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金属中の電子と超伝導入門

理学部 理学研究科 物理学教室

池田隆介

講義日程 5/21, 5/28, 6/4、6/11

講義内容

使用する ファイル

I

量子力学の導入

Ｎｏ．2 ～ 8

II 原子と固体中の電子

7 ～ 14

III

超伝導 と Bose-Einstein 凝縮

10 ～ 21

IV 磁場下の超伝導

15 ～ 24

I 量子力学の導入

古典論と量子論

（古典）荷電粒子の加速度運動 － 電磁波を放出 →エネルギーを失う 例： 原子 電磁波 原子核（青丸）の周りを回る電子（赤丸） 古典論では原子は不安定！ （原子の寿命 ： １千億分の１秒！）

右： Stern-Gerlach 実験 （Æ スピン up or down のみ）

量子力学

（ド・ブロイの物質波 |p| = h /λ）

ミクロな世界：

個々

の

粒子

は

波

でもある 。

軽いほど拡がり易い。

→ “ 粒子 ” を識別できない

時刻 0 時刻 t

i.e.,

波動性

x x t 1 2

波動性：

量子化

例： 無限 に 深い 井戸中の “ 粒子 ” 古典系の例： 弦の振動 固有状態 エネルギー は 離散値 基 準 モード n=3 状態の離散化 = 量子化 ← 波動性 n=2 n=1 0

_b

0

b

識別できない “ 粒子” －

同種粒子

2粒子の交換

（180°回転）

１

２

→

2 １

ψ(1,2) ψ(2,1) = P ψ(1,2)

360°回転

→ 因子 P ＝ １ or －1

ψ(1,2) = ψ(2,1) : ボーズ粒子 - 整数スピン 例 光子、ヘリウム４ ψ(1,2) = －ψ(2,1) : フェルミ粒子 - 半整数スピン 例 電子、ヘリウム3 フェルミ多粒子系： ψ（１，１）＝0 i.e., 複数の”粒子“が同じ状態を占めることはできない － １状態に１粒子のみ － パウリの排他原理 ボーズ多粒子系： 巨視的な数（アボガドロ数！）の粒子が同じ状態 （運動量ゼロの 状態） に入ろうとする。 粒子間相互作用なしに、低温で実際起こる現象 － ＢＥＣ （_{Bose-Einstein condensation)}

←

識別できないので 同じ状態

II 原子と金属中の電子

水素原子の量子論 基底状態

離散準位 ―

定常状態

E( r ) 0 r 古典極限 で 原子 は つぶれる

r

U(r)

０

原子の準位

－ 最も低い準位から順番に占有

電子スピン

のみ

最外殻（電子が存在する最高エネルギーの準位） が部分的にのみ占有

－ 価電子

固体

_–

原子の周期的配列 (結晶構造)

原子を一列に並べたら価電子（外殻電子）はどうなるか？

古典論のイメージでは 価電子は同じ価電子として 局在したまま。

r

U(r)

例．2つの井戸（ 1準位、 １つの井戸当たり電子１個 ）

－ 電子は局在しない方を好む

～

井戸の深さ有限

波動関数

Æ

トンネル効果（← 波動性）

エネルギー準位 EF N = 1 (d＝∞) N = 2 N = ∞ ： エネルギー値 連続 i.e., N=2 では井戸の外に出やすい（→ 2原子分子の結合 － 共有結合） N = ∞ とみなせる 固体では、N 個 の 価 電子 は 系全体を走り回る 伝導電子 に変貌する

d

0

d

0

0 x x

Fermi 面がバンド内にある － 金属

エネルギーバンド

以下、伝導電子 ー 自由電子と近似

（k : 波数）

自由（相互作用しない）フェルミ粒子気体（伝導電子の集団）

ー

フェルミ縮退

フェルミ球は最低エネルギー（球中心）から占有される --- フェルミ面付近の状態にある伝導電子（その数 N (T / TF) 程度) が熱力学量や 電気伝導において主役を演じる。 フェルミ面付近にある電子の速さ は一定

比熱 ： C ～ N k

B

(T / T

F

) ∝T, T

F

= E

F

/ k

B

～ 数 万 (K)

k_F k 0 E(k) E_F

k

k

k

x y

0

k

_z F Fermi sphere 励起エネルギー

F

ε ∝ k － k

τ 2 2 F

k

F : フェルミ 波数 基底状態 （Ｔ＝０）： |k| > k （フェルミ球外） ： 非占有 |k| < k （フェルミ球内） ： 占有 Ｆ F

自由フェルミ気体

状態 τ に占有されるフェルミ粒子数

n

= ( exp[ (ε －μ）/ k T ] + 1)

十分高温

μ（Ｔ） < 0

低温極限

（Ｔ→０） μ（Ｔ→０）＝ε

正でないと非物理的

τ τ B

-1

- 必ず １ 以下

パウリの排他原理

↓

Ｆ τ 2 2 F F 基底状態 （Ｔ＝０）： |k| > k （フェルミ球外） ： 非占有 （

n = 0

） |k| < k （フェルミ球内） ： 占有 Ｆ F

ε －μ ∝ k － k

k : フェルミ 波数

τ (

n

= 1 ) τ |k| 0 _k F 1

n

_τ

伝導電子が担う金属の特性 １）金属光沢（白色）： 可視光は金属面で全反射 ２）熱伝導： 金属は冷たい (伝導電子が動き回るから） ３）電気伝導： Ohm の法則 V = R I or I =σE （σ：伝導度） I = N (- e) v Ｄrude の 古典論 結晶構造により電子が散乱。 散乱が加速を抑えて v を一定にすると仮定 緩和時間τは何か？ 古典力学 Æ 格子間隔 Æ Ohm則が不成立 量子論 フェルミ面付近にある伝導電子の速さ vF が一定 （常に動き回っている ! ） Æ τ= d / vF で、Ohm 則は理解できる。 結晶構造が電子を散乱し、その運動を緩和させるのではない。 実際、固体になっているから価電子は動き回っている － Bloch state 実際の散乱過程の原因 1) 結晶の不純物 2) 格子ひずみによる電子の散乱 3) 電子どうしの間の散乱

