高等学校
平 成6年 度
教 育 研 究 員 研 究 報 告 書
囲
東 京 都 教 育 委 員 会
平 成6年 度 教 育 研 究 員(数 学)名 簿
班 研 究 テ ー マ 学 校 名 氏 名
都 立 千 歳 丘 高 等 学 校 須 藤 淳 2次 関 数 の グ ラ フを活 用 した, 都 立 玉 川 高 等 学 校 齋 藤 東 彦
1 2次 方 程 式,2次 不 等 式 の指 導 方 都 立 砧 工 業 高 等 学 校 渡 辺 穣 法の工夫 都 立 桜 水 商 業 高 等 学 校 富 田 道 子 都 立 水 元 高 等 学 校 小 山 留 勝
具体 例 を 通 して,数 の並 び方 の 都 立 明 正 高 等 学 校 本 多 浩 一 規 則性 を 発 見 す る こと に よ り,数 都 立 光 丘 高 等 学 校 松 村 宏 一
H 都 立 大 泉 学 園 高 等 学 校 江 本 敏 男
学的な見方や考え方を育てる指導
都 立 日 野 台 高 等 学 校 酒 井 琢 一 自然 数 の 列 を 題 材 に して 一
都 立 北 多 摩 高 等 学 校 田 中 都 明
パ ー ソ ナ ル コ ン ピ ュ ー タ を 通 して ,
確 率の考 え方 を理解 させ る指導 都 立 大 森 東 高 等 学 校 松 井 智 徳
皿 都 立 大 山 高 等 学 校 吉 岡 良 一
一 シ ミ ュ レ ー シ ョ ン と ワ ー ク シ ー
都 立 牛 込 商 業 高 等 学 校 金 田 隆 トの効 果 的利 用 一
担 当 教育庁指導部 高等学校教育 指導課 指導主 事 吉 野 恒 夫
主 題 基 礎 ・基 本 の 定 着 を図 り,学 習 意 欲 を 高 め る個 に応 じた指 導 方 法 の 工 夫
目 次
12次 関 数 の グ ラ フ を 活 用 し た,2次 方 程 式,2次 不 等 式 の 指 導 方 法 の 工 夫
19白3﹂伍FOρ078
は じ あ に 研 究 の ね ら い 研 究 内 容 ・方 法 指導 方法
グ ラ フ に っ い て の 事 前 調 査 評 価 テ ス トの 実 施
ま と あ
0乙り乙り43民﹂ワーQり
ll具 体 例 を 通 し て,数 の 並 び 方 の 規 則 性 を 発 見 す る こ と に よ り,数 学 的 な 見 方 や 考 え 方 を 育 て る 指 導 一 自 然 数 の 列 を 題 材 に して 一
10乙004[0ρ07
は じ め に 研 究 の ね ら い 研 究 内 容 ・方 法 学 習指導案
ア ン ケ ー ト調 査 の 集 計 結 果 分析及 び考察
ま と め と今 後 の 課 題
001⊥9白0077
﹂1■﹂■■﹂■■iI凸∠■■‑∠■■
皿 パ ー ソ ナ ル コ ン ピ ュ ー タ を 通 し て,確 率 の 考 え 方 を 理 解 さ せ る 指 導 一 シ ミ ュ レ ー シ ョ ン と ワ ー ク シ ー トの 効 果 的 利 用 一
ーワ臼qO4民﹂ρ0
は じ あ に 研 究 の ね ら い 研 究 内 容 ・方 法
シ ミ ュ レ ー シ ョ ン ワ ー ク シ ー ト(抜 粋) ま と あ と 今 後 の 課 題
n◎QUQσ09白601i1ーユり乙り乙り乙
12次 関 数 の グ ラ フ を 活 用 した,2次 方 程 式,2次 不 等 式 の 指 導 方 法 の 工 夫
1.は じ め に
高 等 学 校 へ 入 学 し て く る 生 徒 の 多 榛 化 に と も な い,従 来 の 指 導 法 だ け で は 対 応 で き な く な っ て き て お り,生 徒 一 人 一 人 の 個 に 応 じ た 指 導 を 充 実 さ せ る こ と が 求 め ら れ て い る 。
本 研 究 で は,「 数 学1」 に お い て,変 化 す る も の の 代 表 と して の 「2次 関 数 」 を 取 り 上 げ , 新 し い 学 力 観 に 立 っ て,数 学 的 な 見 方 や 考 え 方 の よ さ を 理 解 さ せ る指 導 方 法 を 工 失 した 。 ま た, 研 究 に 当 た って は,学 習 の 主 体 を 生 徒 に 置 き,生 徒 自 ら が 興 味 を 持 っ て 学 習 に 取 り組 め る よ う, 中 学 校 の 内 容 と の 関 連 に も留 意 し,指 導 内 容 ・方 法 の 工 夫 ・改 善 を 図 り,そ の実 践 を 試 み た。
2.研 究 の ね ら い
学 習 指 導 要 領 で は,2次 関 数 の 指 導 に っ い て,従 来 と は 大 き く異 な り,グ ラ フ を 指 導 の 中 心 に 据 え て い る 。 し た が っ て,本 研 究 で も 変 化 す る も の の 代 表 と して の2次 関 数 の 理 解 を 深 め る た あ,グ ラ フ を 積 極 的 に 活 用 し,2次 方 程 式,2次 不 等 式 の 解 法 の 指 導 の 工 夫 を 試 み た 。 ま た, 多 様 化 し た 生 徒 の 実 態 に 的 確 に 対 応 で き る よ う複 数 の 指 導 方 法 を 工 夫 し た 。
(1)2次 関 数 の グ ラ フ の か き方
中 学 校 で の 指 導 の 流 れ を 踏 ま え,生 徒 の 実 態 に 応 じ て,3通 り の 方 法 で グ ラ フ の 指 導 を 行 う。
② グ ラ フ を 利 用 し た2次 方 程 式 の 指 導
