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不確かさ評価について ( 独 ) 産業技術総合研究所計測標準研究部門 物性統計科応用統計研究室 田中秀幸

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(1)

不確かさ評価について

(独)産業技術総合研究所 計測標準研究部門 (独)産業技術総合研究所 計測標準研究部門

物性統計科 応用統計研究室 田中秀幸

(2)

不確かさとは何か?

不確かさとは何か?

計測標準フォーラム

計測標準フォ ラム

計量標準等トレーサビリティ導入に

関する調査研究

WG2

関する調査研究

WG2

制作:(独)産業技術総合研究所 計測標準研究部門 物性統計科 応用統計研究室 田中秀幸

(3)

なぜ今 不確かさ評価なのか?

なぜ今、不確かさ評価なのか?

測定結果 測定値は通じる 測定結果 ヤード、ポンド、尺、貫 など 測定値は通じる、 では値はどのくらい 信用できるのか? など 信用できるのか?

SI単位

SI単位

導入

測定結果に一貫性 世界中のどこでも通じる

結果の質についての指標

「不確かさ

世界中のど でも通じる

「不確かさ」

(4)

結果の質の表現方法統一による利点

結果の質の表現方法統一による利点

・製品の検査

測定結果の

・国際比較

比較の容易さ

・校正証明書

測定結果の

・トレーサビリティ制度 ・ワンストップテスティング

測定結果の

信頼性の証明

(5)

測定の信頼性の確保

測定の信頼性の確保

製品の性能を保証するためには

製品の性能を保証するためには

検査の

検査の

測定の信頼性確保

測定の信頼性確保

が必要

が必要

検査の

検査の

測定の信頼性確保

測定の信頼性確保

が必要

が必要

測定の信頼性確保のためには

計測における精度管理

が重要

計測における精度管理

が重要

計測における精度管理の指標の一

として用いられるのが

不確かさ

つとして用いられるのが

不確かさ

(6)

測定の信頼性の確保

測定の信頼性の確保

製造装置

測定装置

フィードバック制御

製造装置

測定 製品を製作 測定

測定にばらつきが存在すると,

製品にもばらつきが表れる

製品にもばらつきが表れる.

(7)

トレーサビリティ

トレーサビリティ

質量では

日本国キログラム原器

質量では

比較(校正)

比較(校正)

どれくらいうまく比較

社内標準等の分銅

どれくらいうまく比較できているのか?

標準供給

比較(校正)

普段測定で用いているはかり

(8)

トレーサビリティ

トレーサビリティ

トレーサビリティとは トレ サビリティとは 不確かさがすべて表記された、切れ目のない比較の連鎖 を通じ 通常は国家計量標準又は国際計量標準 ある を通じて、通常は国家計量標準又は国際計量標準である 決められた標準に関連づけられ得る測定結果又は標準の 値の性質 値の性質 トレーサビリティを確保するためには不確かさが必要!

(9)

不確かさの歴史

不確かさの歴史

国際度量衡委員会 国際的な計量に関する8機関

CIPM

計測の信頼性の 承認 (1981年)

OIML

IUPAP

国際法定計量機関 国際純粋応用物理連合 計測の信頼性の 共通的尺度が必 要(1977年)

OIML

BIPM

国際法定計量機関 再確認 (1986年)

BIPM

際度量衡 勧告INC-1作成 ( 980年)

ISO

BIPM

TAG4

国際度量衡局 (1980年)

ISO

IEC

TAG4

国際電気 標準会議 GUM 1993 1995

IFCC

国際臨床化学連合 標準会議 VIM 1993, 19951993

IUPAC

国際純粋応用化学連合

ILAC

国際試験所 認定協力機構

(10)

GUM

GUM

Guide to the Expression of

p

Uncertainty in Measurement

計測における不確かさの表現のガイド

日本規格協会

(11)

GUMのメンテナンス

GUMのメンテナンス

• GUMはしばらく改訂しないことが決定.

GU はしばらく改訂しない とが決定

• ただし,GUMを補足するための文書を作成.

• GUMのISO Guide化

• ISO Guide98シリーズ

ISO Guide98シリ ズ

• 98-1 イントロダクション

• 98-2 GUMの統計的根拠について

• 98-3 GUM本体+補足文書3つ

98 3 GUM本体+補足文書3つ

• 98-4 適合性評価について

• 98-5 最小二乗法について

(12)

VIM

VIM

International Vocabulary of Basic and

General Terms in Metrology

gy

JIS Z 8103 2000” 計測用語 はVIMに

JIS Z 8103-2000” 計測用語 はVIMに

矛盾しない形で整合

“計測における不確かさの表現のガイド”内の

付録Ⅱに和訳が収録

付録Ⅱに和訳が収録

(13)

VIMのメンテナンス

VIMのメンテナンス

• VIM・・・現在用いられているVIM第2版の改

訂作業が終了.

2007年末に第3版が発行.

