数の近似

現代数学への流れ

浪川 幸彦 May 2, 2007

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数の近似

1.2 小数計算と誤差の評価

1.2.1 例題（訂正）

前回のlog107の計算で誤差評価の一部に間違いがありました（ご指摘に感謝します）。

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2log1048 = 0.8408−5×10⁻⁴;（誤）−→ ¹₂log1048 = 0.8408−2×10⁻⁴;（正）

1.3 反復法［前回の「方程式の近似解法」を改訂］

方程式f(x) = 0の解を求める問題を考える。どんな場合にも適用できる，一般的な方法

として「一次補間法」と「ニュートン法」がある。

いずれにせよ，これは関数y= f(x)を近似して，得られるものなので，本質的には後半 の話題である。したがってここでは最も簡単な場合の記述にとどめる。

1.3.1 一般論

方程式f(x) = 0を変形して，x=F(x)とし，xn+1 =F(xⁿ) (n = 0,1,2, . . .)という反復 計算で解を求める方法を，反復法とよぶ。

Proposition 1.3.1. F(x)が連続的に微分可能であるとする（F⁰(x)が存在して連続）。αを一 つの解とするとき，ある正数r <1に対し，x0とαとの間で|F⁰(ξ)| ≤rが常に成り立つな らば，数列xⁿはαに収束する。

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IM07s-4 2 α = F(α)に注意して，平均値の定理を用いれば，x0 と αとの間のある ξ に対して|(x1 − α)/(x0−α)|=|F⁰(ξ)| ≤r < 1. これを繰り返すと|(xⁿ−α)/(x0 −α)| ≤rⁿが得られ，こ れは0に収束する。

1.3.2 挟み打ち法（一次補間法）

関数f(x)が連続で，f(a) >0, F(b)<0 (a < b)であるとすれば，中間値の定理から，方程 式f(x) = 0の実解がaとbとの間に少なくとも一つある。a0 =a, b0 =b と置き，

c1 = b0f(a0)−a0f(b0) f(a0)−f(b0)

と置く。もしf(c1)>0ならばa1 =c1, b1 =b0，f(c1)<0ならばa1 =a0, b1 =c1 として以 下同様に続ける。明らかにa0 ≤a1 ≤a2 ≤. . .≤b2 ≤b1 ≤b0.

Proposition 1.3.2. 上のc1 は(a, f(a))と(b, f(b))とを結ぶ直線がx−軸と交わる点のx座標 である。

定義（および上限公理）から，aⁿはあるαに，またbⁿはあるβに収束する。

Theorem 1.3.3. 上の仮定と記号法の下に

f(α) = 0,またはf(β) = 0.

証明は難しくないが，やや面倒なのでここでは行わない。どちらが解に近づくか分からない ので，試行錯誤法（regula falsi）ともよばれる。

ここではより単純で，それ故良い評価が得られる場合を考えよう。

すなわちさらに考えている区間で f⁰(x) < 0, f⁰⁰(x) > 0 であるとする。するとこのグラフ y=f(x)は下に凸である。したがってaⁿ =a0は一定で，bⁿが変わっていくことが分かる。

そこでβ = limn→∞bⁿが求める解となる（条件から，この区間にある解はただ一つである）。

これは，

F(x) = xf(a)−af(x) f(a)−f(x) としたときの反復法にあたる。計算により

F⁰⁰(β) = 1 2

(a−β)²f⁰⁰ f(a) .

f(a)∼(a−β)f⁰(β)だから，aをあらかじめ十分βに近く取っておけば，F⁰(β)<1と取れ る。

これは数表の間の値を補間するときなど，関数がもう１次関数に十分近い場合によく使わ れる。

この方法は，関数の値のみを用いるので，簡単である。

IM07s-4 3 誤差が大きいときは３個の値を用いる2次補間を使う場合もあるが，計算が複雑になる割 には収束が早くならない。むしろ一次補間を繰り返す方がよい場合が多い。

Remark. 一般にn+ 1個の点を定めて，そこで値が一致するようなn次多項式を求めること

ができる（Lagrangeの補間法）（後述）。

1.3.3 ニュートン法

f(x)とともにf⁰(x)6= 0が計算できる場合に用いられる，より収束の早い方法としてニュー トン法が知られている。これは，f(x)を，(a, f(a))での接線

y=f(x) =f(a) +f⁰(a)(x−a) で置き換えるものである。すると新たな近似値として

a1 =a− f(a) f⁰(a) が得られる。

これはF(x) = x−f(x)/f⁰(x)とした反復法である。するとF⁰(x) = f(x)f⁰⁰(x)/(f⁰(x))², F⁰(α) = 0であることから，f⁰(α)6= 0, f 00(α)6= 0ならば，αの近くで，F⁰(x)<1となるよ うな近似値が求められるとき，それから出発すると，２位の速さで収束する近似列が取れる。

1.3.4 割線法

最も新しい近似値と，その前の近似値とから次の近似値を作る方法。すなわち １．a0, a1 を，方程式f(x) = 0の解αの二つの良い近似値とする。

２．n= 1,2,3, . . .に対し，次の反復を行う：

an+1 =aⁿ−f(aⁿ) aⁿ−an−1

f(aⁿ)−f(xn−1). ３．見積もった誤差に達したら終了する。

これの極限がニュートン法であると考えられるが，この方が（f⁰(x)を使わないので）計算 が簡単で，しかも場合によっては収束が速い。

ゴールデンウィークの宿題（再記）

次々回講義（５月９日）までの間に，何でも結構ですから（ただし教科書，演習書，雑誌 記事の類はダメ），数学に関する本を１冊読み，それについてレポートを書いて下さい（選 んだ理由，内容の紹介，内容に対する意見，そこから自分の得た新たな知見・考え方等）。

IM07s-4 4

・長さはA4レポート用紙2〜3枚（ワープロ印刷），3〜5枚（手書き）程度（もっと長くて もいい）。提出は５月９日授業時。電子メールによる提出も可（ただしファイル様式はpdf,

MSWordのいずれか）。

・電子メールで送る際，すぐ分かるようにsubject欄には学生番号を記入してください。

・電子メールで受け取ったときは必ず受領した旨の返信メールを出します。したがって送っ てから3日経っても受領の返事が来ない場合には未着の可能性があるので，確認のメールを 出すか，再送信してください。

・レポートには学生番号・氏名および読んだ本の著者名・書名・出版社名を最初に必ず明記 してください。

・このレポートは返却しません。

＃ワープロと手書きとでの枚数の差について質問がありました。これは手書きの方が必然的 に文字が大きくなるため，レポートの字数を揃えるための措置です。手書きでワープロ並み の大きさで書かれると，とても読みにくいので，その場合には文字を大きくして，枚数を増 やしてください。

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