実 数 解 の 存 在 に つ い て,グ ラ フ を 利 用 して 認 識 さ せ る工 夫 を す る 。 (3)グ ラ フ を 利 用 し た2次 不 等 式 の 指 導
不 等 式 の 解 法 を 関 数 の グ ラ フ と の 関 連 を 通 して 指 導 す る 。
3.研 究 内 容 ・方 法
(1)中 学 校 で の 内 容 を ど の 程 度 理 解 し て い るか を 知 る た め,グ ラ フ に っ い て の 事 前 調 査 を 数 校 で 実 施 す る 。 事 前 調 査 は ア ン ケ ー ト調 査 方 式 と し,中 学 校 の 内 容 の 復 習 を 中 心 と す る 。
② グ ラ フ の か き 方 に っ い て は3通 り の 指 導 方 法 を 考 え,生 徒 の 実 態 に 応 じ て 指 導 す る 。 (3)2次 方 程 式,2次 不 等 式 に っ い て は,複 素 数 を 使 わ ず,グ ラ フ を 活 用 す る こ と を 中 心 に
指 導 す る 。
(4)座 標 軸 の と り 方 を3通 り用 意 し,グ ラ フ の か き 方 を 正 し く理 解 で き た か ど うか を 知 る た め,各 学 校 で 評 価 テ ス トを 実 施 す る 。
⑤ 評 価 テ ス トの 結 果 に基 づ き,3通 り の 方 法 に つ い て,そ れ ぞ れ の 長 所 や 短 所 を 分 析 し考 察 す る 。
4.指 導 方 法
(D2次 関 数 の グ ラ フ の か き 方
生 徒 の 実 態 に 応 じて 指 導 した3通 り の 方 法 と各 々 の 方 法 に っ い て の 長 所,短 所 を 以 下 に 列 挙 す る 。
ア 平 方 完 成 に よ る も の(そ の ユ) 中 カ ッ コ を 使 用 す る 方 法:y=α{(x‑p)2‑p2}+q
【長 所 】
・右 辺 だ け を き ち ん と 計 算 す れ ば,そ の ま ま 陽 関 数 の 形 と な る 。
・中 カ ッ コ,小 カ ッ ゴ の 使 い 分 け の 練 習 に な る 。
【短 所 】
・ カ ッ コ が 多 い 為,計 算 が 繁 雑 に な り,計 算 ミ ス が 多 く な る 。 そ れ に と も な い,理 解 す る こ と が 困 難 に な る こ と が 多 い 。
・基 本 的 な 計 算 技 術 の 習 得 が 要 求 さ れ る 。
イ 平 方 完 成 に よ る も の(そ の2) κ2の 係 数 を1に す る 方 法:‑Y=κ2+bx+cα
(例)y=3κ2十6x‑5 ユ=x・+2x‑
(x+1)2‑一 .●.y=3(x‑1‑1)2‑8
【長 所 】
・中 カ ッ コ が な い 為 ,計 算 ミス が 少 な い 。
・y二x2+bx+cの 場 合 の 平 方 完 成 に っ い て は 理 解 度 が や や 高 い 為 ,か な り 複 雑 な 式 ま で 指 導 す る こ と が 可 能 で あ る 。
・最 終 的 に 計 算 ミ ス を し て も,途 中 の 式 ま で き ち ん と 計 算 す る こ と が 可 能 で あ る 。
【短 所 】
・最 後 の 行 で,α を 掛 け 忘 れ る こ と が 多 い 。
。中 カ ッ コ ,小 カ ッ コ の 使 い 分 け の 練 習 が で き な い 。
ウy一 αx(x+b)+cに よ る も の
(&iJ)y=κ2‑4x十1
=x(x‑4)十1
①2点(0,1),(4,1)を 通 る 。
0十4
② 頂 点 は
,κ==2上 に あ る の で,2
轡
い ユ3隻
0 i
、1 1:1 一=L 一.一:9
昌
、3 幽 一一口
〉,座標 は,ッ ー2・(2‑4)+1=‑3,ゆ え に 頂 点 の 座 標 は(2,‑3)
③x=1の と き,y‑1・(1‑4)+1=‑2
よ っ て,点(1,‑2)を 通 る 。 又,対 称 性 に よ り 点(3,‑2)も 通 る 。
④5点 を と っ て あ る の で,グ ラ フ が か け る 。
【長 所 】
・短 時 間 で 指 導 が 可 能 で あ り,生 徒 の 達 成 感 が か な り 得 ら れ る 。
・平 方 完 成 の 指 導 の 必 要 が な い。
・頂 点,軸,最 大 値,最 小 値 が 簡 単 に 求 め ら れ る 。
【短 所 】
・頂 点 か ら,最 大 値,最 小 値 を 求 め る 為 に は,1段 階 必 要 で あ る 。
・平 行 移 動 の 概 念 を 捉 え る こ と が で き な い。
・2次 方 程 式,2次 不 等 式 な ど 他 の 分 野 へ の 応 用 は き わ め て 困 難 で あ る 。
・標 準 型 の イ メ ー ジ が 捉 え に く い。
〈2)2次 関 数 の グ ラ フ と2次 方 程 式 ア2次 関 数 の グ ラ フ と2次 方 程 式
旧 の 学 習 指 導 要 領 に お い て は,複 素 数 の 導 入 に よ り,2次 方 程 式 の 解 は 必 ず 存 在 し た 。 しか し,今 回 の 改 訂 に よ り,数 学1で は 複 素 数 を 学 習 しな い た め,グ ラ フ を 利 用
して2次 方 程 式 を 解 く こ と に な る 。
2次 関 数 …a・ ・+b・+・ の 頂 点 の 座 標1ま(‑2亀,一 わ≒ 告 αc)で あ る.
