薄肉円弧曲線ばりの有限変位問題の定式化
深沢泰晴
河西晴征（昭和50年9月1日受理）
Formulation of Finite Displacement Problems for
Thin-Walled Beams with Circularly Curved Axis
YasuharuFUKASAWA HaruyukiKASAI
Abstract On the basis of concept of initial stress， the general equations governing both the finite displacement and the elastic instabilty of thin・walled circularly curved beams with open and closed constant cross section，under axial force， bending and torsion，are formulated by employing the assumption of non・deformable cross section and the well−established assumptions on shear strains． The present theory has been developed considering the difference of curvature of each generator of which curved beams are composed， and hence the formulations are applicable to curved beams of any degree of curvature provided that the overall dimensions and loading conditions are such that assumptions hold reasonably true．1．はじめに
曲線ばりの特質は，はりを構成する全母線が曲率を もっていて，しかもその曲率が母線ごとにほとんど異 なる点にある。曲線ばりの有限変位問題の研究は，ア ーチの曲率面内の曲げ挙動に関する古典的研究をはじ め，曲率面外への曲げねじれ問題など非常に多いが， そのすべてがこの母線ごとの曲率の差異を無視し， 全母線が同一の曲率をもつものとして解析している 1｝−6）。もちろん，曲率半径に対する，はりの曲率半径 方向の断面寸法の比が小さい場合（従来，10分の1以 下が一つの目安とされている）には，微小変位理論， 有限変位理論の別を問わず，そのような取り扱いで工 学上充分といえる。 しかしながら，その比が大きくなると，母線ごとの 曲率の差異を無視する解析では，当然精度上の問題が 生じてくるし，またそのような慣用理論では解析上の 仮定を統一的に設定できないため，理論展開上でも判 然としない面が多い。このような観点から，母線ごと の曲率の差異を考慮した研究が行われるようになった 7）−13） Bそれらはほとんど微小変位理論に関するもの であるが，さらに有限変位理論にまで発展させる必要 がある。本報告では，主として弾性安定問題の支配方 程式を誘導する目的で，線形化有限変位理論の立場か ら問題の解析を行なおうとするものである。 解析の手法としては，エネルギー原理に基づく方法 も考えられるが，ここでは初期応力の概念を通じて15） はりの微小要素に作用する力のつりあい条件から，問 題の支配方程式を直接求める方法によった。支配方程 式にはより一般性を与え，従来個々に取り上げられて きた各種の座屈形態を包括・統合する形にまとめた。 