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鉄筋コンクリート部材に関する従来型曲げせん断変形分解法の力学的意味と適用限界

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(1)

[諭  刻 UDC :624

012

45 :624

04 :539

386 日本建 築 学会 構造 系論文報告槃 第 372 号

昭和 62 2

鉄 筋

部 材

せ ん

断変

形 分

       

力 学 的 意

適 用 限界

正 会 員 正 会 員

瀬   

  

  

  

  

* *   §

1.

研 究 目 的   は り

耐 震 壁など, 鉄 筋コ ンク リ

ト部 材の実 験 で

部材の全 体 変 形 (た わ み 量

部材 角な ど)を曲 げ

せ ん断 変 形 成 分に分解する ことは

,一

般 的に行わ れ てい る。 その目 的は

履 歴ル

プのモ デル化

エ ネル ギ

吸収 能 力の解明な ど

さ まざまで あ る

 

変 形 分 解の手 法にっ い て見る と

は り や柱な ど

線 材 とみな し う る部材の実験では

例え ば村 上

今 井1, う に材 軸に沿っ て曲 率と せ ん断ひずみを測 定し

こ れ ら の積 分 値 を 曲 げ

せ ん断変形 成 分と する のが通 常で あ ろ う。

方, 耐 震 壁の場合は

例え ば志 賀 ら 2} よ う に

壁の対 角 線 方 向に相対変位を測 定し て

その変 形 角を そ の ま ませ ん断 変形成分 と み な すこと が多か っ た

これに 対し て平 石3} は

この ように測 定 し た耐 震 壁の せ ん断変 形 成 分に は曲 げ変形に よる分が含ま れ ているこ と を指 摘 し た

そ して 付帯ラ

メ ン の柱の ひずみか ら求め た 曲 率 を積 分し て曲 げ変形成 分と し

そ の残りをせん断変 形

分とする方 法 を提 案し た

さ らに富井らOは

平 石31 の方 法を拡張して

付 帯ラ

メンの は り と柱の材 軸ひず み度のを考 慮した分 解 結 果 を示し た

し か し

せ ん 断 変 形 成 分は, 相変わ らず 曲 げ 変 形 成 分の残り とし て し か定 義されな かっ た

筆者らに は

こ の よ う な 消極 的な 定 義で は な く, 積 極 的

能 動 的 な 定 義 方 法が可能で は な いかとい う疑問が残る。 同 時に富 井ら 1) , 上 記の よ う な従 来 型の曲 げせ ん断分解結果と

ル ギ

論 に 基 づ く分解結果とのも行 しか し , 富井ら V ネ ルギ

論に基づ く分 解 法では 曲 げ変形と軸方 向変 形の 区別がで き ない

また

従 来 型の曲げ せ ん断 変 形 分 解 法 その ものの力 学 的

ル ギ

論的意味 (例え ば

従 来 型の分解 法に よっ て得 られ た せん 断 変 形 成分 と荷重と が 描く履 歴ル

プの面 積は何を意 味する の か ?)につ いて の考 察に は至っ てい ない

 

本報は

富 井ら4}によっ て拡張さ れ た従 来 型 曲 げせん 断 変 形 分 解 法を数 学 的に再 整理 す る

そ し て こ の分 解 法  本 論 文の

部は

昭和61年度日本 建 築 学 会 大 会 学 術講演梗概 集に発表し てい る。  . 名 古 屋工 業 大 学 助手

工博  # 東京工業大 学 助 教授

工博     (昭和61年5月8日原 稿 受 理 ) が

どの よ うな 場 合に どの よ う な力 学 的 意 味を持ち, あ るい は持たな くな る か を, 部 材 内 部で の吸 収エ ネル ギ

の観 点か ら 明 ら か に す る。

 

§

2.

部材 外 周の変位 分布に基づく変形分解 の

般 論

 

本報は

は り

柱, 耐震 壁 な ど長 方 形の部 材を対 象と す る が

本 節に限っ て は, 理論の見 通 しを よ くす る た め

Fig

1

の よ う な

般 的な 二 次 元 部 材にっ い て

部 材 外 周 の変 位の重み づ け積分に よ る変 形分 解の

般論を述ぺ る

部材外縁の ひずみ度か ら求め た曲率を用い る従 来 型の曲 げせ ん断変形 分 解 法は

§3

で示す ように

本 節 の

般 論に含 まれ る。

 

Fig.

1の部 材の 内 部 を

A ,

外 周 を

S

と表す。 

s

に は, 変位が拘束さ れ た領 域 (

Fig.1

のハ ッチ部分〉を含まな い

外 力は

,S

上に加わる表 面 力のみ考慮す るもの とし, 二 のベ ク トル

lql

で表す

ま た, 部 材 内 部 (外 周 を 含む)の変位を

二 次元のベ ク トル

lul

で表す

 

外 力団を代表す るス カラ

量と して

代 表 荷 重 G を 選 択する

。Fig.

1ので は集 中 荷 重の大き さ を代表荷重

G

に選んで い る

代 表 荷 重

G

分 布 荷 重の合 力

曲 げモ

メン トな ど

任 意に選んで よい

 あ る変 形 状 態にお ける外 力増

IAql

と代 表 荷 重 増 分 AG よ り, 基準 化 外 力

1

ζ

1

を次 式の よ う に定 義 する。

   

}ζ}= 辺σ

1

/△

G ………・

………一 …一 ………

(1

 

基 準 化 外力

1

ζ

1

と変 位

lul

との 内積を式 (2)の よ う に表 面

5

沿っ て積 分 することに よ り

代 表 変 形

r

を 定義す る (

Fig.