し た が っ て,ゲ ー4αcの 値 の 符 号 に よ っ て,こ の 関 数 の グ ラ フ とx軸 と の 位 置 関 係 が 定 ま り,2次 方 程 式 の 解 の 有 無 が 決 ま る 。
イ2次 方 程 式 の 解 法 例
[例1⊃2x2+3x‑1=0を 解 け 。
[解]ゲ ー4ac==32‑4×2×(‑1)=17>0
よ っ て,グ ラ フ は 下 に 凸 で,頂 点 の ッ 座 標 が 負 だ か ら グ ラ フ は2点 で 交 わ る 。
‑3± 》π ゆ え に,解 の 公 式 よ り κ=4
[例2コ3x2‑3x+2=0を 解 け 。
[解]ゲ ー4αc=(‑3)2‑4×3×2=‑15〈0
よ っ て,グ ラ フ は 下 に 凸 で,頂 点 のy座 標 が 正 だ か ら グ ラ フ は κ軸 と 交 わ ら な い 。 ゆ え に 解 な し 。
一)、
2点 で 交 わ る
)
κ 軸 と 交 わ ら な い (3)2次 関 数 の グ ラ フ と2次 不 等 式
2次 方 程 式 と 同 様 に,グ ラ フ を か く こ と に よ り,yの 値 が 正 に な る 範 囲,負 に な る 範 囲 が 明 ら か に な る の で,2次 不 等 式 を 解 く こ と が で き る 。 指 導 法 に っ い て は,旧 課 程 と 変 わ
ら な い 。
5.グ ラ フ に つ い て の 事 前 調 査
こ の ア ン ケ ー ト調 査 は 中 学 校 で 学 習 し た 内 容 を 範 囲 と し, の 授 業 に お い て15分 間 で 実 施 し た 。
(1)ア ン ケ ー ト調 査 用 紙
2次 関 数 の 学 習 に 入 る前 に,最 初
教 学 工 関 駄 っ ・て のア 方 一 ト言畦 瀞 立( )老 既
(1)P矧 旧数 皆=z疋 一5に つ い て 、次 り閥 い に塔Lえ よ.
の 次 の 対 寅表 を 彪成 せ よ.
一2 一 ノ 0 / z 3
厚 一3
◎ ② リ グ'ラ7の イ頃.きと}tx肩 を 求.め よ.
傑[コ 診城[コ
(2)下図 の鯵 ・式働 よ
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(‑2,‑2)ハ
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② ア ン ケ ー ト調 査 の 集 計 結 果 及 び 分 析 ・考 察
【ア ン ケ ー ト調 査 集 計 結 果 】
A高 校 B高 校 合 計
(・)1① 91人(54.2%) 124人(68.1%) 215人(61.5%) 1② 66人(39.3%) 100人(54.9%) 166人(47.4%)
③ 76人(45.2%) 119人(65.4%) 195人(55.7%)
(2) 30人(17.9%) 36人(19.8%) 66人(18.9%)
(3) ① 82人(48.8%) 121人(66.5%) 203人(58.O%)
② 57人(33.9%) 102人(56.O%) 工59人(45.2%)
(4) 61人(36.3%) 92人(50,5%) 153人(43.7%)
対 象人数 ・68人(・ 年)1・82人 ・(・年) 350人
【分 析 ・考 察 】
ア 問 題1で は,大 部 分 の 生 徒 が 取 り 組 ん で い た 。
① 対 応 表 は よ く で き て い た が,κ が 負 の 数 の と き,計 算 ミ ス が 目 立 っ た 。
② グ ラ フ は,か け て い る か,全 く か け て い な い か の ど ち ら か に 分 か れ た 。
〈誤 答 例 〉
,ズ
＼
'
幽
一3 ,・一海一 」̲■o ● 8 2 ● ■
・ ■
巳3
魯2
畠■
,豊
③ 傾 き を2xと し て い る 生 徒 が 目 立 っ た 。
イ 問 題2で は,傾 き に 一 を っ け て い な い 生 徒 が 多 か っ た 。
ウ 問 題3で は,点 の と り 方 が 不 正 確 で あ り,な め ら か な 曲 線 で か か れ て い な か っ た 。
〈誤 答 例 〉
工 問 題4で は,点Bを(2,8)と 書 い て い る 解 答 が 多 か っ た。 オ 全 体 を 通 し て,次 の2点 を 感 じ た 。
①1次 関 数,2次 関 数 と は 何 か,理 解 で き て い な い 生 徒 が い る 。
② 中 学 校 で の 学 習 内 容 を 忘 れ て お り,こ の ア ン ケ ー ト調 査 に よ り,思 い 出 し た 生 徒 が 多 い 。
6.評 価 テ ス トの 実 施
こ の 評 価 テ ス ト は,座 標 軸 の と り 方 を3通 り 用 意 し,グ ラ フ の か き 方 を 正 し く 理 解 で き た か ど う か を 調 べ る 為 に 実 施 し た も の で あ る 。
(1)評 価 テ ス ト
数 学12次 関 数 の グ ラ フ に 関 す る評 価 テ ス ト
都立()高 校()年()紐()番 氏名()
【1】 次 の2次 閃 数 の 頂 点 の 座 標 を求 め 、 そ の グ ラ フ を か け.な お 、 途 中 式 を 必 ず 記 す こ と.
