3次元軌道体の基本群の分解を実現する球面的軌道面

3

次元軌道体の基本群の分解を実現する球面的軌道面

竹内 義浩 (YOSHIHIRO TAKEUCHI)

横山 美佐子 (MISAKO YOKOYAMA)

Department of Mathematics, Aichi University of Education

Department ofMathematics, Faculty ofScience, Shizuoka University

ABSTRACT.

3 次元軌道体の基本群が、

向き付け可能な球面的軌道面の基本群と 同型な群により融合自由積分解されているとき、 この分解を実現するような

球面的軌道面を求める問題を扱う。途中までに得られた結果を利用して、

結 び目が合成であることの十分条件を求める。 CONTENTS 1. Introduction 2. $\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{e}\lim_{\dot{\mathrm{i}}}$aries 3. Product I-bundles

4. Orbifold compositions of spherical type

5. Orbi-maps

6.

Main Theorem

7.

An application to the compositeness of ks

1. INTRODUCTION

本稿は、 [T-Y 4*]

の話に、若干の修正・付加を施した報告と解説である。証明や定理

の仮定に関することなどの詳しい内容については、 [T-Y 4] を参照されたい。

ここに出てくる oribifoldは全て good と仮定する。また、特に断らない限り、orientable

とする。 $X$ がorbifoldのとき、そのorbifold としての基本群を $\pi_{1}(X),$ $X$ の底空間 $|X|$

の通常の基本群を $\pi_{1}(|X|)$ と書く。群の自由積や融合積は、断らない限り、 非自明であ

るとする。

主結果は、次の通りである。

主定理. $M$ _は、 good, compact, connected, $07\dot{\mathrm{v}}entable$

3-orbifold

で、

(a) $\partial$-irreducible;

(b) $non_{-}s\varphi aratingsphe\dot{n}ca\iota$

2-orbifold

を含まない ;

(c) $M$ を素分解したときの各成分の $\pi_{1}$ が、 無限群

であるようなものとする。 このような $M$ _{に対して、} $\pi_{1}(M)$ の融合積分解

$\pi_{1}(M)=G_{1}*Kc_{2}$

で、 次を満たすものが与えられたとする。

(1) $K$ は、 ある $\mathit{0}’\cdot ientab\iota e\varphi he7^{\cdot}iCa\iota \mathit{2}$

-orbifold

$S$ の $\pi_{1}$ に同型

(2) $\pi_{1}(M)$ は、 $K$ _{の真部分群と同型な群} $H$ では融合積分解されない。 (3) さらに $K$ _{が有限巡回群の場合は、} $K$ と同型な群を辺群とし、非自明な頂点群の みからなる $\pi_{1}(M)$ のどんな樹木積分解においても、 同–になるような辺群が2 つ以上は存在しない。 このとき、上の分解を実現するような spherical

_{2-suborbifold}

$S$ が存在する。 _口 注童. 主定理の条件(c) で $M$ _{とあるのを} $P(M)$ としても、結果は成り立つ。 $P(M)$ は、 $M$ のPoincar\’e associate で、定義は6節にある。 その他の用語については、 2節で復習 している。 口 主定理の証明の為に、与えられた基本群の分解に沿って、orbifoldcomposition $X$ を構

成し、orbifold$M$ _から $X$ への写像を作る。Orbifoldcompositionは、いくつかのorbifolds

を写像で貼り合わせたもので、 正確な定義は4節にある。

これらの手法を link orbifold に対して適用することにより、結び目が合成であること

の十分条件が得られる。 (必要性の方は、 知られている。)

ここで、以下の内容を要約する。2 節では、用語のいくつかを復習する。3節では、基本

群と境界に関する条件により、3–orbifold が区間積になるという定理を述べる。4節では、

[T-Y 3] のorbifold compositionの定義を、 ここでの問題用に少し修正したものを述べる。

5節では、orbifoldから orbifold compositionへの map に関することを準備する。この節

の事柄は、ほぼ [T-Y 3] の対応する内容をそのまま書き直したものである。逆に言えば、 この節で述べたmap の拡張性についての補題が成り立つように orbifold composition の

定義を決めたとも言える。6節では主定理を、終節では、絡み目についての応用を述べる。

尚、 本稿では、 基本群の分解に現れる融合部分群が、spherical 2-orbifold の $\pi_{1}$ に同

型な場合を扱ったが、nonspherical の場合については、 [T-Y 3] で考察している。 2. PRELIMINARIES

この節では、 用語などについて少し復習する (詳しくは、 [Th], [Ta], $[\mathrm{T}- \mathrm{Y}1],$ $[\mathrm{T}- \mathrm{Y}3]$

を参照)。本稿を通じ、orbifoldは全て good (すなわち manifold による coveringがある)