すなわち，この一般理論の特殊なケースとして，円弧 アーチの面内・面外座屈，曲率面に垂直な荷重を受け る曲線ばりの横倒れ座屈等の支配方程式を導くことが できる。 2． 微小変位理論の概要 ＊山梨大学大学院学生 まず，薄肉円弧曲線ばりの有限変位問題の解析にさ き立ち，その基礎となる微小変位理論の概要について 述べる。昭和50年12月 山梨大学工学部研究報告 第26号 （1） ひずみと変位の関係 本報告で扱う薄肉円弧曲線ばりの一例を，変形前の 状態でFig．1に示す。はり上の点を表す座標系とし て，右手系の円柱座標系（ρ，θ，ζ），デカルト座標系 ＠，y），および直交曲線座標系＠， s）をFig．1に 示すように定める。 通常のはり理論と同様に，三次元問題を一次元問題 に還元するために，薄肉曲線ばりのひずみ場の仮定と して次式を設定する； εx＝0， ε，」＝0， γa，y＝0 （2．1a−c） rnz一鴫（ρ＊2tγ＊Sa）一・13）（2・・2…b） ここに，εは直ひずみを，γはせん断ひずみを表す。 また，＊印は板厚中心線上（n＝0）での値を意味する。 tは板厚，2ははりの断面に垂直な方向を表す指標であ り，（X，y，2）が右手系を形成する方向を正とする。 微小変位理論におけるひずみと変位の関係式を用い て，式（2．1）および（2．2）を積分し，閉区間に対し てはSの一周についてのW＊の連続の条件
∫￡（：1）ds−・ （2・・）
を考慮すると，薄肉円弧曲線ばりの変位場が次のよう に求められる； u＝u、一（y−ys）q v＝・v、＋（x−Xs）ψw・・w・一（y一唯＋警・織）／
（2．4a−c）＋囑一・鯖9 ∫
ここに，u， v，2〃ははり上の任意点Pの変位ベクトル Uの成分であり，変形前のX，y，訪向の単位ベクトル をそれぞれix，も， iaとして次式で定義される； u ＝＝ Ulr十Vty十Wla また，Us， Vs，ω。およびopは積分定数であり，はりの 断面上に点S（κs，y、）およびC（x，， y，）を任意に定 めたとき（点SおよびCがはりの断面の板厚中心線上 の点でない場合には，はりの力学的性質に影響を及ば さない板厚t＝0の仮想の薄板でその点がはりに結合さ れていると考えればよい），ers， vsは点Sのu， vの値， w。は点Cのwの値であり，opはx−y面内における回 転を表し，断面内で一定値をとる。RsおよびR，は点 SおよびCを通る母線の曲率半径。（）’はθに関す る（）の微係数である。さらに，ωは点Sに関する単 位反りを表し，次式で定義される； ω一sー㍗一弦
ここに， 9＊一民〆∫詩姻・ −R・・“∫1，｝・h・＊ds当辮∫：il…ds
（2．5） ．開区間／ 1 （2．6a，b） ただし，∫（）dsは閉区間に対するSの一周線積分を表 す。阜＊は点CにおけるΩ＊の値である。さらに，ちお よび玩＊は次式で与えられる；蕊㌶鷲㌶勿｝（…7…b）
ここに，m，1は次式で定義される方向余弦である； 1＝C・・（n，X），〃Z＝C・S（n， y） 式（2． 4）の関係を知れば，それに対応するひずみ と変位の関係，すなわち式（2．1）および（2．2）の仮 定を満足するひずみ場が次のように求められる； s、一p｛（鷲＋黄＋㌣の ／
一（y−y，）磯＋竿・蓋磯）｛
一（x−Xc）（鎗針ω（昔劉
（a）General View O’ 0 （b）Cross Section「
，」1
メ
F ig．1Typical cross section and coordinate systems・・・θ
獅撃戟j
ここに， θ一デ・（ nl2十 ρ＊）’ （2．8a，b）j