①y=x2‑4x十3
(〈 注 意 事 項 〉 下 記 の3・つ の グ ラ フ 用 舐 の う ち 、1っ を選 び 、 グ ラ フ を か く こ と 。) (ヌ ℃)
頂点(, )
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②y=2x2+4x+2 (三 ℃)
頂点(, )
(〈 注 意 事 項 〉下 記 の3っ の グ ラ フ 用 紙 の う ち 、1つ を 選 び 、 グ ラ フ を か く こ と.)
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響
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③ ・ ・ 一 ÷‑x・ 一 ・ ・‑5
(式) (〈 注 慧 事 項 〉 下 記 の3っ の グ ラ フ 用 紙 の う ち 、 ユつ を選 び 、 グ ラ フ を か くこ と.)
■・▼ 畠・,
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幽 ◎.「
(2)指 導 法(途 中 経 過)の 種 類 ア 平 方 完 成 に よ る も の(そ の1)
中 カ ッ コ を 使 用 す る 方 法:y=α{(x‑p)2‑p2}+q イ 平 方 完 成 に よ る も の(そ の2)
x2の 係 数 を1に す る 方 法:⊥Y=x2+bx+c
ロ
ウy==αx(x+b)+cに よ る もの
エ そ の 他:(1)〜(3)以 外 の 方 法 ま た は 無 解 答
(3)グ ラ フ 用 紙 の 種 類 ア 方 眼 紙
イ 座 標 軸 の み に 目 盛 り あ り ウ 座 標 軸 の み で 目 盛 り な し 工 無 解 答
(4)集 計 表(1)同 じ生 徒 に3種 類 の 指 導 法 を 実 践 した 場 合
(全 日 制 普 通 科2校 〈1学 年 〉 及 び 全 日 制 職 業 科1校 〈2学 年 〉 実 施) 受 験 者 数:298人
A2次 関 数 の 式 を 変 形 す る た め の 途 中 経 過 の 利 用 状 況 ・正 答 率(単 位:%)
指 導 法(途 中 経 過)の 種 類 ア イ ウ 工
① ② .① ② ① ② ① ②
y=x2‑4x+3 86.3 26.8 85.5 44.0 40.0 6.7 0.0 22.5
y=2x2+4x+2 74.3 24.8 71.5 41.3 42.1 6.4 0.0 24.8
y=一 竜 一 ・ ・‑3x‑・ 52.2 14.8 36.0 38.3 25;0 2.7 0.0 44.3
(備考)
①:正 答率
②:利 用者 率
利用 者数 利用 者率=
受験 者数 正答 者数 正 答率=
利 用 者数
Bグ ラ フ 用 紙 の 選 択 の 状 況 ・正 答 率(単 位:%)
グ ラ フ 用 紙 の 種 類 ア イ ウ 工
① ② ① ② ① ② ① ②
y=x2‑4x+3 54.9 69.1 55.0 6.7 81.8 7.4 0.0 16.8
y=2x2+4x+2 41.4 62.6 47.8 7.7 62.0 9.7 0.0 21.8
・ ・ 一}・ ・‑3x‑・ 29.1 32.3 30.8 4.4 31.8 7.4 0.0 56.O
(5)集 計 表(H) ク ラ ス に よ っ て 異 な る指 導 法 を 実 践 した 場 合 。 (全 日制 職 業 科1校 〈1学 年1校 〉 実 施)
A2次 関 数 の 式 を変 形 す る た めBグ ラ フ 用 紙 の 選 択 の状 況 ・正 答 率(単 位=%) の 途 中経 過 の 正 答 率(単 位:%)
指 導 法(途 中 経 過)の 種 類
y=x2‑4x+3
y=2x2十4x十2
・ ・ 一 一5‑・ ・一 ・x‑5
ア①
64.5
25.8
6.5
グ ラ フ 用 紙 の 種 類 ア イ ウ 工
① ② ① ② ① ② ① ②
y=x2‑4x+3 61.9 67.7 66.7 9.7 一 一 0.0 o.o 22.6
y=2x2+4x+2 52.9 54.8 0.0 9.7 一 一 0.0 o.o 35.5
・ ・ 一 ÷ ・x・一 ・x‑・ 28.6 22.6 O.0 3.2 一 一 O.0 0.0 74.2
A2次 関 数 の 式 を変 形 す る た めBグ ラ フ 用 紙 の 選 択 の 状 況 ・正 答 率(単 位:%) の 途 中経 過 の 正 答 率(単 位:%)
指 導 法(途 中 経 過)の 種 類
y=x2‑4x+3
y=2x2十4x+2
・=一 † ・・‑3・ 一 ・
ウ①
65.5
55。2
24.1
グ ラ フ 用 紙 の 種 類 ー■巳 一一・ア
①
β 雪一一 一一
② ①
ー一一 畠畠塵 τイ一畠̀鼻 雫 一
②
一一昌昌 一一
① ウ辱雪9璽 一昌
② P‑一,響①璽
工
一一一一 一.