1の場 合

 

F

は加 力点の変位とな る)

 

  

・−

f

1

ζ

1

1

i

dS

……・

………・

…………

・) 式 (2)に式 (

1

)を代入 すると,

r

AG

の積が

外力 増 分

IAql

に よる仕 事 を表すことが わ かる

   

r ・

G

qlWdS

…・

………一 ・

(3)

Fig

1 Two 

dimens

三〇nal member

10

(2)

NII-Electronic Library Service dG

G o 「 G

G 』 0 「 G

(a) Elasts

PIas重ic (b) 

Softening

   〔c ) Total

    stage        unloading  and

       reLoading

   Fig

2 Work done by representative 【oad incre皿ent 「 こ の関 係は Fig

2(aの ような弾 性 時, 塑 性 時は も ち ろん

Fig

2(

b

)の よ うな耐 力 低 下 時

除 荷 時

再載荷 時に も成 り立つ

し た がっ て

実験な ど に よっ て

G

と r との係が Fig

2(cの ように得 ら れ た と き

プで囲ま れた面 積は

部 材 全 体によっ て消 費さ れ たエ ネ ル ギ

を表 す

 こ こ で 基 準 化 外 力

lgi

を次 式 (4)の よ うに分 解で き る よ う な, n 個の外 力 要素

lf

1

…,

{刮 を定める (た だ し

lf

,}は, 基 準 化 外 力 瑠 を 完 全に

解で き る よ うに 定めれ ば よい の であっ て

特別な条件

一一

例えば直交条 件,

ldS

・ …

i

j

な ど

を 轍 す 必 要 ・ 無い )。       n

   

l

ζ

1

= Σ]λ直

bf

1

 

 .

 

一・

 

一…

 

4

      E

1 ん を 外 力要素の係 数 と呼ぶ。

N .

基準 化外力團が変 化し ない 限り

,一

定 (const

)であ る

 

式 (4 )を式 (2 )に代 入し て

代表変 形

F

を式 (5) の よ う に n 個の変 形 成 分

1「

、,

…,rn

の和に分 解する こ と がで き る

      n        n      

r =

Σ λ‘

fit

Σ

r

……・

……・

…………・

(5 )       t

l         t

1 た だ し

,、

   

xg

WdS

…・

……・

………一 ……

(6) と し

β‘を変形要 素と呼ぶ

 

Fig.

1の よ うな独 立した部 材でなく

構 造 物に組み込 まれ た部 材の場 合に は

式 (1 )の外 力 増分

IAql

の形 状が

それぞ れの変 形 レ ベ ル

部 材 内部で の塑 性 化な どの原 因に より変 化 することもあ り う る。 そ の 場合, 式 (1)に従っ て基 準 化 外 力

1

ζ

1

は刻々変化し

外 力要素 の係 数

h

も刻々変 化 することにな る。 し か し, 実 際の 鉄 筋コ ク リ

ト部 材におい て

部材端でげ ひ び わ れ が生 じて か ら以 降に限つ て いえば

基準化外 力 瑠の形 状 が 載 荷の途 中で大 幅に変 化 することはまれで あ る。 お そ らく多くの場 合は次 節 以 降の例 題で示さ れ る よ ケ に, 基 準 化 外 力

1

ζ

1

を変 形レ ベ ル に か かわ らず

定の 簡 単な 幾 何 学 的 分 布 形 状に モ デル化す るこ と がで き る

こ う し た場合に は, 式 (

5

)の んは常に

定 値 (const

) と な り

各 変形 レベ ル では β‘の み を計 算 すればよい こ と にな る

 §

3.

従 来型曲 げせ ん断 変 形 分 解 法の数 式 表 現

本節以降で は

Fig,

3の よ うな長 方 形の部 材に議 論を 限 定す る

外 力は,

Fig.

3

(a)の よ うに

部 材の外 周 (耐 震壁で あ瓶ぱ付 帯ラ

メ ン)の各 節 点に加わ る集 中 外 力 8個と各 辺に加わ る

様 分 布せ ん断 力4個の計J2個の みを考 慮 する

ただ し 水 平

鉛 直 方 向の力のつ り合い 条 件と モ

メ ン トのつ り合い条件よ り

外力自由度

12

3

9であ る。 したがっ て Fig

3(a)の外 力に基づ く基 準 化 外 力

1

ζ}は

Fig

4に示す 9個の力 要素

lfMsl

ん鮒

,…

の線 形結合とし て次の よ うに表し う る

    

1

ζ}; λ

MSlfHsl 十λ”roifMxo }十 λMxilfMXi }十 λNxolfNxo }

     

十 λNI匸

lfNX

,}十λMvolf ”ro}十 λMnV  rl}         十iLNvelfNyol十 λNnlfNnl

 

tt・

 (4

£

QLD

 

− →

士l

ウ    

QRD

,、

q・

IRRD

    卜←

!     (a  External forces (ULT

VLT   (U冗丁

  T ,  URT

VRT ) (uLlf

VLV

Lx

URV 

Re 》 (U しD

vしD  (UtD

 VxD ,    URD

VRD }         (

b

) Disp皇acement

    Fig

3 Rectangular member

匹]

1

      l  t

區]

區 ]

U

   

寺  t 与  t

↓  lt  

t1

↑  t

際 刻

Fig

4 Exte皿al 

force

 modes

11

(3)

式 (

5

)を求め た と き と同様に

式 (

4

)を式 (

2

に代入 す るこ とに よっ て

代 表 変形

r

は次の よ うに分 解で き る

    

r

κsβ

∫十 λM」aBMxo 十 λ”n βHXi 十 λNxqβNxo

        +JLNX、/9NXi+ λ“vqBMm +ILMnβNn +λNreβNn

        + λNnfiNn

=rNS

rNX

。+

rMn

rNX

。+

rNm

       十r“ve十FMn 十Fma 十

J

Nn

 

一…

 (5

) た だ し

β・・

f

, 

lfMslTluldS

  

βバ

WS

β…

jfifNXi

} ・ {・

ldS

  

fi

躍 囘薦 飾

f

、 

lfN

・} ・ {・

ldS

  

β一

fl

繍 ・}・

S,

βパ

臨 円・

r

S

  

Bmn

XV

. .