主な変更点 誤差評価を元にしたEA(エラー・アプローチ)から 不確かさ評価を元にした ( サ ト プ ) 転換 不確かさ評価を元にしたUA(アンサートンティ・アプローチ)への転換 日本の対応・・・VIM第3版をJIS化するための 作業を開始. 作業を開始

(14)

不確かさとは

不確かさとは

不確かさ・・・合理的に測定量に結びつけられ

得る値のばらつきを特徴づけるパラメ タ

得る値のばらつきを特徴づけるパラメータ.

これは測定結果に付記される.

簡単に言うと

簡単に言うと

きを特徴づ

不確かさ・・・ばらつきを特徴づけるパラメータ

不確かさは,測定のばらつきを表す!

(15)

ばらつきとは

ばらつきとは

同じ測定を繰り返した場合であっても 必

同じ測定を繰り返した場合であっても、必

ずしも同じ測定結果が得られ続けるとは

限らな

限らない

砂時計の時間

9.86min

9 99min

砂時計の時間

9 94min

9.98min

9.99min

10 04min

9.94min

9.98min

10 02min

9.78min

10.04min

10.02min

9.78min

(16)

ばらつきとは

ばらつきとは

体温計で体温を測ったら,

と表示された.

これは,体温が

37.15℃から37.25℃

の間にあることを示している

の間にあることを示している.

よって,

37.15℃から37.25℃の間で体温

よって,

37.15℃から37.25℃の間で体温

がばらついている,と考える.

(17)

不確かさの求め方

不確かさの求め方

• 測定のばらつきの要因を特定する

• 特定した個々のばらつきの要因によってどの

特定した個々のばらつきの要因によってどの

くらい測定値がばらつくのかを求める.

求められた個々

ばら きを合成し 全体的

• 求められた個々のばらつきを合成して全体的

なばらつきを求める.

この測定値の全体的なばらつきが不確かさとなる

(18)

不確かさ評価の概要

不確かさ評価の概要

計測標準フォーラム

計測標準フォ ラム

計量標準等トレーサビリティ導入に

関する調査研究

WG2

関する調査研究

WG2

制作:(独)産業技術総合研究所 計測標準研究部門 物性統計科 応用統計研究室 田中秀幸

(19)

誤差と不確かさの違い(

1)

誤差と不確かさの違い(

1)

誤差・・・

真の値は分かるんだ,という前提

誤差

真の値は分かるんだ,という前提

不確かさ・・・

私たちが知ることができる知識には限界が ある,という前提 母平均 母平均 試料平均 真の値 試料平均 真の値

(20)

誤差と不確かさの違い(

2)

誤差と不確かさの違い(

2)

私たちが知ることができる値は真の値ではなく,真の値に 最も近いであろうと思われる値の推定値である. 最も近 あ う 思われる値 推定値 ある さらにその推定した値の周りに測定値はばらついている.

ばらつきの要因は?

ばらつきの大きさは?

個々のばらつきの大きさを調べ,そのばらつきが

全部合わさった時のばらつきを求める

全部合わさった時のばらつきを求める.

(21)

不確かさ評価の流れ

不確かさ評価の流れ

実験 成績書 不確かさ要因 実験 成績書 個々のばらつき (1)・・・・・・・・・・・・・・・・2)・・・・・・・・・・・・・・・・ 個々のばらつき を求める (3)・・・・・・・・・・・・・・・・4)・・・・・・・・・・・・・・・・5)・・・・・・・・・・・・・・・・ ・ ・ ・ 個々のばらつきを合成し 全体的なばらつきを求める. etc.

(22)

本セミナーの目標

本セミナーの目標

バジェットシート 記号 不確かさ要 + 確率分布 除数 標準不確かさ 感度係数 標準不確かさ(測定量の単 位) uc( ) 合成標準不 確かさ 正規分布 拡張不確か 正規分布 U 拡張不確か 正規分布(k=2) 本セミナーの目標・・・このバジェットシートの意味を理解し, 値を代入し,バジェットシート上で計算を行って,最終的な 不確かさを算出する!!

(23)

不確かさ要因

不確かさ要因

測定器 測定 測定対象 測定環境 測定器 測定 測定対象 測定環境 不確かさ 主なもの 不確かさ すべてについて評価する ・測定器とその校正方法 ・標準器 主なもの 最終結果に与える影響が 必要はない! ・測定のための装置 ・測定方法、手順、 最終結果 影響 大きなものを ピックアップすることが重要! ・データ処理方法 ・測定対象の安定性・再現性 「必要なところに必要な精度で」 時間・手間・コストを ・測定環境 最小にするよう努力!