② y=x2‑4x+3 60.0 69.0 66.7 10.3 一 一 o.o 0.0 24.1
y=2x2+4x+2 55.6 62.1 103 6.9 一 一 O.0 0.0 34.5
⊥x2‑3x‑5y=‑
2 18.8 55.2 0.0 6.9 一 一 0.0 0.0 41.4
⑥ 分 析 ・考 察
アイウ
工 オ
κ2の 係 数 が1の 場 合 に っ い て は,そ う で な い 場 合 に 比 べ 比 較 的 出 来 が 良 い 。 頂 点 の ッ座 標 が 正 し く求 め ら れ な い 者 が 多 い 。
上 に 凸,下 に 凸 の 概 念 が 把 握 出 来 て い な い 。
頂 点 は 正 し く と れ て い る が,第2,第3の 点 が 正 し く と れ て い な い 。
方 眼 紙 の 場 合 は,点 を と る こ と に 一 所 懸 命 で,グ ラ フ に 関 す る 全 体 的 な 把 握 が 出 来 て い な い 者 が 多 い 。
力 指 導 法 に っ い て は,授 業 で 最 初 に 指 導 し た 方 法 の 定 着 率 が 非 常 に 高 い。
キ 数ll,数 皿 へ の 導 入 を 考 え る と,y=α{(x‑p)2‑p2}+qの 形 に 変 形 す る 方 法 で 指 導 す る こ と が 望 ま し い 。
7.ま と め
(1)「 数 学1」 に お い て 複 素 数 を 学 習 しな い た め,一 般 的 に2次 方 程 式 を 解 く こ と が で き な く な っ た 。 グ ラ フ を き ち ん と把 握 して い な い と2次 方 程 式 や2次 不 等 式 の 解 法 を 理 解 で き な い 。 ア ン ケ ー ト調 査 の 結 果 か ら も 明 らか な よ う に,中 学 校 の 内 容 を 十 分 理 解 して い な い 者 も 多 く,グ ラ フ の 指 導 に っ い て は 時 間 を か け る 必 要 が あ る。
(2)座 標 や 関 数 の 概 念,数 の 大 小 関 係 な ど の 基 本 事 項 を し っ か り押 さ え る こ とが 重 要 で あ る。
(3)教 師 が 従 来 の2次 関 数 の 指 導 と は 大 き く異 な る こ と を 認 識 し,指 導 に対 す る意 識 改 革 を 図 る必 要 が あ る 。
1【 具 体 例 を通 して,数 の 並 び 方 の 規 則 性 を 発 見 す る こ と に よ り,数 学 的 な 考 え 方 を 育 て る 指 導
一 自 然 数 の 列 を 題 材 に して 一
1.は じめ に
近 年 の 情 報 化 の 進 展,コ ン ピ ュ ー タ の 発 達 等 に と も な い,「 離 散 数 学 」 が 数 学 の 重 要 な 分 野 に な って き て い る
今 年 度 よ り実 施 さ れ て い る 学 習 指 導 要 領 で も,離 散 数 学 へ の 窓 口 と な る 「個 数 の 処 理 」 を 取 り上 げ て い る 。 人 類 が 太 古 よ り生 活 の 中 で 培 っ て き た 「数 え る」 と い う行 為 を 改 め て 問 い 直 し, 数 学 的 な 見 方 や 考 え 方 へ の 意 識 を 深 め て い く こ とが 大 切 で あ る。
こ の よ う な 観 点 に 立 ち,本 研 究 で は,「 個 数 の 処 理 」 の 中 で も新 し く取 り 扱 わ れ て い る 「自 然 数 の 列 」 に っ い て,具 体 的 な 教 材 や 教 具 を 用 い た 指 導 を 試 み,そ の 結 果 を 考 察 す る 。
2.研 究 の ね ら い
私 達 は 日 頃,「 数 え る」 こ と を 何 の 変 哲 も な く行 っ て い る 。 しか し,数 え る 対 象 が 多 く な る と 「数 え る 」 こ と は,な か な か 厄 介 な 問 題 へ と変 わ る 。 何 らか の 工 夫 を し な い 限 り,効 率 よ く 正 確 に 数 え る こ と は 難 し い 。 数 え 方 に は 図 を 使 っ た り,一 対 一 の 対 応 関 係 を 使 う な ど 問 題 に よ り様 々 な 方 法 が 考 え ら れ る が,そ の よ う な 方 法 の 工 夫 を 通 して,数 学 的 な 見 方 や 考 え 方 を 認 識 さ せ る こ と が 重 要 で あ る 。
本 研 究 で は,自 然 数 の 列 の 規 則 的 な 並 び 方 に 気 付 か せ,そ の 数 え 方 を 考 え さ せ る 指 導 を 目 指 し,以 下 の よ う な ね ら い を 設 定 し た 。
(1)三 角 数 や 四 角 数 を 定 義 か ら導 入 せ ず,具 体 例 で 提 示 レ,そ の 並 び の 規 則 性 と 数 え 方 に つ い て 考 察 さ せ,数 学 的 な 見 方 や 考 え 方 の よ さ を 理 解 さ せ る 。
