幼児の数認識における３から４への移行過程について

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(1)Title. 幼児の数認識における３から４への移行過程について. Author(s). 内島, 貞雄; 水谷, 秀和. Citation. 北海道教育大学紀要. 第一部. C, 教育科学編, 36(1): 69-77. Issue Date. 1985-09. URL. http://s-ir.sap.hokkyodai.ac.jp/dspace/handle/123456789/4995. Rights. Hokkaido University of Education.

(2) . 幼児の数認識における３から４への移行過程について. 内. は. じ. め. 島. 貞. 雄・水. 谷. 秀. 和. に. 幼児期に事物と数を正確に一対一に対応できるようにすることは，その後の数の教育を成立させ. る根本であるといえよう．ところで，幼児は同一のものを認知する能力を基礎としながら，３歳前後までに２（ふたつ）およ. び３（みっつ）の数について理解するようになる．この段階では幼児の集合数の理解は直観的な性格が強く，形状にまとまりがない個物では混乱を起こす．また，４以上のものは「いっぱい」などのことばで総称される，そして，この段階から次に４とし・う数が理解されるようになるまでに半年から. １年の期間を要するが，４が理解されるとほぼ同時か少し遅れて５あるいは６も獲得され，それ以上の数の理解も可能となる．つまり，幼児の数認識において，３から４への移行にはかなり大きな質的変化が伴ってし・ると考えられるのである，本研究ではこの移行過程について考察したいと思う，また，障害児教育の分野では一対一対応を形成するために，形と色の分析・総合，量（大きさ，. 長さ，重さ）や空間をとらえる力の形成を試みているが，幼児も数認識と並行してこれらの能力を獲得していっている，そこで，こうした諸能力の獲得との関連をみることで，数認識の移行過程をより深く分析してみたいと思う．さらに，４個以上のものをとらえる際にも直観的な面は関与していると考えられるので記憶能力との関係もみることにしたい．. １方. 法. 以上の課題を明らかにするため，３歳後半から４歳前半の幼児を対象に， ①数の認識に関する課題， ②色・形・大きさに関する課題， ③記憶に関する課題からなる実験を実施した．１．実験課題ある数，例えば３を理解しているということは，３個の個物に対して３（みっつ）と言えるだけでなく，自分で３の集合物を作れるということである，そこで，予備実験をふまえて，以下の実験課. 題を設定した，１. 数の認識に関する課題６９.

(3) . 内島貞雄・水谷秀和. 〈使用道具〉正方形タイル（一辺４．５ｃｍ，青色および桃色），園備えつけのブロック（タイルと同程度の大きさのもの，２色），鉛筆. Ａ集合数の個数表示問題Ａ，同一の個物を用いた場合. α ：形状にまとまりのある個物（ブロック．またはタイルを使用）. β：形状にまとまりのない個物（鉛筆を使用）Ａ２混成物を用いた場合（ブロック，タイル鉛筆を使用），Ｂ指定された個数を集合体から取り除く作業問題（Ａと同様にＢ，一α・β ，Ｂ２の課題を設定）. Ｂ３混成物を用いた集合体から特定の個物を抽出するＣ２種類の集合物を提示し，どちらが多いかそれとも同じかを尋ねる個数比較問題Ｃ．同じ個物で個数を比較（２色のタイルを使用）Ｃ２異なる個物で同じ個教を比較（タイルと鉛筆を使用）Ｃ３同じ個物で異なる個数を比較Ｃ４異なる個物で異なる個数を比較. Ｄ. 数唱作業（５０をこえた場合は，そこでうち切る）づ対応け操作（タイルを横一列に１０枚並べ，声を出して数えさせ，いくつまで対応づけられるかを調べる）Ｅ．右側から対応づけを行なう. Ｅ. Ｅ２左側から対応づけを行なう１１. 色・形ｏ大きさに関する課題. 〈使用道具〉厚紙を用いて次のような大中小の図形を作成した，円（直径１８１３６ｃｍ）正方形（一，，辺１９，１０，５．５ｃｍ）正三角形（一辺１７，８，５ｃｍ）星形（中心から頂点まで１０，７，３．５ｃｍ），そ. して同じ大きさの同じ図形に対し赤青黄の三種類を作成し，さらに各図形の最小のものには緑と白も加え合計４４枚を準備した．. Ｆ形にかかわりなく色を弁別する作業（４４枚使用）Ｆ，色を指さしできるかＦ２. 色を分けることができるか. Ｇ色にかかわりなく形を弁別する作業（４４枚使用）Ｇ，形を指さしできるか. Ｇ２形を分けることができるかＨ同じ形のものでの大小比較問題（色にはこだわらない）１同じ形のもので大中小を順序づける問題（同じ色のものを用いる）ｍ. 記憶に関する課題. く使用道具〉画用紙（２７×３８ｃｍ）に表１に示した絵を描し・た図版１０，枚と，画用紙（１３×１９ｃｍ）に，それらの個物を１つずつ描いた絵カード１７枚を用意する，. Ｊ. Ｋ. ７０. 図版の個物をことばで再生する問題. 図版の個物を絵カードで再認する問題（図版を５秒間提示し，１０秒間目をつぶらせる，目を開いてから何が描いてあったかを尋ねる．.

