ハルデン相を特徴付けるストリング秩序の
有限サイズスケーリング
阪大基礎工
上田宏
吉田研究室コロキウム 2008/06/09アウトライン
• はじめに – 少しだけ自己紹介 – 相転移に関する予備知識 • 相転移を身近に感じるために • 秩序変数と自発的対称性の破れ – モデル計算の流れ（一例） • 量子相転移の相境界を新たな手法で捉える – 数値解析手法の現状と新手法の提案 – 既知の相図（S=1XXZ鎖＋単一イオン異方性） – 基底状態現象論的繰り込み群（GSPRG） – 計算結果 – まとめ • 最近すこし気になること – Fortran90で組む擬似オブジェクト指向プログラム• 上田 宏（うえだ ひろし） 出身：大阪府摂津市 • 経歴 – ２００５年３月 大阪府立工業高等専門学校 電子情報工学科 卒業 – ２００５年４月 大阪大学 電子物理科学科 物性物理科学コース 偏入学 – （後は皆さん知ってのとおりですので略） ・・・ Dr進学予定 • 研究内容 – 高専卒研：家庭用電子レンジを使って三元化合物半導体を「まさに料理をつくるかの ようにして」作製した後、低温発光ルミネセンスによる評価 – 学部卒研：密度行列繰り込み群（ＤＭＲＧ）のオリジナルプログラムの作成と 単一イオン異方性を持つＳ＝１Heisenberg 鎖のHaldane相の相転移の評価 – 修士１年：基底状態現象論的繰り込み群（GSPRG）の提案と 単一イオン異方性を持つＳ＝１XXZ 鎖のHaldane相の相転移の評価 – 修士２年：S=1梯子系（もしくは次近接相互作用のあるS=1Heisenberg 鎖）の あらたな量子相転移の探索（のために現在右往左往してるところ） • 最近考えてること – 研究室内公開用のDMRGプログラムの作成（速度よりも可読性を重視する方針） • １次元鎖、次近接相互作用、ランダムスピン、XXZ異方性、単一イオン異方性、磁場 • Fortran90で似非オブジェクト指向プログラミングを組むことに挑戦中
自己紹介
相転移に関する予備知識
• いきなりですが幾つかアンケート
– 相（Phase）といわれてまず何を思い浮かべますか？ • 上田の場合： – 相転移（Phase Transition）と聞いてまず頭に思い浮かぶも のはなんですか？ • 上田の場合： – どちらが２次の相転移？ • （μ：化学ポテンシャル、C ：比熱、T ：温度） 気相、液相、固相、強磁性相、超伝導相 etc. １次相転移 （潜熱が伴う） 水（液相） → （温度低下） → 氷(固相) ［長岡洋介著：岩波基礎物理シリーズ 統計力学 より］• 実際の世の中はこんなに上手くいきませんが・・・
相転移を身近に感じるために
ある飲食チェーン店の 純利益 気温 A：利益 ＋８ A B B：利益 ０ ：利益 ＋1/2 の支店 ：利益 ー 1/2 の支店 純利益：AとBとの相の違いを区別する 気温：チェーン店がA相かB相の どちらにいるかを決定する外的要因 A相とB相の境• これはよくある話
物理っぽくすると・・・
Ｍ ：磁化 T ：温度 A：磁化 ＋８ B：磁化 ０ A B ： ＋1/2 の磁気モーメント ： ー 1/2 の磁気モーメント 磁化：AとBとの相の違いを区別する 温度：系がA相かB相のどちらの 状態になるかを決める外的要素 TC：臨界温度• 秩序変数
：ある相の秩序の度合いを表したもの
– 磁化、分極、電流 ・・・• 相転移時
に秩序変数の
対称性が破れる
秩序変数と対称性の破れ
＋と－を入れ替える 磁化：０ 磁化：０ モーメントの配置の 入れ替えに対して 秩序変数が不変 ・・・無秩序相 ＋と－を入れ替える 磁化：＋８ 磁化：ー８ モーメントの配置の 入れ替えに対して 秩序変数が変化す る ・・・ 秩序相 高温 高温• ２次相転移の現象論（ランダウの理論）
–F
(m
)=F
0+A
0(T
-T
C)m
2+Bm
4 （A
0,B
>0） –F
：自由エネルギー、ｍ
：秩序変数、T
C：臨界温度 –F
の関数形 ・・・ 実際にパラメータを調整しながら 確認してみましょう！秩序変数と自由エネルギー
• 磁場(
H
)を加える
–F
(m
)=F
0+A
0(T
-T
C)m
2+Bm
4＋H m
– 磁場中の磁化 ∂F
/∂m
=0 – ⇔ 2A
0(T
-T
C)m
+4B m