1

luldS

 

B

. ・

f

, 

VN

・…uldS               

一 …・

…・

…………・

…・

…・

6

り  次に

部 材の外 周の変位 を,

Fig,

3

b

)の よ うに表す

Uxr

 v= τ

,…

は横 軸躍 の関 数

 ULv

 VLY

,一

は縦軸 yの関 数とする。 これ らの 記 号 を 用い て

式 (6

)の

fiMS

fiMxv

,…

を実 際に計算す る と次の ようにな る。

 

  

Pus

1

(u

… )

dx

 

    

1

(伽

伽 )吻

/(

lh

    

fiMX

(URT

ULT

URD + ULP )/(

2

九)

    βMXi 

(UR7+ULT

Unb

ULD)/(2九       t/ 2

      (

  

fl

UXT

Uxo)

dx

/(

lh

、,

fiNX

。= 〔URT

ULT+URD

秘LO〕/(2ん)

βNXi

(URT+秘乙7 +URD+秘LD)/(2ん

1

        ‘/2

  

f

         {Uxr 十UxD)

dx

/(lh)         :/2

fiNr

(VRT

VLT

VRn + VLD)/(2の βMn

(VRT

VLr+ VRO

ULO)/〔2 の         A/2

  イ

          (VR一 Vty)〔忽 /〔          h/2 1f}Nvo

’(

VLT十VRP十v 乙卩)/(

2

flNn

= (VRTVLTVSDLD

21

  

ll

〔婦 恥 )

dy

/ 

 7 ) 上 式 (7)に積 分 定 理 を適 用すると次の よ うに変 形する ことがで き る。

 

 

β・ ・

d

・・/〔

lh

 

  

ただ・

γ

・・ 副 ・・ 部 材 内 部     の任 意の点で の x

y方 向 変位と する。

P

… 一

∫:

1

Zx

d

・/

2・

 

B

・…

f

1

x

x=

dx

〃 ただ・

x。

t

dUx

γ

dUxo

dx   d馳

12

 

  

INxe

f

1

蝋 陥

1

・x

e・… /(

lh

 

  

・ だ ・,

dUxT

 

dUxo

dx

dx

 

  

B

JC

1

x・

d

・/2

 

iy

・ ・ 

L

Xy

dy

h

 

 

 

・だ

L ,

・・

i

dVRy

 

dv

9

dy

  

dy

 

 

 

fi

f

1

e・

1・

P

・・

1

・y

dy

ノ(

lh

 

 

 

・だ・v ・,−

e

dVns

 

dVLy

dy

dy

              

……一 ・

…・

一 ・

一 ………・

8

) γ は

工学 的 定 義に よ る せ ん断ひずみ度で ある。 こ の γ を部材内で平 均し たものが

IYMS

で ある の で

こ れ以 降

βMS を せ ん断 変 形 要 素と呼ぶ。 また

  rMS

λMsflMs を代 表 変 形

r

の せ ん断変形 成 分と呼ぶ。 Xx と ex は

部 材 上端の ひずみ度 (

dUxT

dx

)と下端の ひずみ度 (

dUx

。/

dx

) か ら求め た従来 型の曲率 と 材 軸ひずみ度で あるの で,

19MX

。 , 

fiMXi

β〜勘 魚湘 を 各々, X 軸に関す る (0次ま た は 1次の ) 曲 げ変 形 要 素

軸 方 向 変 形 要 素 と呼ぶ。 また, 1

rMXt

 rmo

 rN. 、をx 軸に関す る (0次また は 1次 の )曲げ変 形 成 分

軸 方 向 変 形 成 分と呼ぶ 。 同 様に

19Hr。

 

fiMn

 

fiNro

防n を各々

  y 軸に関 する (

0

次ま た は 1次の 〉曲げ変形要 素

軸 方 向変形 要素と呼び

,rm ,

1「

MY、

 

rNve,

 

rNn

をy軸に関 する (0次または 1次の ) 曲 げ変形 成 分

軸方 向変形 成 分と呼ぶ。

 

式 (5’ )を本 報で は

「従来 型のげせん断 変 形 分 解 」 と 定 義 する

 なお

x

 y いずれか の方 向の軸 方 向ひずみが無い場 合に は

式 (5

)は 1次 元の曲げせ ん断 変 形 分 解に帰 着 する。 例え ば

y 軸 方 向に伸縮が無い {

dVRy

dy =

dVLy

dy ;

 

O

と す れ ば βMvo

βMn

βNro

=flNTi

=O

と な り

     r

λNsB κs 十 λMxq:IMxo十JL”XiigMm 十JLNxqBNxo十 λNIII?NXl

      

=P

κs十

1「

Mmo 十∬

1

”M 十

rNxo

十∬

Nrl

 (5

) と な る。   (a 例 題1:逆 対 称 曲 げ柱の曲 げせん断分 解  具 体 的 な例 題 とし て

最 初に, Fig

5

の ような逆 対 称 曲 げモ

メ ン トを受 ける柱の曲 げせ ん断 分 解 を考える

Fig.

5(aの よ うに の左右に

定軸力

N

と曲げモ

メ ン ト

M

が加わっ ている もの とす る

コ ン ク リ

トの 圧縮力 を

Cc,

鉄筋の圧縮力 と引張 力 を

Cs,

 

Ts

と表す

代 表荷重

G

と して 曲 げモ

メ ン トM の 2倍,

G =

2M を選ぶ

代 表 荷 重 増 分

AG

(つ ま り曲げモ

メ ン ト の増 分

AM =

 

AG

2

)がわっ た と きの外 力 増 分の分 布

をFig

5 (

b

>に示す

こ こ で

圧縮力 ACc +

ACs

と引 張 力

ATs

との距 離

h

で表せば, 力のつ り合い条 件よ

(4)

NII-Electronic Library Service

 

 

e

− 」

L

      (a)    Ts       M

>s

 csCc (a  Extelnal forces

    (

b

) Inごrement  of  external  forces   112h      1’2h

l

i

(c)

i

1

 

1’2h      

1’2h

(c Normalized external  force increment

     ULTH          卜

l URT

l

・ θ

1

ULDH        

斗トURD

  〔

d

} Deformed  shape

Fig

5

 RIC column  under  anti

sy皿metric  bending

断 面 のせ ん 断 応 力の増 分 △τ が

高 さ

h

の 中で

様に 分 布す る もの と仮 定す れば,

A

τ

=AG

/(

lh

)と な る

そ こ で

こ の柱の基 準 化 外 力

1

ζ

1

Fig.

