不完全性定理はなぜ意外だったのか

不完 全 性 定 理 は なぜ 意 外 だ っ たの か

飯

田

隆*

「 ゲ ー テ ル の 不完 全 性 定 理 」と現 在 一般 に よ び 慣 らわ され て い る結 果 が,ケ ー ニ ヒ スベ ル ク に お け る数 学 の 基礎 を め ぐる シ ン ポ ジ ウ ム(1930年9月7日)に 付 随 した 討 論 の な か で ゲ ー デ ル 自 身 に よ っ て 報 告 され て か らす で に60年 以 上が 経 過 した(1)。周 知 の よ うに,「不 完 全 性 定 理 」 と よ ば れ る定 理 に は,算 術 を 含 む 形 式 的 体 系 に お け る 決 定 不 可能 な 証 明 も反 証 も で き な い 命題 の 存 在 を 示 した 第 一不 完 全 性 定 理 と,公 理 系 の 無 矛 盾 性 の 証 明 に関 連 す る と され る 第 二 不 完 全 件 定 理 の ふ た つ が あ る。こ れ ら の 定 理 は,数 理 論 理 学 の カ リキ ュ ラ ムの 不 可 欠の 部 分 とな っ て か ら久 し く,数 学 や 論 理 学 の な か で は,あ る意 味 で 当 然 の結 果 と し て,他 の 定 理 の 証 明 の た め に 無 造 作 に 引 か れ る こ と も 多 い 。 し か し,数 学 や 論 理 学 の 内 部 に で は な く,数 学 や 論 理 学 に つ い て の 解 説 や 議 論 に 「1を転 じ る な ら ば,ゲ ー デ ル の 不 完 全 性 定 理 の 「意 外 性 」 が しば し ば 強 調 され て い る こ と に気 付 く。 一 般 に 何 か が 意 外 で あ る と され る の は ,そ れ が何 ら か の 期 待 に 反 す る と きで あ る。 した が っ て,ど の よ う な期 待 が 背 景 に あ る の か が 明 ら か に され て い な い 場 合 に は,あ る 事柄 が 意 外 で あ る と い う こ と の 意 味 も明 確 と は な らな い。 また,あ る 期 待 を 背 景 と した 場 合 に 意 外 と され る 事柄 が,別 の 期 待 の 背 景 の も とで は 意 外 で も何 で も な い とい う こ と も当 然 あ り う る。 最 初 は 意 外 と思 わ れ た 事柄 が 後 に 意 外 で な く思 わ れ る こ とが あ る とす れ ば,そ れ は,背 景 とな っ て い る期 待 が 変 化 した ため で あ る。 で は,ゲ ー デ ル の 不 完 全 性 定 理 が 意 外 で あ る(あ る い は,意 外 で あ っ た)と 言わ れ る と き,そ れ は,ど の よ うな 期 待 に 反 す る が ゆ え に 意 外 だ と考 え ら れ て い る (あ る い は ,考 え られた)の だ ろ うか。 この問 いに対 し て は,た だ 通 りの 答 え が あ る の で は な い 。 不 完 全 性 定 理 を め ぐる 議 論 は,も っぱ ら,数 学 的 営 み を ど の よ う な種 類 の 営 み と考 え る か とい う哲 学 的 問 い と切 り離 す こ とが で き な い 。 こ の 後 者 の 問 い に ど の よ うに 答 え る か そ し て,そ の 答 え は さ ま ざ ま で あ り う る に よ っ て,形 成 され る 期 待 は 異 な り,そ の 異 な る 期 待 ご と に,不 完 全 性 定 理 が 意 外 で あ る か ど うか が 検 討 され な け れ ば な ら な い か ら で あ る 。 小 論 は,ご く簡 略 か つ 予備 的 な仕 方 で は あ れ,こ の こ とを 試 み る も の で あ る。 1.  皮 相 な 形 式 主 義 と不 完 全 性 定 理 こ こで 「皮 相 な形 式 主 義 」 と よぶ の は,数 学 的 営 み が 記 号 の形 式 的 操 作 に尽 き る と す る 皮 相 な 立 場 の こ と で あ る。 こ の 立 場 は,十 九 世 紀 後 半 に,一 定 の,し か し限 定 さ れ た 影 響 力 を も っ た 。 ま た,そ れ は,後 に 述 げ る ヒ ル ベ ル トの 立 場 が 「形 式 主 義 」 と よば れ た と い う事 情 か ら,そ れ に ふ さわ し くな い 尊 敬 さ え か ち え た(2)。 この 皮 相 な形 式 主 義 に と っ て 典 型 的 と され る数 学 的 営 み は,計 算 で あ る。 計 算 の 特 徴 は,そ こ に 現 れ る記 号 の 「意 味 」-各 々の 記 号 が 何 を 指 して い る の か を ま った く考 慮 せ ず と も,あ ら か じめ 与 え られ た 一連 の 規 則 を 機 械 的 に 適 用 す る こ と に よ っ て 結 果 が 得 ら れ る こ とで あ る。 こ の 特 徴 を 数 学 全 般 に ま で 及 ぼ す こ と に 現 実 味 を 与 え た の が,フ レ ー ゲ に よ っ て 遂 行 され た 証 明 の 形 式 化 で あ った とい う こ とは,か れ が 皮 相 な 形 式 主 義 に 対 し て 徹 底 的 か つ 決 定 的 な 批 判 を 与 え て い る と い う事 実 を 考 え れ ば,じ つ に 皮 肉 で あ る 。 証 明 の 形 式 化 に よ っ て,算 術 以 外 の 数 学 の 分 野 も,そ れ が 公 理 か らの 定 理 の 証 明 とい う形 で 組 織 化 され る な らば,こ の 証 明 が 通 常 の 計 算 と 同 様 の 特 徴 を も つ こ と が 判 明 す る 。 す な わ ち,形 式 化 さ れ た 証 明 は,そ こ に 現 れ る 記 号 の 「意 味 」 を考 慮 す る こ と な く,あ らか じめ 与 え ら れ た 一 連 の 規 則 に よ って 記 号 列 を 変 形 して 行 く営 み で あ る。 本 来,形 式 化 され た 数 学 は,形 式 化 され る 以 前 の 数 * _{千葉 大学 文学 部}

