磁誘導の法則であり、これをある具体的なループ状の回路Cに適用すれば、積分形式でのファラデーの電磁誘導の法則の式(1F)が導かれる。

従って、まず式(1A)の両辺を、ループ状の回路によって囲まれる任意の閉曲面Sで面積分すると、



S^^ ^ ^



S^ ^_ ^ ^^



S^_ ^d ^^^_t d t

d  t B S 

H S S

E ₀ となる。ここでϕは、閉曲面Sを貫く磁束である。

上式の左辺は、ストークスの定理を用いれば、ループ状の回路Cに沿った線積分に変換できる。つまり、

d d U

C

S  



 



Ê ^S Ê ^l ^である。^ここでÛ^は、^{ループ状の回路}^C^{に沿って電界}Êを周回積分したもので、

ループ状の回路の起電力である。従って、ループ状の回路の起電力は、そのループ状回路を貫く磁束の時間微分であるという、所謂積分形式で表したファラデーの電磁誘導の法則の式

U t





 

(1F)が導かれる。

(3) 真電荷が存在しなければ真電流も流れないので、真電荷が存在しない真空中のMaxwell方程式は、式(1A)～

(1D)で、真電荷ρと真電流Jの値をゼロとするだけである。

従って、 t

 





 H

E ₀ (1A)、

t

 



 E

H ₀ (1B’)、E0 (1C’)、H 0 (1D)

(4) 式(1B’)の両辺の回転をとると、 E E

H 



 















 ⁰ t ⁰ t となる。

この式の左辺にベクトル公式H H²H を適用し、右辺には式(1A)を代入すると、

2 2 0 0 0

0 2

t t

t 

 





 







 



 







 H H

H

H     となる。

さらに、式(1D)のH0より、H 0であるから、左辺は²Hとなり、従って、

2 2 0 0 2

t

 

 H

H   (1G)が導出できる。

(2)

(5) 式(1A)の両辺の回転をとると、 H H

E 



 

 















 ⁰ t ⁰ t となる。

この式の左辺にベクトル公式EE²E を適用し、右辺には式(1B’)を代入すると、

2 2 0 0 0

0 2

t t

t 

 





 







 









 E E

E

E     となる。

さらに、式(1C’)のE0より、E0であるから、左辺は²Eとなり、従って、

2 2 0 0 2

t

 

 E

E   が導出できる。これが、Eに関する波動方程式である。

[2]

1) 入射波、反射波、透過波の位相は各々 r·kI − ωt, r·kR − ωt, r·kT − ωt であるが、それが媒質界面(z = 0)上の全ての場所において、任意の時刻で一致することより、rk_Irk_R rk_Tとなる。従って界面上で、

xk_I s i n_I xk_R s i n_R xk_T s i n_Tの条件が成立しなければならない。このことから、

R I I R

sin sin

k

 k



 、

T I I T

sin sin

k

 k



 である。媒質内Ⅰおよび媒質内Ⅱでの波数と屈折率との関係は、

c n₁

1 R

I  k    

k 、

c n₂

2

T    

k となるから結局、

R

I 

  (反射の法則) および

2 1 T

I I T

sin sin

n

 n

 k k



 (屈折の法則) が導ける。

2) a) 媒質の界面においては、電場は接線成分、電束密度は法線成分が連続となる。

界面において、電場接線成分が連続であることから、

T 0T R 0R I

0Icos E cos E cos

E   である。また、電束密度の法線成分が連続であることから、

T 0T 2 R 0R 1 I 0I

1 sin  sin  sin

 E  E  E ^従って、₁(E_0Isin_IE_0Rsin_R)₂E_0Tsin_T である。

b) 式(6)において、反射の法則(_I _R)と屈折の法則

2 1 I T

sin sin

n

 n



 を考慮すると、

0T 2 1 1 2 0T I T 1 2 0R

0I sin

sin E

n E n

E

E 







 _



 が導ける。さらに、 ₂

1 2 2 2

1 2 2 1

2 1 2

n n c n

c

n 



  





 であることより、

) 8

0T (

1 2 0T 2 1 2 1 2 2 0R

0I E 

n E n n n n E n

E    が導ける。また、式(7)に反射の法則(_I _R)を用いると、

) 9 cos (

cos

0T I T 0R

0I E E 

E 

 

 も導ける。

(3)

c) 式(8)において、振幅反射係数を r E₀_R E₀_Iとし、さらに屈折の法則

2 1 I T

sin sin

n

 n



 を用いると、

0T T

I 0T

1 2

0I sin

) sin 1

( E E

n E n

r 

 



 となる。さらに式(9)においても、振幅反射係数を r E₀_R E₀_I とすると、

0T I T

0I cos

) cos 1

( r E E



 

 ^{となる。この}2つの式から

T I T

I

cos cos sin

sin 1

1



 



 r

r が導かれ、さらに変形すると、

T T I

I

T T I

I

cos sin cos

sin

cos sin cos

sin





 

r が導かれる。ここで、

  

















































cos sin cos

sin

) cos (sin

cos sin ) cos (sin

cos sin

sin cos sin cos

sin cos cos

sin sin cos

cos sin

sin sin cos

cos sin

cos cos

sin

) cos(

) sin(

2 2























 

の関係を用いると、

) tan(

) sin(

) cos(

) sin(

) cos(

) sin(

) cos(

) sin(

T I

T I T

I T I T

I T

I

T I T

I





 



 



 





 

r と式(10)が導かれる。

3)

T I I

I

I sin

sin cos

tan sin



    ^より、cos_I sin_T である。従って、

T I

T T I

I

T T I

I

cos sin

cos sin cos

sin

cos sin cos

sin





 



 

r となる。

I I

2 T

2

T 1 sin 1 cos sin

cos         であるから、

cos 0 sin

cos sin

T I

T

I 



 



r  となる。

これは、 



 

 



 _T _T

I sin cos 2

cos    で、

T 2

I

 

   でもあり、_I はBrewster角に相当する。