5(c)の よ うに表 せ る

こ の基 準 化 外 力

1

ζ}は

Fig

4の外 力 要 素に よ り

     

1

ζ}

lfMsl

1LfM

川レ

ー…

 

一…

 

一一・

 (

9

) の よ うに分 解で きる

 

Fig.

5(c)の基 準 化 外 力によって定義 さ れ る代 表 変形

r

式 (2) より,

     F

(URT 十 ULT

URD

− ・

ULD)/(

2

 

h

   

  

      h/2              (v。y

VLV)

dy

/(

lh

一 ・

…・

…・

…・

(101)       h/t と な る。

Fig.

5

d

)の ように

左 右の断 面は変 形 後 も平 面を保つ もの と仮定 し

VRY

VLY

0とな る よ うな座標 系を 選 ぶ と す れば

次 式の よ うに

r

左 右の断 面の 回転角 θ,

θ,の平均値と な る。      

r

; (θ十硯/

2− ……・

………・

…・

……・

……

(11 )

   

e

(u・・

u・P)/

h

∫:

1

(v・・

… )

dy

/(

lh

   

e

・一 (u・ ・

… )/

h

ll

(VRS

v・Y)

dy

/(

th

)                  

7『

7…

 

7…

 

 (12 ) し た がっ て式 (10)の 厂 は, 従 来の線 材の理論で定 義 さ れ る部 材 角 を 拡 張し たもの とい え る

 式 (10)の r は 式 (7 )の せ ん断 変形要素β闇sと 曲 げ変 形 要 素 βNXi を 用いて

     

r

β ”s+βMXi =

rMS

r

κ川

…・

…・

…・

……

13

) す なわち

Fig.

6のよ うに分解できる

13(9 > と対 応 してい る

     

G

     

G

     

G

 

 

 

rM

、,

    〔a ) Total      (b) Shea【   (c ) F[exural

Fig

6 Decemposition of G vs

 r relation  of 

RIC

 column

elPt ・mzlz        十        亭

1

1

        ウ        ●        」

L凋    (a  

External

 forces       1      1   

tiE

 

1

             ↑  ⊥ →      → ⊥

L

1

 2h       2h    

⊥ 昏    ↑⊥      2£      2L (b) Normalized  external  force

  

(U しT

VLT)

  

RT

 VRT }

Th

ー エ

(°

o,

   

(URD

 o   ト

矧   (c ) Deformed shape

Fig

ア R/C wall  of  Tomii and  Hiraishi5,

t   (

b

) 例 題2 :富 井ら5, 単 独 耐 震 壁の曲 げせ ん断 分        解  次の題と して

Fig.

7 (aす富井らs冫 震 壁の 曲 げせ ん断分解を行う

。、

代表荷重と し て, 水平力 (ま たは鉛 直 力 )に よる曲 げモ

メ ン トの和,

G

= 2Qh を 選ぶ

こ の代 表 荷 重に よっ て定義さ れ る基準 化外 力

1

ζ}を, Fig

7(b)に示 す

こ の基 準 化 外 力

1

ζ}は,  Fig

4の外 力 要 素に より

     {ζ}=

1

rs

lfMXil

1

knl

 

P・

 14 の ように分 解でき る。  

Fig.7

b

)の基準化外力に よっ て定義さ れ る代表 変形

r

     

r

; (URT十ULT

URO

ULO)/(

2

 

h

        十(VST

VLT十VRD

−−

VLD)/(

2

 (

15

) と な る

。Fig.

7(c)の よ うに

 ULD= VLn= VRD=

0,

と な る よ う な座標系を 選 ぶ と す れば

代 表変形

r

対角 線の 長 さ

d =

伊+

h2

)と対角 線の伸び 量 δ,

δ,を用い て

     

j

(δ,

δ,)

d

/(

21h

…・

…・

……・

…………

16

) た だ し

       

13

N工 工

Eleotronio  Library  

(5)

     δn

(URT

1

十VRT

ん)/

d

       

………

(17)      δL; (

ULT

1

十VLr

h

十URD

の〆

d

と なる し た がっ て式 (15 )の r は 慣用の対 角線測 定 方 法 (例えば志 賀ら2レ 〉に よ る せ ん断 変 形 角といえ る

式 (

15

》の

r

式 (7)の せ ん断 変 形 要 素

fiMS

とx

y 軸にする曲 げ変 形要 素

fiMXI

,βMn を用い て,

     

F =

fiMS

fiMn

1”n

 FMS+

rHXI

rMn ……

(18)

と分 解で き る

式 (18 >は

式 (14 )と対応し て い る。   (c ) 例題 3:片持ち 壁の曲げ せ ん 断 分解  最 後の例 題と して

Fig

8 (aに 示 す片 持ち 壁 の曲げ せ ん断分解 を行う

壁 脚にお け る鉄 筋の 引 張 力

Ts,

コ ンク リ

トと鉄 筋の圧縮 力

Cc

, 

Cs

の応 力 中心 は

両 側 の柱の位置に

致す る ものと仮定す る

ま た, 壁 脚の せ ん断 応 力は柱 間 距 離

1

の 中で

様に分 布するもの と仮 定 す る

代 表 荷 重と し ては 左 上 隅の水 平 力 を選 択する

こ の代 表 荷重に よっ て定 義される基準化 外 力

191

を,

Fig.

8

b

)に示す

この基準 化外 力

1

ζ

1

 

Fig.8

(c

pm

・‘

1

 (a External forces       ト

ー−

2

→ 1→

1

      を   

  +

  

±

(b)Normalized external  force

        1/亙

    う 

 

う 

 

     

 

        を

 

士 豊

(c ) (

1

− lf.

nl

1AnD

ん      

1S

       ウ 

 

ト 

 

 

 

 

1→

(d> 〔

廴ノ

kxol

VN

1

fNrol

1

ノ襲

})〔ん/2)

  昌

T

T

1

”匿

h   l ⊥        ト

β

1   (e  Deformed shape

Fig

8 R/C cantilever  wall

14

Fig.