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1991 学 を 別 の 仕 方 で 定 式 化 す る も の で あ っ た は ず で あ る 。 と こ ろ が,形 式 的 理 論 の も つ 一 見 し た と こ ろ の 具 体 性 と単 純 性 に 感 銘 を 受 け た 数 学 者 や 哲 学 者 の 幾 人 か は, 形 式 化 さ れ た 数 学(形 式 的 体 系)こ そ が 数 学 で あ る と し て,形 式 化 以 前 の 数 学 を 切 り捨 て る 結 果 と な っ た 。こ こ に,皮 相 な形 式 主 義 の 立 場 は 完 成 す る。 さて,こ の よ うな 立 場 に と っ て,第 一 と第 二 の 不 完 全 性 定 理 は どの よ うな 意 味 を もつ だ ろ うか 。 ま ず,第 一 不 完 全 性 定 理 に つ い て 。 皮 相 な 形 式 主 義 の 立 場 に と っ て,Aと ￢ Ａ と い う形 の 記 号 列 の 対 の い ず れ か が 必 ず 証 明 され な け れ ば な ら な い と要 求 す る 理 由 は ど こ に も な い。 こ の 性 質 を もつ 体 系 も,も た な い体 系 も,形 式 的 体 系 で あ る 限 りは,ま っ た く同 等 の 資 格 を もつ か ら で あ る。 第 二不 完 全 性 定 理 と の 関 係 を 考 え る た め に は,形 式 的 体 系 内 部 の 「形 式 的 矛 盾 」 と,形 式 的 体 系 を構 成 し て い る 規 則 ど う し の 矛 盾 と を 区 別 す る 必 要 が あ る。 形 式 的 矛 盾 の 概 念 は,何 らか の 記 号 列 が 形 式 的 体 系 の 内 部 で 証 明 で き る か で き な い か に 関 係 す る概 念 で あ る 。 皮 相 な 形 式 主 義 の よ うに,記 号 列 の 「意 味 」 を ま った く無 視 す るか,あ る い は,そ れ を 操 作 す る た め の 規 則 の 集 合 と 同 一視 す る 立 場 に お い て は,あ る 特 定 の 記 号 列 が 証 明 され な い と い う こ とが そ れ だ け で 重 大 な 帰 結 を も つ こ と は な い(3)。これ に 対 して,形 式 的 体 系 を構 成 して い る 規 則 ど う し の 矛 盾 の 可 能 性 は,皮 相 な 形 式 主 義 に と っ て も深 刻 な 問 題 とな り うる 。 最 初 に 設 定 され た 規 則 か ら,.4が 証 明 され る とい う こ と と,同 じ4が 証 明 さ れ な い と い う こ と の 双 方 が 確 立 され る よ う な こ と が 起 これ ば,そ う した 規 則 の 全 体 が 何 を 規 定 して い る こ と に な る か 了 解 で き な い こ と に な る か らで あ る。 第 二不 完 全 性 定 理 が 直 接 関 係 し て い るの は,形 式 的 矛 盾 の 方 で あ る。 い ま 見 た よ うに,皮 相 な 形 式 主 義 は, 形 式 的 無 矛 盾 性 を 要 求 す る理 由 を もた な い。 し た が っ て,第 二 不 完 全 性 定 理 も ま た,皮 相 な形 式 主 義 に と っ て は 特 別 の イ ン パ ク トを も た な い と い う こ と に な る(4)。 2.  プ ラ トニ ズ ム と不 完 全 性 定 理 数 学 的 プ ラ トニ ズ ム に よ れ ば,数 学 は,数 学 者 と独 立 に 存 在 す る 数 学 的 対 象 の 性 質 を 発 見 し記 述 す る 営 み で あ る。 公 理 化 に し て も形 式 化 に して も,そ れ は,数 学 的 対 象 を 記 述 す るた め の 手 段 に す ぎ な い 。 数 学 的 対 象 は,そ の 性 質 を 探 究 す る 数 学 者 とば 独 立 に 存 在 す る の で あ る か ら,そ の 完 全 な 記 述 を わ れ わ れ が 獲 得 で き る保 証 が あ る と考 え る理 由 は な い 。 公 理 的 方 法 は,ユ ー ク リ ッ ドの 『原 論 」1以来,知 識 の 体 系 化 の た め の 手 段 と して も っ と も大 き な 権 威 を も つ も の で あ った 。 い ま,あ る 一定 の 領 域Rに 属 す る 真 理 の 全 体 を 考 え る。1∼ に 属 す る 真 理 の う ち の ご く少 数 を 公 理 と して 選 び,そ こか ら証 明 とい う 手段 に よ っ てRに 属 す る 残 り の 真理 を 定 理 と して 獲 得 し よ う と い うの が,公 理 的 方 法 で あ る。 こ の場 合 の 理 想 は,定 理 がRに 属 す る 真 理 の 全 体 を尽 くす こ と で あ る。これ が 達 成 さ れ た と き,Rは,完 全 な 公理 化 を 得 た と 言 え る。領 域Rに 関 連 す る 語 彙 だ け か ら構 成 され て い る言 明 鴻 を 考 え る。Rが わ れ わ れ の 認 識 的 行 為 と独 立 に 定 ま っ て い る 領 域 で あ る な ら ば,、4は,1∼ に つ い て の 真 で あ る 言 明 で あ る か,そ れ と も,偽 で あ る 言 明 で あ る か の い ず れ か で な くて は な ら な い 。 した が っ て, Rに 属 す る真 理 の 全 体 に は,Aか,そ の 否 定(rAの どち ら か 一 方 が 必 ず 含 まれ て い る 。 そ うす る と,1∼ の 完 全 な 公 理 化 は,次 の 条 件 を 満 足 し な け れ ば な ら な い こ と に な る。す な わ ち,AがRに 関 連 す る 語 藁 だ け か ら構 成 さ れ て い る 言 明 で あ る な ら ば,Aが 定 理 と し て 得 られ る か,そ れ と も,そ の 否 定 ￢Aが 定 理 と して 得 ら れ る。 こ う し た プ ラ トニ ズ ム の 観 点 か ら は,第 一 不 完 全 性 定 理 の 意 義 は,自 然 数 の 領 域 の よ うな 比 較 的 見通 しが き く と思 わ れ る 領 域 に お い て さ え,完 全 な 公 理 化 と い う知 識 の 体 系 化 の 理 想 が 達 成 され え な い こ と を 示 した 点 に あ る。 こ の よ うな 体 系 化 の 理 想 が な が ら く存 在 し て い た 以 上,第 一不 完 全 性 定 理 は た し か に 期 待 を 裏 切 る も の と して,意 外 な結 果 で あ っ た 。しか しな が ら,本 来,プ ラ トニ ス トに と って,数 学 的 対 象 の 完 全 な 記 述 は,そ の 成 功 が 保 証 さ れ て い る もの で は な か った 。 し た が っ て,完 全 な 記 述 が 達 成 で き るだ ろ う とい う期 待 が,楽 観 的 な 期 待 に 過 ぎた こ と を,フ ラ トニ ス トは す な お に 認 め る こ とが で き る は ず で あ っ た し,実 際 環 在 で は そ の よ うな 見 方 が 一般 的 で あ る と思 わ れ る。 つ ま り,プ ラ トニ ス トに と っ て,公 理 系 に 対 す る完 全 性 の 要 求 は 十 分 に 根 拠 の あ る も の で あ る 一 こ れ に 対 し て,皮 相 な 形 式 主 義 の 立場 か らは,こ う した 要 求 は 何 の 根 拠 も も た な い 一 が,そ れ が 満 足 さ れ る か ど うか ぱ,数 学 的 存 在 とわ れ わ れ の 認 識 との あ い だ に 幸 運 な 一 致 が あ るか ど うか に 依 存 す るの で あ る。 で は,第 二 不 完 全 性 定 理 に つ い て,ブ ラ トニ ス トは ど う言 うだ ろ うか 。