、 ：開区間 閉区間「 j （2．9a， b） 他のひずみ成分ε。，ε、，γ。s，γnaは式（2．1）および （2．2）よりすべて0である。 （2） つりあい方程式 外力としてはりの単位体積あたりに作用する力pを 考え，次のように表す； P＝力孟十P，iy＋P， ia これらの外力を受けてつりあい状態にある曲線材のdθ に挾まれる微小要素に対する仮想仕事の原理は，εa， γsz以外のひずみ成分が0であることを考慮すると， 次のように書ける15）； L． （aaδ・・＋・・z6…）・dF 一∫．｛（・・δw＋T・・δu＋・y・δの’ 十Pxδu十p，」δv十Paδw｝dF＝0 （2．10） ここに，Fははりの断面積を表す。 式（2．4），（2．8）および（2．10）より，仮想変位 δUs，δVs，δW，，δq，δU’、，δV’s，δ〆の任意性からつり あい方程式が次のように得られる； 2VL Qy＋Rsqz＝O Q’y＋N＋R8％＝O Q’x十Rsq．x＝O T’十ルlx−YsN十RsMz＝0 ／ L （2．11a−d）f
（2．12a−c） ここに，応力の合力としての断面力が次のように定義 されている；Qx−∫〆口，一∫μE ！
（2．14a−c） T−∫。｛・，、 （v−Xs）一隔（y−y・）｝∂FJ また，はりの荷重として，点SまたはCを通る母線の 単位長さあたりの合力が次式で定義されている； q・一鈬｢呪qy一隠為4F ／
Mz一 ｮ｛Py（x−Xs）−Px（y−y，）｝dF｝∋羅ω4F
免一逞wA眠Mx−∫謡A（y−y・）dF
玲∫砥触一x・）・dF （3） 断面力と変位の関係J
（2．15a−g） 直応力と直ひずみの関係として棒理論で通常用いら れているHookeの法則をここでも仮定すると，応カー ひずみ関係は次のように書ける； oz＝Eεz， τsz＝Gγsa （2．16a， b） ここに，Eはヤング率， Gはせん断弾性係数。 式（2．8），（2．13）および（2．16）より断面力と変位 の関係式が得られる。ここでは，その関係式を簡潔な 表式にするために，いままで任意に定められていた点 O，DおよびSを，次式で表されるいわゆる直交条件 を満たすように選ぶ；庸4F一ぽ烏4F−・
∫。÷ω4F−・ ∫。÷ω・輌∫。÷・・dF−・ （2．17a， b） （2．18） （2．19a， b） 円弧曲線ぽりに対して，式（2．17）および（2．19）は それぞれ断面の中立点およびせん断中心の位置を与え る。式（2．18）は単位反りωが自己つりあい系である ためのS座標の原点を定める。 これらの直交条件を満たすいわゆる主座標を用いた 場合の断面力と変位の関係は次のようになる；N一
曹dF｛（窒＋量＋tR，x・・）＋Xc（誓＋最）＋Yc（荒＋竿・稔＋蓋）｝
Mx−一早oEJx（畿＋tR，Xe・籏＋畿）
＋EL（餐＋副
M，＝＝一ﾌ1｛E万確＋tR，Xq・蓋磯）
昭和50年12月 山梨大学工学部研究報告 第26号 ＋EJ・（鐸＋竃）｝ Mw−−EC・（ψ”Us”Rs2 Rs3）・T・t−GJ・t（麦一緩） （2．20a−e） ここに，円弧曲線ばりの断面定数が次式で定義されて いる；
司。㌣畷ん一∫。㌣・y4F
司。㌣・・dF・ Cw−∫。号ω・dF J・t−∫。言θ・dF 変位表示のつりあい方程式 （2．・21a−e） （4） 式（2．11），（2．12）および（2．20）より主座標を用 いた変位表示のつりあい方程式が得られる。 はり軸方向の変位Wcの定義点Cに関しては，点0， DおよびSの場合の直交条件に対応するような特別な 条件はない。しかしながら，点Cを点0あるいは点S に一致させると，式の構成が若干簡潔になる。ここで は点Cをせん断中心Sに一致させた場合の変位表示の つりあい方程式をTable 1に示す。 （5）応 力 場 式（2．8）で表されるひずみ場に対応する応力場は， 式（2．8）および（2．16）より得られる。これらの応力 を主座標を用いた式（2．20）の断面力で表すと・z一㌣・努＋争・鵠㍗・
