仮動的実験における積分時間刻みと応答の安定の関係仮動的実験応答の安定と精度

(1)

[5H

n

:-fi

!]

UDC:624,042.7:620.1

Journal

of

Structural

and

Censtruction

Engineenng

Eptfles#ftMxxXinYvat."se

{TransactionsofAIJ>No.

353,

Julv,

1985

rg

353

'ny･waAt

60

fi7A

PART

1 :

RELATIONSHIP

BETWEEN

INTEGRATION

TIME

INTERVAL

AND

RESPONSE

STABILITY

IN

PSEUDO

DYNAMIC

TESTING

(Stability

and

accuracy

behavior

of

_pseudo

dynamic

response)

by

MASAYOSHI

NAKASHIMA',

Member

of

A.LJ.

1. Introduction

It

was

1974

when

Takan

ashi et

al.

M

_of

_the

_Institute

_of

_Industrial

_Science,

_the

_University

_of

_Tokyo,

_first

_reperted _on

a simulation

technique

of earthquake response

of

building

structures

by

means

ef

a combined experiment

and

numerical ana]ysis,

In

this

technique,

the

dynamic

response

of

a

structure

is

computed

by

solving

the

equations

of motion

of

a

discrete

system

representing

the

structure

by

diTect

integration

with respect

to

the

time

domaln.

Because

of

the

versatile capability of

this

technique

to

directly

simulate

the

earthqllake

response

behavior

of

structural

systems,

this

technique

has

attracted

many

research

bodies

of

various

fiegds

in

both

Japan

and

overseas.t2'S]

In

their

studies,

this

simulation method was

designated

in

various ways such as

the

computer actuator on-line system,[i)

the

on-line

hybrid

experiment,E2) or

the

_pseudo

dynamic

testing

method.(S'S]

Throughout

this

paper,

the

method will

be

referred

to

as

the

_pseuclo

dynarnic

_(PSD)

test

method.

Since

the

outset

of

the

PSD

test

method,

the

central

difference

methed

(CDM)

has

been

used

exclusively

for

the

computation of equations of motion,

CDM

is

one of explicit

integration

methods,

Since

no

iterative

_procedure

is

required

even

for

the

inelastic

response computation,

this

integration

method

has

been

found

suitable

for

PSD

test.

This

method,

however,

is

conditionally stabLe unlike rnost

implicit

integration

methods.

Therefore,

the

time

interval

used

for

the

computation

of

equations

of motion should

be

smalter

than

acertain value, called

the

critical

interval,

in

order

to

maintain

the

nttmerical stability of

the

solutien.

This

stability condition,

however,

is

a condition which

guarantees

that

the

solution

does

not

diverge,

but

not a condition which

promises

the

accurate solution.

In

the

numerical analysis,

the

solution

becomes

more accurate as

the

integration

time

interval

approaches zeio,

but

never

the

same as

the

true

analytic solution as

long

as

the

interval

is

finite.

It

is

now clear

that

one should carefully select

the

integration

time

interval

in

reference

to

both

the

stability and accuracy conditions of

CDM

when employing

the

PSD

'

test,

As

an alternative of

CDM,

the

explicit

Newmark

method

(fi=O)

is

often employed

in

PSD

Test,

Two

comments are

to

be

_given

with respect

to

the

relative effectiveness

in

PSD

application

between

the

two

methods.

First,

{t

should

be

noted

that

the

explicit

Newmark

method

is

identical

with

CDM

in

the

computation algorithm[E).

Second,

in

the

real

implementatien

of

PSD

test,

errors are

inevitably

involved

because

of

the

finite

accuracies of

the

displacement

and

force

sensors as well as

the

actuator

control

capacity.

According

to

the

study

made

by

Shing

and

Mahin[7),

the

explicit

Newmark

method

is

better

in

the

error control

than

CDM,

The

study,

however,

indicated

that

the

two

methods are

identical

even

in

terms

of

the

error control

if

the

computed

displacement

is

used

in

_place

of

the

measured

displacement

for

solving

the

equations of motion, and alse commented

that

better

fesponse resutts can

be

obtained

with

the

use of

the

computed

displacement.

In

this

respect, use of

CDM

combined with

the

computed

displacement

can

be

said no worse

than

the

explicit

Newmark

method.

There

is

a classical study

done

by

Leech

et al.+S),

in

which

the

stability condition

of

CDM

was

derived

mathematically, and a suggestion was made on

the

tirne

interval

insuring

the

accurate solution.

As

a matter

of

fact,

many

later

works on

PSD

test

referred

to

the

fesults

of

this

Leech

study.

In

this

study,

however,

the

stability

condition

was

derived

only

for

undamped systems

(no

velecity

term

included

in

the

equations of motion).

'

*

_Production

_Department

_Bu{lding

_Research

_lnstitute

_Ministry

_of

Construction

ManuscFipt

received

August

23,

19S4

(2)

-29-Furthermore,

their

suggestion on

the

accurate solutien,

i.

e.

that

the

time

interval

be

smaller

than

one sixth

(1!6)

of

the

critical

time

interval,

was rather vague

_;

they

neither

indicated

how

much error could

be

expectecl

if

this

interval

was

used

nor

stated

how

much

the

solution would

be

aggrayated

if,

say,

an

interval

of

_twice

of

this

interval

was used.