とし、 また、特に断らない限り、orientable とする。群の自由積や融合積は、断らない限

り非自明であるとする。

Orbifold $M$ が_locdly O 悔 entableであるとは、 $M$ _{の任意の点における} local

であるとは、 $M$ の (global) transformation

group

_の各界がorientation preserving _に作

用するときを言う。特に、 $M$ _が3–orbifold _{の場合には、} $M$ _が locally orientable _なら

ば、底空間 $|M|$ は3–manifold になり、 さらに、 その $|M|$ が orientable ならば、 $M$ _は

orientable orbifold になる。

Spherical 2-orbifoldは、底空間が $S^{2}$ で、特異点がないか (すなわち、 $S^{2}$ か)、または、

2個か3個ある。特異点のindex の組は、 $n$ を2以上の整数とすると、 $(n, n),$ $(2,2,n)$,

(2,3,3), (2,3,4), (2,3,5) のいずれかになっている。3-orbifold の内部にある spherical 2-suborbifold $F$ が incompoes_玩ble (圧縮不ZB^\mapsto _{であるとは、} $F$ が balic $\mathrm{a}- \mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{b}\mathrm{i}\mathrm{f}_{0}1\mathrm{d}$ の境

界にはなっていないときをいう。

Discal2-orbifold は、底空間が2次元円板 $D^{2}$ で、特異点がないか (すなわち $D^{2}$ か)、

または、内部に1個ある。3–orbifold$M$ _内のproperly embedded_な (_すなわち $\partial B\subset\partial M$ かつ _Int $B\subset \mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{t}$ $M$ となっているような) discal2-suborbifold _$B$

が、 incompres玩bleで

あるというのは、 $\partial M$ 内の discal 2-suborbifold _$B’$ と–緒になって (つまり、 _{$B\cup B’$}

が) ballc 3-orbifoldの境界となる (しかも、 そのとき $B\cap B’=\partial B=\partial B/$ ) _などとい

うことは決してないときをいう。

3-orbifold$M$ _内の、spherical_でも discal_でもないproperly embedded_な2-suborbifold

$F$ _が、incompoessible_{であるとは、} $F$ の単純閉曲線で、 $F$ _{では、 どんな} discal2-orbifold

の境界にもならないが、 $M$ _{では、 ある} discal 2-orbifold _{の境界となるようなもの、その}

ような単純閉曲線というものは決してないときをいう。

3-orbifold $M$ が _irreducibleであるとは、 $M$ _{内の任意の} spherical 2-orbifold _{が、 少}

なくとも 1 つの balic 3-orbifold の境界になっているときをいう。もし、 $M$ _内のある

spherical 2-orbifold が、 その両側ともにbalic 3–orbifolds を境界としていたら ( $\partial$ して

いたら)、 $M$ は後で出て来る balic 3-orbifold _の double _{ということになる。}1_に、境

界のある orbifold $N$ とそのコピー $N’$ _{を持ってきて、} $\partial N$ と $\partial N^{j}$ の (コピーにより誘

導された) 同–視により $M$ _{が得られたとき、} $M$ _を $N$ _の double _という。

&orbifold

$M$ が $\partial-imduCib\iota e$_{であるとは、 $M$ の任意の境界成分が}incompressible _で

あるときをいう。

3-orbifold $M$ 内の2-suborbifold$F$ がincompressible かどうかを言うとき、一般には、

「$F$ が2-sided である (両側を持つ) _」ことが要求されている。今、 _$M,$ $F$ はどちらも

orientableであるから、 この要求は自動的に満たされていて、 これについては考えなくて

もよい。

連結な 3–orbifold $M$ _を2-suborbifold $F$ で切った結果は、連結である場合と連結でな

い場合が考えられる。 $M$ _を $F$ で切っても連結なままであるとき、 $F$ _{は $non- S\psi arting$}

(非分離的) であるといい、 $M$ _を $F$ で切ったら連結でなくなるとき (このとき、連結成

分は2個になる)、 $F$ は $s\varphi amting$ (分離的) であるという。

を $F$ で切った結果、 $A,$ $B$ が同じ連結成分に入るとき、 $F$ _は、 $A,$ $B$ を分離しない、そ

うでないとき、 $F$ は、 $A,$ $B$ を分離するという。前段落で述べた non-separating という

性質を $F$ が持っているときには、 $F$ が $A,$ $B$ を分離するということは、 もちろん起こ

らない。

3-manifoldの場合と同様に、3-orbifold$M$ _がcompact _{であるときは、} $M$ _内の

incom-pressible 2-suborbifolds についての有限性 (平行なものを除いては有限個しかない) が成

り立つ。そのような 2-suborbifolds のうちで、特に spherical なものだけについて考え、

incompraesible spherical 2-suborbifolds がある限り、順に $M$ _{を切っていく。上の有限性}

より、 この操作は有限回で終わる。最終的に得られた各連結成分の各切り口にその cone

であるところの balic $\mathrm{a}_{\frac{-}{}\mathrm{o}\mathrm{r}}\mathrm{b}\mathrm{j}\mathrm{r}_{0}1\mathrm{d}$を貼り付けたものたちを考え、 これを $M$ の素分解と

呼ぶ。

Orbifold $X$ _の universal cover _{が $P$} : $\tilde{X}arrow|X|$ のとき、 このことを表わすのに $X=$

$(\tilde{X},p, |X|)$ と書くことにする。_また、 $X$ _の orbifold としての基本群$\pi_{1}(X)$ は $\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(\tilde{X},P)$

と同型である。これらのことは、後の4節で出てくる OISIBO’s (orbifoldidentifiedspace identified along ballic orbifolds) やorbifold compositions に対しても同様である。

$X=(\tilde{X},p, |X|),$ $\mathrm{Y}=(\tilde{\mathrm{Y}}, q, |\mathrm{Y}|)$ を orbifolds とする。 Orbi-map _$f$ : $Xarrow \mathrm{Y}$ とは、連

