THE
LOWEST
EIGENVALUE
OF
NON-COMMUTATIVE
HARMONIC OSCILLATORS
廣島文生
(
九大数理
),
佐々木格
(
信州大理工
)
ABSTRACT.
調和振動子の非可換化と考えられる非可換調和振動子
$Q(\alpha, \beta)$を考える．
パラメターが
$\alpha\neq\beta$のとき，
$Q(\alpha, \beta)$の最低固有値が単純であることは長い間の未解
決問題であった．この論文ではその単純性を示す．
1.
はじめに
1.1.
新幹線の中で．非可換調和振動子は
A.
Parmeggiani
と
M.
Wakayama [PWOI,
PW02, PW03]
によって調和振動子の非可換化として導入された 1. 著者は 2012 年 12
月に若山正人氏
(
九大
IMI)
の非可換調和振動子に関する講演を
RIMS
で聴講した．そ
こで知ったのがここで紹介する最低固有値の単純性の問題である．物理に表れるスピ
ンなどの内部自由度のないハミルトニアンは多くの場合最低固有値に対応する固有ベ
クトルは節
(ゼロ点)
をもたず，至る所正な関数である．その結果，互いに直交する固有
ベクトルが存在することはなく，最低固有値は単純になる．またスピンがある場合に
は対称性から最低固有値が縮退していることがわかることが多い．果たして非可換調
和振動子の最低固有値の縮退度はどうなっているのか？例えば，行列系数をもつ物理
的に最近脚光を浴びている
Rabi
模型
$\epsilon(\begin{array}{ll}1 00-1 \end{array}) \otimes I+(\begin{array}{ll}0 11 0\end{array}) \otimes x+I\otimes(-\frac{1}{2}\frac{d^{2}}{dx^{2}}+\frac{1}{2}x^{2}-\frac{1}{2})$
の最低固有値が
$\epsilon\neq 0$で単純であることは経路積分で示すことが出来る
[HH12].
非可
換調和振動子の場合は対称性の議論，経路積分の議論などが
$\alpha=\beta$
のとき
[Tan09]
以
Date:
July
12,
2014.
2000
Mathematics
Subject
Classification.
$35P05,$ $35P15.$
Key
words
and
phrases.
non-commutative harmonic
oscillator,
multiplicity, the
lowest
eigenvalue,
crossmg,
no
crossmg.
外，上手く出来ず，摂動論的な議論になってしま
t),
結局特別な
$\alpha,$$\beta$に対してのみ単純
性が知られているにすぎなかった．
RIMS
で聴講したあと，福岡に戻る新幹線の中で少し計算してみると，最低固有値の
縮退度が，パラメターのある領域
$(\subset \mathbb{R}_{+}x\mathbb{R}_{+})$で 2 以下であることが示せた．この結
果自体は驚くに値しないが，実はこのとき，最低固有値に対応する固有ベクトルが偶関
数になることに気づいた．
2013
年に研究会を開催する機会があった．そこで再度，若山
正人氏が講演で
「最低固有値に対応する固有ベクトルが全て偶関数ならば，最低固有
値は単純」
という結果を発表していた．何ということか．つまり，単純性をいうために
は，最低固有値に対応する固有ベクトルが偶関数であることを言えばいいことになっ
た．まさにそれがここで述べる結果である．
1.2.
定義など．非可換調和振動子は
$Q=Q( \alpha, \beta)=A\otimes(-\frac{1}{2}\frac{d^{2}}{dx^{2}}+\frac{1}{2}x^{2})+J\otimes(x\frac{d}{dx}+\frac{1}{2})$
,
(1.1)
と定義される
$\mathcal{H}=\mathbb{C}^{2}\otimes L^{2}(\mathbb{R})$上の自己共役作用素である．ここで
$A,$
$J\in Mat_{2}(\mathbb{R})$
で，
$A$
は正定値な対称行列，
$J$
は
歪対称行列．さらに
$A+iJ$
は正定値となるものである．
[PW02, PW03]
で
$A=(\begin{array}{ll}\alpha 00 \beta\end{array}), J=(\begin{array}{l}0-110\end{array})$
としていいことが示されている．ここで，パラメターは
$\alpha>0, \beta>0, \alpha\beta>1$
(1.2)
をみたす．この論文では上の
$A$
と
$J$
を固定する．すぐに次の
Lemma
が示せる．
Lemma
1.1.