8

d

)の和で表さ れ る か ら

結局

次の よ う に分解

で き る。

   

1

ζ}

1f

』s}

VMV

。}+{ノ泌γ1D

h

        十(

lfvxo

}十

lfHXi

ifNxo

}十

lfNX

D

h

2

} ‘      

 (19   Fig

8(b)の基 準 化 外 力 眉 に よっ て定義さ れ る代 表 変 形 ・ ・試 (・) ・ 

r −

flgl

1

1

dS

と・ う重・付 け積分に より

   

r −

u・T+(婦 砺 )

(九〃)

∫:

1

u・・

d

・/

1

     

……一 ……・

…・

…………・

(20) とな るe 式 (20)で VL。

 v。 。

 Ux 。

O と す る と

r =

u。 。 となる か ら, 式 (20)の

r

Fig

8

(c)の ように下 辺を固 定し た と きの 左上隅の水 平変位とい うこと に な る

 式 (2  の

r

式 (7 )の せん 断 変 形 要 素

fi

”s と x

y軸に関 する曲 げ 変 形 要 素

fl

”xu

β阿 川

 

BMV

βMn およ びx 軸に関する軸 方 向 変 形 要 素

x

?NX。

 

BNXi

を用い て

     

r =

(β翻5

− ieMr

。+βμ γ、)ん

        +(

fiMX

。+βNXI

− 19NX

。+

IYNt

、)

(ん/2)

       

r”s十Fun 十rMn         十1

1Mxo

r

”m 十

r「

” κu十

1一

NXI

 (21 ) と分 解で き る。 式 (

21

)は, 式 (

19

)と対応し てい る。  は りの 伸 縮が無い と す れ ば

X

?MX。=

1

?N。、 ・ 

BNx

。= βNX、=

0

と な り, し たが って式 (21 )は, g軸に関する

次 元 の曲 げせ ん断 変 形 分 解 式に帰 着す る

     

r

==(

flNS

βNrβMn )

h=r

. ,+rMm +FMV、                

……・

……一 …・

…………一

(21

) つ ま り

r

は, せ ん断 変 形 成 分

rMS=

β”s

h と y軸に関 す る曲 げ 変 形 成 分

rM

 ve+几h = (

βMre + /9Myi)

h

とに分 解さ れ る。  §

4.

従来型曲げせ ん断 変形分解の力学的 意味  式 (5

)で定 義し た従 来 型 曲 げせ ん断 変 形 分 解の力 学的 意 味につ い て考 察す る ため,

Fig.

9の よ うに

十 分 に薄い フランジとウェ ブ からなる弾 性 体の パ ネル を考え てみ る。 しかも

こ の パネル の ウェ ブ厚さ twは フ ラ ン ジ厚 tノに比べ て さ らに薄 く

ウェ ブの軸 方 向応 力 負 担 は無 視しうるものと す る。  

Fig.

9

の パ ネル に

Fig.10

aの よ う な 外力増分 λM

ifM

IAG

が 加わ ると き, 外 力 増 分に よっ てな さ れ る 仕 A

Th

1

− −

2A

b

H

A

ASection

(6)

NII-Electronic Library Service   傘 亭

…   壷 ウ (a   λ置sレ』∫「△o  Fig

10 事は

← → 皿

皿 → ← (b) ANxoLL

nl ムG θ

切     

   

  る づ      

リ _

_ ・

。 (c ) x

L

んx

1

△G

External forces and  stresses  in web  and  nanges

・MS

IW

…・

…・

…・

(・

2

) で あ り

これに式 (6

)を代入 して     

A

WMS

= λNSβMsAG

rNsAG …・

…・

………

 

(22

) と なる

こ の外 力 増 分に よっ て Fig

9の ウェ ブ内に は

断 応 力 度     △τ

λ”sAG /(1

h

tw)

…・

…………・

……・

(23 ) が生じ

フ ラ ンジ内に は応 力が 生 じ ない。 この間にウェ ブ 内に蓄 積さ れ る補足 ひずみエ ル ギ

は ・

E

・・→ w

7A・

d

……・

一 …………・

(・・) で あ り, 式 (23うと式 (8 )を代 入 する と,

    

AEHS

 

 AκseMsAG

=r

.sAG

…・

…・

……・

(24

) と なる

つ ま りム既 s

r鯉sAG は

せ ん断 応 力 度の 増 分

A

τ のみに よっ てウェ ブ内に蓄 積され る

。Fig.

9以 外 のモ デ ル (たとえばフ ランジが 十 分に薄 く ない場 合 )で は 軸 方 向 応 力 度 増分が生じ

式 (24>の よ うな簡 明な 関係は得られ な く な る

 同じ パネル に外 力 増 分 λMX。

1f

”x。

1

G

が加わ る と

上 下 の フ ラ ンジ内に はFig

lo (

b

)の よ う な

様分布の軸方 向応力度 増分 が 生 じ る

こ の 軸 方 向 応 力 度 増 分の大き さ は

上端フランジでは

    

AOxm

λMxo

G

/(

2

 

h ・b・ti

 

r…

 (25 a ) 下 端フ ラ ンジで は

   ∠LσκBO

=一

λκxoAG /(2 

h ・b・

tr)

tt・

 (25 

b

) で あ る

ウェ ブ内に は応力が生じ ない

この軸方 向応 力 度 増 分に よっ て生 じる x 軸 方 向め曲げモ

メ ン ト増 分

x 軸に沿っ て

様に

    

   ∠IMxo

XMxo∠SG/2

 

−t・

−t・

 

 (

26

) で あ る

この 曲 げモ

メ ン ト

AMr 。

と曲率 x

dUxT

dx − duiD

dx

)/

h

にょっ て上下の フ ラン ジ 内に蓄 積さ れ る補足ひずみエ ネルギ

  

 

AE

”xe

1

x・

AM

dx

 

 

 

 

 

b

Jf

1

・畍 ・

d

面         = λMxaX? 暫xoAG =

AWHxo ・

 (

27

) と な る。

Fig.