続写像たち $\overline{f}:|X|arrow|\mathrm{Y}|$ と $\tilde{f}:\overline{X}arrow\tilde{\mathrm{Y}}$ の組 ($\overline{f}$, ので、次を満たすものをいう。 (i) $fop=q\mathrm{o}\tilde{f}$,

(ii) 各 $\sigma\in \mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(\tilde{X},p)$ に対して、 ある元 $\tau\in \mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(\tilde{\mathrm{Y}}, q)$ で、 $\tilde{f}\circ\sigma=\tau\circ\tilde{f}$ を満たす

ものが存在する。

(iii) 点 $x\in|X|-\Sigma X$ で、 $\overline{f}(x)\in|\mathrm{Y}|-\Sigma Y$ となるものが、 少なくとも1つはある。

多様体間の連続写像の場合と同じように、orbi-map も orbifolds の基本群間の準同型写

像を誘導するが、上の (iii) の点 $x,\overline{f}(x)$ は、 その際の基本群の基点となり得るものたち

である。ここで述べたorbifolds 間の orbi-map についての概念は、 後の 4 節で出てくる

OISIBO’s や orbifoldcompositions 間の orbi-map としても、全く同様に定義される。 Orbi-map $f$ : $Xarrow \mathrm{Y}$ が orbi-embeddingであるとは、 $f(X)$ が $\mathrm{Y}$ の suborbifold で

あって、 $f$ : $Xarrow f(X)$ がorbifolds 間の同型写像であるときを言う。

3.

PRODUCT I-BUNDLES

この節の目標は区間積についての定理で、 それは主定理の証明において、ballic

3-orbifold のorbi-map による逆像の連結成分の個数を減らすのに用いられる。

定義. 3-orbifold $M$ _が既約 $l\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}\backslash$

A.

$B.$) とは、 $A$ と $B$ を分離しないような spherical

2-orbifold は、 必ず、 ある balic 3–orbifoldの境界となるときをいう。 口

$\ovalbox{\tt\small REJECT}\ovalbox{\tt\small REJECT}$

.

$M$

をgood,

conn

oeted, $\mathit{0}\dot{n}entab\iota_{e}s$

-orbifold

であって、境界成分として、少なくと

のを持つものとする。仮定として、 $M$ _は、既約 $(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} A, B)$ であるとしておく。任意の点

$x\in\Sigma A$ _{を取り、 固定する。} $\sigma_{x}$ を $x$ の回りのメリディアン・ループとする。 $i:Aarrow M$

,

$j$ : $Barrow M$ を包含写像とし、 適当な pathが定める $i_{*},$ $j_{*}$ に対して、 $i_{*}[\sigma_{x}]\in j_{*}\pi_{1}(B)$

であるならば、 $x$ と $\Sigma B$

を結ぶような属

ngular

locus $\ell$ で、 3分岐点がないものが存在

する。 口

(証明の方針) まず、 $M$ _内の spherical 2-orbifold_で incompressible _{なものは、 すべて}

$A$ _か $B$ に paralel である場合について示し、_{その後、 一般の場合について示す。}(_詳し

くは [T-Y 4] を参照)

定理 (区間積). $M$ _を good, connected, orientable

3-orbifold

_{であって、境界成分とし}

て、 少なくとも2つの $sphe7\dot{\mathrm{B}}Cd\mathit{2}$

-orbifold

$A,$ $B$ _で、 $\#\Sigma A=\neq\Sigma B$ ( $=0,2$ または3)

であるようなものを持つものとする。仮定として、 $M$ _は、既約 $(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} A, B)$ であるとし

ておく。 $i:Aarrow M,$ $j:Barrow M$ を包含写像とし、 適当なpathが定める $i_{*}$, 広に対し

て、 $i_{*}\pi_{1}(A)=i*^{\pi}1(B)$ であるならば、 $M$ は $A\cross I$ _に

orbifold

_{として同型である。 口}

(証明の方針) $\neq\Sigma A=\#\Sigma B=0$ _{のときは、} $A$ と $B$ を結ぶ適当な path を使って、 _その

他の場合は、 上の補題により得られる singular locus $\ell$ (1本だけ、 または3本すべて)

を使って示す。 (詳しくは [T-Y 4] を参照)

4. $\mathrm{o}_{\mathrm{R}\mathrm{B}\mathrm{I}\mathrm{F}}\mathrm{o}\mathrm{L}\mathrm{D}$

COMPOSITIONS OF SPHERICAL TYPE

$y\sim\overline{f}_{j}^{\epsilon}(y)$, _{$\epsilon=0,1$}, _{$y\in|B_{j}|$}, _{$j\in J$}.