$Q$
は
$D(Q)=\mathbb{C}^{2}\otimes(D(d^{2}/dx^{2})\cap D(x^{2}))$
上で自己共役で離散固有値
$E_{0}\leq E_{1}\leq E_{2}\leq\cdots\nearrow\infty$
のみもつ．
$\alpha=\beta$
のとき，
$Q(\alpha, \beta)$は
2
つの調和振動子の直和と同型になる
;
故にこのとき全ての固有値は
2
重に縮退している．
一方で
$\alpha\neq\beta$のとき，
$Q(\alpha, \beta)$は調和振動子の
$q$-
変形と見なすことが出来る．ここで
$q=\beta/\alpha$
または
$q=\alpha/\beta$
.
また，このとき
$Q$
のスペクトルは縮退の様子もこめて非自
明である．最低固有値
$E=E_{0}$
に対応する固有ベクトルを基底状態と呼ぶ．非可換調
和振動子が定義されて以来の未解決問題に
「
$Q(\alpha, \beta)$の固有値の縮退度を決めよ」
というものがある．いま，
$\alpha\neq\beta$としよう．
$E_{n}=E_{n}(\alpha, \beta)$
は
$n$
番目の固有値を表すと
する．写像
$c_{\eta}$:
$(\alpha, \beta)\mapsto E_{n}(\alpha, \beta)\in \mathbb{R}$は固有値曲線と呼ばれている．固有値の縮退度
を評価することは固有値曲線の交点を調べることに帰着される．
1.3.
今までの研究経過．縮退度に関する今までの研究結果を紹介する．
[PW03]
で全ての固有値の縮退度はたかだか 3 であることが示された．また別証明
が
[OchOl]
にある．
数値計算レベルでは
[NNW02]
で交点の様子が調べられている．ここでは最低固有
値に交点がないことが示唆された．
[IW07]
では
$(n- \frac{1}{2})\min\{\alpha, \beta\}\sqrt{\frac{\alpha\beta-1}{\alpha\beta}}\leq E_{2n-1}\leq E_{2n}\leq(n-\frac{1}{2})\max\{\alpha, \beta\}\sqrt{\frac{\alpha\beta-1}{\alpha\beta}}$
が導かれた．これから
$E$
の縮退度は
$\beta$$<3\alpha$
または
$\alpha<3\beta$
のとき
2
以下であること
がわかる．
[Par04]
では
$\alpha\beta$が十分に大きいとき
$E$
が単純であることが示された．
[HS12]
では
$(\alpha, \beta)\in D$
西
$=\{(\alpha, \beta)|\alpha, \beta>\sqrt{2}\}$
で
$E$
の縮退度は
2
以下で，その固有
ベクトルは偶関数であることが示された．また，
$(\alpha, \beta)\in D$
なるある集合
$D\subset D$
西で
$E$
が単純であることが示された．
[Wak12]
で，
$\alpha\neq\beta$のとき基底状態が全て偶関数であれば，
$E$
は単純であることが示
された．これから
[Wak12]
と
[HS12]
を合わせれば，
$E$
が
$(\alpha, \beta)\in D$
西で単純であるこ
とがわかる．
2.
$Q(\alpha, \beta)$の分解
2.1.