(24)

不確かさ要因

不確かさ要因

記号 不確かさ要 確率分布 除数 標準不確かさ 感度係数 標準不確かさ 記号 不確かさ要値+ 確率分布 除数 標準不確かさ 感度係数 標準不確かさ(測定量の単 位) uc( ) 合成標準不 確かさ 正規分布 確かさ U 拡張不確か 正規分布(k=2) ここに記入 ( )

(25)

不確かさ評価の分類

不確かさ評価の分類

不確かさ評価とは・・・個々の要因によって起こるばらつきを 求め,それを合成することで全体のばらつきを求める. Aタイプの評価 実験からデ タを得 ばら きを求める Aタイプの評価・・・実験からデータを得てばらつきを求める. Bタイプの評価・・・実験以外の方法でばらつきを推定する. 注意 Aタイプ Bタイプはあくまでも実験デ タからばらつき 注意:Aタイプ,Bタイプはあくまでも実験データからばらつき を求めるか否かということを表す.ある要因がAタイプかBタイ プか重要ではない プか重要ではない.

(26)

Aタイプの不確かさ評価

Aタイプの不確かさ評価

Aタイプの評価・・・実験からデータを得て ばらつきを求める Aタイプの評価 実験からデ タを得て,ばらつきを求める. “統計的手法”を用いてばらつきを算出する方法. つまり つまり, 測定値 10 02 10.02 10.10 10.21 統計的手法 ばらつき Aタイプとして評価された 10.21 10.11 ・ 統計的手法 ばらつき 評価された 不確かさ ・ ・ となる.

(27)

Bタイプの不確かさ評価(1)

Bタイプの不確かさ評価(1)

なぜBタイプの不確かさ評価が必要なのか ・標準器の校正の不確かさ・・・使っている標準器の 校正の不確かさ評価まで行わなくてはいけない? 校正の不確かさ評価まで行わなくてはいけない? ・再現することが難しい不確かさ要因・・・実験室の温 度が変化する とによ ばら きが るとするなら 度が変化することによってばらつきがでるとするなら ば,1年間実験室の温度を測りつづけなければいけ ない? ない? ・そもそも測定できない不確かさ・・・使っている温度 計は±0 5℃でしか温度が分からないのだけど そ 計は±0.5℃でしか温度が分からないのだけど,そ の計れなかった±0.5℃の間の温度のばらつきの評 価は? 価は?

(28)

Bタイプの不確かさ評価(2)

Bタイプの不確かさ評価(2)

確率分布を仮定するには 合理的な判断材料が必要.

実際に実験を行わないので コスト 時間 人手

合 な判断材料 必要

実際に実験を行わないので,コスト,時間,人手

の節約に大きく貢献する.

(29)

ばらつきの大きさの算出

ばらつきの大きさの算出

記号 不確かさ要 確率分布 除数 標準不確かさ 感度係数 標準不確かさ 記号 不確かさ要値+ 確率分布 除数 標準不確かさ 感度係数 標準不確かさ(測定量の単 位) u ( ) 合成標準不 正規分布 uc( ) 合成標準不 確かさ 正規分布 U 拡張不確か 正規分布 (k=2) Aタイプ,Bタイプの評価法で算出された 値等をここに記入,計算

(30)

不確かさの合成

不確かさの合成

個 確 が プ 個々の不確かさの大きさがAタイプの評価, Bタイプの評価によって求められる. 求められた個々のばらつきを合成する.

その測定の全体的なばら きが算出できる

その測定の全体的なばらつきが算出できる

(31)

最終的な不確かさの算出

最終的な不確かさの算出

記号 不確かさ要 + 確率分布 除数 標準不確かさ 感度係数 標準不確かさ(測定量の単+ (測定量の単 位) uc( ) 合成標準不 確かさ 正規分布 確かさ U 拡張不確か 正規分布(k=2) ここの欄を用いて最終的に報告する不確かさを算出する

(32)

ビ • ある居酒屋で出される生ビール大ジョッキにはここ まで入れるというラインが付いている.そのラインま 量を ダ 定 均値を での量をメスシリンダーで10回測定しその平均値を その居酒屋で出される大ジョッキの体積とする. • また,測定時の温度は5℃で行う.

この例を用いて,不確かさの算出について考える.

(33)

不確かさ要因

不確かさ要因

記号 不確かさ要 確率分布 除数 標準不確かさ 感度係数 標準不確かさ 記号 不確かさ要値+ 確率分布 除数 標準不確かさ 感度係数 標準不確かさ(測定量の単 位) 測定の uR 繰返し性測定の u 標準器の校正 us の不確かさ uT 温度による効果 uc( ) 合成標準不 確かさ 正規分布 拡張不確か 正規分布 U 拡張不確か 正規分布(k=2)

(34)

Aタイプの不確かさ評価

Aタイプの不確かさ評価

計測標準フォーラム

計測標準フォ ラム

計量標準等トレーサビリティ導入に

関する調査研究

WG2

関する調査研究

WG2

制作:(独)産業技術総合研究所 計測標準研究部門 物性統計科 応用統計研究室 田中秀幸

(35)

目的

目的

記号 不確かさ要 確率分布 除数 標準不確かさ 感度係数 標準不確かさ (測定量 単+ (測定量の単 位) uc( ) 合成標準不 確かさ 正規分布 確かさ U 拡張不確か 正規分布(k=2) Aタイプによる評価法でこの欄に入れる値 (k 2) Aタイプによる評価法でこの欄に入れる値 の算出法を学習する.