Consider.ing

the

incompleteness

of

information

on

the

stability

and

accuracy of

CDM

applied

to

PSD

test,

the

objective

of

this

study

is

to

investigate

in

detail

the

stability

and

accuracy

characteristics

of

CDM

in

terms

of

the

integration

time

interval

and

propose

guidelines

for

the

selection of

the

time

interval

in

PSD

test.

This

_paper(Part

₁₎

focuses

its

investlgation

on

the

fundamental

stability conditlon

of

CDM

and

_the

accuracy characteristics of

displacement

response when

CDM

is

employed

for

system$ subjected

to

free

vibration.

In

the

companion

_paper

(Part

2),

the

accllracy

characteristics

of

displacernent,

velocity,

ancl

acceleration

responses

of

systerns

subje

¢

ted

to

_general

external

forces

are

examined

in

detail,

and

_practical

comments on

the

selection of

the

time

interval

in

one's

PSD

test

are

_provided,

This

_part

also

includes

numerical experimentation

in

which

the

yalidity of

the

_rpajoT

findings

of

this

study

is

demonstrated,

Throughout

this

study,

investigation

is

_given

only

for

linear

single

degree

of

freedorn

(SDOF)

systerns since response of multi

degrees

of

freedom

(MDOF)

systems can

be

treated

as an assembly of

SDOF

systems

if

the

concept of modal analysis

is

employed.

When

a

MDOF

system

has

an aTbitrary

form

of viscous

darnping

matrix,

the

modal

decoupling

may not

be

achieved with respect

to

the

real

domain.

The

investigation

here,

howeyer,

is

made assuming

that

the

viscous

damping

matrix

has

a

form

such

that

the

system would

be

decoupled

with respect

to

the

real

domain

as commonly made

in

both

numerical anatysis and

_previous

PSD

tests.

2. Stabiljty

Condition

of

Numerical

Methods

Fundamental

stability condition of numerical

integration

methods

is

reviewed

here.

The

equation of motion of a

linear

elastic

SDOF

system

is

_given

as

1

m'X(t)+c･X(t)+h･x(t)=r(t}---･-･---･--･---･-･-･･---･---(1)

where

m,c,h.x(t),

and r(

t),

are

the

mass, viscous

damping,

stiffness,

displacement,

and external

force

respectively.

In

the

nume[icat computation of

transient

response of

the

system,

the

displacements

are

discretjzed

with respect

to

the

time

domain,

and

the

differential

equation

is

approximated

to

a

difference

equation.

Stability

condition

of

diffe[ence

equations

has

been

studied

in

various

_{papers.Cg']3)}

The

essence of stabiEity condition

is

that

the

error

introduced

into

the

approximate solution

by

a

_particular

difference

rnethod Temains uniforrnly

bouncled

as

n-co

with n as

the

solution

time

step.

This

condition

can

also

be

intepreted

such

that

the

solution

does

not

_grow

wlthout

bound

for

arbitrary

initial

conditions.t'2)

For

clear understanding of

this

condition,

it

helpful

to

write

the

difference

equation

in

[ecursive

form

as

_:

Xh+i=A･Xh+L･r(nAt)･---･･-･---･-･----･-･---･･-･･-･---･-･･--･･･----･---･(2}

in

which

At

is

the

integration

time

interval.

By

repreated use of

Eg,2,

we can obtain: n

X.=An.X,+ZAnui･bT[At(i-1)]-･-･･---･-･--･-･･･--･･-･-･･-･･･-･---･･-･･-･-････--･-(3)

_il

_r-

₁

In

the

above equation,

X..i

and

X.

are vectors storing

the

solution

_quantities

such as

the

displacement

and velocity

at

time

t==(n+1)At

and

t=:nAt,

Matrix

A

is

called

the

amplification

matrix, and

_L

the

load

opeiatoi.

Since

the

stability

is

evaluated

by

examining

the

behavior

of

the

numerical solution

for

any

initial

conditions, consideration

is

given

regarding

that

no external

force

is

specified.

Then,

Eq.3

is

reduced

to:

Xn=A"'Xo"''-''''''"'"'''"''"''''''''''''""m-hm''''-'''"-"''"''"-''-''-'"''m-'''-'''-'m-'--'(4)

This

equation

indicates

that

the

boundness

of

the

solution

is

a

function

of

the

amplification matrix

A,

Matrix

A"

can

be

decomposed

to:

An=

¢

･Jn-e']--･-･----･･--t･･･--･-･---･･--･--･---･----･--･-･-･･･--･---･---･(s)

Where

di

is

the

matrix of eigenvectors of

A,

and

J=diag{A,)

with

X,

as

the

i-th

eigen

vaiue of

A,

This

matrix

is

known

as

the

JDrdan

form

of

A. Introducing

the

spectral radills of

A

as:

p(A)=maxlAA--H--"H"---･･---･---･---･･-･-･･･--･･--･･･--･--･-･･--(6)

one

can

find

_J"

and

A",

(ancl

accordingly

the

solution of

Eq,4)

is

botinded

for

n-oo

if

_p(A)gl.

This

is

the

condition

of

stability.