等化空間垣

i\in I,7\in J(|xi|\cup |Bj|)/\sim

を $X$ の底空間と呼び、 $|X|$ と書く。 また、等化空間

$\{(\bigcup_{i\in I}\Sigma X_{i})\cup(\bigcup_{j\in j}\Sigma(Bj))\}/\sim$ を $X$ の特異集合と呼び、 $\Sigma X$ と書く。 口

定義 (coverinsz). $X=(X_{k}, B\ell, f_{\ell}\epsilon)_{k}\in K,\ell\in L,\in=0,1$ と $X’=(X_{i}’, B’, f^{;}jj)_{i}\epsilon\in I,j\in J,\in=0,1$ を

OISIBO’s とする。$X’$ _が $X$ _の covering _{であるというのは、写像の集合} $\{\varphi_{i}, \psi_{j}\}_{i\in I,j\in}J$

で、次を満たすものがあるときをいう。

(1) 各$\varphi_{i}$ は $X_{i}’$ から $X_{k:}$ への (orbifolds 間の) coveringmap である $(k_{i}\in K)$。ま

た各ちは

$B_{j}’$ から $B\ell_{j}$ への (orbifolds 間の) coveringmap である $(\ell_{\mathrm{j}}\in L)$ 。

(2) 各 $j\in J$ _と $\epsilon=\mathit{0},1$ に対して、 $\varphi_{i(j,\epsilon)}\circ f_{j}^{\prime\epsilon}=f_{l_{j}}\epsilon\psi_{j}\circ$ が成り立つ。

(3) 連続写像$p:|X’|arrow|X|$ で、 $\{\varphi_{i}, \psi_{j}\}_{i\in}I,j\in J$ から自然に誘導されるものは全射

であり、 $|X’|-P^{-1}(\Sigma X)$ _から $|X|-\Sigma X$ への通常のcoverimg map を誘導する。

上の写像 $P$ を $X’$ から $X$ への \mbox{\boldmath $\omega$}v可ng m叩という。 口

$\ovalbox{\tt\small REJECT} \text{定義}$orbifold com osition. $I,$ $J$ を可算集合、 $X_{i}(i\in I)$ を n-OISIBO’s, $\mathrm{Y}_{j}(j\in J)$

を ballic n-orbifolds とする。$f_{j}^{\epsilon}$ : $Y_{j}\cross\epsilonarrow X_{i(j,\epsilon)}$ を orbi-maps で、 $(f_{j}^{\epsilon})*$ が単射準

同型であるものとする $(j\in J, i(j, \in)\in I, \epsilon=\mathit{0},1)0$ _{このとき、 $X=(X_{i},$}$Y_{j}\cross$ $[\mathrm{o}, 1],$ $f_{j}^{\epsilon})_{i}\in I,j\in J,\mathit{6}=0,1$ を n-dimen誘onal

orbifold

$compo\dot{n}ti_{on}$ (of $sphe7^{\cdot}i_{Ca}\iota$ type) と言う。

写像 $f_{\mathrm{j}}^{\epsilon}$ を $X$ の auaching

maps

と言う。各 $X_{i},$ $Y_{j}\cross[0,1]$ を $X$ の component と言う。

$\mathrm{I}\mathrm{I}i\in I,j\in J(|xi|\cup(|Y_{j}|\cross[0,1]).)$ における同値関係 $\sim$ を次で生成されるものとして定義

する。

$(y, \epsilon)\sim\overline{f}_{j}(\epsilon y)$, $\epsilon=0,1$, $y\in|Y_{j}|$, $j\in J$.

等化空間垣

i\in I,j\in \in J(|x6|\cup |Yj|

$\cross$ [0,$1]$)$/\sim$ を $X$ の底空間と言い、 $|X|$ と書く。また、等化

空間 $\{(\bigcup_{i\in I}\Sigma xi)\cup(\bigcup_{j}\in j^{\Sigma(\mathrm{Y}_{j}}\cross[0,1]))\}/\sim$ を $X$ の笹弓馬盒と言い、 $\Sigma X$ と書く。 _口

5. ORBI-MAPS

定義 $(- O_{i}.(X)\backslash \cdot-)$

.

$X$ を orbifold composition とする。次のように、 写像の集合を3つ定

義する。

$O_{1}(x)=$

{

$f$ : $\partial Darrow X|D$ は discal 2-orbifold_で、$f$ は

orbi-map},

$O_{2}(X)=$

{

$f$ : $Sarrow X|S$

ef

spherical 2-orbifold $-C_{\text{、}}fl\mathrm{h}$

orbi-map},

$O_{3}(X)=\{f$ : $DBarrow X|DB$ は$\mathrm{b}_{\mathrm{I}}1\mathrm{h}\mathrm{c}$ 3-orbifold $B$ の double,

$f$ は orbi-map}.

写像 $f$

:

$\partial Darrow X\in O_{1}(X)$ が自明であるというのは、orbi-map $g$ : $Darrow X$ で、

$g|\partial D=f$ となるようなものが存在するときを言い、 $O_{1}(X)$ が自盟であるというのは、

$O_{1}(X)$ の任意の元が自明であるときを言う。写像 $f$ : $Sarrow X\in O_{2}(X)$ が自明であると

いうのは、orbi-map $g:c*Sarrow X$ で、 $g|S=f$ となるようのものが存在するときを言

う。但し $c*S\text{は^{}-}S$

上の cone である。 $O_{2}(X)$ が$\text{自}$

明であるというのは、 $O_{2}(.X)$ の任

意の元が自明であるときを言う。 $O_{3}(X)$ についても同様に定める。

$O_{i}(x)$ が自明であったら、 $X$ の任意の covering $\tilde{X}$

について、 $O_{i}(\tilde{X})$ もまた自明と

なることを注意しておく。 口

補題 (orbi-map

_の拡張中

_.

