透水性地盤及び止水壁の深さが取水ダム底面に作用する揚圧力に及ぼす影響について

(1)

透水性地盤及び止水壁の深さが取水ダム底面に作用する

揚圧力に及ぼす影響について

中崎昭人・篠和夫

(農学部構築工学研究室)

On the Influence of the Thickness of Permeable Layer

and the Depth of Sheetpilesfor Uplift Pressure

Acting

on the Base･of ａ Dam

Akito Nakazaki and Kazuo Shino

Ｌａｂｏｒｏtｏｒ＾ｉｏｆＣｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎＥｎｇｉａｅｅｒｉｎｇ, Ｆａｃｕlｔ:ｙｏ/. Ａｇｒicｕlｔｕｒｅ

Abstract: In this paper, the influence ｌof the thickness of permeable layer and the

depth of sheetpiles for uplift pressure acting on the base ｏｆ･ａdam. Uplift pressure

is calculated using the ･variables ｄ，ｅ and ｌ:，in whichμis ａ depth of sheetpiles, e is

thickness of permeable layer and l is width of dam. Parameters used are e/l. d/e. and

d／1｡

Results obtained are as f0110ｗｓ:In the case which d/e = O.O, it can be considered that

there is no effect of parameter, e/l, for uplift pressure distribution in over e/l = 3.0.

1n the case which eA is over l,0 and d/l is about 0.5, total uplift pressre decreases

by approximately 60％tｏ that of the case of no sheetpiles. There is ｎｏ･effect of e/l

for total uplift pressure in ｏ･ｖｅｒe/Z=3.0.

Ｉ．．まえがき透水性地盤上に取水ダムを設ける場合，上・下流の水位差によって起こる浸透流やパイピング現象の抑制のために取水ダム下に止水壁を設置することが行われている．この止水壁は，また，取水ダム底面に作用する揚圧力に影響を与え，取水ダムの安定に大きく寄与していることはよく知られていることである1).一般に，取水ダム上流端に止水壁を設け，その深さが深い程，揚圧力の軽減に対し効果的である．しかしながら．透水性地盤の深さと関連しての効果については十分系統的に解明されていないように思われる．ここでは，上・下流方向に無限で，下方有限な透水性地盤上に築造された取水ダム底面の上流端に鉛直な止水壁を設置したとき，透水性地盤及び止水壁の深さが取水ダム底面に作用する揚圧力にどのような影響を及ぼすかを明らかにするために，等角写像法による理論解析を行い，その解を計算することによって，取水ダム底面幅に対する透水性地盤の深さや止氷壁の深さによる揚圧力を求め比較検討することにした．･Ｕ。理論解析Ｍ. Ｍｕsｋａt2）によれば. Fig. 1におけるｚ一平面とぐ一平面との関係は，Ｚ - ＝ CI＿__ 2へ/７二Ｔ万l￣二￣F−へ/ぐこＴ･v lj￣十C2....･.･へ/７￣二￣r＋へ耳￣「

(2)

６川 26 と表わされる．ここに，知大 CIエう!Ｌｃｏt（昔） C2= 0 m = cosecｽﾞｼﾌﾞ･学術研究報告第33巻自然科学 1･‘＝1十Ｃｏt‘いΞΣ）.tａｎｈ゛て（1一万）また, (1)式中のへ/？Ｔ‘Ｆの符号はC<-1のときはー，ぐ＞１のときは十，−１≦ぐ≦１のときは十iとするとされている． ← ｚ．→ Ｂ（ａ）実平面ど 7 (b) z一平面ﾌﾌ０１（ｃ）ζ一平面 Fig. １．実平面，ｚ一平面，ζ一平面Ｄズ ξ

(3)

透水性地盤及び止氷壁の深さが取水ダム底面に作用する揚圧力に及ぼす影響について（中峙・m) 27 ここで, Fig. ２のように止水壁が取水ダム底面の上流端にある場合を考えると, x= 0であるから， α＝１ &２＝１十ｃｏt2（普) tanh昔となる． ε 1--一一 Z→ 力 2 Fig.2.実平面．また，へ/Ｆ二〒の符号については，これを岬￣二Ｔ・沢耳丁と表わして，ＪＴＴとへ/乙石￣の積と考えれば，先のMuskatが示した条件は満足される．従って, (1)式は， πj cｏt（- 2e ） (2) −＿こごー πヘマ'- 1 となる．へ/７二Ｔ−へ/了丁rへ/ご汀へ/アＴＬ一万二Ｔへ匹Ｔここで，（＝ぐ+ triであるから，ｒl≡｛（ご−1）2＋が｝1coS（ﾐ･tan とおき，さらに，ｱ'3Ξri7-2 − S＼S2 S3ΞΓiS2 + r2 5i ）ｱ7 ぐ−１