9

以外の モ デル (た とえばウェ ブが十 分に 薄く な い場 合〉で は ウェ ブ内に軸方 向応 力度やせ ん断 応 力 度が生じ た り し て, こう し た簡 明なエ ネルギ

対 応 は得 られ ない

 同じパ ル に外 力 増 分 λHX,

lf

』nlAG が加わ ると

上下 の フランジ 内に は Fig

10(cの よ うな逆 対 称 分 布の軸 方 向応 力 度 増 分が生じ る

この軸方 向応 力度増分の大き さは 上 端フ ラ ンジで は     

A

σ.”

xλ。 . 、

AG

/(‘

h

b

tn…・

……・

(28 a ) 下 端フ ラ ンジで は     ∠」σ xe、

=−

xλ”xrAG /(

1・

h ・b・

t∫)

 (28b > である。 ウェ ブ内には応 力が生じ ない

こ の軸 方 向 応 力 度 増 分に よっ て生 じ るx 軸方向の曲げモ

メ ン ト増分 は

x に沿っ て,      

AMxi

= xλx

AG

l・

 

 (29)       「 で あ る

こ の 曲げモ

メ ン ト増分

AMXt

と曲率 te= (

dUx

./

dx − dUxn

/ctx}/

h

に よっ て上下の フ ランジ内に 蓄 積 され る補 足ひずみエ ルギ

 

  

AE ・n

f

1

x

AMXi・de

 

 

 

 

 

∫:

1

d

麗苫7     

d

包xD

dx

 

A

・ x・+

dx

△・・SI

dx

      

iLMXiflMXi△

G =

△肱 κ1

…………一

(30) とな る。  結 局, 式 (27 )と式 (

30

)よ り

外 力増分

    ∠

Yqunt

= (λ盟xolfMxo }十 λMSiVMriDAG

 

 (31 ) によっ てな され る仕 事

    △肱 x

(λ鯉xqfiMxo 十 λMXifiMXt )AG

(rHxo十1

MXI)AG        

………

(32) は

すべ て x 軸に 関する曲げモ

メ ン ト増 分 AMxF AMx 。+

AMx

,と曲 率 衛 のみによっ て上下の フランジ内 に蓄 積さ れ る。 同様に

外 力 増 分

    ∠

LIqN

”= (λNxolfNxo十 λNXilfNXiDAG

 (

33

によっ て な さ れ る仕事      

A

 

WNX=

λ..。

flNX

+ λκ川β.川

G =

rmo

r

..,

AG

             

 

r・

 

t−・

 

一…

 

r…

 (34 ) は

x 軸に関す る軸 力の増 分

ANx

と軸方 向ひずみ ex= (

dUxr

dx

du

.D/

dx

)/

2

によっ て左右のフランジ内に蓄 積さ れ る。 外力増 分     ∠

Llq

λ

lf

1

λκn

fNn

SG

 

tt・

 

(35> に よっ て な さ れ る仕 事     AW 』r

(λMV。

BMy

。+ λMn β”n)AG

(r鮒ve+rNn )△

G

             

 (36 ) は

y軸に関 する曲 げモ

メ ン トの増 分

AMy

と曲 率Xy

dVRv

dy − dVL

./

dy

)/

l

に よっ て左右の フ ランジ内に 蓄積さ れ る

外力増分

    

AlqN

諸=

:〔JLNvo{

fNvol

十 λNnlfNn }}

AG ・

 

t−・

(37 >

に よっ て なさ れる仕 事

一 15 一

(7)

   △

WNr

; {

JLNro8Nro

+ λNn βNn )△

G =

rNr

rNn

AG

     

−・

 (38) は

y 軸に関する軸 力の増 分△Ns と軸 方 向ひみ ey

dVRy

dy

dVLy

dy

)/

2

によっ て左 右の フ ラン ジ 内に蓄 積され る。  し た がっ て

x

 

y

軸の軸 力が ゼロまた は

定 (AIV

AN3 ・

=O

)の場 合, 任 意の荷 重 増 分

Alql

に よっ てウェ ブ 内に蓄 積 されるエ ネルギ

増 分は

r

. ,

AG

と なる。 同 じ く, 上下 の フ ラン ジ内に蓄 積され るエ ネル ギ

増分は (

rmm

rMn

AG

, 左 右の フラン ジ 内に蓄 積さ れ るエ ネル ギ

増 分は (

r

. . +

1

kn

AG

と なる。 軸 力 が 変 動 する場 合に は

軸 方 向 変 形 成 分を加え る

すな わ ち

(r.x。+ r

MXI)AG と (1

Nvo 十 rMn)AG を

(rMxo十 rMm 十 FNxo十

rNn

AG ,

Fua

F

κn 十

rN

 ve 十

rNn

AG

と読み か え る。  さて

実 際部 材で生じ る応 力 分布が

,Fig.

9の モデルに対 応して

次の ようで あ る場 合を考え て み る。   (

1

) 耐 震 壁の場合  (

1−

a) 周 辺フ レ

ム は

,Fig.

9

の フ ラン ジと 同 様に

軸方 向応 力度の み を負担する   (

1−b

>壁コ ン ク リ

トと壁 筋 (

体の ものと し て考 える)は

,Fig.

9の ウェ ブと 同様に せ ん断 応 力 度の み を負担し

法線応力度は負担し ない。   (

2

> 柱

は り の場合  (

2−

a主 筋は

,Fig,

9

の フ ラン ジ と 同様に

軸方 向 応 力 度の み を負担す る

  (2

−b

) コ ンクリ

トとせ ん 断 補 強 筋 (

体の もの と し て考える )は

Fig

9の ウェ ブ と同様に

せ ん断応 力 度の み を負 担し

法線 応 力 度は負 担しない。  上記の 場 合に は

次の こと がい え る。 っ まり

従 来型 の曲げせ ん断 変 形分解が明確なエ ネル ギ

的意 味を持 つo  

(1 ) 軸カ

定の   (

1−

a 曲 げ 変 形 成 分 (

rMX

。+

r

κx,+ 亅  m +

r

  ,1)と代 表 荷

Pt

 

G

と が

プは

周辺 フ レ

ムに よっ て吸 収 され たエ ルギ

を表 す。 増 分 形 式で表 現 する と

     ∠SEF/∠SG

rMxo十r.x,十1

Mvo 十rNn

 〈39) ただし,

   