(4) . 幼児の数認識における３から４への移行過程について. 表１再生・再認問題で使用する図版提示数. 図版の内容りんご，みかん. ぶどう，あめケーキ，チョコレート，アイスクリームメロン，ドーナツ，おにぎりスイカ，なし，いちごメロン，目玉焼，カレーライス，バナナりんご，みかん，なし，かきぶどう，バナナ，あめ，おにぎりケーキ，りんご，チョコレート，みかん，あめソフトクリーム，バナナ，いちご，おにぎり，カレーライス. 全部言えなかった場合，絵カードを見せそれがあったかどうかを尋ねる，ことばで再生できたものは，絵カードによる再認もできたものとみなす，）２，対象と実施方法. ① 対象児. ）を対象とした．旭川市内の１幼稚園と２保育園に依頼し，３歳児クラスの幼児４８名（男２３，女２５実験実施時の幼児の年齢は，３歳８ヵ月から４歳７ヵ月の範囲であった，. ② 実施方法. 実験はすべて水谷が担当し，各園の保育室またはホールで１対１で実施することを基本とした．できる限り事前のラポートづけを行ない，幼児の状態に応じて担任の保育者につき添っていただい. た，他に記録者１名が同席した，）まず，課題工～ｍについて，集合数３に関してと，色と形の弁別作業を課題の提示の順序は，１）についての正答づと進む．３）なお，１）次に集合数４行ない，２，形の大小比較，対応け，数唱へ率が低い場合は，集合数２についての問題を実施し，対応づけ，数唱を行なって実験を終了する．被験児の解答が聞きとれなかった場合には，聞き直さずに別の課題の後に再びその問題を行なった実験に要した時間は１人あた，また数唱の際は，１，２までは実験者もいっしょに言うようにし．たり約１５～２０分であった．. ③ 実施期間１９８３年１１月１５日～１１月３０日３．分析の視点先に述べた課題意識にもとづき以下のような分析を行なうこととする，７１.