;I≡｛（ぐ−1）2十が｝4 sin (-tan-六）・2≡｛（ぐ＋1）2＋が｝４ｃｏs（ﾁtan"'☆）

(4)

28 とおくと，知大学学へ匹￣Fへ/C + 1 = rz + is3 となり，劃た，としとするとへ/？ＴＴ。ｃｏt（普）Ｅα r4Ξ .S4Ξ log (Z2 _{r32 − S32} ((Z十ｒ３)２十ぶ32 2a S3 -((Z＋ｒ3)2十,＆32 告第33巻自然科学

石ｙ二了-、/二T、/耳〒１

゜べ- In ir,'十り2)十j'ltan"

石7Tこ丁ＷＦＴ図Tご７Ｔ￣2

となる。従って，（２）式は，ｚ。−ことなり，これからズ＝ -2π １ -_２ 1ｎ（ｒ42十s42）十I tan"'ユ｝ｒ4 In irJ十s42）タ＝−とtａｎ゛1 π ……（3）「 −ぶ4 -ｒ4 Ｓ Fig. 3. t-平面・S4 -ｒ4 を得る．

つぎに，ぐ一平面のE, A, G, D点をFig. 3のと一平面のE. A, G, D点に対応させるために必要なんの値を求めると，

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透水性地盤及び止水壁の深さが取水ダム底面に作用する揚圧力に及ぼす影響について（中崎・篠）ん＝｢十にへ/マＴ万でＪ二￣汀 m（＆十卜）となる．また, Fig. 2の実平面に対応するＷ一平面はFig. 4のようになる．このとき，Ｗ一平面と￡一平面との関係はSchwarz-Christoffelの変換により φ となる．ここでｄＷ＝ C3ゐdt Fig. ４．Ｗ一平面へ爪￣二￣万￣石ＴＦ万……… Ｚ＝ＳｎIＤ (5) φ゜φ2 とおくと，￡一平面に対応するａ,一平面はFig. 5のようになる． Fig. 5. ｕj一平面 φ (4) μ

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3 0 _{高知大学学術研究報告第33巻自然科学} （４）式に（５）式を代入して積分すると，Ｗ＝C3紬十C4 となり，これにE, A, G. D点の境界条件を適用してC3，C4などを求め，またφ1は止水壁及び取水ダム底面に沿う流関数値であるからＯとして整理すると， φ＝A（φI十φ2−jφ讐） φ＝ｊφ Z7 2Ｋとなる．ここに∠1φ＝￠1 φ2である．なお，取水ダム下の浸透流量はしみ宣としと与えられる．，．．一方，ぐ一平面とZ一平面との関係は, t= r十fｓであるから r-,^ −｛（ゐ+ mF)r十ＧzF−1）｝ぶ5Ξ−（ゐ十wF)s U= {k- F)r- (1十Ｆ）ｓ6Ξ（ゐ−Ｆ）ｓここに，とおくとＦΞ ぐΞ ηΞ ゐ＋1 1−友一一刀Z−＆ 2 r5ｒ6＋s5j6 ｒ62＋ s62 reSs − ^556 ｒ62＋S62 となる．また, (5)式より − sn≪dny ｒ− Ｓ＝｝ cn^y十ゐ2Sn2Z4函2zﾉ cnu dnu sny en｡ cn'v十が‘sn2μsn^y (7) ｝ ………（8） (6) である．

(7)

透水性地盤及び止水壁の深さが取水ダム底面に作用する揚圧力に及ぼす影響について（中崎・ほ）よって, (8)式からｒ，sが,．このｒ, ｓによって（７）式で，ll・，71が定まり，さらに（３）式によってｘ,ｙが定まることになり｡ｚ一平面上における φ，φ の分布が求められる．ここでは取水ダム底面に作用する揚圧力を問題にしているわけであるから, Fig. 5のω一平面のａ軸上で，Ａ−Ｇ間にあるＣとＧとの間について考えればよいことになる．従って，いまの場合乙･＝ｏであるから，故に， r = sn≪ 、Ｓ＝０ r5＝−｛（ゐ十ﾀﾌiF)snu十（ｓＦ−Ｉ）｝ re= (k - F)sn≪ −（1十Ｆ） S5= Se = 0 となる．即ち，1z軸上では（７）式によりぐ＝ γ5 -ｒ6 77＝0 である。そして，Ｃ点ではf =1,η,＝Oであるから，上の関係により. rf,= r^ でなければならない。従ってｒ5＝ｒ6を整理した２,十（1−ｇ）Ｆ sriMc =一万二てＦＴ菊下を満足す石ｕ，を求めれば，これがｕ軸上のＣ点の値を表わすことになる。 lz軸上，ａ，とＫの間の任意のａの値に対しては，上述のようにぐ＝ｒ５ｒ６刀＝0 であり，またこの場合，1くぐ＜&であるから tan"' η＿ , tan ぐ−１はいずれもＯになる従って｡ -n =J^ - 1 , si。0 -ｱ'2＝ぶぐ十1･，応二〇ｱ7 ぐ＋1 であ.るか:ら， - ， >3 =へ/と2−1，s3＝0 となり，さらに･−（ぐ２−１）ｍｏ