AE

・−

fF

A

・” 

dA − …・

…・

…………一 …

(・・) と な る

こ こ で 積 分は周辺フ レ

ム の内 部で行う。 ε はひずみ テン ソ ル を

△σ は 応 力増 分テン ソ ルを表す

軸 力が変動す る 場合は

[曲げ変形 成分]を [曲げ変形 成分+軸 方 向 変 形 成分]と読み か え る

  (1

−b

) せ ん断 変 形 成 分

rMS

と代 表 荷 重

G

と が描く ル

は, 壁コ ン クリ

トと壁 筋 吸 収 され たエ ネルギ

を表す

増 分 形 式で表 現 すると

     

AEs

/△(冫

=rMS・

 

一・

 

t・

−tSt

(41) ただし,

 

16

・E・

・… A

…・

一 ………・

(・・) と なる

こ こ で

積 分は壁の内 部で行う

 (2 ) 軸 カ

定の柱

は りの場 合  (2

a) 曲げ変形 成 分 (

rMX

。+

rMX

、)と代表荷重

G

と が 描くル

プは

主筋によっ て吸 収さ れ たエ ネルギ

を表 す。 増 分 形 式で表現 する と

    ∠

LEF

AG =rNxo−

rMXI・

一・

 

一・

一・

一・

 

一…

 (

43

と な る

軸 力が変動する場 合は

げ変形 成 分]を [曲 げ変 形 成 分+軸 方 向 変 形 成 分 ]と読みか え る。  (2

b

>せ ん断変形成分

F

”s と代 表 荷 重

G

と が描く ル

プは

コ ンク リ

トと せ ん断補強 筋によっ て吸収さ れたエル ギ

を表す。 増 分 形 式で表現すると,     

AEs

/△

G =1「

MS

………・

……・

…………・

(44} と な る

な お

曲 げ変 形のル

プが紡 錘 型に

せ ん断 変 形のル

プが スリップ型に な りが ちな の は, こ の た め で あ ると 筆 者は考える

 式 (39) (41) (43) (44 )の等 号が成 立せず

左辺と 右辺の差が大き くな る場 合には 従 来 型の曲げ せ ん断 変 形 分 解のエ ル ギ

的意 味があいまい にな る。 あい まい さの程 度は

式 (40> (42)か ら わ か る ように

実 際の 応力増分

A

σの分 布 と

Fig.

9の モ デル で生 じ る応 力の 分 布と の違い に大き く依 存す る

例え ば 称 原 ら6球た は南らη 提 案し た トラス機 構とア

チ機 構の応 力 分 布 を比べ み ると, トラス機 構の方がFig

9の モ デル で 生 じ る応 力 分 布に近 似して お り

し た がっ て トラス機 構 卓 越 型の部 材の方がエ ル ギ

的 意 味が明確にな り や す い とい え る

同 じ く 式 (40(42か ら わか る よ うに あい まい さの

ひずみ ε の分布形状に も依 存す る。例えば

チ機 構 卓 越 型の部 材でも変 形 状 態によっ て は従来 型の曲げせん断 変形 分解がエ ルギ

的 意 味 を 持つ 付録 1 では ト ラス機 構とア

チ機 搆がそ れ ぞれ 卓 越す る柱 と耐 震 壁 を例 題 として

あいまい さの程 度に 関す る具体的な議論を行っ ている

 §

5.

曲げせ ん断 変 形 分 解の意味が不明と な る実例  本 節では

従来型曲げ せ ん断変形分解法を拙論8; 鉄 筋コ ン クリ

ト柱の試験 体に適用して み る。 こ の 試 験 体 に は主 筋に 丸 鋼を使 用し た た め, 主筋の付着が ほと ん ど 無かっ た。 つ ま り

典型的な ア

チ作用卓越 型の部 材で あっ た とい え る

した が っ て

従 来型曲げせ ん断分解 法 の力 学 的 意 味の あい まい さが興 型 的にあらわ れるこ と が 期 待で き る。   5

1 実験方法と荷重変形 関係  試験 体の配 筋

寸 法 を Fig

11に 示 す

試験 体の シ ア ス パ ン比 α/

D

1.

0

で あ る, 鉄 筋は, 主 筋フ

プ筋 と も丸 鋼を使 用し た

全 主 筋 比は p

1

27%

せ ん断 補 強 筋比 はPw=

0.

15 あ る

主 筋と せ ん断 補 強 筋の下 部 降 伏点強 度は

3.

 

08

 t/crn2

,3.

32

 tcm2 であ る

空中養

(8)

NII-Electronic Library Service

      らedめn

25

5

Fig l l Reinfercing Detail of Specimen unit :mm )

} 1 5   z3

〇1 

QO R(間 } 0005  001   QOl5  aO2  α025  αQ3 噸

II

 

I

   

I

施 瑜

     

司。

   

彳μ引

 

 

一 ・ (a  The First Half

  4

_

L →

 

 

 1

: ,RQl  

  4 畜 bn8  5  

Number  o

  

 

  

o         o8      

OZ

0 も

1

     R(rσd)       

1

     亀5 RCC

S1

1

O

      (b} The Latter Half

Eig

12 Shear fo【ce 

Q

 vs

 def且ection angle  R relationship

生の シリンダ

によるコ ンクリ

トの圧 縮 強 度は117

kg

/cmZ で あ る。 加 力は

,一

定 軸 力 N

12 t (IV/

bDE

。 ≒0

16)を 加 え た ま ま

試験 体 両 端に逆対 称 回 転 角を与 え た。  実 験で得 られ た せ ん断 力

Q

と部 材 角

R

との 関係 を Fig

12に示す。 荷 重ス テ ッ プLSN  

 224 で対 角線状の せ ん断ひび わ れ が生 じて破 壊し た。 ひずみゲ

ジの デ

タによれば

主 筋は

最 大 耐 力 時にも 引張 降 伏して いな かっ た

 5

2 二 次元 変 形 測 定の方 法   本 試 験 体で は

二 次 元 変 形 状 態 を 測 定する た め

Fig.

13で示 した よ うに 90 Inm ピッチで測 定 端子を埋め 込 ん だ

各 端 子 間の相 対 変 位 を, ホ イッ トモ アゲ

ジ を 用い て

,Fig.