(5) . 内島貞雄・水谷秀和. ① まず，実験課題１の正答率（通過率）をもとに幼児の数認識の達成順序を明らかにし段，，階区分を行なう，なお，本研究では形状にまとまりのある個物（α）で指定された個数を取り除く，ことができた時に，その数を一応理解できたものとみなす． ② 個物が異なる場合の達成時期のちがいや個数比較の方法などを検討し区分された段階毎，，の特徴を吟味する． ③ 次に，実験課題１１の結果をもとに色・形の認識および大小比較などと数認識との関連を分析する，. ④ ⑤. さらに，実験課題１１１により幼児の記憶力と数認識との関係を探る．そして最後に，数認識の発達に年齢的要因が関与しているのかどうかを検討する．. １１結果と考察１，移行過程の段階区分個数表示問題（Ａ），指定個数取り除き問題（Ｂ）の各項目を正答率（通過率）の高い順に並べ直し，各項目間の有意差を示したものが表２であるここからいくつかのことが指摘できる．， ① 形状にまとまりのある３個の個物での個数表示（３Ａ．－α）ができても，その取り除き作業（３Ｂ，－α）はできない段階がある． ② 形状にまとまりのない個物で３個の個数表示（３Ａ，一β）ができる段階では，４個の個数表示（４Ａ．－α， β）もほぼ可能である．しかしこの段階では３個の α の取り除きはできるが β では，，できない，. 表２. Ａ，Ｂ課題の正答率と項目間の有意差. 正答数３Ａ「α ３ＡＩ－β ３Ｂ「α ４Ａｒβ ４ＡＩ－α ３Ａ２３Ｂ「β ３Ｂ（率）２. 人％３Ａ，－α ４２（８）７５．. ＊. ３Ａ０（８３）３ー－β ４．３Ｂ，－α ３４（７０）８．. ＊. ＊. ＊. ．. ・. ４Ａ２４ＢＩ－α ４Ｂ「β ４Ｂ２. ＊. ＊＊. ＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊. ４Ａ３（６８８），一α ３，３３（６）８８．. ３Ｂ（０６２）５－－β ３．３Ｂ２. ２８（５８３）．. ４Ａ２. ２（７５６）７．４Ｂ５（２）５１，－α ２．４Ｂ３（４７）９，－β ２．４Ｂ２. １９（３９６），. ３Ｂ３. １２２（５）０，. 曇Ｂ３. ８（６１７），. ＊＊＊＊＊＊＊＊＊. ＊. ＊＊＊＊＊＊＊＊＊. ＊. ＊＊＊＊＊＊＊＊＊. ＊. ＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊. ＊＊＊＊＊＊. ．. ＊＊＊＊＊＊＊. ＊＊＊. ＊. ＊＊＊. ＊. ＊＊＊＊. ・Ｐ＜．１０７２. ４Ｂ３. ＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊. ４Ａー－β ３４（０）７８，３Ａ２. ３Ｂ３. ＊Ｐ＜．０５. ＊＊Ｐ＜．０１. ＊＊＊Ｐ＜，００５.

(6) . 幼児の数認識における３から４への移行過程について. ③ ４個の個数表示では α， β に差はない，これらができる段階では，３個の混成物の取り除き（３Ｂ２）はでき，４個の取り除きでは α はほぼできるがβ はできない． ④ ４個のとり除き作業において α， β ，混成物の間に有意差はみられない．しかし，それらの課題と混成物の中から特定の個物を３ないし４個とり除く場合（３Ｂ３）とでは有意差がみられる，，４Ｂ３以上のことから，幼児の数認識における３から４への移行を３つの段階に区分することができる，１３を理解しつつある段階１１３を理解し，かつ４を理解しつつある過渡的段階１１１４を理解した段階１は４について認識しはじめることにより，３の理解が正確になる前半とそれを基礎に４なお，１，. についての理解が深まっていく後半に分けられる，. 本研究の被験児をこの３段階に分けると，各，１１人，１６人，２１人であった．. ２．個物が異なる場合と個数表示・取り除きの. 表３３個の取り除きにおける個物の関係. 関係. 表２の結果では，指定個数取り除き作業において，３個，４個の場合とも α， β，混成物で差. がみられなかったが，さらに表３０４によって同一個物（α および β）と混成物の場合を比較して. １. ０. ３３. ７. ３. ５. １５. ３９. ４. ５. ４８. 同一個物. 混成物. できたできなし・. び混成物での３個の取り除き作業と４個の個数表示とで正答率に有意な差はなく，ほぼ同時期. にできるようになると予想できる，このことを. さらに細かく検討す・るために３Ｂ課題と４Ａ課表５４Ａ３Ｂ. （人）３２. ｐ＜．００１. 両方片方できたできたできた（人）２３４. 両方できない. 計. ０. ２７. ７. ３. １１. ２１. 計. ３０. ７. １１. ４８. ２＝１９２３ｘ．. ３ｃ＝０５．. ｐ＜．００１. ４Ａ，－α. ４Ａ，－β. ４Ａ２. ○. ２５. Ｘ（人）９. ×. ８. ６. ○. ２５. ５. ×. ８. １０. 蔓. ２３. ５. ２２. ６. ２２. １０. １０. １２. ８. ６. ３３. １５. ３４. １４. ２８. 計. 計. ４個の個数表示と３個の取り除きとの関係Ｏ. ＊ｐ＜０，５. 両方できない. 表４４個の取り除きにおける個物の関係. また，これも先にみたように，同一個物およ. 織. できたできない. 片方できた. だ＝・（連関係数）＝ｏ７７８ｃ２５，．. ということが示される，. ３Ｂ，－β. 両方できた. 計. みると，同一個物で個数を正確に把握していなければ混成物の個数をとらえることはできない. ３Ｂ，一α. 同一個物混成物. 半. Ｏ. Ｘ. Ｏ. Ｘ. ２５. ９. ２４. １０. ９. ５. ４. １ｏ. ２４. ６. ２３. ７. １０. ８. ５. １３６. 計＊. ＊. 縄１４３０１８２８. １４＊＊＊. ２０. ２０. ４８. ＊“ ｐ＜００．１７３.