② 発 見 の 喜 び を 実 感 さ せ る た め に 生 徒 一 人 一 人 の考 え を 取 り上 げ る。 同 じ問 題 に対 して様 々 な 考 え 方 が あ る こ と を 認 識 さ せ る。
(3)三 角 数 の 和,四 角 数 の 和 に つ い て 考 察 させ る。
(4)模 型 等 の 教 具 を 活 用 し,直 感 的 ・体 験 的 に 考 え ら れ る よ う指 導 を 工 夫 す る 。
3.研 究 内 容 ・方 法
生 活 の 中 の 具 体 的 な 問 題 と して,団 子 の 積 み 上 げ(三 角 数 の 和)問 題 を 取 り上 げ た 。 (1>団 子 の 積 み 上 げ 問 題 を 提 示 し,さ らに 球 形 の 発 泡 ス チ ロ ー ル で 作 っ た 教 具(写 真1)を
用 い て こ の 問 題 に っ い て の 直 感 に よ る イ メ ー ジ を 定 着 さ せ る 。
② 生 徒 の 作 業 を 重 視 し,棒 状 の 個 数 カ ー ド(写 真2),個 数 プ リ ン ト(写 真3)を 活 用 さ せ る 。
③ 生 徒 自 身 が 考 え た 方 法 を 記 録 さ せ る プ リ ン ト(記 録 用 紙)を 用 意 す る な ど,す べ て の 生 徒 の 考 え,発 想 に 配 慮 す る 。
(4)自 然 数 の 和 の 式 は,作 業 や 視 覚 を 通 して 生 徒 自 らが 推 測 し発 見 す る こ と を 基 本 と し,そ の 後 代 数 的 に 取 り扱 う。
㈲ 生 徒 の 自 主 的 な 作 業 の 流 れ を 重 視 す る た め に,三 角 数,四 角 数 の 定 義 は 作 業 の 後 に 指 導 す る 。
(6)三 角 数,四 角 数 の 和 の 説 明 で は,生 徒 の イ メ ー ジ を 具 体 的 に し関 心 を も た せ る よ う 板 目 紙 の 教 具(写 真4)を 使 う 。
(7)授 業 の 最 後 に ア ン ケ ー ト調 査 を 行 い,生 徒 の 感 想 や 理 解 度 を 分 析 す る こ と に よ り 今 後 の 研 究 に 生 か す 。
驚欝犠 ＼
騨
㌧ 噸 嚢
(写 真1)
畿
礁
鮮1
驚
幽 数プ膨 臼
(写 真3)
鍵.灘
(写 真2)
(写 真4)
4.学 習 指 導 案
実 施 科 目:数 学1(1学 年必修 科 目)単 元:個 数の処 理(自 然 数の列) (1)1時 限 目
本時 の 目標:自 然 数 の列 の和 を図形的 な見 方に よ り、効 率 よ く求 め る方 法 を発 見 する。
指 導 内 容 学 習 活 動 *評 価 の 観点 及 び ・留意 点
導 20
入 分
「お 月 見 の 日 に 丸 い お 団 子 を 正 三 角 形 状 に 上 か ら1段 目 は1個 、2段 目は 3個 、3段 目 は6個 、 と い う 具 合 に 10段 ま で きれ い に 並 ぺ て 積 み 上 げ る 。 そ こで 、10段 ま で 積 み 上 げ る に は 、 一 番 下 の 段 は 団 子 が 何 個 必 要 で あ る か 、 ま た1〜10段 ま で 全 部 で 何 個 必 要 で あ る か 。 」
以 上 の 問 題 を 提 示 す る 。
問題 を効 率 よ く解 く方法に つ いて考 え るとい う指針 を示 す 。
お 団子の各 段の個 数 と累計 数 を数 えて 表 に まとめて 問題 に答え る。
段 1 2
個 数 1 3 累計数 1 4
01
98
各 段 ご と の 個 数 の 並 び に つ い て
1,3,6,10,15,。 …
→1,1十2,1十2十3,… 。
と い う規 則 性 が あ る こ と を 確 認 す る 。
・問題 の理 解 を促 すため に 、お 団子 の積 み上 が った模 型 を使 い なが ら 1〜3段 まで個数 と累計 数 を説明 して、 そ の上 で4段 目以降 を考え さ せる。
*順 に加 え て い きなが ら、最 下 段の 個数 や1〜10段 まで の 合計 数 を 求め る方 法 は発展 性 がな い こ と(
規則性 の 利 用の必 要)に 気 づ く。
(数学 的 な 考察)
展
25
5種 類 の[カ ー ド]を2組 ず つ 合 計 10枚 を 各 生 徒 に 配 り、 こ れ らを 用 い てSニ1+2+3+4の 効 率 の よい 計 算 方 法 を 考 え させ 、 発 見 で き た も の を せ る 。
5種 類の カ ー ド5枚 を黒 丸が三 角形状 に並 ぷ よ うに組み合 わ せ る。
[三角形 状 】
・S=1+2+3+4の 効 率 の よ い 計 算 方 法 に つ い て は 、 個 数 の 多 い
自 然 数 の 列 の 和(例 え ば1+2
十3十 … 十49十50)に 対