$Q(\alpha, \beta)$の分解．生成消滅作用素
$a^{*},$$a$で
$Q$
を表すと見通しがよくなる．
$a= \frac{1}{\sqrt{2}}(x+\frac{d}{dx}) , a^{*}=\frac{1}{\sqrt{2}}(x-\frac{d}{dx})$
としよう．このとき
$Q$
は
$Q=A(a^{*}a+ \frac{1}{2})+\frac{J}{2}(aa-a^{*}a^{*})$
(2.1)
のように表せる．
$\mathcal{H}_{+}$(resp.
$\mathcal{H}_{-}$)
を偶関数の部分空間とする
(resp. 奇関数
).
そして
$P_{+}$
(resp.
$P_{-}$)
を
$\mathcal{H}_{+}$(resp.
$\mathcal{H}_{-}$)
への射影とする．
$|n\rangle$を
$a^{*}a$の
$n$
番目の固有ベクトル
とする，i.e.,
$|n \rangle=\frac{1}{\sqrt{n!}}(a^{*})^{n}|0\rangle$.
ここで
$|0\rangle=\pi^{-1/4}e^{-x^{2}/2}.$
$\mathbb{C}|n\rangle$を
$|n\rangle$で張られる
1
次
元空間とする．その結果
$L^{2}(\mathbb{R})=\oplus_{n=0}^{\infty}\mathbb{C}|n\rangle$が従う．よって全ヒルベルト空間は
$\mathcal{H}\cong\{(\begin{array}{l}XY\end{array}) X, Y\in\bigoplus_{n=0}^{\infty}\mathbb{C}|n\rangle\}\cong\bigoplus_{n=0}^{\infty}\mathcal{H}_{n}, \mathcal{H}_{n}=(_{\mathbb{C}|n\rangle}^{\mathbb{C}|n\rangle})$
.
以下でこの同型対応は断りなしで使う．
$a|n\rangle=\sqrt{n}|n-1\rangle,$ $a^{*}|n\rangle=\sqrt{n+1}|n+1\rangle$
な
ので，
$aa:\mathcal{H}_{n}arrow \mathcal{H}_{n-2},$ $a^{*}a^{*}:\mathcal{H}_{n}arrow \mathcal{H}_{n+2}$となる．さらに
$a^{*}a$は
$\mathcal{H}_{n}$を不変にしてい
る．よって
$Q:\mathcal{H}_{n}arrow \mathcal{H}_{n-2}\oplus \mathcal{H}_{n}\oplus \mathcal{H}_{n+2}$.
これらの考察から
$Q$
の不変部分空間を見つ
けることが出来る．
$\mathbb{C}|n\rangle$への直交射影を
$|n\rangle\langle n|$とする．そして
$P_{\uparrow}(n)=(0 oo) , P_{\downarrow}(n)=(\begin{array}{ll}0 00 |n\rangle\langle n|\end{array})$
(2.2)
とする．
$T_{+1}= \sum_{n=0}^{\infty}(P_{\uparrow}(4n)+P_{\downarrow}(4n+2$
$T_{+2}= \sum_{n=0}^{\infty}(P_{\downarrow}(4n)+P_{\uparrow}(4n+2$
$T_{-1}= \sum_{n=0}^{\infty}(P_{\uparrow}(4n+1)+P_{\downarrow}(4n+3$
$T_{-2}= \sum_{n=0}^{\infty}(P_{\downarrow}(4n+1)+P_{\uparrow}(4n+3$
$|2n\rangle$
は偶関数，
$|2n+1\rangle$
は奇関数なので
$T_{+1}+T_{+2}=P_{+},$ $T_{-1}+T_{-2}=P_{-}$
となる．
$\mathcal{H}_{\sigma p}=Ran(T_{\sigma p})$
としよう．このとき
$\mathcal{H}$は
$\mathcal{H}=\bigoplus_{\sigma=\pm,p=1,2}\mathcal{H}_{\sigma p}$
(2.3)
Lemma
2.1
([HS13]).
作用素
$Q$
は
$\mathcal{H}\sigma$p,
$\sigma=\pm,$
$p=1,2$
,
で
reduce
される．
Proof.