(36)

Aタイプの不確かさ評価とは

Aタイプの不確かさ評価とは

実験によ て測定デ タを得て そのデ タから 実験によって測定データを得て,そのデータから ばらつきを求める. 不確かさ評価では,ばらつきは 「実験標準偏差」 実験標準偏差とは・・・平均値に対してどのくらいばら によって表される. 実験標準偏差とは・・・平均値に対してどのくらいばら ついているかを表す指標.正確な言い方ではないが ばらつきの平均を表していると考えておけばよい ばらつきの平均を表していると考えておけばよい. ここで実験標準偏差を算出しただけではAタイプ ここで実験標準偏差を算出しただけではAタイプ の不確かさを算出したことにはならない.

(37)

標準偏差の算出法

標準偏差の算出法

関数電卓の機能,表計算ソフトの機能を使えばよい. 関数電卓の機能,表計算ソフトの機能を使えばよい. 注意:標準偏差には意味合いの違う2種のものがある. 対象:母集団 対象:標本 対象:母集団 対象:標本 関数電卓1

σ

x

s

x

x

x

関数電卓2

σ

n

σ

n-1

n

n 1

表計算ソフト stdevp() stdev() 不確かさ評価では右側の対象:標本のものを用いること!

(38)

標準偏差と実験標準偏差の計算式

標準偏差と実験標準偏差の計算式

標準偏差

(高校で学ぶ)

(

)

2

1

n i

x

x

σ =

(

)

1 i

n

=

実験標準偏差

実験標準偏差

(

)

2 1 ( ) n s x =

(

xx

)

1 ( ) 1 i i s x x x n

=

(39)

2つの違い

2つの違い

例:小学6年生の身長測定 A小学校6年A組 全員の身長 母集団 標本 全員の身長 A小学校6年A組の平均の 日本の小学6年生の平均の A小学校6年A組の平均の 身長と標準偏差を知りたい すべてのデ タを知 て 日本の小学6年生の平均の 身長と標準偏差を知りたい 本全 学 年生 身 すべてのデータを知って いて,そこから平均と標準 偏差を算出 日本全国の小学6年生の身長 は測れない.A小学校6年A組 デ 全 身 偏差を算出 のデータから日本全国の身長 の平均と標準偏差を推定. 左 「対象 集 を る 右 「対象 標本 を る 左の「対象:母集団」を用いる 右の「対象:標本」を用いる これを実験標準偏差という

(40)

分散・標準偏差について

分散 標準偏差に いて

例:ある製品の質量測定(g) x1 x2 x3 x4 x5 87.5 86.2 90.1 88.4 87.0 平均: 87.5 86.2 90.1 88.4 87.0 87.84 5 x = + + + + = 平均値からの距離 (g) 平方根 単位:g 平均値 距離 (偏差)単位:g 87.5-87.84=-0.34 86 2 8 84 1 64 (平均値からの距離)2 単位 2 1.494 86.2-87.84=-1.64 90.1-87.84=2.26 88.4-87.84=0.56 単位:g2 0.1156 2 6896 偏差の二乗和 単位:g2 データの個数-1 87.0-87.84=-0.84 2.6896 5.1076 0.3136 0 7056 8.9320 デ タの個数 (自由度)で割る 単位:g2 0.7056 2.233

(41)

実験標準偏差の算出における注意点

実験標準偏差の算出における注意点

分散を算出する式は一般的な書き方をすると 分散を算出する式は 般的な書き方をすると, 2 ( ) n i xx

2 1 1 i s n = = −

となる. しかし一般的に計算の時に使うのは 上式を変形した しかし一般的に計算の時に使うのは,上式を変形した, 2 (

n )2 2 1 2 1 ( i ) n i i i x x n = −

2 1 1 i n s n = = − 行われるときが多 で行われるときが多い.

(42)

実験標準偏差の算出における注意点

実験標準偏差の算出における注意点

• コンピュータで扱える桁数について

• コンピュータで扱える桁数について

Excelで用いることができる数字は,有効数

15桁までである 不確かさ評価で標準偏差

15桁までである.不確かさ評価で標準偏差

を算出するときに

2乗を行うことを考えると,

不確かさ評価では有効数字

7桁までしか用い

不確かさ評価では有効数字

7桁までしか用い

ることができない.

2 2 1 ( n i ) n i i x x − =

この式を用いるときの注意. (積 残 ) 2 1 1 i i n s n = = −

(積み残し)

(43)

実験標準偏差の算出における注意点

実験標準偏差の算出における注意点

• コンピュータで引き算を行うときの注意

コンピュ タで引き算を行うときの注意

コンピュータは大きさが似ている大きな数の引き算が苦手で ある よって 大きさが似ている2つの数を引き算するとおか ある.よって,大きさが似ている2つの数を引き算するとおか しな答えが出ることがある. 2 n

2 2 1 ( ) 1 i i x x s n = − =

この式を用いるときの注意 (桁落ち) 上記の問題点の例 E lを用いて 1 n − Excelを用いて, (123456789.1-123456789)を計算してみると? 計算計算 分散 算出にお は 積み残し ほうが起 る可能性が高 分散の算出においては,積み残しのほうが起こる可能性が高い. 桁落ちはデータ数が多いときに注意.