ブ ラ トニ ス トに と って,数 学 的 理 論 を 評 価 す る も っ と も重 要 な 基 準 は,そ れ が 数 学 的 対 象 を 正 し く記 述 し て い るか ど うか で あ る。 言 い 換 え れ ば,数 学 的 理 論 に 課 され る最 低 限 の 条 件 とは,そ れ が,扱 っ て い る 対 象 に つ い て の真 理 を,そ して,真 理 だ け を 含 ん で い る こ とで あ る。 公 理 系 が 真 理 だ け を 含 ん で い る な ら ば,そ れ は,当 然,無 矛 盾 で あ る。 しか し,公 理 系 が 無 矛 盾 で あ る こ とは,そ れ が 真 で あ る こ と を 含 意 しな い 。 つ ま り,も し仮 に あ る公 理 系 に 関 して そ の 無 矛 盾 性 の 証 明 が 与 え られ た と して も,そ れ は,そ の 公 理 系 が 真 で あ る た め の必 要 条 件 を ケ え る に す ぎ な い 。と は い え,プ ラ トニ ス トは,無 矛盾 性 証 明 に,理 論 の 真 理 性 の た め の 消 極 的 テ ス トと して の 意 義 を 認 め る こ と が で き る。 と こ ろ で,第 二不 完 全 性 定 理 で 問 題 と な る よ うな 無 矛 盾 性 証 明 は,あ る限 定 され た 手段 で 遂 行 され る べ ぎ もの と い う特 徴 を も っ て い る。 ブ ラ トニ ス トが こ う し た特 徴 に特 別 の 重 要 性 を 認 め る とい う こ と は,あ りそ うに な い こ とで あ る。 た と え ば,自 然 数 論 の 無 矛 盾 性 は 集 合 論 の な か で 証 明 で ぎ る。 公 理 的 集 合 論 が 集 合 の 累積 タ イ プ構 造 を 正 し く記 述 す る もの で あ る とみ な す プ ラ トニ ス トな らば,こ の よ うな 無 矛 盾 性 証 明 を 受 け 入 れ る こ とに 何 の とが め も感 じ な い で あ ろ う。む し ろ, 第 二 不 完 全 性 定 理 は,そ れ が 自然 数 論 内 部 で の 無 矛 盾 性 証 明 の 不 可能 性 を 示 す も の と し て,よ り強 い 手 段 に 訴 え る無 矛盾 性 証 明 を 積 極 的 に 受 け 入 れ るべ き だ とす る 根 拠 を 写え さ え す る で あ ろ う。 3.  直 観 主 義 と不 完 全 性 定 理 しか し,プ ラ トニ ス トが 不 完 全 性 定 理 を 前 に して い か に 平 然 た る態 度 を と る こ とが で き る と し て も,数 学 者 の 数 学 的 活 動 と独 立 に 存 在 す る 数 学 的 対 象 の 領 域 へ の 信 仰 を と もに しな い 者 に と って は,不 完 全 性 定 理 は, こ う した 信仰 の 根 拠 を疑 う材 料 と な り う る。つ ま り,不 完 全 性 定 理 は,プ ラ トニ ス トの い う数 学 的 実 在 と わ れ わ れ の 認 識 との あ い だ の ギ ャ ッ プ を 耐 え が た い ほ ど大 きな もの とす る よ うに 思 わ れ る。 た と え ば,プ ラ トニ ス トは,第 一不完 全 性 定 理 で 決 定 不 可能 と され る 命 題 は 「真 で あ る」 と し,そ の 理 由 は,そ れ が 自 然 数 論 の 「意 図 され た モ テ ル iｎtended model」 に お い て 真 で あ る か らで あ る と 説 明 す る 。 だ が,こ の 「意 図 され た モ デ ル 」 を完 全 に 特 徴 づ け る こ とが 形 式 的 手 段 に よ っ て は不 可 能 で あ る とす れ ば,こ の モ デ ル に お い て 成 り立 つ と され る 事 実 を わ れ わ れ は ど うや っ て 認 識 で き る の だ ろ うか(5)。 