$a^{2}P_{j}(n)\supset P_{j}(n-2)a^{2},$
$a^{*}a^{*}P_{j}(n)\supset P_{j}(n+2)a^{*}a^{*},$
$a^{*}aP_{j}(n)\supset P_{j}(n)a^{*}a,$
$n=0$
,
1, 2,
$\cdots,$$j=\uparrow,$
$\downarrow$
.
がわかる．明らかに
$AP_{j}(n)=P_{j}(n)A,$
$JP_{\uparrow}(n)=P_{\downarrow}(n)J,$
$JP_{\downarrow}(n)=P_{\uparrow}(n)J$
となる．それで
$QT_{\sigma p}\supset T_{\sigma p}Q$となり，定理が従う．口
$Q_{\sigma p}=Q$
「
$\mathcal{H}_{\sigma p}$としよう．このとき
$Q= \bigoplus_{\sigma=\pm_{)}p=1,2}Q_{\sigma p}$(2.4)
となる．
FIGURE 1.
$\blacksquare$は
$T_{+1}$の値域
FIGURE 2.
$\blacksquare$は
$T_{+2}$の値域
FIGURE
3.
$\blacksquare$は
$T_{-1}$の値域
FIGURE
4.
$\blacksquare$は
$T_{-2}$の値域
2.2.
Jacobi
行列表現．
$U_{+1}= \sum_{n=0}^{\infty}(P_{\uparrow}(8n)+P_{\downarrow}(8n+2))-\sum_{n=0}^{\infty}(P_{\uparrow}(8n+4)+P_{\downarrow}(8n+6))$
(2.5)
としよう．この作用素は
$\mathcal{H}_{+1}$上のユニタリーで
$\overline{Q}_{+1}=U_{+1}^{-1}Q_{+1}U_{+1}=T_{+1}(A(a^{*}a+\frac{1}{2})-\frac{S}{2}(aa+a^{*}a^{*}))T_{+1}$
(2.6)
となる．ここで
$S=$
$(_{1}^{0}$$01)$
.
同様にユニタリー
$U_{+2},$ $U_{-1},$
$U_{-2}$で
$\overline{Q}_{+2}=U_{+2}^{-1}Q_{+1}U_{+2}=T_{+2}(A(a^{*}a+\frac{1}{2})-\frac{S}{2}(aa+a^{*}a^{*}))T_{+2},$
$\overline{Q}_{-1}=U_{-1}^{-1}Q_{-1}U_{-1}=T_{-1}(A(a^{*}a+\frac{1}{2})-\frac{S}{2}(aa+a^{*}a^{*}))T_{-1},$
$\overline{Q}_{-2}=U_{-2}^{-1}Q_{-2}U_{-2}=T_{-2}(A(a^{*}a+\frac{1}{2})-\frac{S}{2}(aa+a^{*}a^{*}))T_{-2}$
なるものが構成できる．数列
$a=(a_{0}, a_{1}, a_{2}, \cdots)$
と
$b=(b_{0}, b_{1}, , b_{2}, \cdots)$
に対して，
Jacobi
行列を次で定義する．
$J(a, b)=(_{0}^{b_{0}}a_{0}$
$a_{1}a_{0}b_{1}$ $a_{1}b_{2}$.