(44)

標準偏差から不確かさへ

標準偏差から不確かさへ

実験標準偏差=測定値のばらつき 報告する値=平均値 測定値 平均値 報告する値=平均値 測定値 平均値 ばらつき 必要なのは測定値のばらつき ではなく 平均値のばらつき! ばらつき ではなく,平均値のばらつき!

平均値の実験標準偏差を求める必要がある

平均値の実験標準偏差を求める必要がある.

(45)

平均値の実験標準偏差

サイコロを振って 出た目の平均値を求める サイコロを振って,出た目の平均値を求める. 3回振 た平均値 1回目 2回目 1回目 3回振った平均値 3回目 4回目 回目 2回目 3回目 10回振った平均値 5回目 6回目 3回目 平均 0回振った平均値 7回目 8回目 8回目 9回目 10回目 10回目 平均 計算 計算

(46)

平均値の実験標準偏差の求め方

平均値の実験標準偏差の求め方

平均値の実験標準偏差と 最初に算出した実験標 平均値の実験標準偏差と,最初に算出した実験標 準偏差の間には以下の関係がある.

( )

( )

s x

s x

n

=

n

ここで s x( ) は平均値の実験標準偏差 s(x)はデー ここで, は平均値の実験標準偏差,s(x)はデ タの実験標準偏差,nは測定回数である. ( ) ここで求められた平均値の実験標準偏差が ここで求められた平均値の実験標準偏差が Aタイプの評価で求められた不確かさとなる.

(47)

有効数字について

有効数字について

校正証明書に記載する最終的な不確かさは

校正証明書に記載する最終的な不確かさは

原則

原則

22桁である.

桁である.

よって,個々に算出された不確かさはこの後に合成

する必要があるため,

4桁以上まで計算しておく.

(48)

バジェットシートへの挿入

バジェットシートへの挿入

記号 不確かさ要因 + 確率分布 除数 標準不確かさ 感度係数 標準不確かさ(測定量の単 + (測定量の単 位) 1.641 --- 1 Aタイプ評価で れ 欄 標準偏差を求 も は,この欄に算 出された平均値 これら欄は標準偏差を求めるためのも のであるので,すでに標準偏差を算出 る タイプ評価 は「確率分布 の実験標準偏 差を書き込む しているAタイプ評価では「確率分布」 欄は空欄,「除数」欄はすべて1となる.

(49)

例:

Aタイプの不確かさ評価

例:

Aタイプの不確かさ評価

• メスシリンダーでビールジョッキに入れられた液体の • メスシリンダーでビールジョッキに入れられた液体の 体積を繰返し測定を行い次のデータを得た. 1 2 3 4 5 632 629 639 635 627 6 7 8 9 10回目 636 633 637 634 633 636 633 637 634 633 (単位:mL)

平均値:

633.5 mL

実験標準偏差:

3.598 mL

実験標準偏差:

3.598 mL

平均値の実験標準偏差:

1.138 mL

(50)

バジェットシート

バジェットシート

記号 不確かさ要因 確率分布 除数 標準不確か 感度係数 標準不確かさ 記号 不確かさ要因 + 確率分布 除数 標準不確かさ 感度係数 標準不確かさ(測定量の単 位) 測定 uR 繰返し性測定の 1.138mL --- 1 標準器の校正 us 標準器の校正の不確かさ uT 温度による効果 uT 効果 uc( ) 合成標準不確か 正規分布 U 拡張不確かさ 正規分布 (k=2)

(51)

確率分布について

確率分布について

計測標準フォーラム

計測標準フォ ラム

計量標準等トレーサビリティ導入に

関する調査研究

WG2

関する調査研究

WG2

制作:(独)産業技術総合研究所 計測標準研究部門 物性統計科 応用統計研究室 田中秀幸

(52)

確率分布とは

確率分布とは

例えば サイコロの確率分布を考える

例えば,サイコロの確率分布を考える.

サイコロは

1-6の目を持っている.

これはそれぞれ同じ確率で出る.

それならば 各目とも

1/6の確率の確率分布を

それならば,各目とも

1/6の確率の確率分布を

持つということになる.

確率 1/6 サイコロの目の確率分布 1/6 1 2 3 4 5 6 サイコロの目

(53)

Bタイプの評価で用いられる確率分布

1)

最もよく使われる分布 最もよく使われる分布 限界値のときなどに適用. 解説 a a 3 a μ

矩形分布(一様分布)

3

(54)

Bタイプの評価で用いられる確率分布

2)

中心が多く,端にい くほど少なくなる分 布に適用. a a 正規分布のときは この分布を適用す a a a μ ることが多い.