して も 同 様 に 活 用 で き る 方 法 で あ る こ と を 意 識 さ せ る 。
[カ ー ド]
長 方形 状の 板 目紙 に黒丸 が1〜5 個 書か れ たも の
口 【=ヨ〔=][==コ ロ
ユ〜4個 の 黒 丸 の 三 角 形 状 の 図 形 に お い て 残 りの[カ ー ド](黒 丸1〜4個 が1枚 ず つ 、 黒 丸5個 が2枚)の 何 枚 か を 追 加 も認 め て 、 改 め て[カ ー ド]を 組 み 合 わ せ て 図 形 を 一 つ 作 り、 効 率 の よ い 計 算 方 法 を 見 つ け る 。
・[カ ー ド]を 組 み 合 わ せ る こ と に つ い て は 、 生 徒 の 状 況 に 応 じ て 例 を 示 し、 理 解 を 促 す 。
[例]
1・卜 …1
卜 ・1…1 卜 ・ ・卜 ・1 卜 ・‑1・1
開 分
効 率の よい計算 方法 が発 見で きた もの につ いて記 録用紙 にそ の図形及 び 計算方 法 を記 入す る。
*自 然 数の 列 の1ず つ増 え る とい う 規則性 に対 す る適切 な利 用 がで き る。(数 学 的 な考 察 ・処 理)
*生 徒 自 ら手作業 によ り考 え るこ と で 、規 則性 の発 見 につ い ての興 味
・関心 ・意欲 が高 ま る。(積 極 的 な活用 ・態度)
本 時 の まとめ S=1+2+3+4は 、 お団子 の問題 では*自 然数 の 列の 和 の解法 に つい て、
4段 目の個 数 に相 当 し、 その効 率の よい計 図形的 な 見方 が で きる。(数 学 的 ま 宿 題(1+2十3+・ ・ …+4g 算方法 は 、段数 が多 い もので活 か され る。 な見 方、 考 え方 の良 さの 認識)
5 十50を 効 率 の よい計算 方法 に よ り求
と め る。)の 指 示 自然 数の 列の和 は、規 則 的 な個 数 の配列 に
よ り求 め られ る 。 め 分 記 録用 紙 の回収(S=1十2+3+4
の効 率の よ い計算 方法 を2つ 以 上発 見 で きて いな い生徒 に 対 して は その宿 題 の 指 示 を す る 。)
■
(2)2時 限 目
本 時 の 目標:自 然 数 の 列 の 和 を効 率 よ く求 め る 方 法 を 奇 数 の 列 の 和 に発 展 さ せ る。
導
入
展
開
ま
と
め 10
分
15
分
20
分
5
分
指 導 内 容
S=1+2+3+4の 計 算 方 法 を 未 堤 出 の 生 徒 か ら 回 収 す る 。 お 団 子 の問 題 の50段 目 の解 答 を 生 徒 に板 書 さ せ る。
S=1+2+3+4の 効 率 の よ い 計 算 方 法 の 例 を 示 す 。
4︺
9●
■●
●
1例 ●OO●● 9●●●● ●■■9O マ
2
例 4
}
O●●●●
●■
● ●・●
● ●9●
■ }
例3漏[抵
例4
...●.●.'.● 」2
一 4+1
偶 数 の 列 の 和 S==2十4+6十8
奇 数 の 列 の 和 S=1十3十5十7
本 時 の ま とめ
宿 題 の 指 示
(1)1+3+5+7
(2)1+3+5+一 一一一+15 (3)1+3÷5+一 一一一+17 (4)1+3+5+一 一一一+19
学 習 活 動
1+2+3+一 一一・・一一+50の 計 算 方 法 の 発 表 は 1+2+3+4の 計#方 法 と 同 じ 方 法 で 行 う 。
例1〜 例4に つ い て 理 解 す る 。 S=1十2+3+4に つ い て 他 の 計#方 法 が あ れ ば 発 表 す る 。
S50ニ1+2+3+一 一一 一+50 50
=(1+50)×‑
2
SSt=1+2+3+一 一一一+51
=(1+50》+(2+49》+一 一+(25+26)+51
=51×26
=51×(一+1)と50 な り 、nが 偶 数 、 2
奇 数 の い ず れ で も ロ1+2
+3+一 一一一+nニ ー(n+1}を 理 解 す 2
る 。
2+4+6+8=2(1+2+3+4) 4(1+4)
=2×
2
●O
● ●oo
●● ●OOO
● ●● ●OOOO
[個 数 プ リ ン ト]に 図 形 と 式 を 書 く こ と に よ りS=1十3+5十7を 求 め る 。
ロ
自 然 数 の 列 の 和 は 万(n+1)の 形 に ま
と め ら れ る 。
寧 評 価 の 観 点 及 び ・留 意 点
・1+2+3+一 一一一 十50の 効 率 の よ い 計 算 方 法 を 発 表 す る 。
・例1〜 例4の 計 算 例 は 模 造 紙 に カ ー ドの 並 び の 図 を 書 い て 、 明 確 に 示 す 1多 くの 生 徒 の 色 々 な解 法 を発 表 さ せ
詳 価 す る.(数 学 的 な 考 嬢)
・Sso ,SStの 考 察 で は 例4の カ ー ド の 並 び の 図 を 充 分 に 考 え さ せ る 。