$\cdots$ $0.\cdot)$(2.7)
この作用素は
$\ell^{2}=\ell^{2}(\mathbb{N}_{0})$に作用する．ここで
$\mathbb{N}_{0}=\mathbb{N}\cup\{0\}.$$a_{+}(n)=-\sqrt{(2n+1)(2n+2)},$
$a_{-}(n)=-\sqrt{(2n+2)(2n+3)},$
$n=0$
, 1, 2,
$\cdots$$b_{+1}(n)=\{\begin{array}{ll}\alpha(1+4n) for even n\beta(1+4n) for odd n,\end{array}$
$b_{+2}(n)=b_{+1}(n)|_{(\alpha,\beta)arrow(\beta,\alpha)},$
$b_{-1}(n)=\{\begin{array}{ll}\alpha(3+4n) for even n\beta(3+4n) for odd n,\end{array}$
$b_{-2}(n)=b_{-1}(n)|_{(\alpha,\beta)arrow(\beta,\alpha)}$
として
$a_{\sigma}=$$(a_{\sigma}(O), a_{\sigma}(1), \cdots)$
,
$b_{\sigma p}=(b_{\sigma p}(0), b_{\sigma p}(1)\cdots)$
とおく．Jacobi 行列
$\hat{Q}_{\sigma p}$を
$\hat{Q}_{\sigma p}=\frac{1}{2}J(a_{\sigma}, b_{\sigma p})$
(2.8)
によって定義する．集合 $\{(0)$
,
$(\begin{array}{ll} 0|4n +2\rangle\end{array}),$$n=0$
,
1, 2,
は
$\mathcal{H}+$1
の完全正規直交
系になる．
$e_{n}=(\delta_{n,j})_{j_{=0}}^{\infty}\in\ell^{2}$は
$\ell^{2}$の標準的な基底．ユニタリー作用素乳
1:
$\mathcal{H}_{+1}arrow\ell^{2}$を
$Y_{+1}(^{|4}0^{n\rangle})=e_{2n},$
$Y_{+1}(\begin{array}{ll} 0|4n +2\rangle\end{array})=e_{2n+1}$で定める．そうすると
$Q_{+1}$
を
$\hat{Q}_{+1}=$
$Y_{+1}\overline{Q}_{+1}Y_{+1}^{-1}$
と思える．同様にユ
タリー作用素を定義して次の
Lemma
をえる．
$\alpha=\beta$
のとき
$\hat{Q}_{\sigma 1}=\hat{Q}_{\sigma 2}$になる．具体的には
$\hat{Q}_{\sigma p}$は次のように与えられる．
$\hat{Q}_{+1}=\frac{1}{2} (^{-\sqrt{12}}0\alpha -\sqrt{34}-\sqrt{12}5\beta -\sqrt{56}-\sqrt{34}9\alpha -\sqrt{78}-\sqrt{56}13\beta -\sqrt{910}-\sqrt{78}17\alpha -\sqrt{9.10}2.1\beta 0)$
,
$\hat{Q}_{-2}\hat{Q}_{-1}\hat{Q}_{+2} \frac{1}{2}(^{-\sqrt{23}}\frac{1}{2}(^{-\sqrt{23}}\frac{1}{2}(^{-\sqrt{12}}003\beta 03\alpha\beta -\sqrt{45}-\sqrt{23}-\sqrt{45}-\sqrt{23}-\sqrt{34}-\sqrt{12}7\alpha 7\beta 5\alpha -\sqrt{67}-\sqrt{45}-\sqrt{67}-\sqrt{45}-\sqrt{56}-\sqrt{34}11\beta 11\alpha 9\beta -\sqrt{89}-\sqrt{67}-\sqrt{89}-\sqrt{67}-\sqrt{78}-\sqrt{56}15\alpha 15\beta 13\alpha -\sqrt{1011}-\sqrt{1011}-\sqrt{910}-\sqrt{78}-\sqrt{89}-\sqrt{89}17\beta 19\beta 19\alpha-\sqrt{9.10}..\cdot.\cdot\cdot)_{)}-\sqrt{1.011}.\cdot..\cdot.\cdots)-\sqrt{1.011}2.1\alpha 2.3\alpha 2.3\beta 0..\cdot 00’.$
’
Lemma 2.3.
$Q_{\sigma p},$$\sigma=\pm,$
$p=1$
,
2,
の固有値は単純である．
Proof.