三角分布

6 解説

(55)

Bタイプの評価で用いられる確率分布

3)

正規分布の性質 正規分布 正規分布の性質 よく管理されている測 定の測定値はほとんど 正規分布 校正証明書などで不確 かさが分かっている時 定の測定値はほとんど の場合正規分布する. かさが分かっている時 に適用. μ μ+σ μ+2σ μ−σ μ−2σ μ+3σ μ−3σ μ μ μ μ μ μ μ 68.3% 95 5% 95.5% 99.7% μ±1σ:68.3% μ±1σ:68.3% μ±2σ:95.5% μ±3σ:99.7% の値が含まれる.

(56)

その他の分布と標準偏差

その他の分布と標準偏差

b 0 ≤ ≤b 1 a a ba ba -a a μ 2 a 2(1 2) 6 a +b μ 中は じ確率だが 周期的に変化する 要因に対して適用 中は同じ確率だが 端に行けば徐々に 減る要因に適用

U字分布

台形分布

要因に対して適用. 減る要因に適用.

(57)

除数について

除数について

矩形分布・・・分布の半幅を

√3で割る.

三角分布・・・分布の半幅を

√6で割る.

この値のことを除数という

校正証明書から引用する場合,分布は正規分布とし,

この時

除数を

2

とすること 理由は後で解説する

この時

除数を

2

とすること.理由は後で解説する.

(58)

例:

Bタイプの不確かさ

例:

Bタイプの不確かさ

標準器の校正の不確かさに相当する メスシリン • 標準器の校正の不確かさに相当する,メスシリン ダーの校正の不確かさは,校正証明書より,3.0mL. また 校正証明書を用いる場合 確率分布は正規 また,校正証明書を用いる場合,確率分布は正規 分布である. • 温度による効果は 温度を測定している温度計が • 温度による効果は,温度を測定している温度計が 最小目盛り1℃のデジタル温度計を用いているため, ±0.5℃で温度が分からない. ±0.5℃で温度が分からない. ±0 5℃の範囲内では どこでも同じ確率で現れるので ±0.5℃の範囲内では,どこでも同じ確率で現れるので, 矩形分布を仮定

(59)

例:

Bタイプの不確かさ

例:

Bタイプの不確かさ

• 標準器の校正の不確かさは校正証明書から値を得 るため 正規分布である またその時の除数は2で るため,正規分布である.またその時の除数は2で ある. • 温度による効果は,矩形分布を仮定しているので、 除数は√3 除数は√3.

(60)

バジェットシート

バジェットシート

記号 不確かさ要因 確率分布 除数 標準不確か 感度係数 標準不確かさ 記号 不確かさ要因 + 確率分布 除数 標準不確かさ 感度係数 標準不確かさ(測定量の単 位) 測定 uR 繰返し性測定の 1.138mL --- 1 標準器の校正 3.0 規分布 us 標準器の校正の不確かさ mL3.0 正規分布 2 uT 温度による効果 0.5 矩形分布 √3 uT 効果 矩形分布 √3 uc( ) 合成標準不確か 正規分布 U 拡張不確かさ 正規分布 (k=2)

(61)

用語について

用語について

計測標準フォーラム

計測標準フォ ラム

計量標準等トレーサビリティ導入に

関する調査研究

WG2

関する調査研究

WG2

制作:(独)産業技術総合研究所 計測標準研究部門 物性統計科 応用統計研究室 田中秀幸

(62)

不確かさに関する用語

不確かさに関する用語

JIS Z 8103-2000:計測用語より引用

• 標準不確かさ・・・標準偏差で表される,測定

JIS Z 8103 2000:計測用語より引用

結果の不確かさ

• 合成標準不確かさ・・・いくつかの他の量の値

から求められる測定の結果の標準不確かさ.

各量の変化に応じて測定結果がどれだけ変

各量の変化に応じて測定結果がどれだけ変

わるかによって重み付けした,分散又は他の

量との共分散の和の平方根に等しい

量との共分散の和の平方根に等しい.

(63)

不確かさに関する用語

不確かさに関する用語

JIS Z 8103-2000:計測用語より引用

拡張不確かさ

合理的に測定量に結びつ

JIS Z 8103 2000:計測用語より引用

• 拡張不確かさ・・・合理的に測定量に結びつ

けられ得る値の分布の大部分を含むと期待

される区間を定める量.

(64)

不確かさの表現

不確かさの表現

れら ばら きを

不確かさ要因

これらのばらつきを 標準偏差で表す.

不確かさ要因

不確かさ要因

不確かさ要因

不確かさ要因

不確かさ要因

合 成 一般的に校正証明書には

拡張不確かさ

拡張不確かさを記載する.

拡張不確かさ

(65)

例:標準不確かさ

例:標準不確かさ

• 標準不確かさは,標準偏差で表されている.