(7) . 内島貞雄・水谷秀和. 表６個数比較の方法方. 法. ① 直観的・感覚的に ② 個物を対応させて ③ 個数を数えてなお. 人数. 数認識との関連. ３０１段階の１１人全員. 表７１０までの対応づけと数認識の段階. 数認識の段階. 両方できた. （人）４. 左から. 右から. でき４. の. み. の. み. な. い. １３１１段階の１６人中９人. ｌ. ２. １. １７１１１段階の２１人中１３人. １１. １３. １. ０. ２. １１１. １６. ５. ０. ０. 計. ３３. ８. １. ６. ①と②を用いたもの〃 ①と③ ②と③. ３人７２. 題との関係を示したのが表５である．この結果から，４個の同一個物の個数表示と３個の取り除き作業は，全体的には相補的関係にはなく，互いに独立してできるようになっていくと考えられる，しかし，混成物の個数表示は３Ｂ課題と関連がある．このことは，同一個物の個数表示はより直観的なものであり，混成物の個数表示と. 取り除き作業はより操作的な能力にもとづいていることを示唆しているように思う，３，数認識の段階と個数比較・対応づけ. 個数比較問題（Ｃ）において，被験児は次の３つのいずれかの方法を用いて判断していた， ①個数. を把握せずに直観的・感覚的に多少を決める． ②個物を１つずつ対応させて多少を決める， ③個数を教えて，その数を比べることで多少を決める．これらの方法別の人数を示したのが表６である．. ①の方法による場合は，同型の個物での異なる個数の比較はできたが，同数であったり異なる個物での比較の問題はできなかった．段階１にいる子どもは全員がこれに該当している， ②の方法を. 用いている幼児は，異なる個数，同じ個数の比較ともできていた．しかし解答には数を用いず，「同じ」という答え方をする場合は少なかった．この方法は段階１１の子どもに多くみられた， ③の方法. を用いた場合は，解答は数を確認した上でなされ，正答率は高く，「同じ」ということばを用いることが多い，この方法は段階皿の子どもに多い．このように，数認識の発達とともに比較の方法が操作的なものに変化するといえる．. 対応づけについては右手を用いたため，左側から行なった方が右側からの場合よりも正確である，また，指をタイルにふれて対応づけている子どもの方が正確な答になっていた．表７に示したように，３の認識が形成されている第１１段階の幼児の多くは１０までの対応づけを行なうことができている，そして，第１１１段階では，左からの１０までの対応づけはほぼ完全になるといえよう．. ４．数認識と色・形の理解まず，色に関して男児に青色を，女児には赤色を抽出させたが，４３人（８９，５％）ができた，これＡを３．－α の課題のできた幼児についてみると，４２人中３９人（９２．８％）となり，色の認識は集合数３を認識する以前にほぼできあがっていると考えられる．，次に形の認識についてみると，丸，四角，三角の順に８５，７７．１，６０，４％の正答率である，四角の. できた子どもの丸の正答率，および三角のできた子どもの四角・丸の正答率が１００％であり，丸・四角・三角の順に理解されていくことが明僚に示されている．. 表８に示したように，丸・四角は３個の個数表示ができる段階でかなり獲得されているのに対し，. ７４.