周期律表

（固体の電子論（丸善 斯波弘行著）より引用） 金属元素のみを表示

III 超伝導

超伝導現象

１）

抵抗の消失

Kamerlingh Onnes (1911)

の実験

２）

完全反磁性（マイスナー効果）

反磁性 － 磁場が入るとエネルギーが 増えること。 超伝導体 正常金属 Æ

超伝導体内で

B=0

1)下向きの重力 マイスナー効果 Æ 磁石下の磁 束線が密 Æ 2) 上向き圧力 つりあって静止

BCS

(Bardeen,Cooper,Schrieffer)理論（１９５７） ー 何故超伝導？

1)

電子間の引力

電子１が格子（イオン）を歪ませる。イオン質量は莫大なので、 ひずみが復元する前に、別の電子２がこのひずみに引き寄せられる。 Æ 格子歪みを介した電子間引力（電子 - 格子相互作用） Æ 電子対 励起エネルギー

2) BEC (Bose-Einstein 凝縮)

電子対はボーズ粒子とみなせる Æ 低温で起こる 電子対のＢＥＣ = 超伝導転移 （電子対の重心が動かない － 運動量ゼロのボーズ粒子） 巨視的な数の凝縮 Æ ミクロに定義された波動関数 ψ= |ψ| exp(iφ) の位相 φ が 巨視的スケールでそろう － φの変化 Æ 電子対の数の変化 i.e., 電流 － 超伝導電流 Æ マイスナー効果 Æ ゼロ抵抗 k_F k 0 E(k) E_F gap electron 1 electron 2 ion density Crystal lattice |Δ|

F

ε ∝ k － k

τ 2 2 F

k

F : フェルミ 波数 基底状態 （Ｔ＝０）： |k| > k （フェルミ球外） ： 非占有 |k| < k （フェルミ球内） ： 占有 Ｆ F

自由ボース気体

状態 τ に占有されるボース粒子数

n

= ( exp [(ε－μ）/ k T ] － 1 )

十分高温

：

μ（Ｔ） < 0

低温極限

（Ｔ→０）：

でないと非物理的

τ τ B

-1

-τ 2

基底状態 （Ｔ＝０）：

_{BEC (Bose-Einstein condensation） Ｔ＜Ｔ}

k=0 近傍の占有数 無限大 （運動量空間での凝縮）

ε ∝ k ＞ ０

任意の正数

ε ーμ > 0

τ →

μ(T → 0)

Æ －0

0

T ∝

₀ ( 粒子密度 )2/3

BEC とはどんな状態か

－ 巨視的な数のボース粒子が際限なく動き回っている → 粒子の数は確定値を持たない 不確定性関係 ΔN ΔΦ > 1 ( Φ : 多粒子「波動関数」 ψ の位相 ） 粒子数不確定 ΔＮ Æ ∞ Æ ΔΦ Æ 0 : 位相がそろった （コヒーレントな） 状態

ＢＥＣ － 巨視的量子状態

BCS 電子（クーパー）対

－ 弱い引力

_{Æ “}

_k

_{空間 でのペアリング ”}

ξ

0

(電子対のサイズ）

>>

電子間距離

～

_k

F Æ

電子対形成は

ｋ

空間 での物理が支配

実線：Fermi 面

k

F

ξ

0 -1 -1 強い引力 Æ 実空間でのペアリング Æ (

μ

<< EF、 ξ0 ～ 粒子間距離 ) -- BEC BCS – BEC crossover － 近年、冷却原子系で実現 （ 高橋氏 の講義にて）

k

F -1

ξ

0

磁束の量子化

電流密度 超伝導体表面付近に誘起される電流密度 j が磁場を遮蔽 Æ 超伝導体内部で B=0 かつ j = 0 Æ 中心部内の磁束は外に逃げられない magnetic flux

superconductor

Josephson 電流 ( B.D.Josephson ：’62 に 21歳の時に予言 → ノーベル賞 ）

2つの超伝導体 A, B A,B 間の位相差 δφ

Æ j ∝ sin(δφ)

磁束の量子化 Æ 渦の量子化 ある程度強い 外部磁場 Æ 磁束が 超伝導体内に侵入 磁束線周辺では円電流（渦電流）を伴う Æ 量子化された磁束を伴った渦糸 磁場下の超伝導体 --- 渦糸状態 (vortex state) 渦の芯が磁束を担う 量子渦 ( quantized vortex) の運動 Æ 電気抵抗 i.e., 磁場下にある現実の超伝導体では、物質中の欠陥などにより渦が運動できないようにして電気抵抗をゼロに保つ ことが必要になる。（注意： 超伝導を実用化する際には、通常磁場下に置かれている） magnetic flux superconductor 0 T H T_c vortex solid metal Meissner phase vortex solid

電子線ホログラフィーによる渦と量子化された磁束の観測

（外村他ー日立基礎研）

なぜ、「渦の運動 → 電気抵抗」 か？

量子渦を渦流を伴った中空の円筒とみなす。 渦度 ω 揚力 銅酸化物高温超伝導体 （1986発見） の磁場中相図

flow

0 T H T_c vortex liquid

metal

Meissner phase vortex solid