数 学 的 プ ラ トニ ズ ム に 対 し て 常 に 提 起 さ れ る 疑 問 は,そ れ が 数 学 的 実 在 へ の わ れ わ れ に と っ て の 通 路 を ど の よ うに して 確 保 す る の か とい う疑 問 で あ る。 数 学 の 哲 学 に お い て,プ ラ トニ ズ ム と対 立 す る立 場 は,こ う した 疑 問 そ の も の が 意 味 を 失 うよ うな形 で 数 学 的 活 動 を 捉 え よ う とす る。 そ れ ば,数 学 者 と独 立 に 存 在 す る実 在 の 記 述 と して 数 学 的 活 動 を 捉 え る の で は な く, 数 学 者 の 数 学 的 活 動 そ の も の が 数 学 の 主 題 を 構 成 す る と考 え る。 数 学 的 活 動 は 記 述 で は な く,構 成 で あ る と い う意 味 で,こ う した 立 場 は 一 般 に 「構 成 主 義 」 と よ ば れ る。 構 成 主 義 に は さ ま ざ ま な 変 種 が あ る が,そ の な か で も っ と も よ く知 られ て い る も の は,ブ ラ ウ ア ー に 始 ま る 数 学 的 直 観 主 義 で あ ろ う(6)。 直 観 主 義 に お い て,個 々の 数 学 的 命 題 は,何 が そ の 証 明 とみ な さ れ る か を確 定 す る こ と に よ って,そ の 内 容 が 定 ま る。そ し て,あ る数 学 的 命 題 が 真 で あ る の は, そ の 証 明 が 存 在 す る と き,つ ま り,そ の 証 明 を 与 え る こ と が で き る と き に 限 られ る 。 す なわ ち,直 観 主 義 に お い て は,数 学 的 命 題 の 真 理 性 は,そ の 証 明 可 能 性 と 同 一 視 さ れ る の で あ る。 こ こで 重 要 な こ とは,「 証 明 可 能 性 」 と い う概 念 が,何 ら か の 形 式 的 体 系 に お け る導 出 可 能 性 とは 同 一 視 さ れ な い と い う こ と で あ る 。 ブ ラ ウ ア ー は,数 学 的 活 動 を 基 本 的 に 心 的 活 動 で あ る と考 え,そ の 結 果 は 言 語 的 に 表 現 さ れ る と し て も,言 語 的 表 現 と同 一 視 で き る と は 考 え な か った 。 数 学 者 が 用 い る こ とに な る証 明 原 理 の す べ て を 何 らか の 体 系 に お い て 網 羅 す る こ とが で き る と い う可 能 性 を 直 観 主 義 は 認 め な い 。 こ う し た 立 場 に 立 つ と き,形 式 的 体 系 に 対 す る完 全 性 の 要 求 は 特 別 の 重 要 性 を もた な い 。 プ ラ トニ ズ ム の 場 合 に お け る の と い くぶ ん 異 な る 仕 方 で は あ る が,直 観 主 義 の 場 合 に お い て も,形 式 化 は 探 究 の た め の ひ と つ の 道 具 に す ぎ な い 。 そ し て,形 式 化 は つ ね に,数 学 的 活 動 の 豊 富 さ を ご く部 分 的 に 固 定 す る も の で し か な い 。別 の 観 点 か ら は,次 の よ うに 言 う こ とが で ぎ る。直 観 主 義 の 立 場 か ら は,あ る数 学 的 命 題 に つ い て,証 明 もで きな け れ ば 反 証 もで き な い 一 も ち ろ ん,こ の 場 合 の 「証 明 」 は 特 定 の 形 式 的 体 系 と結 び 付 い て い る もの で は な い 一 と述 べ る こ とは,そ れ が 真 で も 偽 で も な い と述 べ る こ と で あ る が,そ の よ うな 主 張 は つ ね に 誤 り で あ る 。 よ く知 られ て い る よ うに,直 観 主 義 に お い て は,排 中 律 「A∨ ￢A」 ぱ 一 般 に 成 り立 た な い が,そ れ の 二 重 否 定 「￢ ￢(A∨ ￢A)」 が つ ね に 正 し い 以