3. Stability

of

CDM

Stability

of

CDM

for

the

equation of motion of a

Iinear

undamped system was studied

by

Leech

et al.`S'

Their

(3)

-30-derivation,

however,did

not

follow

the

_procedure

described

_in

the

last

section.

Here,

stability of

CDM

is

examined

by

use of

the

recursive

form

of

Eq,4.

This

approach enables us

to

evaluate

not only

the

stability

but

also

the

numerical

accuracy

of

_the

solution.

First,

consideration

is

given

to

the

undamped system.

If

no external

force

is

applied

(free

vibration),

the

undamped

equation

of motion ef a

SDOF

system

is

_given

as

:

to(t)+a,!･x(t)=O･-･･-･----･-･-･-･-･･･--･･---･-･---･･-･-･･･----･-･･･-･-･-･･---(7)

where w'

is

h!m.

This

equation

is

now converted

to

the

difference

form

by

CDM.

Considering

:

dn+i-2dn+dn-i

dn=

At:

"H"H"'H'HHH-"-HH-'"'""H-"""H"H"""H"H'"''-''''H"H"'r"""'H"'--"(8)

in

which

d.

and

d.

are

the

displacement

and acceleration at

time

t=nAt

specified

by

CDM,

and

inserting

this

expression

in

Eq.7,

we

can

obtain:

dn+i+{w2At'-2)'dn+dn.i=:O-'H"''H"H"H"HHm"'H'""-"-'''HH'''"'"'H'-'"--'"'"'H"H'""'"(9)

This

equation

is

now rearranged

to

recursive

form

as:

Iddn.'il=[(2Ltoi2At')

L31idd.".,l-

-･･･

---･

-

-･

･

-･

-

･

---

--･

･

･ao}

The

eigen values of

the

is

1 "+(w2AtZ-2}･A+1=O･･･-･･---･･---･･--･･-･-･---･--･---･･---･･---･--(11)

and'

x,,,..(2-to2'At2)

±

i.p

m

･ -････ --･- ･

･ -･- ･'----""''- ' -"(12)

Then,

we can ebtain

for

the

condition of stability:p(A)Sl:

wAtS2･･･････････---･---････････････-･････････････････････''･･････････････････････････････････-･･･････････････-････････････(13)

This

condition

is

identical

with what was

pioven

by

Leech

et al.[S)

Identity

of

Eq.11

with

Eq,9

except

Xs

instead

of

d.'s

leads

us

to

the

following

expression

foT

a)At's

smalLer

than

_2:

d.=ci'A?+c:'A:"HHHHH'"''"''-"''"''H'-'-'''""""-"--''-'"'"-"-"-""''-''"''"'"HH""''--(14)

Where

c,

and

c,

are

the

integration

coefficients

to

be

determined

from

initial

conditions,

Suppose

that

A,,,=A

±

i･B

d.=

exp(-h-w

tn}'(c,'ces

th

tn+

c:'sin

-tu

tn)

'''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''"''''''''''''''''''''''''''-'''''''''(15)

Where

:

e=tarp'i(BIA)

h=-ln(A'+B2)!2e

o=efAt

This

is

the

analytic expression representing

the

numerical solution.

In

the

above equation,

h

is

defined

as

the

coefficient of nurnerical

damping

introduced

into

the

difference

approximation, and to1th as

the

numerical

_period

distoition.

One

can understancl without

difficulty

those

terminologies,

reminded

that

the

numerical solutien

(Eq,15)

approximates

the

_undamped

free

vibration _{of a}

SDOF

_system

<Eq.

7).

Sybstituting

the

_eigen _va}ues _of

Eq.12

into

Eq.15

leacls

'to

:

h=O---･･-･････-･---･･-･･-･--･･--･･･-･-･-･･-･････-･---･･･-･･---･-･･---･--･-･･････-･-･･･06>

This

equation rneans

that

the

numerical approximation

does

not contain any

inherent

numerical

damping.

In

Fig,1,

wl-tu

is

plottecl

against

toA

t

ifi

the

stability

range.

It

is

explained

fTom

this

figure

that

the

period

computed

by

CDM

is

shorter

than

the

true

_period,

while

the

difference

between

the

two

decreases

with

the

decrease

of

the

time

interval

and

finally

becomes

zero

in

the

1Lmit

aJA

t=O.

This

period

contraction

is

characterized as

the

approximation

introducecl

in

CDM.

The

_period

contracLion

behavior

of

the

explicit

Newmark

method

"dentical

with

CDM)

was also

investigated

in

Ref.14.

Figures

2(a)

to

_(c)

show

the

time

history

of

Eq.7

computed

by

CDM

for

various values of toAt.

The

employed

initial

conditions are

:

x(O)==1,O&th(O)=O.O･･･-･-･･---･--･-･---･-･･---･-･･･-･･---･--･--･--･-･-(17)

In

those

figures,

also

_plotted

are

dAs(in

Eq.15)

having

the

corresponding

a)A

t.