(8)

32 知大学学術研究報告第33巻自然科学となる．これを（３）式に代入するとａに対応するｘが求められる．従って，取水ダム底面における任意点のズを満足するａを定めることができ，このｕから（６）式によって，その点のφが求められる．なお，ここではφ を揚圧力水頭/zに書き改めて，力＝÷(h,+ h2ごj力÷）ニこｰ乙に、4h＝ h、− 112 を求めれば揚圧力分布が決まることになる．ｍ。計算結果とその考察上・下流方向に無限で，下方有限な透水性地盤上に築造された取水ダムの底面幅を1，透水性地盤の深さをｅ，止水壁の深さをｄとするとき, e/lを0.5, 1.0, 1.5, 2,0, 2.5,及び3.0の６通りとし，各ｅ／1について，ｄ／ｅを0.00から0.05間隔に0.95までの20通りと, 0.96から0.01 間隔に0.99までの４通りの計24通りにとり，各組合せの総計144通りについて計算を行った．なお，各場合とも取水ダム底面の20等分点と両端を含む21点についての揚圧力を求めた．また，全揚圧力は各等分点の揚圧力からSimpsonの法則を用いて求めたj １．揚圧力分布について ’-’ 取水ダム底面幅に対する上流端からの相対的な距離をx/lとし. ｅ／lが1.0, 2.0及び3.0の場合についてｄ／ｅが0.0, 0.2. 0.4, 0.6及び0.8のときの揚圧力の分布状況を図に示すとFig. 6−1∼3のようになる．１．０上hi △ゐ０．５０．０

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０．００．５ Fig. 6−1. e/l=＼.Oのときのｄ／ｅによ･る揚圧力分布．￡／‘ ｊ．０

(9)

１．０ /J-fe -△ぬ ‘ 0 . 5 . 0 . 0 透水性地盤及び止水壁の深さが取水タフム底面に作用する揚圧力に及ぼす影響について（中崎・篠）i3 １・ｙｉＬＺＩ９

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００．５ Fig. 6-2. e/1 = 2.0のときのｄ／ｅ (Ｃよる揚圧力分布． ■ 1 . 0 有一h2 -△ん０．５￡／’ _1.0

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０．００．５ズＦ１．０ Fig.6｀-3一ｅ／1＝3.0のときのd/e llぐよる揚圧力分布．これらの図において, ｄ／ｅが同じ値の場合の揚圧力分布をみる･と, e/lが大きくなる1こつれて揚圧力が低下していることが認められる．特に, d/e = 0.2のときが止氷壁が無い場合,に比較して大きく.低下することがみられる．しかしながら，この場合。ｄ／ｅの値が同じであっても，各ｅ／口こおける止水壁の深さそのものは異なるものである．．ごなお，既に多くの成書3)に示されている,ことであるが，揚圧力分布に及ぼす透水性地盤の深さの

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34 高知大学学術研究報告第33巻影響を示す１例として，止水壁が無い場合で, ｅ／lが0.5, 3.0及び｡のときの揚圧力分布を図に示すとFig. 7のようになる。１．０政一h2 △み０．５０．０