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究

1991 上,排 中 律 に 対 す る 具 体 的 反 例 は 存 在 し え な い の で あ る の。 4.  ヒ ル ベ ル トの プ ログ ラ ム と不 完 全 性 定 理 結 局 の と こ ろ,不 完 全 性 定 理 が も っ と も大 き な 衝 撃 を 与 え た の は,ヒ ル ベ ル トの 学 派 に 属 す る 人 々 に対 し て で あ っ た と言 え る 。そ の 理 由 ぱ,不 完 全 性 定 理 が,「 ヒ ル ベ ル トの プ ロ グ ラ ム」 と よば れ る この 学 派 の 研 究 プ ロ グ ラ ム の 実 現 不 可 能 性 を 含 意 す る と信 じ ら れ た こ と に あ る 。 した が っ て,ま ず は,ヒ ル ベ ル トの プ ロ グ ラ ムの 概 略 を 述 べ て お く必 要 が あ る181。 数 学 の 哲 学 に お け る ヒ ル ベ ル トの 立 場 は,し ば しば, 「形 式 主 義 」と よば れ る が,第1節 で 考 察 した よ うな 皮 相 な形 式 主 義 と は 雲 泥 の 差 が あ る。 両 者 と も,数 学 の 形 式 化 に 多 くを 負 っ て い る が,ヒ ル ベ ル トの 立 場 が 皮 相 な形 式 主 義 か ら 大 き く相 違 す る点 の ひ とつ は,次 の 辱 点 に あ る。 皮 相 な形 式 主 義 に よ れ ば,数 学 の ど の 部 分 も ま った く同 様 に,そ れ 自 体 と し て は 無 意 味 な 記 号 の 操 作 に 還 元 さ れ る。 した が って,こ の 立 場 か ら は,あ る特 定 の形 式 的 体 系 に つ い て,そ れ が もつ メ タ的 性 格 (無 矛 盾 性 や 完 全 性 な ど)を 探 究 す る よ うに 見 え る 営 み が あ った と して も,そ れ は,単 に,も うひ とつ の そ れ 自体 と して は 無 意 味 な 記 号 の ゲ ー ム に す ぎ な い(9)。ヒ ル ベ ル トに と っ て,数 学 は 全 体 と して 一 様 な の で ぱ な い 。 数 学 的 営 み の も っ と も基 礎 に あ る の は,具 体 的 な 計 算 や 記 号 操 作 で あ る が,そ れ だ け が 数 学 の す べ て で は な い 。 数 学 の か な りの 部 分 は,抽 象 的 推 論 に よ っ て 進 行 す る 。 こ う した 対 比 に 応 じて,ヒ ル ベ ル トは,数 学 全 体 を ふ た つ の 領 域 に 分 割 す る。 一 方 は,具 体 的 数 学 で あ り,そ こ に 属 す る言 明 は 「レ ア ー ル 」 な 言 明 と よ ば れ る 。そ う した 言 明 は,そ れ 自 体 で 有 意 味 で あ り, した が っ て,具 体 的 数 学 の 領 域 は 形 式 化 さ れ る こ と を 必 ず し も必 要 と しな い 。 も う一 方 は,抽 象 的 数 学 で あ り,そ こに 属 す る 言 明 は 「イ デ ア ー ル 」 な言 明 と よ ば れ る 。こ れ ら の 言 明 は そ れ 自体 で は 意 味 を もた な い 。し か し,そ う した 言 明 を 道 具 と して 操 作 す る こ と は で き る。 具 体 的 数 学 と抽 象 的 数 学 は,そ こ で 許 され る推 論 に 関 し て も大 き く異 な る。 具 体 的 数 学 に お い て 許 さ れ る推 論 は,計 算 や 組 み 合 わ せ 論 的 操 作 に 対 応 す る も の に 限 定 され る 。 他 方,抽 象 的 数 学 に お い て 許 さ れ る推 論 は,古 典 論 理 で 許 され る推 論 の 全 体 を 含 む 。 具 体 的 数 学 と抽 象 的 数 学 の 関 係 は,ほ ぼ 次 の よ うに 記 述 で き る。 数 学 的 営 み の 目標 は,具 体 的 数 学 の 領 域 に 属 す る真 理(レ ア ー ル な 言 明 に よ っ て 表 現 され る を 発 見 す る こ と で あ る が,そ の 際 に,抽 象 的 数学 に 属 す る 言 明 や 推 論 方法 は,新 た な レア ー ル な 言 明 を 導 くた め の 道 具 と し て 用 い ら れ る。 だ が,抽 象 的 数 学 の 役 割 が こ の よ うな も の で あ る な らば,そ の 道 具 と して の 信 頼 性 の 問 題 が 生 ず る。 す な わ ち,抽 象 的 数 学の 使 用 が 偽 で あ る レア ー ル な 言明 を 導 く こ と に な ら な い か とい う問 題 で あ る。 こ こ で 数 学 的 理 論 の 形 式 化 が 本質 的 な 役 割 を 果 た す 。 抽 象 的 数 学 は,そ こ で 許 され る推 論 形 式 を も 含 め て,何 ら か の 形 式 的 体 系Iと し よ う-に お い て 表 現 さ れ る。よ っ て,抽 象 的 数 学 に お け る証 明 は,Iの な か で の 形 式 的 証 明 に よ っ て 表 現 され る 。 と こ ろ が,形 式 的 体 系 に お い て ど の よ うな 形 式 的 証 明 が 可能 で あ る か ど うか は,形 式 的 体 系 が も っ ぱ ら 記 号 の 具体 的 操 作 に か か わ る も の で あ るか ら,具 体 的 数 学 に 属 す る 問 い で あ る 。 そ こ で ヒ ル ベ ル トは,抽 象 的 数 学 の 道 具 と し て の 信 頼 性 の 問 題 を,形 式 的 体 系Iが,具 体 的 数 学 の な か で 定 式 化 で き る あ る 一定 の 条 件 を 満 足 す る か ど う か と い う,具 体 的 数 学 の 内 部 で 決 定 可能 と思 わ れ る問 題 に 帰 着 させ る 。 よ り詳 し く述 べ れ ば,次 の よ うに な る(10)。 具 体 的 数 学Rに 属 す る 言 明 の ク ラ ス 〓 を 考 え る。 〓 に 属 す る言 明 は 決 定 可 能 で あ る。ま た,A∈ 〓 に 対 し て,そ れ を形 式 的 体 系Iの 式ATに 翻 訳 す る写 像7' と,Rに お け る 証 明 か らIに お け る 形 式 的 導 出 へ の 関 数 π が 与 え られ て い る とす る 。Iに 課 され る第 の 条 件 は 次 の も の で あ る。A∈ 〓 に 対 して,

(1)

こ こ で,Provlは,Iに お け る 証 明 述 語 で あ る。 条 件 (1)は,真 で あ る レ ア ー ル な 言 明 が す べ てIで 証 明 可 能 で あ る べ き こ とを 述 べ る もの で あ る。これ に対 して, 次 の 条 件(2)は,形 式 的 体 系Iで 証 明 可能 な レ ア ー ル な 言 明 が す べ て 真 で あ る べ き こ と を 述 べ る。 つ ま り, A∈ 〓 お よ び 変 項pに 対 し て,

(2)