It

is

seen

that

the

numerical response

linearly

traces

the

_points

on

the

_d.curve

_(Eq,15)

at every specified

time

interval

At,

The

figures

also

indicate

that

no

(4)

-31-to7ir

(tsetw)

O,

otst

Fig.1

Period

Distortion

in

CDM

(if

h=O)

entTuoE

te)tstotnl.s

LO

asooe.

e

-1.o･

-CDma

.

dn

Cb)utatat,2

1,o

ci･.,

･････

,･,

-Le

1,o

o

-J,o

Fig.2

Numerica]

F[ee

Vibration

_Response

_(CDM

vs.d.

in

Eq,15)

In

a region:toAt)2Vi=ilT,

both

eigen continuously

decreases

as aJA

t

increases

and

_A2=

change

in

A's

is

illustrated

in

Fig,3.

Ieads

to

instability,

The

stability criteria

for

Condition

li

tuAt>2

_Unstable

Condition

2 :

blAt<2'tw

_Stable

_(two

Condition

3:2･Vi-

iTswAtg2

Stable

{two

o'=.t'

tt''t.t-..ttttthe-T;-tttt.-t]

.tL..t

1O

t.O

2

r-'ALlr'r'IJIDnutteReofstt-I:

1,1c

2=,.k:S.:;vtlii,filll 1Lt/

..tt'F-//T tr.

---･-ll-h.asaososO.7ca

/''1 ' 1.t wtou

't.H--'...t.///1'

Ll e

-O.S1!

/Tr

1･1---411 os'a2 ' L'..Tt.tT;L..1'r.4-i.t.tL･'

Fig.3

Real

Xs

in

Eq,20

(h!t=O)

values

-1.0

at aiZ!

t

When

coA

t

is

more

than

2 the

1.o

O.5

amplitude

decay

occurs

in

the

response

(h=O),

and

the

numerical

_period

becomes

shorter as toAt

increases.

4. Stability

of

Darriped

System

In

the

foregoing

section,

CDM

was

discussed

for

its

stability

when

applied

to

the

undamped

SDOF

system.

The

is

to

extend

the

discussion

to

_general

damped

systems.

gously

to

the

undamped

system,

stability

is

examined

in

terms

of

the

free

vibration condition,

Then,

the

equation of motion of

a

damped

SDOF

system

is:

X(t)+2hurte(t)+to!･x(t)==O･･････････････････t･-･････(18)

where

h

is

the

viscous

damping

coefficient.

Following

the

procedures

given

in

Eqs.7

to

10,

we obtain

for

the

eigen values of

the

:

wrAtt-2

1-htuAt

=O--･･---･--(19)

x!+

･A+

1+hwAt

1+htuAt

and

1 Xi･Z=2(1+htoAt)･i(2-weAt:)

±

i･tuAt

･

4(1-h')-w'At:l････････････････････････････････(20)

Unlike

the

undamped system,

here

the

condition

that

the

eigen values are a

_pair

of complex conjugates

is

not

identical

to

the

condition

of

the

spectrum radius

being

less

than

unity,

Note

that,

in

the

undamped system,

the

eigen values are a

_pair

of complex conjugates

as

long

as

_the

integration

time

interval

is

smaller

than

the

critical

interval.

For

the

values

to

be

complex

in

the

damped

system:

aAAt<2'Vi-=iii'""-"""-'''･--"'･･--･"--･･-(21)

are

real.

After

seme algebra onto

Eq.20,

w'e

find

that

_Ai

=2, _while

A,

_remains

less

than

_unity

in

_toA

t=2.

This

,

then

the

absolute value of

X,

is

larger

than

unity,

which

damped

system can now

be

summarized as

:

cornplexReals)conjugates)

o

to

(a)

if

"s

O.5

F[g.4

t,o

71T

O.5

WAt

2.0

0 S.O

Cb)

tf

M)O,5

Period

Distortion

in

CDM

WAS2.0

(5)

Condition

2 is

now

investigated

in

fu

rther

detail.

The

numerical solution can

be

written

in

a

form

of

Eq.15.

In

Fig.4,

the

ratio

of

numerical

_to

exact

natural

_periods

(

Tl

T)

of

the

damped

system

is

_plotted

against wA

t

for

various

h]s.

For

h's

smaller

than

about

O.7 (Fig,4(a)),

the

numerical natural

_period

is

always smaller

than

the

true

_period.

The

n,umerical natural

_period

increases

constantly astuA

_t

decreases,

reaching

the

true

_period

in

the

limit

of wA

t=O.

Foi

h's･greater

than

about

O,7

(Fig.4{b)),

on

the

other

hand,

the

numerical natural

_period

is

infinite

Ondicating

no

oscillation>

in

the

limit

_:

tuAt=

2ff

and

decreases

_{precipitously}

to

a

level

of

the

true

_period

for

the

$maller

values of a)At.

This

critical

_point

of

h

is

_given

as:

h=VO15'#o.7o7･-･-･･-･･-r･---･･--･･---･････-･･-･-･･･--･･----･･･-･･-･-･･-･･･-･････---･-･(22)

which

is

derived

from

the

condition

that

A,,,=O(equal

root) at

the

limit

:

wA

t=2Vi=7ii'.

This

critical

_point

(Eg.22)

can

be

explained

as

follows

_:

When

the

eigen values of

Eg.20

_provide

an equal root,

the

analytic

expression

of

the

solution

d.

is

given

as

followstLS)

:

d.=ci･Ar+c2･n･Ar･--･-･-･-･･-･･-･---･-･･-･･---･･--･---･---･---･-(23)

For

h2<O.5.

the

equal Toot

is

negative.