3= H – ⇔ m = H/{2A0(T
-T
C)} （高温側ではm
3は無視） – ⇔ Χ ∝ 1/(T
-T
C) 臨界点上で発散 – 低温側でも一次の近似で同様の発散が見られる• 二次の相転移の転移点で見られる物理量の異常な
振る舞い
– 磁化率の発散 – 磁化の揺らぎの発散 （臨界揺らぎ）• 不均一な秩序パラメータ
– 今までの議論 空間的に平均化された秩序パラメータ – 実際は・・・ 空間的に変化している – ギンツブルグーランダウ展開（GL展開） –F
[m
(r
)]=a∫m
(r
)2dV
+b∫m
(r
)4dV
+c∫
|∇m
(r
)|2dV
– 不均一な揺らぎを扱う臨界現象（お話だけですが）
モデル計算の手順（一例）
• あるモデルの（ある特定の）物性を知るために
厳密解があるかどうか 解析的に解ける範囲の摂動論や平均場近似で その性質がわかるかどうか ここまでは計算機の力 に頼らなくてもできる 小さなシステムサイズの計算でよい 厳密対角化法 系にフラストレーションがない （負符号問題が発生しない） モンテカルロ法 一次元系でギャップフル 密度行列繰り込み群 他には・・・摂動論、分子動力学法など量子相転移の相境界の捉え方
• これまでの数値解析手法
– エネルギー励起スペクトル • 有限サイズスケーリング（FSS）と現象論的繰り込み群（PRG） • レベルスペクトロスコピー – 基底状態の秩序変数 • FSS+PRG★• ★
の特徴
– 秩序変数のみ利用 – 2次転移を想定したFSS• ★
の
解析手順の確立
– ★のメリットを生かす – 秩序変数のサイズ変動応答による転移点決定 – 転移によらない解析手順S
=1
XXZ
鎖 +
Ｄ
項 のHaldane相
• ハミルトニアン
W. Chen, K. Hida, and B.C. Sanctuary, Phys. Rev. B 67, 104401, (2003).
• 解析手法 – 厳密対角化手法（ED） – レベルスペクトロスコピー – ＦＳＳ＆ＰＲＧ • 相転移（ハルデン相周辺） – ガウシアン転移 – イジング転移 – ＢＫＴ転移 • 今回の解析 – DMRG （OBC）＋GSPRG ターゲット
2次転移の有限サイズスケーリング
• 境界開放での有限サイズストリング秩序変数（α
＝ｘ
，ｚ
） • 臨界指数 • 有限サイズスケーリング仮説式 • 秩序変数の対数プロットの サイズ依存性 – 秩序相 – 臨界点上 – 無秩序相基底状態（GS）PRG
• 各サイズでの対数プロットの傾き
• 転移点上でユニバーサル関数の傾きが一定
Haldane-Large-
D
転移 （1/2）
• 赤：stably finite，緑：rapidly increasing，青：rapidly decreasing •
D
c=1.16±0.01 （計算条件：N
max = 96，m
max=150）Haldane-Large-
D
転移 （2/2）
• ストリング秩序方向 によらないν • ν(J
z=1.25)～1.2 Jz=1.25 • 報告値との比較 □： Eur. Phys. J. B 35, 465, (2003). Multi-target DMRG (PBC) △： J. Phys. Soc. Jpn. 69, 237, (2000). 厳密対角化 （PBC）Haldane-Neel転移 （1/2）
•
x
成分のみ有効
•
J
zc=1.4905±0.0015
new data D=0.5 • EDとの整合性の検証 （N ≦22 by スケールドギャップPRG） – DMRG＋GSPRGの評価値へ向かう 新たな３点 • ED+ギャップのPRGと DMRG+GSPRGは合致Haldane-Neel転移 （2/2）
• イジング転移 厳密解 ν=1 • ν(D
=0.5)=1.006±0.018 cf. ν=1.023±0.009 Eur. Phys. J. B 41, 503, (2004). D=0.5 • ベストデータ（N =150, mmax=150） – Jzc(D=0)=1.1860±0.0003 ν= 0.996±0.008 cf. Jzc=1.186 ν= 0.987±0.002Haldane-
XY
転移
• 変曲点
J
zi(
N
’
, D
fix)に着目
– 外挿式：