$\lambda$を
$\hat{Q}_{+1}$の固有値で
$u=(u_{n})_{n=0}^{\infty}\in\ell^{2}$
を固有ベクトルとする．このとき漸化式
$u_{n+1}=a_{+}(n)^{-1}((\lambda-b_{+1}(n))u_{n}-a_{+}(n-1)u_{n-1}) , n\in \mathbb{N}_{0}$
,
(2.9)
$u_{-1}=0$
(2.10)
が従う．
$a_{+}(n)\neq 0$
に注意せよ．
$(2.9)-(2.10)$
の解は
$u_{0}\in \mathbb{C}$によって一意的に決まる．
その結果
$\hat{Q}_{+1}$の固有値は単純である．他の場合も同様に示せる．口
$\lambda_{\sigma p}(n)=\lambda_{\sigma p}(n, \alpha, \beta)$
を第
$n$
番目の
$Q_{\sigma p}$の固有値とする．このとき
$\{\lambda_{\sigma p}(n)\}_{n=0}^{\infty}=$Corollary 2.4.
固有値曲線
$F\{(\alpha, \beta)\mapsto\lambda_{\sigma p}(n)=\lambda_{\sigma p}(n, \alpha, \beta), n=0, 1, 2, 3, \cdots\}$
は
交点を持たない．つまり任意の
$(\alpha, \beta)$と
$n\neq m$
に対して，
$\lambda_{\sigma p}(n, \alpha, \beta)\neq\lambda_{\sigma p}(m, \alpha, \beta)$.
3.
最低固有値の単純性
この論文の主定理は以下である．
Theorem 3.1.
[HS13]
$\alpha\neq\beta$とする．このとき
$Q(\alpha, \beta)$の最低固有値は単純である．
この定理を証明するために次の
Proposition
を応用する．
Proposition
3.2.
次の
(1),(勿を仮定する:(1)
$\alpha\neq\beta;(2)$
全ての
$Q$
基底状態が偶関
数．このとき
$Q(\alpha, \beta)$の最低固有値は単純である．
Proof.
[Wak12]
をみよ．口
$Q_{\sigma}=Q_{\sigma 1}\oplus Q_{\sigma 2},$
$\sigma=+,$
$-$
とする．このとき
$Q$
は遇と奇に直和分解できる
:
$Q=$
$Q_{+}\oplus Q_{-}.$
$E_{\sigma}= \inf Spec(Q_{\sigma})$
としよう．
Lemma 3.3.
$u=(\begin{array}{l}u_{1}u_{2}\end{array})$を
$Q$
の固有ベクトルとする．このとき
$u_{j}\in C^{3}(\mathbb{R})$.
Proof.
固有値方程式
$A(- \frac{1}{2}\frac{d^{2}}{dx^{2}}+\frac{1}{2}x^{2})u+J(x\frac{d}{dx}+\frac{1}{2})u=\lambda u$
から
$\frac{1}{4}\frac{d^{4}}{dx^{4}}u=(-\frac{1}{2}\frac{d^{2}}{dx^{2}})\{\lambda A^{-1}-\frac{x^{2}}{2}-A^{-1}J(x\frac{d}{dx}+\frac{1}{2})\}u$
$= \frac{1}{2}[\frac{d^{2}}{dx^{2}}, \frac{x^{2}}{2}+A^{-1}Jx\frac{d}{dx}]u+\{\lambda A^{-1}-\frac{x^{2}}{2}-A^{-1}J(x\frac{d}{dx}+\frac{1}{2})\}^{2}u$
$=(x \frac{d}{dx}+\frac{1}{2})u+A^{-1}J\frac{d^{2}}{dx^{2}}u+\{\lambda A^{-1}-\frac{x^{2}}{2}-A^{-1}J(x\frac{d}{dx}+\frac{1}{2})\}^{2}$
(3.1)
が超関数の意味でわかる．
$u_{j}\in D(x^{2})\cap D(d^{2}/dx^{2})$
に注意する．
$x^{2}u_{j},$$d^{2}u_{j}/dx^{2}\in L^{2}(\mathbb{R})$
なので，
$u_{j}\in W_{1oc}^{4,2}(\mathbb{R})$が
(3.1)
からわかる．ソボレフの埋蔵定理から
$u_{1},$$u_{2}\in C^{3}(\mathbb{R})$
が
従う．口
Proof.