Since

d.

is

computed as

the

_power

of

n,

d.changes

its

sign as each

time

step

is

advanced,

In

this

situation,

the

numerical natural

_period

is

_twice

_the

_time

increment,

If

ht>O.5,

on

the

other

hand,

the

equal

root

is

_pesitive,

indicating

that

d.

decreases

to

zero without

chafiging

its

sign.

This

rneans

that

the

numerial natural

_period

is

infinite.

In

Fig,5,

the

numerical

displacement

response

is

shown

for

h=O.1.

The

employed

initial

conditions aTe

those

_given

in

Eq.17.

It

is

seen

in

this

figure

that

the

nttmerical

_period

is

sma]ler

than

the

true

_period,

_gradually

approaching

the

true

one as toAt

decreases.

The

reiationship

between

the

numerical and

true

damping

ratios

is

illustrated

in

Fig.6.

Considering

that

the

true

solution

of

the

darnped

systern

is:

t,o

MPLITUOE

(o)"Jhttt,9

/t/

1

1,

,ii

o

･

'･･.

.

･

lti

/t

t

's'v

'=:'

5XDafit

asaT

a6

/

-dn

'

:J:

-i.o

L

i･o

cb)

wAt-t,i

-Lot

L

t,e

{c)wnt.

o,s

t.

o---

t.

s

-t.o

i'

Fig.s

NurnericaL

Free

Vibration

Response

for

h=:O･1

Fig.6

Nurnerical

Damping

in

CDM

(hio)

(Analytical

SoLution,

CDM,

and

_d.

in

Eq.15>

x(t)=exp(-hcvt)-(c,･cos

a,Dt+ct･sin toDt)

･･---･---･･t--･･---･･･---･--････-･･･---･---{24)

in

which too=a)Ji=7IT

and comparing

this

with

the

numerical solution

(Eq.15),

the

numerical

damping

ratio

is

adjusted

to

:

7ie=7i'!'-'"H"'-''hHH''-"'"-"''"H-''"H'''"'H''"H-'''H-H-"HH''1''-'-H"HHHHH'"''-'""H--'(25)

to

As

evidenced

from

this

figure,

the

numerica}

damping

ratio

is

very close

to

the

true

damping

ratio

in

the

entire stability range of caA

t

if

h

is

small.'As

h

increases,

the

error

in

the

damping

ratio

increases,

Further,

for

each

h,

the

discrepancy

between

the

numerical and

true

damping

ratios

becomes

smaller with

the

decrease

of wAt.

5. Concluding

Remarks

The

important

findings

obtained

in

this

_part

of

the

study can

be

summarized as

follows.,

(6)

-33-1)

The

stability

limit

el

CDM

when-applied

to

the

damped

system

is

identical

with

that

for

the

undamped

system.

In

damped

systems, tobtS

t=2-Vi-=Ei

is

acritical

_point.

For

w's smaLIerthan ajb,

the

numerical solution can

be

expressed as

Eq.15

andi

therefore

ensures oscillatory solution.

2)

The

error caused

by

employing

CDM

in

PSD

test

is

characterized

as

the

_period

distortion

(Figs.l

and

4),

For

undamped systems, no arnplitude

decay

(numeTical

damping)

i$

introduced

in

the

computation.

In

damped

systems,

on

the

other

hand,

the

numerical

viscous

damping

is

larger

_than

_the

_true

viscous

damping.

The

discrepancy

between

the

numerical

and

true

dampings

is

as shown

in

Fig.6.

Reference$

1. Takanashi,

K,,

etal.

:

Seismic

Failure

Analysis

of

Structures

by

Computer

Putsatof

On-Line

System,

Joucnal

of

Institute

of

Industrial

Science,

the

University

of

Tekyo,

VoL26,

No.11,

1974,

_pp.13-25

(in

Japanese).

2. Iemura,

H.,

Kato,

T.

and

Kawatani,

Y. :

Hybrid

Experiments

on

Earthquake

Respo]se

of

Original

&

Repaired

RC

Members,

Proceedings

of

the

6th

_Japan

Eafthquake

Engineering

Sympesium,

December

!982,

pp.825-832

3. 0kamoto,

S.,

etal,

:

A

_Progress

_Report

on

the

Full

Scale

_Seismic

Experiment

of a

Seven

Story

Reinforced

Concrete

Building,

Research

Pape[,

Building

Research

Instltute.

Ministry

of

Construction,

Ne.94,

March

1982,

92 p.

4. Mahin,

S,

A.

and

Williams,

M.

E. :

Cemputer

Controlled

Seismic

Performance

Testing,

Proceedings

of the

2

nd

ASCE-EMD

Speeialty

Cenference

on

Dynamic

Response

of

Structures,

Atlanta,

GA,

january

1981.

5. McClamroch,N.

H.,

SeTakos,

J.

and

Hanson,

R,

D. :

Design

and

Analysis

of

the

Pseudo-Dynamic

Test

Method,

UMEE

Repo[t

SIR

3,

Department

of

CiviL

Engineering,

The

University

of

Michigan,

September

1981.

6. ,Nakashima,

M,

:

Stabitity

and

Accvracy

of

Integration

Techniques

in

Pseudo

Dynamic

Testing,

Research

Paper,

Building

Research

Institute,

Ministry

of

Construction,

No,105,

March

1984,

58 p.