と こ ろ で,条 件(2)は,条 件(1)が 満 足 され て い る と い う仮 定 の も と で は,じ つ は,形 式 的 体 系1の(形 式 的)無 矛 盾 性 と 同値 で あ る(11)。条 件(1)(2)に して も, 形 式 的 無 矛 盾 性 の 条 件 に して も,す べ て,具 体 的 数学 の 内 部 で 定 式 化 で き る条 件 で あ る こ とに 注 目 しな げ れ ぼ な ら な い 。 抽 象 的 数 学 の 道 具 と し て の 信 頼 性 と い う

問 題 は,具 体 的 数 学 の 内 部 で 意 味 を も つ 数 学 的 問 題 に 帰 着 す る の で あ る。 つ ま り,ヒ ル ベ ル トの プ ロ グ ラ ム とは.数 学 の 基礎 と い う 一見す ぐれ て 哲 学 的 問 題 と 思 わ れ る もの を 数学 的 に 解 決 し よ う とす る試 み で あ っ た と言 え る。 しか し,不 完 全 性 定 理 は,こ う し た 希望 を 打 ち 砕 く か の よ うに 思 わ れ る。も っ と も深 刻 と思 わ れ た の は,第 二 不完 全 性 定 理 か ら の 帰 結 で あ る 。 形 式 的 体 系 の 無 矛 盾 性 証 明 は,ヒ ル ベ ル トの フ ロ グ ラ ム の 中 心 に 位 置 す る。 し か も,こ の 証 明 に あ た っ て,証 明 手 段 が 具 体 的 数 学 の 内 部 に 限 定 され る と い う こ と は,こ の プ ロ グ ラ ムに と っ て 本質 的 で あ る。な ぜ な らば ,抽 象 的 数 学 は, そ れ 自体 で は 無 意 味 で あ っ て,具 体 的 数 学 との 関 連 に お い て の み 数 学 の な か で 存 在 す る 理 由 を 与 え ら れ る の で あ り,そ の た め に は,条 件(1)(2)が 満 足 され る こ と が 必 須 だ か らで あ る。 他 方,第 一不 完 全 性 定 理 も,ヒ ル ベ ル トの プ ロ グ ラ ムに 影 響 を ケ え な い わ け で は な い 。 ヒル ベ ル トは,算 術 な ら び に 解 析 学 の 全 体 を 表 現 す る よ う な 単 一 の 形 式 的 体 系 が 存 在 す る と信 じて い た と思 わ れ る。 第 一不完 全 性 定 理 が 示 した よ うに,こ の よ うな 単一 の 形 式 的 体 系 が 存 在 し え な い とす る な らば,数 学 の 基 礎 を め ぐ る 問 題 は,数 学 の 内 部で 数 学 的 に 解 決 で き る 問 題 とぱ な らず,無 矛 盾 性 証 明 を 遂 行 す べ き形 式 的 体 系 と して ど の よ うな もの を選 択 す るか とい う数 学 内 部 で ば 必 ず し も解 決 で き な い 問 い に 直 面 せ ざ る を え な い こ と に な る。 しか しな が ら,ゲ ー デ ル の 結 果 は,ヒ ル ベ ル トの プ ロ グ ラ ム を 完 全 な 破 産 に 導 い た わ け で は な い 。 た しか に,数 学 の 基 礎 を め ぐる 問 題 の 最 終 的 か つ 数 学 的 解 決 と い う ヒル ベ ル トの 理 想 は か な え ら れ な い こ と が わ か った が,修 正 され た 形 の ヒル ベ ル トの プ ロ グ ラ ム を 追 求 す る こ と に は ト分 な 意 味 が あ る。 そ の 場 合 に 重 要 な 問 い は 次 の ふ た つ で あ る。 1.  無 矛 盾 性 証 明 を 遂 行 す べ きベ ー ス と して 何 を 選 ぶ か2 2.  ど の よ うな 形 式 的 体 系 に 対 して,無 矛 盾 性 証 明 を遂 行 す る の か? 第 一 の 問 い は,も との ヒル ベ ル トの フ ロ グ ラ ム に お け る 「具 体 的 数 学 」 の 範 囲 を 正 確 に 特 徴 づ け,必 要 な ら ば,そ れ の 拡 張 を 考 え る こ とを 意 味 す る 。 第 二の 問 い は,算 術 や 解 析 学 の 完 全 な 形 式 化 が 得 ら れ な い 以 上,そ の 部 分 的 体 系 で,そ れ 自体 意 義 が あ り,か つ,あ る 証 明 ベ ー ス と相 対 的 に 無 矛 盾 性 証 明 が 可能 と な る よ うな も の を選 択 す る とい う問 題 で あ る。 こ の ど ち ら に つ い て も,か な りの 進 展 が み ら れ て い る こ とば,「 ヒ ル ベ ル トの プ ロ グ ラ ム六 十 周 年 」 と題 され た 記 号 論 理 学 会 の シ ン ポ ジ ウ ム の 記 録(12)か ら見 て 取 る こ とが で き る。 5.  む す び こ う した 概 観 か ら浮 か び 上 が っ て くる こ とは,数 学 的 言 明 の 意 味 を どの よ うに 考 え る か に よ っ て,不 完 全 性 定 理 の 受 け 止 め 方 が 異 な る とい う こ とで あ ろ う。 第 一 と第 二 の 不 完 全 性 定 理 を ど う受 け 止 め る か を 大 き く 決 定 す る要 因 は,そ れ ぞ れ, 1.  公 理 系 に 対 す る 完 全 性 の 要 請 に ど の よ う な 意 義 を 認 め る か 2.  形 式 的 無 矛 盾 性 の 証 明 に どの よ うな 意 義 を 認 め る か で あ る。 そ して,こ こ で 考 察 し た 四 つ の 立 場 は,数 学 的 言 明 の 意 味 に つ い て 全 体 論 的 観 点 を と る か 否 か に よ っ て,ふ た つ に 分 類 され る 。 一 方 に は,徹 底 した 全 体 論 を と る 皮 相 な形 式 主 義 と,抽 象 的 数 学 に 属 す る 言 明 に 関 し て の み 全 体 論 を と る ヒ ル ベ ル トの 立 場 が あ り,他 方 に は,個 別 の 数 学 的 言 明 に関 し て 相 対 的 に 独 立 し た 意 味 の 指 定 が 可 能 で あ る とす る プ ラ トニ ズ ム と 直 観 主 義 の 立 場 が あ る。 プ ラ トニ ズ ム に お い て は,個 々の 数 学 的 言 明 の 意 味 は そ の 真 理 条 件 に よ っ て 与 え ら れ,直 観 主 義 に お い て は,そ れ は 証 明 条 件 に よ っ て 与 え ら れ る とい う相 違 は あ る が,ど ち ら も,個 別 の 数 学 的 言 明 の 意 味 に つ い て 語 る こ と を 有 意 味 とす る 点 で 共 通 し て い る 。し か も,こ う し た 個 別 言 明 の 意 味 は,そ れ が ど の よ うな 形 式 的 体 系 に お い て 表 現 さ れ る か と は 独 立 で あ る。した が っ て, 両 者 と も,形 式 的 体 系 の 完 全 性 や(形 式 的)無 矛 盾 性 が 形 式 的 体 系 に と っ て 望 ま しい 性 質 で あ る こ とを 認 め る こ とは で き る が,そ れ が 満 た さ れ な い と し て も,そ の こ と に よ っ て 原 理 的 な 困 難 が 生 ず る こ とに は な らな い 。 徹 底 し た 全 体 論 を と る 皮 相 な 形 式 主 義 に お い て,数 学 的 言明 の 「意 味 」 に つ い て も し語 る こ と が で き る と した ら,そ れ は,そ れ が 位 置 して い る 「記 号 の ゲ ー ム 」 の な か で の 役 割 と 同一 視 され るで あ ろ う。 どの よ うな