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ＪＩＩｉＩ９ｆ− 0 . 0 ･〃廿０．５ Fig. 7. ｄ／ｅ＝0.0のときのｅ／□こよる揚圧力分布．￡”‘ １．０この図から，揚圧力は, x/lが0.5以下ではｅ／lの小さい方が大きく, ｘ／lが0.5以上で 1 jはその逆になっている．７Ｉまた。､ｅ／1が無限大の場合の揚圧力分布は、ｅ／1が3.0の場合とほぼ一致することが認めら ,れる．したがって, ｅ／lが3.0程度以上になれば，揚圧力分布に及ぼすｅ／1の影響はほとんど無いと言える． ’， ‥ １２．全揚圧力について・取水ダム底面に作用する全揚圧力（ＴＵＰと略記）は，下流側水位の影響を受けるので，透水牲地盤煩深さや止水壁の深さによって，全揚圧力がどのように変化するかを比較検討する場合は，下流側水位による揚圧力を除外して考察するのが適当である．・したがうて，ここでは(TUP-ω。h，l）をａ･．△ね7で除した無次元量で比較検討することにする．し（ＴＵＰ-μToh2P／ｗ･．△hiのｄ／ｅによる変化をｅ／Zをパラメータとして描くとFig. 8 のようになる．この図から，全揚圧力はｄ／ｅの増大につれて次第に減少するが, d/eが0.5程度より小さい範囲ではｅ／1が大きいほど減少割合が大きく, ｄ／ｅが0.5∼0.95程度の範囲ではその逆の傾向がみられ. ｄ／ｅが0.95以上では，一様に急激に減少する．つぎに，全揚圧のｄ／□こよる変化をｅ／lをパラメータとして描くとFig. 9のようになる･．なお，同図には下方無限の透水性地盤上に取水ダムを設けた場合にづいても併記してある．この図から，まず，同じｄ／1では，ｅ／lが大きくIなる程全揚圧力は増大することが示される．次に. ｄ／lの増大に伴う全揚圧の減少の様子をみると，各ｅ八に対する曲線は，それぞれの曲線の或る区間では，他の曲線とほぼ一致するか非常に接近している．

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透水性地盤及び止水壁の深さが取暫ダム底面に作用する揚圧力に及ぼす影響について（中崎・篠）35 ０．５０．４３ミＱ。ミミ々_１ -ｄｆｌＸ︶０．２０．１０．０

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０．０ 0.5 d/e Fig. 8. e/lをパラメータとしすこｄノｅと全揚圧力の関係０．５ 0.4 Ｑり０ミＱ。ミミｉミ_{Ｉｄｎｘ︶} ０．２０．１ 0 . 0 １．０

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０．０ _{0.5 1.0 1.5 2.0} d／l Fig.9. ｅ／1をパラメータとしたｄ／lと全揚圧力の関係．２．５３．０

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36 高知大学学術研究報告第33巻自然科学’ また, e/lが1.0以下の場合でｄ／lが比較的小さいときは，ほぼ直線的に減少することがみれる．一一 e/lが1.0以上の場合, ｄ／lが0.5程度のとき，止水壁が無い場合の全揚圧力の60％程度に減少し, e/lが1.5以上でd／Zが1.0程度では40％程度に減少するこ,とが認められる．さらに, b/1が3.0の場合と無限大の場合を比較すると. ｄ／lが1.0以上のときに両曲線の間に多少の開きを生じるが，大きな差異はない．したがって, b/1が3.0程度以上になると，全揚圧力に及ぼすｅ／1の影響は極めて小さくなることがわかる． IV.あとがき ‘ 上・下流方向に無限で，下方有限な透水性地盤上に築造された取水ダムの上流端に止水壁を設置した場合，透水性地盤及び止水壁の深さが，取水ダム底面に作用する揚圧力にどのような影響を及ぼすかを比較検討してきたが，その結果として次のようなことがわかった.， 11） d／ｅが0.0の場合, ｅ／lが無限大の場合の揚圧力分布は，ｅ／lが3.0の場合とほばー致し, e/lが3.0程度以上になれば揚圧力分布に及ぼすｅ／?の影響はほとんどなくなる. ,2）ｄ／ｅが0.0の場合を除き, ｄ／ｅが一定のとき, e/lが大きい程揚圧力分布は低下する．特に，ば／ｅが0.0と0.2の場合の差にこの傾向が大きい．３）全揚圧力はd／ｅ･の増大につれて,減少するが, d/eが0.5程度よ･り小さい範囲では, ie/l が大きい程減少割合が大きく. ｄ／ｅヽ，が0.5∼0.95程度の範囲ではその逆の傾向かみ･られる．また, ｄ／ｅが0.95以上では一様に急激に,減少する. 4） d／1が同じ大きさでは, e/lが大きくなる程全損圧力は増大する．また, ｅ／lが, 1.0 以上で. d/lが0.5程度のときの全揚圧力は，止水壁が無い場合のそれの60％程度に減少し，ｅ／1が1.5以上でｄバが1.0程度では40％程度に減少する. 5) e/lが3.0以上になると，全揚圧力に及ぼすｅ／1の影響は極めて小さ･くなる．おわりに，本研究を行うに当って，高知大学情報処理センターを利用したことを付記する．引用文献１）例えばMuskat、Ｍ.: The Flow ･of Homogeneous Fluids through Ｐｏｒｏ､,us Media McGraw Hill. pp. 201∼202 (1946) 2） 1）に同じpp. 216∼217 (昭和59年９月28日受理) (昭和60年１月21日発行)

透水性地盤及び止水壁の深さが取水ダム底面に作用する揚圧力に及ぼす影響について