・例4の 方 法 で 解 くに は 場 合 分 け が 必 要 で あ る こ と に気 づ か せ る 。
・ 自 然 数 の 列 の 和 を 図 形 的 に 捉 え
、 計 算 式 と 比 較 す る こ と に よ り 、 一(n÷1)をぬ 導 く 。2
・偶 数 の 和 の 計 算 で は 分 割 す る こ と に よ り 自然 数 の 和 に帰 着 で き る こ と を 理 解 さ せ る 。
・Sニ1十3+5+7の 解 法 で は カ ー ドは 使 わ ず 、[個 数 プ リ ン ト]に 記 λ し 、 考 え さ せ る 。 但 し 、 個 数 の 多 い 奇 数 の 列 の 和 で も 使 え る よ う に す る 。
寧 生 徒 自 身 の 発 想 に よ り 考 え る こ と で 規 則 性 の 発 見 が で き 、 興 味 ・関 心 ・ 意 欲 が 高 ま る 。(積 極 的 な 活 用 態 度)
t自 然 数,偶 数 の 列 の 和 に お い て
ロ
7{・+1)が 活 用 で き る ・ (数 学 的 な 考 察)
(3)3時 限 目
本時 の 目標:奇 数 の和(四 角数)の 図形 的な見 方によ る効率 のよい計算 方法を認識 させ る。 また、三 角数,四 角数 の代数 的 な求 め 方を 理解 させ る。
指 導 内 容 学 習 活 動 *評 価 の観 点 及 び ・留意 点
奇 数 の 和S=1+3+5+7の 効 率 数名 の生徒が黒板 で発表 す る。 *自 分 で考 えた解 答 であ る。(興 味
導 のよ い計 算 方法 の発表(宿 題) ・関 心 ・意 欲)
20 奇数 の和の計算 方法 を記録 した[個 数 ブ
リン ト]を 提 出 す る。 *規 則性 を発見 して いる。(数 学的
な 見 方 ・思 考 ・判 断)
分 板書 した以外の解 答があれ ば発表 する。
入 *発 展性 のあ る解 答 であ る。(数 学
的な考 察 ・処理)
S=1+3+5+7の 計 算 方 法 の 例 を 提 例1〜 例9に つ い て 、 図 形 か ら計 算 式 の ・い ろ い ろ な 考 え 方 が あ る こ と を認
示(例1〜 例9) 意味 を考察す る。(生 徒 には各例 をブ リ 識 させ る 。
ン トして配布す る と同時 に、模 造紙 に書
いて 黒 板 に 貼 る 。) ・計算式 の意味 を図形 か ら考え させ
る 。
・プ リン トの 配 布 等 に よ り、 時 間 の 短 縮 を 図 る。
展 例1.平 行 四辺形 の並び(合 成)例4.正 方形の 並び(合 成)例7.正 方形 の並 び(分 割 して
2S=4x82S+9=42十53合 成)
耀 §8.}←,3§ 蘇 詳 繍 チ
例 、.平鰯 形の並び(合 成)ル 声i:9一 ア
S+(2+4+6)=4x7例5.三 ,角 形 の 並 び(分 割)例8.正 方 形 の 並 び
.:…響301苧S=(11i;3'×2+4S謝
」̲‑oo●ooooo●
r7。 。o●o。 。 ・ ● ・ ・
25 例3.正 方 形 の 並 び(合 成)
S+(1+3+5)=32+42例6.三 角 形 の 並 び(分 割)例9.平 行 四 辺 形 の 並 び(分 割
.31竺 竺←S=(1十2十3十4}+(1+2+3)、 ≧霊亨肇1).2
分 り ・・ ●・9学
ゴ鴛 ε:。 。呂・
3!oOOo9り .:郡 譜 。}z
L9‑▽
30000θ ● ・ 7十'
三角 数,四 角数 の定義 三角凱 四 角数 の定義 を まとめ る。 ・数 の 列 と して の 定 義 と共 に 、図形
的 に 捉 え さ せ る 。
四 角 数 を 導 く。 S=1十3十5十7を 例 に 、 四 角 数 の ・n番 目 の 奇 数 の 形 を認 識 さ せ る。
一 般 化 を 図 る。
(1)四 角 形 か ら求 め る。 *四 角数 を図形的 に捉 えて い る。
(2)代 数 的 に 求 め る。 (図形的 な見 方)
S=1十3十5十7
開 十S=7十5十3十1 *四 角数 を代数 的 に求め られ る。
2S=8十8十8十8 (代数 的な見 方)
三角 数を代 数的 に求め る。 Sニ1十2十3十4 ・四角 数の場 合 と同様 な考 え方 が利
十S==4十3十2十1 用 で き る こ とに 気 づ か せ る。
2S=5+5十5十5
し 三角数 と四 角数の 関係 例2,例5.例6を 参 考 に しな が ら三 *四 角数 は、 三角数 に よって求 め ら 角数 と四角数 の関係 を考 察す る。 れ るこ とが理 解 で きる。(数 学 的
な 見方)
本時 の まとめ 本時 の要点 を確 認 *三 角数,四 角数 につい て、図形 的
ま (1)三 角数,四 角数の 定義 な 見方及び 代数的 な見 方か ら、 そ
5 (2)三 角数,四 角数 の公式 の規 則性 が理解 で きる。(知 議 ・
と (3)三 角数 と四角数の 関連 理解)
め
分 ・公 式の暗 記 に終 わ らない ように す
る.