＋争・雛り＋盟ω
臨一争・分θ （2．22a，b） 他の応力成分は0である。 式（2．22）で表される応力場は，微小要素における 力のつりあい条件を満たしていない。そこで通常のは り理論で行っているように，式（2．22a）の直応力と つりあうようにせん断応力の方を修正する（修正せん 断応力）。薄肉円弧曲線ぽりの微小要素tdsdθに作用す る力のZ方向のつりあい条件は次式で表される； 隷（ρ＊2…＊t）＋諸竺＋∫三、P・d・・… （2．23） ただし，薄肉の前提からσ、およびτ、，の板厚方向の分布 は近似的にnの一次式としている。 式（2．23）を積分し，積分定数は，開区間では自由 縁での境界条件（τsz＊＝0），閉区間ではsの一周に対 するw＊の連続の条件（式（2．3））によって定めると， 一2
鷺 ざ 一一 言 ざ
1 酵
ぷ 1
ぺ ぷ
l kt° ll ll ざ ＆一 吉 § 疋 1 ぷ 酵 ll §§ ＆一 1 ざ co 酵 n 篭 lq iミ
§‘る
臣iξ ぷ
き詩皐
頸。 因。酵1㎡ 陪1陪 尾1尾 1 − −’1㌻i
∋ド竿墨宰
ざ 一一一一一t−．rh＿＿ 1“ 1旦＿ ｜δピ ごe ザQIs ＋
ぎ…誤i㍉
§…㌶蕊
ピ1㎡…聞㎡ll岡
ぱ ’j lculミ
悲
1§
1醐罐
9 ．，［
ぎ… 匡…
国 1岡 ll‘ ゼ尼i
曇…ぶ1
雲慧…
ピ1蒔…ぺ1蒔1＿1
結局修正せん断応力τszが次のように求められる；
一÷・莞θ＋露 ・駆間
一警・舎・論・欝
⊥．．⊥ds ρ＊3 t− ・閉区間 （2．24a， b） なお，s1は開区間に対しては自由縁にとっているが， 閉区間に対しては任意点でよい。 3， 有限変位問題の支配方程式 ここに，バ調儂云＋些霧陛乏
＋甥炉響療＋舞・磨｝
ただし， P−∫：，td・， z・一∫：戸・ 乙・一∫：押ほ・一∫：1ω・tds4z一墨：ゴ鷺奔撚
＿互。 t （2．25） ｝（…26・−d） （2．27） ここでは，2．において述べた微小変位理論を基盤と し，いわゆる初期応力の概念を用いて，線形化有限変 位問題の支配方程式を誘導する。 （1）付加力の算定 微小変位理論によって計算される応力を，初期応力 σ、ゆ，τ訟、ゆおよびτya（°）（板厚方向の平均値を用いる が，＊印は省略する）とし，新たな変形に伴って初期 応力が生成する付加力（2次的力）を求める。 a）初期応力の作用方向の変化によって生ずる付加 力と付加モーメント 初期応力は，新たな変形に伴う作用方向の変化によ って付加力を生成する。その単位体積あたりの付加力 の変形前のX，）7，Z方向の成分をPx， P，J， P、とすると， Fig．2∼4を参照して 元一，θ［｛a・・°）＋d・z＋d（・⑩）＋d・x）｝（・y＋⇔吻）一（φゆ＋A・・）￠y］ 一あ［｛・ye （O）＋d… ＋・d（・・・…）＋d…）｝（o・＋d・）一（べ幽）・］ 瓦一，〉θ［｛σ、｛°｝＋dσa＋d（σ、（°）＋、4σ、）｝（￠・・＋・d￠・）一（a・・°・＋4嗣 ＋励［｛… ・°）＋A… ＋・d（・・…°・＋drxz）｝（・＋吻）一（T・…°）＋A…）・o・］ 元一一θ［ぽ域＋d（・・・…＋d・・）｝（＋幽）dθ 一吻［｛・xz…＋dTxa ＋ d（T・・ ・・）＋A・xz）｝・（￠・＋dth・一・d・）一（T・・ … ＋・d…）￠y］ 一㍍〔｛… …＋a・・， ＋ d（T・…°・＋A・・z）｝（晦幽）一一（聯⑨＋A・・g）thx］ 0 0 o卜一ρ∂θ一一1一判琴≡ヨr