• このバジェットシートでは,「値」を「除数」で割ること によって,標準偏差を求めることが出来る.

(66)

バジェットシート

バジェットシート

確率分布 除数 標準不確か 感度係数 標準不確かさ 記号 不確かさ要因 + 確率分布 除数 標準不確かさ 感度係数 標準不確かさ(測定量の単 位) 測定 uR 繰返し性測定の 1.138mL --- 1 1.138 mL 標準器の校正 3.0 規分布 us 標準器の校正の不確かさ mL3.0 正規分布 2 1.5 mL uT 温度による効果 0.5 矩形分布 √3 0.2887 ℃ uT 効果 矩形分布 √3 0.2887 ℃ uc( ) 合成標準不確 かさ 正規分布 U 拡張不確かさ 正規分布 (k=2)

(67)

不確かさの合成と拡張

不確かさの合成と拡張

計測標準フォーラム

計測標準フォ ラム

計量標準等トレーサビリティ導入に

関する調査研究

WG2

関する調査研究

WG2

制作:(独)産業技術総合研究所 計測標準研究部門 物性統計科 応用統計研究室 田中秀幸

(68)

目的

目的

記号 不確かさ要因 確率分布 除数 標準不確かさ 感度係数 標準不確かさ (測定量 単 + (測定量の単 位) uc( ) 合成標準不確 かさ 正規分布 かさ U 拡張不確かさ 正規分布 (k=2) (k 2) A,Bタイプの評価法を用いて算出した値から拡張不確かさを求める

(69)

不確かさ要因の単位

不確かさ要因の単位

不確かさの要因には,実際に行っている測定と同じ単位で 表されるものと,異なる単位で表されているものがある. 例:金属棒の長さ測定 同じ単位で評価された要因 異なる単位で評価された要因 測定の繰り返し 測定の繰り返し マイクロメータの校正の 不確かさ 温度変化による影響 単位 mm 単位 ℃ 不確かさ 単位:mm 単位:℃ 異なる単位で表されているものはその測定量の単位 に変換しなければならない! 温度による金属棒の長さの不確かさ(mm) これが感度係数! 温度による金属棒の長さの不確かさ(mm) =熱膨張係数(℃-1)×金属棒の長さ(mm)×温度の影響(℃)

(70)

感度係数

感度係数

記号 不確か さ要因 値+ 確率分布 除数 標準不確かさ 感度係数 標準不確かさ (測定量の単位) さ要因 + 2 131 ℃ 1.46 2.131×1.46 2.131 ℃ mm/℃ =3.111 mm 求めた感度係数を書き れる 値が 標準不確かさと感度係数を掛け 入れる.元々の値が測 定量と同じ次元の場合 は を書き入れる 標準不確かさと感度係数を掛け 合わせた値を入れる.これに よって 測定量の次元に変換さ は1を書き入れる. よって,測定量の次元に変換さ れた標準不確かさが求められる.

(71)

例:感度係数

例:感度係数

• 繰返し性と標準の不確かさは測定量の単位と同じである この計測における 温度を体積に変換する感度係数は 繰返し性と標準の不確かさは測定量の単位と同じである から感度係数は1. • この計測における,温度を体積に変換する感度係数は, 体膨張率・・・ある物質が,1℃温度が変化するとどのくらい 膨張するかを割合で表した値. 液体の体積・・・体膨張率はどのくらい膨張するかを表した割 液体の体積・・・体膨張率はどのくらい膨張するかを表した割 合である.この測定で用いられている液体は,633.5 mL であったので その液体の体積を体膨張率にかけることに であったので,その液体の体積を体膨張率にかけることに よって,633.5 mLの液体の膨張量が算出される.

(72)

例:感度係数

例:感度係数

• この液体の体膨張率・・・5.23×10-3 -1 • この液体の体積・・・633.5 mL

感度係数

5 23

5 23×

×

10

10

33

11

×

×

633 5 L

633 5 L

感度係数・・・

5.23

5.23×

×

10

10

--3 3

--11

×

×

633.5 mL

633.5 mL

3.313 mL/

3.313 mL/℃

(73)

バジェットシート

バジェットシート

除数 標準不確か 感度係数 標準不確かさ 記号 不確かさ要因 + 確率分布 除数 標準不確かさ 感度係数 標準不確かさ(測定量の単 位) 測定 uR 繰返し性測定の 1.138mL --- 1 1.138mL 1 1.138mL 標準器の校正 3.0 規分布 1.5 1.5 us 標準器の校正の不確かさ mL3.0 正規分布 2 .5 mL 1 .5 mL uT 温度による効果 0.5 矩形分布 √3 0.28873.3130.9564 uT 効果 矩形分布 √3 ℃ mL/℃ mL uc( ) 合成標準不確か 正規分布 U 拡張不確かさ 正規分布 (k=2)

(74)