(8) . 幼児の数認識における３から４への移行過程について表８. 各テスト項目正答者の形の認識率. 項目３Ａ】－α ３Ａ，－β ３Ａ２３Ｂ，一α ３Ｂ，－β. 三角６６，７６７．５６９．７. 四角８０．９. ６１，８. ８２，５８４，８８２，４. ７０．０７５，０. ８６，７８２．１. ３Ｂ２. 丸. 項目. ％８８，１４Ａ．－α ９０，０４Ａ，一β ８７，９４Ａ２９１，２９３，３９２．９. ４Ｂ．－α ４Ｂ，－β ４Ｂ２. 三角７２．７７０．６７７，８７２．０８６．９８４．２. ０形のｉ表１順序性の正否と数認識の段階数認識. 順序性. １. １１. １１１. 個数形の大小. 竺惇. 数える. 計. ７. ７. ３４. ３. ２. ９. １４. ２３. ９. １６. ４８. 直観的（人）２０. 直観的重ねる，比べる計２＝８７ズ．８. ９３ｃ＝０．３. ０５ｐ＜．. 表１１形の大小比較と順序性との関係計. できた. （人）５. ７. １２. ２４. できない. ６. ９. ９. ２４. 計. １１. １６. ２１. ４８. １２６ｃ＝０，. ０ｐ＞，１. だ＝０，７６９. 表９個数比較の方法と形の大小比較の方法の関連. 大小比較. 順序性. できた（人）. できなし・. 計. できた. １３. ６. １９. できない. １１. １８. ２９. 計. ２４. ２４. ４８. で＝４，２７. ２８ｃ＝０．. ０５ｐ＜．. 三角に対する理解がこのレベルに達するのは，４個の取り除きができる頃になってからである，三角. を認識する場合には，丸や四角に比べてより分析的な知覚能力を必要とすると考えられ，操作的な数認識ができるようになることと関連があると考えられる，. ５．数認識と大小比較形の大小を比較する時に，形の大きさを直観的に判断する場合と実際に重ねたり，一辺の長さを比べたりする方法を用いる場合とがみられた．これを，３で述べた個数を比較する時の方法と関連さ. せて整理したものが表９である．この結果から，数の比較と形の大小の比較とは，ともに直観的・感覚的なものから操作的なものへと移行していくと考えられる，０で次に，同じ形のものの大中小の順序づけについて，数認識の段階との関係でみたものが，表１. ある．数認識のこのレベルでは，数認識の段階と形の大きさの順序づけとは関連があるとはいえな. し・．. さらに，形の大小比較の結果と順序づけとの関係をみたものが表１１である．大小比較で正答できることと順序づけができることには関係があることが示されている，以上のことから，操作的方法によって大小比較ができるようになると順序づけもやや正確にできるようになると考えられるが，系列化というもう一つの要因が加わらないと順序づけは完全にはならないといえそうである，そしてそれは，もう少し後の段階の課題であると予想できる，. ６．記憶力と数認識の関係図版の絵の再生・再認の課題によって記憶力をみたが，その結果を数認識の段階別に整理したも. のが表１２である．. 実験手続きから言っても当然ながら，ことばによる再生よりも絵カードによる再認の方が数が増えているが，提示した個数よりも多くをあげる場合もみられる．また，再生・再認数ともゼロとい７５.

(9) . 内島貞雄・水谷秀和. ２再生・再認数と数認識の段階表１数認識提示数. 再認できた数. 再生できた数. ＱＵ（人）ー丁ー７ ▲ ” ’ １ｑＪ５養生２１１亡。３ＱＵ６ノ４１１１３にり２. 計. １. ２. ３. ４. ５. ０. １. ２. ３. ４. ５. 提示数以上. ０. ３. １. ・. ・. ４. ０. １. ４. ・. ・. ２. １. １. １. ０. ．. １. ０. ０. １. ０. ・. ２. ２. ２. ６. ・. ・. ４. ０. ２. ８. ・. ・. Ｉ. １５. １. ５. ２. ５. ・. ３. ０. ０. ２. １０. ・. Ｏ. １５. ０. ２. ３. ４. ０. １. ０. １. ２. ３. ４. １. １２. １. ８. ４. ・. ・. ２. ０. ２. １１. ・. ・. ４. １９. １. ６. ４. ７. ・. １. １. ３. １. １３. ・. ２. ２１. １. ４. ７. １. ３. ２. ０. ３. １. ３. ５. ４. １８. ０. ｎ４. う中には実験課題を十分に理解できなかった場合も含まれるので，ここでは全体的な傾向を指摘することにとどめておきたい，. まず，数認識の第１段階では，３個提示の場合は全部を再生することはできないが，再認することができる子どもは多い，しかし，４個提示の場合は再認も不正確となる，第１１段階では３個についてはほぼ再生できるようになり，４個についても再生できる子どもが増え，再認はほぼできている．そして，第１１１段階でも全体的には第１１段階と同じ水準であるが，５個に. ついて再生できる子どもが３名存在した．うち１名は，今回の実験課題すべてに正答しているかなり数認識の発達している子であった，. 以上のことから，数認識の第１１段階である３についての認識ができあがり，４について理解し始める頃に，記憶力も３個のものを再生できるレベルに達すると考えられる，そして，５個のものを再生. １１段階よりも後に発達するものと予想される．つまり，集合数３の理解の完できる力は数認識の第１があ成は記憶力と関連るが，次に４を理解する上では必ずしも記憶力のさらなる発達を前提としないとし・えそうである．. ７．数認識の発達における年齢的指標ここまで，数認識の段階や移行過程について分析してきたが，最後にこれらの段階が幼児の年齢的発達とど● うかかわっているかをみることとする．被験児を月齢によってＡＢＣの３つのグループに分け数認識の段階とかかわらせて整理したもの表１４年齢グループ間に有意差のあるテスト項目. 表１３数認識の段階と年齢. 数認識. 年齢. １１１. 皿計. Ａ（人）６. Ｂ. 計. ４. ３. １１. １０. ２. ４. １６. ３. １１. ７. ２１. １９. １７. ２＝ＩＩ９２ｃ＝ｏ４４６０５ｘｐ＜，，．Ａ：３歳８ヵ月～３歳１１カ月Ｂ：４歳０カ月～４歳３カ月Ｃ：４歳４カ月～４歳７カ月７６. Ｃ. １２. ４８. 項. 目. ＡとＢ. ＢとＣ. ３Ａ．－β ３Ｂ２４Ｂ，－α ４Ｂ，一β ４Ｂ２４Ｂ３. ＊＊＊＊＊＊. ＊. ＊. ＊. 三角の認識三角の認識. 較比較大小小比大＊ｐ＜，０５. ＡとＣ. ＊＊＊＊ｐ＜．０１.