at⊥d・、⊥d（a；°』＋dσ、） （a） y巨苦ヨ、θ
（b） 6，＋dφx σ2°‘＋4φ胡ら‘σ‘＋da，） Fig．2昭和50年12月 山梨大学工学部研究報告 第26号 0 0 2
繊叫巨ヨザ
0 （a） lt’一 v「〉惚
び （a） ここに，∠の，Aτxz，編は新たな変位（Us V・， W， q） に伴って生ずる応力を意味する。また，φ。および克は y−Z面およびX−Z面に平行な平面内における着目母線の 接線回転角であり，次式で表される； φ。一⊥（vt＋w），φ，一㌔’ （3．1） ρ ρ 9， φx， φy， dθ， ∠1σ9， ∠tτxz， ∠τ∼ノz， dσz（o）， dτa9（o）， 4石｛o）を1次の微小量，吻，dφx， d￠y， d（da，）， d （τ。z）， d（Tya）を2次の微小量と考えると，九，九， P、 は〔〕内の3次以上の微小項を省略して次のように 書きかえられる； 元一1｛（。、…φ，・一。，、…q）L・a…9，）｝ ρ S， ＝＝ ・！（σ、…φx＋r。、…q）’ ρ ii）、一⊥｛（。x、…φ、＋。、z…φx）’＋・、…φ。一・xz…9C）） ρ （3．2a−c） 式（3．2）で表される付加力の成分を，はりの全断 面にわたって積分し，定点Sを通る母線の単位長さあ たりの合力の成分で表すとひ融φ・・φ・一・騨％）’匹訊砺曜
島一鮭（a・…＋＋・・z…q）’dFz−一怠ぽ幅w〃 ［
s 一点∫。（aa・°・￠x−T…°・gc））dF O y （b） φ．＋dφ、 y z 認尚τ、∫‘ u＋du 9十dψ ryl°i ＋dTy、＋d〔ry、° ＝−LITy、：，．㍑㌔o爆＋眠娠，
Cb） Fig．3 Fig．4 厄1一貴∫。｛（σ、（°｝ ￠．。 ＋ Txa（°〕9・P）（X−Xs） s （3．3a−c） 一（σ、（°｝95y一τy、（°切（y一夕、）｝dF ＋副。φ…（y−・・）dF （3・・4） b）初期応力の作用点の変位によって生ずる付加モ ーメント 初期応力は新たな変位に対して付加モーメソトを生 成する。その単位体積あたりの付加モーメントのねじ りモーメント成分をdM，2とすると， Fig．2およびFig．3 を参照して 碗・一訪［｛a・・°）＋d・・＋d（a…’°・＋d・・）｝dθ（・・＋d・）］ ＋晶［｛・？」z・°・＋dVye＋d（・’…°・＋zd・・a） ｝（u＋d・） 一（・yz・旬梅）・］一励［｛7xz…輪＋ 1 d（・xa（°）＋d…）｝＠＋dv）一（・…（°）＋d…）v」 ee， vを1次の微小量， du， dvを2次の微小量とし， 〔〕内の3次以上の微小項を省略すると， ⑭・一丁｛a・…u＋（τ，、（°）u−・Txz（°）v）’｝（3・・） 式（3．5）のねじリモーメソトを全断面にわたって 積分し，定点Sを通る母線の単位長さあたりの合力で 表すと鶴・−ltl∫。・・ ・・1 ・・dF＋点∫。（・・yz・°・U−…1°｝の斑 （3．6） c）外力の作用点の変位によって生ずる付加モーメ ソト 作用外力は，新たな変位に対してその作用位置を変 えるため，付加モーメントを生成する。その単位体積 あたりの付加モーメソトのねじりモーメント成分を dM、3とすると diZa3＝カyU−Pxv （3・7） したがって，定点Sを通る母線の単位長さあたりの合 力で表せば
rha・一走∫。輌一城F （3・・8）