7. Shing,

B,

P,

and

Mahin,

S,

A,

:

ExperimentaL

ETfor

Propagation

in

Pseudodynamic

Testing,

Earthquake

Engineering

Research

Center,

Report

No.UCBfEERC-83f12,

The

University

of

California,

Berkeiey,

June

1983,

1,68

p.

8. Leech,

J. W.,

Hsu,

P.

T.

and

Mack

E,

W. :

StabiHty

of a

Finite

Dlfference

Methed

for

Solving

Matrix

Equations,

AIAA

Journal,

Vol.3,

Ne.ll,

November

1965.

pp.2172-2173

9. Lax,

P,

D,

and

Richtmyer,

R. D,

:

SuTvey

ofthe

Stability

of

Linear

Finite

Diffeience

Equatiens,

Communications

on

Pure

and

App]ied

Mathematics,

Vel.15,

1956,

_pp.267-293.

Io.

Nickell,

R. :

On

the

Stability

of

Approximation

Operators

in

Prob[ems

of

Structural

Dynamics,

International

Journal

of

Sollds

and

Sttuctutes,

Vol.7,

1971,

pp.301-319.

Il.

Dahiquist,

G,

G. :

A

Special

Stab[lity

Problem

foT

Linear

Muttistep

Methods,

BIT

(Nordisk

Tidskrift

for

BehanclLing)

Vel.3,

1963,

pp.27-43.

12. Bathe,

K. J,

and

Wiison

E.

L. :

Numerical

Methods

in

Finite

ELement

Analysis,

PTentice-Hali

Inc.

1976,

528 _p,

13. 0'Brien,

G. G.,

Hyrnan,

M

A.

and

Kaplan

S. :

A

Study

of the

Numerical

_Sotution

of

Partial

Differential

Equat{ons,

Journai

of

Mathematics

and

Physics,

Vol.29,

l951,

pp.223-251.

14. Muto,

K.,

etal.

:

NumeTicat

Analysis

in

Dynamics,

Part

5 :

Newma[k

Beta

Method,

Transactions

of

AIJ,

Kanto

Branch,

1974,

pp.41-44

(in

Japanese).

Is.

Henrici,

P. :

Discrete

Variab)e

Methods

in

Ordinary

Differential

Equations,

John

Wiley

&

Sons,

lnc,,

New

Yefk,

l966,

407 p.

(7)

-34-【

研

究

論

文

1

UDC ：624

．

042

．

7：620

．

1 日本建築学

会

構造系論文報告集第

353

号

・

昭和

60

年

7

月

仮動的実験

に

お

け

る

_積

分

時間刻

みと

応答

の

安定

の

_関

_係

仮

動

的実

験応

答

の

_{安定}

と

精度

正会

・

員

　中

島

正

愛

＊

　

1．

序

　 1974

年東京

大

学

生

産

技

術研究

所高

梨他（

文献

1 ）

が数

値解析

と

実験

を

併用

した

新

しい地

震応答解析手法

を

発表

した。

本手法

は

構造物

の地

震時応答

を

直接再現

できる

極

めて魅力的な手法として内外の注目を浴びている（文献

2 −

5 ）

。

本手法

は

種

々な

名前

で

呼ば

れているが

（

文献 1

−

5 ）

本論

では

仮動

的実

験手法

と

称

する

（

文

献

3−5

）

。

　

本

手

法では数値計算に

中央

差分

法

が用いられる

。

これは

_本

手法

の

性格

から

直接積

分の

解法

が陽

的

でなければならないこ

と

，

ま

た

あ

るステッ

プ

から

次

のステッ

プ

への

計

算過程においてひ

ず

みの

戻

りを

含

む

試行錯誤

を

許容

しないことによる

。

積

分

時間刻

み

を充分

に

小

さく

採

れば

中央

差分法

は

充分

な

精度を保証

する

が

，

弱点

は

積分時間刻

みに

対

して

無条件

には

安定

ではないことである

。

すなわち

時間

刻

みがある

_{限界}

を

越

えると

解

が発

散

してしまい

仮動

的実

験

が逐

行

できなくなる

。

したがって

仮動的実験を成

功させ

，

また

得

られた

結

果を意

味

のあるものにするためには

_，

_積

_分

_{時間刻}

みと

解

の

_安定

・

精

度

の

条

件

の

_関

係を正

しく

評価

する

必要

がある

。

　

仮

動的実

験では

中央差

分

法

の

替

わりに

陽的

ニュ

ー

マ

ー

ク

法（

β

・

＝

O

）

が

用

いられることもある

。

まず

陽的

ニュ

ー

マ

ー

ク

法

は

そ

の

基本

アルゴ

リ

ズムにおいて

中央差分法

と

同

一

である

（

文献

6 ）

。

しかし

両

方法は

実

験上の誤差の

集積

に

違

いが

児

られることもある。

誤差

の

集積

に

関

する

研究

（

文献

7 ）

では

，

運動方程式

を

解

く

時

に

計

測

された

変位

を

用

いると

中央差分法

の

方

が

誤差

の

集積

が

大

きい

事

，また

計算

された

変位

を

用

いると

両方法

による

誤

差

集

積

は

等

しい

事

，

そして

計算変位を用

いる

方

が

良

い

応答結

果が

得

られる

事

，

を報告

している

。

すなわち

計算変位

を

基

準

にして

_仮

動的

実

験

を

行

う

限

り_，

中央差分法

と

陽的

ニュ

ー

マ

ー

ク

法

は

同

一

で

あ

る

。

　