12

科 学

基 礎

論 研 究

1991 記 号 の ゲ ー ム も,そ の ゲ ー ム の 規 則 が 確 定 して い る 限 り正 当 で あ る以 上,完 全 性 や 形 式 的 無 矛 盾 性 の 要 請 を ゲ ー ム一 般 に 対 して 課 す 特 別 の 理 由 は 存 在 し な い 。 し た が っ て,皮 相 な 形 式 主 義 は,不 完 全 性 定 理 と ま っ た く無 関 係 で あ る。 こ れ に 対 して,ヒ ル ベ ル トの プ ロ グ ラ ム の 基 礎 に あ る立 場 は,具 体 的 数 学 に 属 す る 言 明 に つ い て は,そ れ が 個 別 的 に 意 味 を 有 す る こ と を は っ き り認 め る。 全 体 論 的 観 点 は,抽 象 的 数 学 に 属 す る言 明 に 対 して の み 適 用 され る。抽 象 的 数 学 に 属 す る 言 明 は, そ れ 自体 と し て は 「無 意 味 」 で あ る と され る が,そ れ は,具 体 的 数 学 に 属 す る 言 明 と一 定 の 関 係 を もつ こ と に よ って,あ る意 味 で の 「意 味 」 を 付 与 され る と考 え られ る 。 と こ ろ が,こ の 「一 定 の 関 係 」 を 保 証 す る も の こ そ,形 式 的 無 矛 盾 性 の 証 明 で あ る以 上,不 完 全 性 定 理(と く に,第 二 不 完 全 性 定 理)が,こ の 立 場 に 対 し て 深 刻 な 衝 撃 を 与 え た こ と は 当 然 で あ った と 言 え る。 注 (1)  不 完 全 性 定 理 の 発 表 をめ ぐる 経 緯 に つ い て は, 次 を 参 照 。 John W. Dawon, Jr., "The recep-tion of Gddel's incompleteness theorems" in S.G. Shanker (ed.), Geidel's Theorem in Focus.1988,CroomHelm.ド ー ソ ン に よ れ ば, ケ ー ニ ヒ ス ベ ル ク の 段 階 で は ま だ 第 一 不 完 全 性 定 理 が 得 ら れ て い た だ け で あ る と い う。 ウ ィー ン 科 学 ア カ デ ミ ー に お い て ハ ー ン に よ っ て 報 告 され た ア ブ ス トラ ク ト(1930年10月23日)で は,第 二 不 完 全 性 定 理 も述 べ ら れ て い る。次 を 見