3 以上より，付加力の変形前のX，y，2方向の成分q。， a，，，il、は式（3．3）で表され，また付加モーメソトMx は式（3．4），（3．6）および（3．8）の和として次式で表 される； 死一麦∫。｛（・x・°・￠x＋T・・ （°’ o・）（x−Xs） 一（az…？Jφ一・yfl・…n）（y−y・）｝dF ＋ピレ・・（・−Y・）dF＋点∫把）udF貼（・yz・①・一㌔⑩w
＋麦∫。ρ（P…一・P・v）dF （3・・9） なお，付加モーメントのうち，Mx， my， m、成分は通 常のはり理論の場合と同様に無視する。 （2）付加力の断面力表示 はり上の任意点の変位ac， v， wと定点Sを通る母線 の変位Us， v，， w、の間の関係は，式（2．4）において， サフィクスCをSに置き換えて次のように得られる；鶯ξ蕊一ぽ＿｝
（3．10a−c） ここに，φ。s，晦、は定点Sを通る母線のy−z面， x−a面 に平行な平面内の接線回転角であり，式（3．1）に対 応して次式で表される； ￠xs−lt1（v・’・＋Ws）・φ㏄一毎 （3・・1・， b） また，ψ、は定点Sを通る母線のねじれ率である。すな わち iPs一丸（・’−tl−u・’t） （3・12 s） これらの接線回転角およびねじれ率と任意母線の接線 回転角φ。，砺との間には，近似的に次式が成り立つ；‡：蕊二㍍／Rs）当（3・・13…b）
式（3．3）および（3．9）に，式（3．10）および（3． 13）を代入すると，付加力が初期応力の合力としての 初期断面力と，定点Sの変位とによって次のように表 される； a・一量（NCO）φyS−Mx（0｝ψ、−Qッ〈0）ψ）L麦N・％ 4・＝k，｛N（°｝￠xs＋（My・°）−Mw・°）／R・）iPs ＋Qx（o）ψ｝’ Z−一走（Qx（°）φ丙＋O・（°）￠・S＋T（°W 才｛N・°）￠・s＋（M・・°）−M・・°・／R・）iPs −Q。（o）q｝ 死一麦｛M・J（°）95xs−Mx（°）φ・JS＋Qy・°）U・−Qx・°・Vs ＋（β・N（o）＋βノMx（o）＋βyMy（o） ＋B・・Mw…）・bs｝’＋止（N…U−Mx…q） 十的μ一色〃一（色ら十％烏）ψ （3．14a−d） ここに， N…一レ・・）dF・Mx…r＝ S。az…ydF M，…一∫．aa・…dF・ M・…一∫．・・…ω4F Qx…一∫〆・・dF・Qy…一∫、．τyz…dF T…−SF｛・ya・°’ （・・−Xs）−Tx2・°）（y−y・）｝dF （3．15a−g） β01V（o）＋βxMx（o）＋β〃ルfシ（o）＋βωMw（o） ∫別ぽ）・＋（y−y・）・−kto （x−x，）｝dF （3．16） ら一捻九ぽ）4当 （3．．17。，、b）局昔隠蜘一Ys）dF／
（3） 支配方程式 初期応力を有する曲線ぽりの微小要素に作用する力 のつりあい方程式は，2．で求めた微小変位理論におけ るつりあい方程式（たとえば，Table 1の方程式）の外 力（q。，qy， q、，微， My， M、， m。）をそれぞれ，式 （3．14）で表される付加力（il。，的， q、， M。≒0， MJ ≒0，M、， m。≒0）で置き換えて得られる。 また，変形を考慮した曲線ぽりの微小要素に作用す る力のつりあい方程式は，微小変位理論におけるつり昭和50年12月 山梨大学工学部研究報告 第26号 あい方程式の外力（q・・q，・q・，Mx， My， Ma， Md、）に それぞれ，式（3．14）で表される付加力（弘砺ζ、， Mx≒0， M。J≒0， Mg， m。≒0）を重ね合わせて得られ る。 前者は薄肉円弧曲線ばりの弾性安定問題の最も一般 的な支配方程式であり，後者はいわゆる線形化有限変 位問題の支配方程式にほかならない。