Leech

等（

文献

8 ）

の

研究

によって

中央

差分法の

解

の

安定条件

が

導

かれ

，

また

彼

らは

精度

の良い

_解

を

得

るために

安定限界

に

対応

する

積分時間刻

みの

1 _／

6

以

下

の

_積

分

時

間刻

みを選ぶことを

推

奨

している

。

しかしながら

彼

らの虧 _{建設省建築研究所} 研究員

・

Ph

．

D

，

　〔昭和 59 年 9 月 Z3日原稿受理日

，

昭和

60

年

3

月］

3

日改訂原稿受埋　日

，

討論期限昭和

60

年 10 月末

E

け

研

究

では

1）

安定条件

を非減衰

系

についてのみしか

導

びいておらずまた

，

2 ）

ユ

／

6

の

_根

_拠

が

示

されていない

（

すなわち

1 ／

6

なら

ど

れ

程

の

精

度

が

保証

され

，

またユ

／

3

なら

ど

れ

程

精

度

が

落

ちるのかについ

ぞ

の

定量的評価

がない

）

。

　本

研

究

の

_目的

は

_{仮動的実験}

で

中央差分法を適用

する

時

に

得

られる

解

の

安

定

と

精度

の

条件

を

調

べ

，

_{仮動的実験}

_における

積分時間刻

みの

選び方

に

_対

する

指標

を

与

えることである

。

本論

（

その

1 ）

では

_安

_{定条}

_件

と

自由振動時

の

_変

位応答

の

精度を論

じ，

（

その

2）

で

一

_{般的}

_な

_{外力}

_に

_対

_する

変位

・

速度

・

加速度応答

の

精度

について

述

べ _る

。

_{また}

（

その

2 ）

では

解析的

な

_検

討

結

果

が

_{妥当}

であることを

数

値実験

に

よ

って

も検証

している

。

なお

本

研

究

では

弾性

一

質点系

を

対象

として

議論を進

めている

。

_多

質点系

についてもモ

ー

ド分

解

の

考

え

方

を

導

入すれ

ば

一

質点

系

についての

議論が適用

できる

。

なお

非

比

例

減

衰

においては

実数領

域

でモ

ー

ド分解が

できないが

，

本

論

では

数

値解析

や

過去

の

仮動的実験

において

_{頻繁}

に

_用

いられるよ

う

に

_{粘性}

_減衰

は

比例減衰型

である

と限定

する

。

　

2．

数値解法

の

安定条件

　

ここでは

数値解析法

の

安定

を

論ず

る

一

般的方法

を

紹介

する。

　弾性

一

質点系

の

運

動方

程

式

は

式

（

1 ）

で

表

される

。

数

値解析ではこの式を時間

軸

に対して離散

化

することにより

解

くが，ここで

解

の

安定

とは n を

解

の

時間

ステッ

プ

として

n

が

無

限

大

になっても

誤差

が発

散

しないことと

定義

される

（

文

献

9−

13 ）

。またこの

条件

は

任意

の

初期条

件

に

_対

して

解

が

発散

しないことと

も解釈さ

れる

（

文献

12 ）

。

積分解法

の

安定条件

はその

数値解法を漸化式（

式

（

3 ）〉

で

表現

することによって

検討

できる

。

発散

は

任意

の

_{初期条件}

にお

け

る

数値解

の

挙動

から

調

べ _{られる}ので

今

自由

振動

状

態を

考

える。この

時式（

3 ＞

は

式（

4 ）

と

簡

略化される

。

この式から安定はマトリックス

A

（

アン

プ

リフィケ

ー

ションマトリックスと

呼

ばれる

）

の

_{特性}

に

依存

することが

判

る

。

さらに

A

が

式

（

5 ）

のように分

解

されることを

考慮

すると

，A

の

特

性根の絶対値が

1

を

越

えないことが

安定

の

条件

となる

。

　

3．

中央差分法

の

安定条件

　本節

では

前節

で

示

した

方法を中央差分法

に

適用

して

中

一

₃₅

一

(8)

央差分法

の

安

定

限界

を

導

く。

　