$X=(X^{\epsilon}, Y\cross[0,1], f\epsilon)_{\mathcal{E}=}0,1$ を

orbifold

compositionであっ

て、各 $X^{\epsilon}$ の各particleが_{$07^{\cdot}ientab\iota e$}, irreducible

3-orbifold

であり、 $\mathrm{Y}$ が$\mathrm{o}r\cdot ientab\iota e$ ballic

3-orbifold

であるようなものとする。 もし、 各 $X^{\epsilon}$ の各particleの universal covering が

命題 (orbi-map の構成). $M$ _を3-orbifold, $X$ を

orbifold

$Comp_{\mathit{0}\dot{n}ti}on,$ $\varphi$ : $\pi_{1}(M)arrow$

$\pi_{1}(X)$ を基本門中の準同型写像とする。このとき、 もし、 $O_{i}(x),$ $i=1,2$ が自明である

ならば、 orbi-map $f:Marrow X$ で $f_{*}=\varphi$ となるようなものが存在する。 口

定理 (iba-nsVersallt-v). $M$ _をgood, compact, connect\alpha_も orientable

3-orbifold

とし、 $X$

を

3-orbifold

compo 玩 tionで $o_{i}(x)_{S}^{\mathrm{z}},$ $i=2,3$ が自明なものとする。仮定として、 ある

edge

_orbifold

で、 その cooeが bddlic

3-orbifold

$F$ であって、 _{$O_{i}(X-F),$} $i=2,3$ が自明

であるようなものがあるとする。このとき、 任意の orbi-map $f$ : $Marrow X$に対して、以

下を満たすような orbi-map $g:Marrow X$ が存在する。

(1) $g$ は $f$ に orbi-homotopicである。

(2) $g^{-1}(F)$ の各成分は、compact, properly embedded, 2-sided, $inCompres\dot{n}b\iota_{e}$ な $M$

の2-suborbifoldである。

(3) $X$ _における $F=F\cross 0$ のproduct $nei_{\mathit{9}}hborhoodF\mathrm{x}[-1,1]$ と、 $M$ _における

$g^{-1}(F)=g-1(F)\cross \mathrm{o}$ の pmduct neighborhood$g^{-1}(F)\cross[-1,1]$ で、適切に選ん

だものたちに対して、 $\overline{g}$ は、 各点 $x\in|g^{-1}(F)|$ に対して、 各

fiber

$x\cross|[-1,1]|$

を

fiber

$\overline{g}(x)\cross|[-1,1]|$ に同相に写す。但し、 $\overline{g}$ : $|M|arrow|X|$ は _$g$ の underlying

map である (すなわち $g=(\overline{g},\tilde{g})$ )。口

定義. Orbifold composition $X$ に対して、 $\delta(X)$ を次の (1) または (2) のようなorbifold

$Y$ から成るものとする。

(1) $\mathrm{Y}$

は、 $X$ のある OISIBO のある particle の境界の 1 成分である。

(2) $\mathrm{Y}$ は、 ある closed hhff-edgeの core であるようなbalic orbifold である。 口

定理 (Retraction). $M$ _は $07\dot{\tau}entable$

S-orbifold

で、 ある closed

2-orbifold

$F$ 上の

I-bundleに

orbifold

として同型とする。$X$ _は、

3-orbifold

composition_で、 $O_{i}(x)_{S}’,$ $i=2,3$

が自明であるとする。$f$ : $(M, \partial M)arrow 1^{X,\delta X})$ は orbi-mapで. $f|\partial M$ がorbi-embedding

でなく、 さらに、 $\partial M$ の各成分 $B$ に対して、 $\delta X$ のある成分 $C$ _で $f(B)\subset C$ となる

ものがあるとする。

もし、 ある点 $x\in$ $|F|-\Sigma F$ で、 $f|(\varphi^{-1}(x))$ が $C$ _の path に orbi-homotopic $rel$.

$\{x\}\mathrm{x}\partial I$ であるならば、 orbi-homotopy $f_{t}$ : $Marrow X$ でる $=f,$$f1(M)\subset\delta X$ かっ

$f_{t}|\partial M=f|\partial M$ となるものが存在する (但し $\varphi:Marrow F$ はfibration)。口

6. MAIN THEOREM

補題 (binding tie). $M$ _を good,

conn

oeted, o 短 entable

3-orbifold

であって、境界成分

として少なくとも2つの同型な $sphe7\dot{\mathrm{v}}Cal\mathit{2}$

-orbifolds

$F_{0_{J}}F_{1}$ を持つものとする。$x_{0},$ $x_{1}$

をそれぞれ、 $F_{0},$ $F_{1}$ の基点とし、 $e$ を $x_{0}$ 上の定値な道、 $\alpha$ を、 $x_{0}$ と $x_{1}$ を結ぶ、

それ $\iota_{e}$

:

$\pi_{1}(F0, xo)arrow\pi_{1}(M_{X_{0}},),$ $\iota_{\alpha}$ : $\pi_{1}(F_{1},x1)arrow\pi_{1}(M_{X_{0}},)$ とする。さらに、 $\pi_{1}(M)$

は、 $\pi_{1}(F_{0})$ の真部分群に同型な群$G$ では、融合積分解ができないとする。この時、 もし

$\iota_{6}\pi_{1(Fx}0,0)=\iota_{\alpha}\pi_{1}(F_{1,1}x)$ が成り立つならば\ $M$ を既約 $(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} F_{0}, F_{1})$化した $N$ の