よ 。Kurt GOdel, Collected Works. Vol. I. 1986, Oxford University Press. pp. 140-143. (2)  「形 式 主 義 」と い う 用 語 に ま つ わ る 混 乱 に つ い て は,拙 著 『言 語 哲 学 大 全II意 味 と様 相(上)』1989 年,勁 草 書 房,第2章,註(27)を 参 照 さ れ た い 。 (3)  「A∧ ￢ Ａ」 と い う形 の 記 号 列 が 証 明 さ れ れ ば, そ の 形 式 的 体 系 の 式 と よ ば れ る 記 号 列 の す べ て が 証 明 さ れ て し ま う こ と を も っ て,反 論 され る か も しれ な い 。しか し,形 式 的 矛 盾 か ら は ど の よ うな 式 も証 明 で き る とい う規 則(あ る い は,そ の よ う な 効 果 を も つ 規 則)を す べ て の 形 式 的 体 系 が 採 用 し な け れ ば な ら な い と い う理 由 は,皮 相 な 形 式 主 義 の 立 場 か ら は 出 て 来 な い 。 (4)  ウ ィ トゲ ン シ ュ タ イ ン の 数 学 の 哲 学 を 「皮 相 な 形 式 主 義 」 と「可 一視 す る こ と は 決 し て で き な い で あ ろ う が,ゲ ー デ ル の 結 果 に つ い て の ウ ィ ト ゲ ン シ ュ タ イ ン の コ メ ン ト を 読 む と き,か れ が 皮 相 な 形 式 主 義 に 危 険 な ほ ど近 づ い て い る の で は な い か と い う印 象 は 拭 い が た い 。 ウ ィ トゲ ン シ ュ タ イ ン の ゲ ー デ ル 批 判 に つ い て の 最 近 の 研 究(奥 雅 博 「ウ ィ トゲ ン シ ュ タ イ ン の ゲ ー テ ル 理 解 に つ い て 」 大 阪 大 学 人 間 科 学 部 紀 要 第17 巻(1991)pp.167-181)を 読 ん で も,私 の こ う し た 印 象 は 変 わ ら な か っ た 。 と くに,「 証1妻河 能 な 定 理 の み が 当 該 の 公 理 系 の 登 場 人 物 で あ る,と す る 立場 か ら み れ ば,論 理 式 の 形 成 規 則 は 不 要 で あ る。こ れ に 代 え て,定 理 か ら 不 適 切 な 式 が 導 出 さ れ な い よ う に,代 入 規 則 を 入 念 に 述 べ る だ け で 十 分 で あ る 」(同 論 文,p.173)が ウ ィ トゲ ン シ ュ タ イ ンの 立 場 を 正 し く伝 え て い る もの と す れ ば,ウ ィ トゲ ン シ ュ タ イ ン は,(a)何 が 定 理 で あ る か ど うか 決 定 で き る こ と を,公 理 系 で あ る た め の 必 要 条 件 と して 考 え て い た つ ま り, 数 学 的 「ゲ ー ム 」は 基 本的 に 決 定 可 能 で あ る と考 え て い た 一 か,あ る い は,(b)公 理 系 で あ る た め に は 形 式 的 体 系 で あ る(そ の 体 系 に 属 す る 式 で あ る か ど う か が 実 効 的 に 決 定 可能 で あ る)こ と を 必 要 と し な い と 考 え て い た か の い ず れ か で あ ろ う。私 に は,こ の ど ち ら の 選 択 肢 も耐 え が た い も の に 思 わ れ る 。 (5)  こ れ に 関 連 す る 議 論 と して,拙 箸 『言 語 哲 学 た全 II意 味 と様 相(上)1141-145頁 を 参 照 して 頂 け れ ば さ い わ い で あ る 。 (6)  直 観 主 義 を ど う解 釈 す る か に つ い て は,さ ま ざ ま な 意 見 が 存 在 す る 。し た が っ て,以 下に 述 べ る よ うな 直 観 主 義 の 特 徴 づ け が か な り偏 っ た 見 方 で あ る こ とは,前 も っ て 断 わ っ て お く必 要 が あ ろ う。 こ こで の 特 徴 づ け は, Per Martin-L6f,

Iｎtｕitioｎistiｃ Type Theory (1984, Bibliopolis に 多 く を 負 っ て い る 。

(7)  直 観 主 義 に お い て 無 矛 盾 性 証 明 が ど の よ う な 意 義 を も つ か 曳あ る い は,も ち え な い の か)に つ い て は,次 を 参 照 。 M. Dummett, Eｌements of Intuitionism. 1977, Oxford University Press.

pp. 397f.

(8) 以 上 に ス ケ ッ チ す る よ う な 仕 方 で ヒ ル ベ ル ト の プ ロ グ ラ ム を 解 釈 す る こ と は,私 の 知 る 限 り,ク ラ イ ゼ ル( G. Kreisel, "Hilbert's prograrnme" Dialectica 12 (1958) 346-372. Reprinted with revisions in P. Benacerraf & H. Putnam

(eds.), Philosophy of Mathematics : Selected Readings. 2nd ed. 1983, Cambridge University Press. pp. 207-238) に 始 ま る 。 こ う し た 解 釈 は,

現 在 の 数 学 の 哲 学 の な か で は,む し ろ オ ー ソ ドッ ク ス な 解 釈 で あ る と 言 え る。 用 様 な 解 釈 を 取 る もの と して,ほ か に, W. Sieg, " Relative consistency and accessible domains" Svnthese 84 (1990) 259-297. 1,31 U C. Smorynski, "The incompleteness theorems" in J. Barwise (ed. ), Handbook of Mathematical Logic. 1977, North(Holland.pp。821-865な ど が 挙 げ ら れ る 。 (9)  こ こ で も ま た,ウ ィ トゲ ン シ ュ タ イ ンの 立 場 と 皮 相 な 形 式 上義 と の あ い だ の 結 論 上の 合 致 に は 驚 くべ き も の が あ る 。 「… 私 は,ぶ た た び,あ る ゲ ー ム を 手 に す る の で あ っ て,メ タ ゲ ー ム を 手 に す る の で は な い 。 ヒル ベ ル トが 行 っ て い る の は,数 学 な の で あ って,メ タ数 学 で は な い 。他 の す べ て の 計 算 と ま っ た く同 様 に,そ れ も ま た ひ とつ の 計 算 な の で あ る 。」(『ウ ィ トゲ ン シ ュ タ イ ン と ウ ィ ー ン学 団 』1930年12月17日 。 奥 雅 博,前 掲 論 文,p.175で 引 か れ て い る 。） (10）  以 下 の 記 述 は, G . Kreisel, "A survery of proof

theory" The Journal of Symbolic Logic 33 (1968)p.322に よ る 。

(11) G. Kreisel, "Mathematical logic : what has it

done for the philosophy of mathematics?"

in

R. Schoenmann (ed.), Bertrand Russell

Phi-losopher of the Century.

1967, Allen

&

Unwinn. p. 236.

(12)  こ れ は,

_{Journal of Symbolic Logic 53 (1988)}

に 掲 載 さ れ て い る。ち な み に,各 論 文 の 執 筆 者 と タ イ トル は 次 の 通 り で あ る 。 W. Sieg, " Hilber-t's program sixty years later" ; S.G. Simpson, "Partial realizations of Hilbert's program" ; S. Feferman, "Hilbert's program relativized : proof-theoretical and foundational reduc-tions"