$\Phi_{-=}(\begin{array}{l}\Phi_{-1}\Phi_{-2}\end{array})$を規格化された
$Q_{-}$の基底状態とする．
$\Phi_{-j},$$j=1$
, 2,
は奇関数で
ある．偶関数
$\tilde{\Phi}_{-}\in \mathcal{H}_{+}$を
$\tilde{\Phi}_{-=}(\begin{array}{l}\tilde{\Phi}_{-1}\tilde{\Phi}_{-2}\end{array}),$ $\tilde{\Phi}_{-j}(x)=\{\begin{array}{l}\Phi_{-j}(x) , if x\geq 0,-\Phi_{-j}(x) , if x<0.\end{array}$
で定義する．
$\tilde{\Phi}_{-j}\in D(-d^{2}/dx^{2})$
と
$\Vert(d/dx)\tilde{\Phi}_{-j}\Vert^{2}=\Vert(d/dx)\Phi_{-j}\Vert^{2},$
$( \tilde{\Phi}_{-j’}, x\frac{d}{dx}\tilde{\Phi}_{-j})=(\tilde{\Phi}_{-j’}, x\frac{d}{dx}\tilde{\Phi}_{-j})$,
$j’,j=1$
,
2
に注意する．そうすると
$E_{+}\leq(\tilde{\Phi}_{-}, Q\tilde{\Phi}_{-})=(\Phi_{-}, Q\Phi_{-})=E_{-}$
.
(3.2)
故に
$E_{+}\leq E_{-}$
.
口
Lemma
3.5.
$E+<E_{-}$
が従う．
Proof.
$E_{+}=E_{-}$
と仮定する．このとき
(3.2)
から
$E_{+}=(\tilde{\Phi}_{-}, Q\tilde{\Phi}_{-})$.
これは
$\tilde{\Phi}_{-}$
が
$Q_{+}$
の基底状態であることに他ならない．一方
$\tilde{\Phi}_{-}$
は
$Q$
の固有ベクトルでその固有値
は
$E_{+}$.
よって
$\tilde{\Phi}_{-j}\in C^{3}(\mathbb{R}).\tilde{\Phi}$を規格化して
$\Vert\tilde{\Phi}\Vert=1$とする．
$\Phi_{-j}$が奇であるから
(resp.
$\tilde{\Phi}_{-j}$は遇
),
次が従う．
$\Phi_{-}(0)=(\begin{array}{l}00\end{array})=\tilde{\Phi}_{-}(O)$ $($resp.
$\frac{d}{dx}\tilde{\Phi}_{-j}(O)=(\begin{array}{l}00\end{array}))$.
ゆえに
$\tilde{\Phi}_{-j}$
は常微分方程式
$\frac{d}{dx}(\begin{array}{l}\tilde{\Phi}_{-1}\tilde{\Phi}_{-2}\tilde{\Phi}_{-1}’\tilde{\Phi}_{-2}’\end{array})= (x^{2}+\frac{2E+}{\alpha}\frac{1}{\beta}00 x^{2_{-\frac{a_{E+}1}{\beta}}^{-\frac{}{}}}00 \frac{2x001}{\beta} -00\frac{12x}{\alpha})(\begin{array}{l}\tilde{\Phi}_{-1}\tilde{\Phi}_{-2}\tilde{\Phi}_{-1}’\tilde{\Phi}_{-2}’\end{array})$
(3.3)
$(\begin{array}{l}\tilde{\Phi}_{-1}(0)\tilde{\Phi}_{-2}(0)\tilde{\Phi}_{-1}’(0)\tilde{\Phi}_{-2}’(0)\end{array})=(\begin{array}{l}0000\end{array})$