中に. $x_{0}$ と $x_{1}$ を結ぶ、 玩ngular set を通らない道 $\beta$ で $\iota_{e}\pi_{1}(F_{0},$$X0^{)\pi_{1}(F_{1},x_{1})}=\iota\beta$ を

満たすものが存在する。但し、 $\iota_{\beta}$ は

$\beta$ により定まる基本群の準同型写像 $\pi_{1}(F_{1,1}x)arrow$

$\pi_{1}(M_{X_{0}},)$ である。 口

定義 $t^{\mathrm{p}_{0}}1\mathrm{n}\mathrm{C}\mathrm{a}\mathrm{r}-\acute{\mathrm{e}}$associate). $M$ を good, compact, orientable 3–orbifold とするo $\partial M$

の成分に spherical なものがあったら、 その cone となる balic 3–orbifold を貼り付ける。

さらに、Int $M$ _内の separating _な spherical 2-suborbifold $F_{i}$ で、 $F_{i}$ が $\partial$

する–方の

$N_{i}$ が、 $\pi_{1}(N_{i})\cong\pi_{1}(F_{i})$ であるが、

V

$\neq$ ( $F_{i}$ の cone) であるようなものがあるとき ‘ $N_{i}$ を鶏の cone $B_{i}$ で取り替え、 その結果を $M_{i}$ と書く。そのような腸が存在する限

りこの操作を行なうのだが、 $M$ がcompact より、有限回の操作で終わる。この列を

$Marrow M_{1}arrow M_{2}arrow\cdotsarrow\ovalbox{\tt\small REJECT}$

とするとき、最終段階 $M_{k}$ を $P(M)$ と書いて、 $M$ の Poinoer\’e associate と呼ぶ。明ら

かに、 $\pi_{1}(M)\cong\pi 1(\mathrm{p}(M))$ が成り立つo _口

ここまでの準備により、 次が示せる。

主定理. $M$ _は、 good, compact, connect\alpha_も orientable,

3-orbifold

_で、

(a) $\partial- irreducible_{\mathrm{Z}}$

.

(b) $non_{-}s\varphi amtingsphe7\dot{\tau}cd\mathit{2}$

-orbifold

を含まない ;

(c) $P(M)$ を素分解したときの各成分の $\pi_{1}$ が、 無限群

であるようなものとする。 このような $M$ _{に対して、} $\pi_{1}(M)$ の融合積分解

$\pi_{1}(M)=c1*Kc_{2}$

で、 次を満たすものが与えられたとする。

(1) $K$ _{は、 ある} $\mathit{0}’\cdot ientable\varphi he\dot{n}cd$

2-orbifold

$S$ _の $\pi_{1}$ に同型。

(2) $\pi_{1}(M)$ は、 $K$ の真部分群と同型な群 $H$ では融合積分解されない。 (3) さらに、 $K$ _{が有限巡回群の場合は、} $K$ と同型な群を辺群とし、非自明な頂点群 のみからなる $\pi_{1}(M)$ のどんな樹木積分解においても、同–になるような辺群が 2つ以上は存在しない。 このとき、上の分解を実現するような $sphe7\dot{\mathrm{v}}Cd\mathit{2}$

-suborbifold

$S$ が存在する。 口 Step 1.

$M$ _{から $P(M)$ を作り、 それを改めて} $M$ _と置く。 $M$ _{の基本群の基点を、} y_{。とする。}

$(y_{0}\in|M|-\Sigma M)$

Step 2.

基本群の分解に沿ったorbifoldcomposition$X=x_{1^{\bigcup_{B}}}\mathrm{X}IX2,$ $\pi_{1}(x_{1})\cong c_{1,1}\pi(x_{2})\cong$

$G_{2},$ $\pi_{1}(B)\cong K$ を作る。Core $B$ _内に $X$ _{の基本群の基点} $x_{0}$ を取る。

Step 3.

基本群間の同型写像$\varphi$ : $\pi_{1}(M, y_{0})arrow\pi_{1}(X, x_{0})$ を誘導する orbi-map $f$ : $Marrow X$ を

作る。

Step 4.

Core $B$ _の $f$ による引き戻しの各連結成分は、 定理 (Ransversality) より、compact,

properly embedded, 2-sided, incompressibleな2-orb丑old にできる。これらを $S_{1},$

$\ldots,$$S_{k}$

と置く。 Step 5.

$f|S_{i^{;S}i}arrow B$ を orbi-map _{になるようにしておく。}(_{つまり、基点がなかったら、基点}

を作るのだが、 これは、[Ta, 54] より、できる。) さらに、必要ならばmap を修正するこ とにより、各 $S_{i}$ に対し、 _{$y_{i}\in|S_{i}|-\Sigma s_{i}$} であって、 _{$f(y_{i})=X_{0}$} となるものが取れる。

Step6.