不確かさの合成

不確かさの合成

標準不確かさはすべて標準偏差で表されている 標準不確かさはすべて標準偏差で表されている. 標準偏差を合成するときには二乗和の平方根を用いる. 各標準不確かさを合成し合成標準不確かさ 各標準不確かさを合成し合成標準不確かさ を求めるには標準不確かさを二乗し,足しあ わせ 平方根を取る わせ,平方根を取る. 2 n

2 1 i c x i

u

u

=

=

(75)

不確かさの合成

不確かさの合成

記号 不確かさ要 確率分布 除数 標準不確かさ 感度係数 標準不確かさ 記号 不確かさ要値+ 確率分布 除数 標準不確かさ 感度係数 標準不確かさ(測定量の単位) 1 234 1.234 2.126 1 397 1.397 0.4610 ucc( )( ) 合成標準不 正規分布 2 865 確かさ 2.865 U 拡張不確か 正規分布(k 2) (k=2) もし,このような標準不確かさが得られているとするならば,ここに, もし,このような標準不確かさが得られているとするならば,ここに, 測定量の単位に変換した標準不確かさの二乗和の平方根を書き入 れる.これが合成標準不確かさとなる.

(76)

中心極限定理

中心極限定理

標準不確かさを合成した合成標準 不確かさの分布は正規分布に近づく. + + これを中心極限定理と呼ぶ + 実際に見てみよう 標準偏差が合成標準不確かさとなる 測定結果の分布は 標準偏差が合成標準不確かさとなる,測定結果の分布は, 中心極限定理によって正規分布していると見なせる.

(77)

拡張不確かさ

拡張不確かさ

合成標準不確かさは、標準 許容差などでは ほぼこの中にすべ 合成標準不確かさは、標準 偏差として表されている. 許容差などでは,ほぼこの中にすべ ての値が入る、と言う範囲で示す. ばらつきの平均値で 合成標準不確かさで示された範囲に ばらつきの平均値で 表されている. 合成標準不確かさで示された範囲に は約68%のものしか含まれない. この数を包含係数と言 合成標準 確 さ 中心 合成標準不確かさを2倍すれば この数を包含係数と言 い,kで表す.(k=2) 合成標準不確かさは,中心 極限定理により正規分布し ると見做 る 合成標準不確かさを2倍すれば95%が含まれ, 今までと同じような値になる ていると見做せる. 今までと同じような値になる.

(78)

正規分布

正規分布

μ μ+σ μ+2σ μ−σ μ−2σ μ+3σ μ−3σ μ μ μ μ μ μ μ 68.3% 95 4% 95.4% 99.7% μ±1σ:68.3% μ±1σ:68.3% μ±2σ:95.4% μ±3σ:99.7% の値が含まれる.

(79)

確率分布の例

確率分布の例

-a a 矩形分布( 様分布) a -a 角分布 -a a 字分布 −σ正規分布σ 矩形分布(一様分布) 三角分布 U字分布 正規分布 最もよく使われる分布 限界値のときなどに 適用 中心が多く,端に いくほど少なくなる 分布に適用 周期的に変化する 要因に対して適用. 校正証明書などで 不確かさが分かっ ている時に適用 適用. 分布に適用. 正規分布のときは この分布を適用 することが多い ている時に適用. することが多い. a a a U 3 6 2 2

(80)

拡張不確かさ

拡張不確かさ

記号 不確かさ要因 + 確率分布 除数 標準不確かさ 感度係数 標準不確かさ(測定量の単 + (測定量の単 位) uc( ) 合成標準不確 正規分布 かさ 2.865 U 拡張不確かさ 正規分布 2×2 858 (k=2) 2×2.858 ≒5.7 も 合成標準 確かさが と う値 あ たならば もし,合成標準不確かさが2.865という値であったならば, 合成標準不確かさを包含係数倍したもの,すなわち,2倍 たも を 書き む れ 最終的 報告さ したものをここに書き込む.これによって,最終的に報告さ れる拡張不確かさを算出することができた.

(81)

最終結果

最終結果

記号 不確かさ要因 確率分布 除数 標準不確か 感度係数 標準不確かさ(測定量の単 記号 不確かさ要因 + 確率分布 除数 (測定量の単 位) uRR 繰返し性繰返し性測定の 1.138mLL --- 1 1.138mLL 1 1.138mLL us 標準器の校正の不確かさ mL3.0 正規分布 2 1.5 mL 1 1.5 mL uT 温度による効果 0.5 矩形分布 √3 0.2887 ℃ 3.313 mL/℃ 0.9564 mL ( ) 合成標準不確か 正規分布 uc( ) 合成標準不確か 正規分布 2.112 mL U 拡張不確かさ 正規分布 4 2 ビ ルジョッキの体積 U 拡張不確かさ 正規分布 (k=2) 4.2 mL ビールジョッキの体積

633.5 mL±4.2 mL, k=2

(82)

様々なバジェットシート

様々なバジェットシート

JCG204S21-02 不確かさの見積もりに関するガイド(力/一軸試験機)より引用. JCSSホームページ

参照

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