まず

無減衰系（

式（

7 ）

）

を

考

える。

式（

7 ）

に

中央差

分法

で

表

される

加速度（

式（

8 ））

を

代入

して

整理

すると

式（

10 ）

に

示

す

漸化式

が

得

られる。この

式

のマトリックスの

特性根

が

1

を

越

えないという

条

件

から式

｛

13 ）

を

得

る。この

条件

は

Leech

等

によって

導

かれたものと同じで

あ

る

。

（

彼

らは

漸化式

表

現

を用い

ず

に

安定条

件

を導

びいた

）

。

また

特性根

を用いて数値解を式（

15 ）

のように

表

すこ

とが

で

き

る。この

式

は

数

値

解

の

解

析的表

現

であり，

減衰系

の

自由振動解

に

似

た

形

となっている

。

ここでんは

_{数値解}

に

生

じる

減衰（

数値的減衰）

と

，

また函は数

値解

の円

振動数と理解

できる。

式（

12 ）

を

式

（

15 ）

に

代

入する

と式（

16 ）

が

得ら

れる

。

つ _{まり}

_数

値

_解

_も

_同

様

_に

非

減

衰系

で

あ

ることを

意味

する。図

一1

は数値解の円振動

数

に

対

する

系

の

円振動数

の

比（

ω

緬

）

を

積分時間刻

みに

対

して

プ

ロットしたものである

。

この図から

数値解析

で

得

られる

系

の振動周期は真の周

期

より

小

さい

。

すなわち

数値解

では

見

かけの固

有

周

期

が

_縮

むことが

_判

る

。

このことは

文

献

14

にも

記

されている

。

図

一

2 （

a

）

〜

（

c

）

は

式（

17 ）

に与えられた初期条件下での

自由振動

について

，

中央差

分

法

を

適

用

して

得

た

解

と

式

（15）

を比

較

した

も

のである。

中央差分法

によって

得

られる

自

由振動応答

は

式（

15 ）を

積

分時間刻

みごとに

直線

で

結

んだ折れ線になっているこ

と

が

判

るe

　

4 ．

滅衰系

の

安

定

条

件

　

減衰系（

式（

18 ））

の

安

定

条件

についても

，

前節と同

様

の

手順を適用

すると

式（

20 ）

の

_特

_{性根}

が

得

られる

。

この

特性根

が

1

を越え

ず

，

さらに

共役複素数

で

あ

るた

め

の

条

件

は式

（

21 ）

で与えられる

。

なお

非減衰系

では

特性根

が

1

より

小

さい

_{場合}

，その

根

は

自動的

に

共役複素数

であった

。

式（

21 ）

が

満足

されない

場合特性根

は

実数

になる

。

図

一

3

はこのような

実数根

の

値

を ω

At

に

対

して

プ

ロットした

も

のであり ω

At

が

2

に至る時

一

方の特

性

根は

一1

となる

。

一 36 一

　

式（

21 ）

が

満足

される

時

は

数

値

解

を

式

（

15 ）

の

形

で

表

現

できる。

図

一

4

には

数値解

から

得

られる見かけの周期のずれを

種

々の

_{粘性}

減

衰

定数

（

h ＞

に

_対

して示している

。

h

が

約

0．

7 以

下の

時

には

（図

一4

（

a

_＞

）見

かけの

周期

は

常

に

真

の周

期

よりも

短

かくω

At

の

増大

に

伴

ってその

ず

れは

大

きくなる

。一

一

t

方

で

h

が

_{約 O}

．

7

より

大

きい

時

には

（

図

一4

（

b

））

式（

21 ）

が

満足

される

（

すなわ

ち特性根

が

共

役複

素

数である

）

限界において見かけの周

期

は無限

大

となりω

At

が

小

さくなるにつれて

見

かけの

周期

は

真

の

周

期

に

近

づいて

行

〈

。

限界

において

見

かけの周

期

が

有限

で

真

の

周期

より短い

_{場合}

_（

図

一

4（

a

_）

と

，

限界において見かけの

周期

が

無限大

になる

場合

（

図

一

4 〔

b

＞

1

との臨

界

に

位

置

する

h

は

式（

22 ＞

で

与

えられる。この

式

は

解

が共

役複素

数でなくなる臨

界

状態で特性根

（

この時

特

性根は

重

根

となる。

）

が

0

になるという

条

件

から

導

かれる

。

　

図

一5

は

h ＝0．

1

の

系

が

式（

17 ）

で

表現

される

初期条

件

で

自由振動

している

状態

を

示

している

。

ω

At

が

小

さくなる

程数

値解

の

_周

_期

が

_延

び

_真

の

_周

_期

に

近

づいて

_行

く

_様

子が

顕著

である

。

　

図

一

6

は

数値的減衰（

h

）

の

_真

の

_粘性

減

衰

に

_対

する

比

を示す

。h

が

小

さい時は．・

A

t

に

_関

わら

ず

数

_{値的}

減衰は

真

の

減衰

にほぼ

等

しいが

，h

が

小

さくない

場合

は ω

At

の

増大

に

従

って

数値的

減衰

が

真

の

粘性減

衰

に比べて

相当

大

きくなることが

判

る。

　

5．

結　　論

　（

1 ）

　

中

央差

分

法

を

減衰系

に

適

用した

時

の

解

の

安定条

件

は

非減衰系

と

同

じ

式（

13 ）

で

与

えられる

。

また

式（

21 ）

が

満足

される

時特性根

は

共役複

素

数

となり

，

数値解

は

式

（

15 ）

として

解析的

に

表現

され

，

数値解

が

振動系

であることを保証する

。

　（

2 ）

　

中央

差分

法

を

適

用し

t

場合，

系

の

自

由

振

動

解の

真

の

_解

に

対

する

誤差

は_，

見

かけの周

期

の

ず

れと

，

見

かけの

粘

性

減衰

の増

大

として現れる

。

周

期

の

ず

れは図

一

4

で

，

粘

性

減衰

の

増大

．

は

図

一

6

でそれぞれ

与

えられる