$f_{*}$ は、 同型より、 全射。ゆえに、各跳 と

$y_{0}$ を結ぶ $|M|-\Sigma M$ 内の path $\ell_{i}$ で、

$[f\circ\ell_{i}]=1\in\pi 1(X)$ _{となるものが取れる。}$S_{i}$ の基点を

$y_{i}$ とし、path $\ell_{i}$ が誘導する準同

型写像を、 $\eta_{i*}$

:

$\pi_{1}$(Si,$y_{i}$) $arrow\pi_{1}(M, yo)$ とする。 $B$ の基点を $x_{0}$ とし、 定値な道が誘導

する準同型写像を $\lambda_{*}:$ _{$\pi_{1}(B, xo)arrow\pi_{1}(X, x_{0})$} とする。Path$\ell_{i}$ の取り方により、任意の

$i$ について、 下の図式は、 可換。

$\eta_{i*}$ は単射である。 $f_{*}=\varphi$ は同型より、単射。ゆえに、 $f_{*}\circ\eta_{i*}=\lambda_{*}\circ(f|S_{i})_{*}$ は、単

射o よって、 $(f|S_{i})_{*}$ は、単射。 $(f|s_{i})_{*}$($\pi 1$(Si,$y_{i})$) $\subset K=\pi_{1}(B, X_{0})$ だから、 $\pi_{1}(S_{i,y_{i}})$

は、 $K$ のある部分群に同型である。

$\pi_{1}(M, y0)arrow f*\pi_{1}(X,x_{0})$

(6.1) $\eta:*\dagger$ $\uparrow\lambda_{*}$

$\pi_{1}(S_{iy_{i}},)rightarrow(f|S.\cdot)_{*}\pi_{1}(B,x\mathrm{o})$

Step7.

各$S_{i}$ について、 もし、discal2-orbifoldだったら、spherical 2-orbifoldになるよう map

を修正しておく。 ($M$ が $\partial$-irreducible

より、 できる。) Step8.

各 $S_{i}$ は、 incompressible spherical 2-orbifoldで、仮定より、separating. また、_{$K$ の}

Step 9.

$f^{-1}(B)$ の成分が、2_{つ以上あったと仮定する。すると、以下のように、成分の個数を}

減らす修正がある。

(1) Step 6の $\ell_{t}$ を切ったり、修正したりして、ある $i$ と、 ある $j$ について、$S_{i}$ と $S_{\mathrm{j}}$

を結ぶbinding tie が取れる。これを含む成分を $M^{j}$ とする。

(2) $K$ が単位群1ならば、多様体の場合[St] と同様の修正をすることにより、 _$f^{-1}(B)$

の成分を1つ減らせる。以下、 この step では、 $K\neq 1$ _とする。

(3) $M$

_{を亀と場のみで切ったときの}

$M’$ _{以外の成分を} $M_{1},$ $M_{2}$ と置く。 $k=1$ ま

たは2について、 $\pi_{1}(M_{k})\cong K$ ならば、仮定より、 $M_{k}$ は、 balic 3-orbifoldだ

から、 $S_{i},$ $S_{j}$ が共にincompressible であることに反する。 よって、 $\pi_{1}(M_{i})\not\cong K$

である。

(4) $M’$ _{を既約化 (mod} $\partial$)

したものを $N$ _{とすると、 補題} (binding tie) _より、 $N$ _に

binding tie が取れる

(5) _tl を定値な道が誘導する $\pi_{1}$(Si,$y_{i}$) から $\pi_{1}(N, y_{i})$ への準同型写像、 $\iota_{2}$ をbinding tieが誘導する $\pi_{1}(S_{\mathrm{j}y_{j}},)$ から $\pi_{1}(N,y_{j})$ への準同型写像とすると、 $\iota_{1}\pi_{1}$(Si,$y_{i}$) $=$

$\iota_{2}\pi_{1()}Sj,$$y_{j}$ となる。 よって、定理 (区間積) より、 $N=S_{i}\cross I$ が成り立つ。

(6) 定理の条件 (2), (3) より、 $M’=N$ となる。 よって、 $M’$ _{は区間積である。} (7) 定理 (Retraction) より、 $M’\subset f^{-1}(B)$ _{にできる。よって、} $f^{-1}(B)$ の成分を 2 個減らせる。 これを有限回繰り返して、 成分が2つ以上なら減らしていける。$0$ 個になると矛盾。 よって、 1個。 Step 10. 上で得られた唯

–

つの成分亀を $S$ と置き、 これにより $M$ _を $M_{1}$ と $M_{2}$ に分ける。 すると、 $\pi_{1}(M,y_{i})=\pi_{1}(M_{1},yi)*_{\pi(}s_{:,y)1}:\pi 1(M_{2,y_{i})}$ なる分解を作ることができる。さて、 $f_{*}$ は、 $\pi_{1}(M,y_{0})$ から、 $\pi_{1}(X, x_{0})$ . への同型であ

り、 $f_{*}\pi_{1}$(Si,$y_{i}$) $=\pi_{1(}B,$$X_{0})$ かつ、 $f_{*}\pi_{1}(M_{k}, y_{i})\subset\pi_{1}(x_{k\mathit{0}},X),$ $k=1,2$ が成り立って