(10) . 幼児の数認識における３から４への移行過程について. が表１３である，全体として年齢と数の発達段階には関係があるといえる，これをさらに細かく検討４に示したようにＡとＢするために，各テスト項目毎にＡＢＣ間の差の検定を行なったところ，表１の間で，４個の取り除き作業と大小比較において有意な差がみられた，また，ＢとＣの間では有意な差は全く存在しなかった，以上のことから，ちょうど満４歳の頃に４を認識できるようになる画期が存在するといえる，. ま. と. め. 以上の分析をまとめると次の通りである，. １．幼児の数認識の３から４への移行過程は３つの段階に区分できる，１３を理解しつつある段階１１３を理解し，かつ４を理解しつつある過渡的段階１１４を理解した段階１１段階）に達成されるが，２，４個の同一個物の個数表示と３個の取り除き作業はほぼ同じ時期（第１相補的な関係にはない．１１にかけて直観的なものから，対応づけ，数えるというそれへ３，個数比較の方法は，段階１から１１段階においてかなりできている，と移行する．また，１０までの数の対応づけは第１. ４．色と丸・四角についての認識は段階１以前にかなりできている，三角についての認識がこのレベルに達するのは第１１１段階においてであり，操作的・分析的な能力の発達と関連していると思われる，. ５，形の大小比較と数の比較の方法が直観的なものから操作的なものに変化することには関係がみ１１段階より後に系列化というもう一つのられる．しかし，大中小の順序づけが完成するのは，第１. 要因が加わってからであると予想される．１段階への移行には，提示された３個のものを再生できる記憶力の発達が前提となっている６．第１と考えられる，１１への移行の画期が存在している，７，年齢的には，ちょうど満４歳の頃に段階１これらの結果は，幼児の数認識において４の理解が成立するということは，幼児の認識活動が直観的なものから操作的なものへと移行することによることを示しているといえよう，そして，年齢的には満４歳頃にその画期が存在している，また，３の理解が正確になる過程では記憶力の発達も関. 与していると考えられる，くり返しになるが，幼児の数認識において４の理解が獲得されるということは，その質的転換を意味する重要なことがらであり，その後の数の操作能力を飛躍させる前提でもある，したがって，. この時期までは直接数そのものを教えるよりは，操作的に事物に接する経験をゆっくりとたっぷり保障することが重要であろう，その時に感覚的・直観的なものも大事にしなければならないことはいうまでもない，. 〈付記〉お忙しい中，快く実験にご協力いただいた各園の皆様にこの場を借りて心よりお礼申し上げます，また喜んで参加してくれた子どもたちにも感謝したいと思います，水谷・昭和５９年３月同分校卒業）（内島・本学助教授旭川分校７７.

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