14の よ うに タ テ

ヨコ

メ方 向に測 定し た

最 小二 乗 法e} 相 対 変 位 測 定

タ か ら 適 合 条件 を満たす二次 元変形 状 態を推定し た。 な お

二 次 元 変 形 測 定 領 域の高 さ18cm は

危 険 断 面で の応 力 中心間距離 (計算 値 〉にほ ぼ等 しい

 5,

3 

曲げせん断変形 分解の結果

 部 材角

R =

1/

100

 rad

,1

25

 rad

,−

1/

25

 rad にお け る,

  (a 上 下の測 定 グ リッ ド内の せ ん 断 ひずみ度の平 均     値の分布,   (

b

) 測 定メ ッ シュ の最 上端と最下端の ひずみ か ら求     め た曲率の分布

  (c 二次 元変形 状態 (た だ し変形を

3

倍に誇張),   (

d

) 写真に よ るひびわ れ状態

Fig.15− 17

に示す

図中の

Rs,

 

R

,は

せ ん断ひず       らヱ   ら    −   R5

1

8罵10

3r邑d 〔a)  Sveerin0  @5 圃n  @ 〔 !『3圃@

  ) Fig .13  Location  of Centact  P

nt3e    

o5

   

 

  −

03

_α3 

 

 

 

RB=7

5翼10 3r 己 d

 

     曽虫7 {b)Curv 己加re  ( 1

Smm

) 田               ユ2 刈 σ 聾 ad   

 

      eT ・ xloerad(c)   Detormed 曲解1 由1

tion

3)

_

_

c °β

×か

翻   ←

−90− 一 爿 Fig.14  Measuri  Direction ケ1 ほOxlob  dI         (d ) R 蹴09 帥

 

        

 RCC−S卜博  L5閲 Fig. i5 Deformatbn  at R=1/10@rad

(9)

み度 と曲 率か ら求め た部 材角のせ ん断変形 成 分と曲げ変 形 成 分で あり

式 (13)の rMS

1「

N、、 と まっ た く同

で あ る。 図 中の θ,

θ,は

二次 元 変 形 測 定メ ッシュ の左 右 の端 部変 位 を式 (12に代 入して求め た, 左 右の端 部 の転 角であ る。 し た がっ て

式 (11}

(13)よ り,      

Rs

Re

= (θ ,十

en

)/2   ほ 巳 70   64 砥5za13

7

    R5a17

1xlO

3rad {a)Snaring帥 包n 〔10

9vad) lte      

l94 くb,Curva軸Jro 〔1σ弓’mm ) 臼B

20

8寓lcrlRd e」49

0竃亅crgad dn4sgxlolas (c)囲   創 蝉 (detOrtnatt1

3〕

Ra40

lxtoヨfird

         (d)触 ogr 叩h

      RCC嚇 ト トO LSNme

Fig

16 DefoTmation at  R

125 rad (LSIV

228)

{a)掘   s岫 n {1crSrad) IS4      

lan {b)Curvat凵re  (10rtimm) R5a

40」⊃瓦10弓rad R日

65翼10r3

ヨd θL

Y

9竃零σ9翩 融F

351貫1σ瀏red と な る。 図 中の

R

は, 試 験 体ス タブに取り付け たダイ アル ゲ

ジに より測 定し た部 材 角で あ る

R

>(

e

,+

e

,)/

2

と な るのは

二次 元 変形 測 定メ ッ シュ の外 側に生じ た曲 げひびわ れ の た めである。  

R

1

100rad

Fig.

15 )で は部 材 端で の曲 げ 変 形 卓越す る。こ れは

実 際のひび わ れ状 態に対 応し てい る

R =1

25

 rad

Fig.

6

)で は せ ん断 変 形が増 大 するが 同 時に曲 げ変形 も増大す る。 特に

部材端よ り内 側で も 曲率が増 大す るのが特 徴である。 これは, 対 角線方向の せ ん断ひ び わ れ に おい て Fig

18の よ うな材 軸 方 向へ の 相対 変位 Wy が生じ

こ れ に伴う変 形 を 「曲 率」と して 評価して し まっ たこ とに よる。

R =− 1

25

 rad (

Fig.17

) におい て

15.

4x10  

5 /mm

,−

19

0×10

5/mm とい う

曲 げモ

メ ン トと は逆 方向の率が生 じ た の もこ の ため である

 

せ ん 断 力

Q

とせ ん断変形 成 分

Rs

と の係の う ち

後 半 部 分 (LSN ; 225以 降 ) を

Fig.

19

示 す 。 図 中の黒 丸は

二 次元変 形 測 定を行っ た荷 重段階を示す。 せ ん断 力

Q

と部 材 角

R

との関 係 (Fig

12(

b

))と

Fig.

19

と を 比 較す る と

負 方 向 載 荷 時 (

R

− 0.02

 rad

,− 0.

04

 rad に は せ ん断変形成分

Rs

が全変形

R

の ほとん ど を占める が, 正 方 向 載 荷 時 (

R =0.

04rad

0.

08

 rad )に は激 し いせ ん断破 壊にもか か わ らず

Rs

が全変形

R

の約半分 し か占め ない こ と が わ か る。 こ の よ うな部材に おいては

従 来 型の曲げ せ ん断変形 分 解の物 理 的 意 味が不 明 確に な る とい え る

WyH

Fig

18 Axial Deformation along  Shear Crack

(c)O副onred 由ape く(hfemmatimx3⊃

Rth

40

1Slcind

         (d} ee aph

      RCC

SトレO LSN倒2ao

Fig

17 Deformation at R

1/25 rad (LS ハ1

280)

Q ω 1

5

QO4 QO2  QO4

QO20 R5

〔rad 〕

5RCC

S1+

O

Fig

19 Shear force 

Qvs,

 shearing  deformation Rs relationship       (The latter half)

Fig. 8 ( d ) の 和 で 表 さ れ る か ら , 結局 , 次 の よ う に 分 解
Fig   l   l   Reinfercing   Detail   of   Specimen ( unit : mm )

参照

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