いることが、以上の考察より分かる。よって、命題 [Bro, Prop 25] より、 $f_{*}\pi_{1(M_{k},)=}y_{i}$

$\pi_{1}(X_{k,0}X),$ $k=1,2$ が成り立つ。

従って、 $S$ が、 分解を実現するものであることが分かる。後は、 _{$P(M)$ から、初め}

の $M$ _{を復元すればよい。埋めた各}balic 3–orbifold $D$ の境界 $\partial D$ が、 _$S$ と交わらなけ

れば、 $D$ _{を、 もとの} fake ballc 3-orbifold _{に戻せばよい。なぜならば、 その操作をして}

も、 $S$ _による、$\pi_{1}(M)$ の分解の仕方が、保たれるからである。

交わっている場合は、 交わりの最も内側に注目すれば、 $\pi_{1}$ の分解の仕方を変えない

から、上と同様な操作を行なえばよい。 $\partial$ を埋めた ballc 3–orbifolds についても同様で

ある。 口

7. AN APPLICATION TO THE COMPOSITENESS OF LINKS

この節では、主定理の証明で用いた手法により結び目が合成であることの十分条件を

求める。必要性については知られているので、合わせて必要十分条件となる。

$L$ を $S^{3}$ 内に埋め込まれた (1次元の) 絡み目とする。2以上の任意の自然数

$n$ を 1

つ取る。

定理. $L$ を splittableでない絡み目とし、 その成分を $L_{1},$ $L_{2},$ $\ldots,L_{k}$, 各 $L_{i}$ の勝手なメ

リディアンを $m_{i}$ とする。 このとき、 $L$ が \mbox{\boldmath $\omega$}mpo玩te link (合成絡み目) であるという

ことの必要十分条件は、

(7.1) $\pi_{1}(S^{3}-K)/([m_{i}]^{n}, i=1,2, \ldots, k)\cong c_{1}*_{\mathbb{Z}_{n}}G_{2}$

となることである。 口 注

.

主定理が適用できる形ではないので、絡み目の分解として、(7.1) 右辺の群の分解の 実現に対応したものが取れるかどうかは分からない。 口 注. $L$ 力>*sphhttable でないという仮定がないときには、 (7.1) の条件に、 左辺が自由積分 解できないというのを付け加えるとよい。 口 証明概略. $M$ _を $\mathrm{a}\frac{-}{}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{b}\mathrm{i}\mathrm{f}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{d}$

で、底空間が $S^{3}$ であって、singular set が _$L$, _その index が

$n$ であるようなものとする。 $L$ を composite link _{とする。 このとき、}(7.1) _{のようになることが知られている。}(_ま たは、 $\pi_{1}(M)$ を考えれば分かる。) 逆に、 (7.1) が成り立っているとする。 $M$ が主定理の仮定 (c) を満たさないときは、 $\pi_{1}(M)$ が無限群であることから、 $M$ _{の素分解の成分数は}2_{以上であることが分かる。} 今、 $L$ は sphittable でないから、composite _である。 $M$ が主定理の仮定 (c) _{を満たすときには、 群の分解に沿って、}orbifold composition $X$ _及びorbi-map _{$F:Marrow X$ を作る。主定理の仮定} (3) が言えないので、群の分解を実

現する spherical 2-orbifold が取れるとは言えないが、 とにかく incompressible spherical

2-orbifold が 1 個は取れる。 $L$ はsphittableでないから、composite であるo _口

系. $L$ を結び目とし、_$m$ をその勝手なメリディアンとする。_{このとき、} $L$ が \mbox{\boldmath $\omega$}mpo玩te

knot (合成結び目) であるということの必要十分条件は、

$\pi_{1}(S^{3}-L)/[m]^{n}\cong G_{1}*_{\mathbb{Z}n}G_{2}$

REFERENCES

[He] J. Hempel, 3-manifolds, Ann. of Math. Studies, vol. 86, Princeton Univ. Press, 1976.

[Kn] H. Kneser, Geschlossene Flachen in dreidimensionalen Mannigfakigkeiten, Jahresbericht der

Deut. Math. Verein. 38 (1929), 248-260.

[St] J. Stallings, A $top_{\mathit{0}}lo\dot{\varphi}cal$proofofGruchko’s theoremonfreeproducts, Math. Zeit. 90(1965),

1-8.

[Ta] Y. Takeuchi, Waldhausen’s classificat\’iontheorem_forfinitely_{uniformizable}3-orbifolds, Trans.

ofA.M.S. 328 (1991), 151-200.

[T-Y 1] Y.Takeuchi andM.Yokoyama, Waldhausen’s_{classification}theorem_for3-orbifolds, preprint.

[T-Y 2] Y. Takeuchi and M. Yokoyama, $PL$-least area 2-orbifolds and its applications to 3-orbifolds,

preprint.

[T-Y 3] Y.Takeuchi andM.Yokoyama, The geometric reahzation_ofthe decompositions _{of 3-orbifold}

fundamentalgroups, Top. App. (to appear).

[T-Y 4*] $\mathrm{Y}.$ Takeuchi and $\mathrm{M}$. $\mathrm{Y}_{\circ}\mathrm{k}_{\mathrm{o}\mathrm{y}\mathrm{a}}\mathrm{m}\mathrm{a},$ $\mathit{3}$

次元軌道体の基本群の分解を実現する球面的軌道

面, 学会における講演.

[T-Y 4] Y.Takeuchi andM. Yokoyama, Thespherical _2-orbifoldswhich realize the decompositions _of

3-orbifold fundamentalgroups, in preparation.

[Th] W.P. Thurston, The geometry andtopology_ofthree-manifolds,mimeo-graph\’enotes,

Prince-ton Univ. 1978.

IGAYA, KARIYA 448, JAPAN

$E$-mail address: _{yotake@auecc.aichi-\’eu.}$\mathrm{a}\mathrm{c}$

.

jp

OHYA, SHIZUOKA 422, JAPAN