とすること 理由は後で解説するこの時除数を2 とすること．理由は後で解説する．

除数について 除数について

矩形分布・・・分布の半幅を

√3

で割る．

三角分布・・・分布の半幅を

√6

で割る．

この値のことを除数という

校正証明書から引用する場合，分布は正規分布とし，

例： B タイプの不確かさ 例： B タイプの不確かさ

標準器の校正の不確かさに相当する メスシリン

• 標準器の校正の不確かさに相当する，メスシリン

ダーの校正の不確かさは，校正証明書より，3.0mL． また 校正証明書を用いる場合 確率分布は正規

また，校正証明書を用いる場合，確率分布は正規 分布である．

• 温度による効果は 温度を測定している温度計が

• 温度による効果は，温度を測定している温度計が

最小目盛り1℃のデジタル温度計を用いているため，

±0.5℃で温度が分からない．

±0.5℃で温度が分からない．

±0 5℃の範囲内では どこでも同じ確率で現れるので

±0.5℃の範囲内では，どこでも同じ確率で現れるので，

矩形分布を仮定

例： B タイプの不確かさ 例： B タイプの不確かさ

• 標準器の校正の不確かさは校正証明書から値を得 るため 正規分布である またその時の除数は2で るため，正規分布である．またその時の除数は2で ある．

• 温度による効果は，矩形分布を仮定しているので、

除数は√3 除数は√3．

バジェットシート バジェットシート

記号 不確かさ要因 値 確率分布 除数 標準不確か 感度係数 標準不確かさ 記号 不確かさ要因 値

+ 確率分布 除数 標準不確か

さ 感度係数 標準不確かさ

（測定量の単 位）

u_{R 繰返し性}測定^{測定の 1.138}_mL ^{--- 1}

標準器の校正 3.0

u_s ^{標準器の校正}_{の不確かさ mL}^{3.0 正規分布}規分布 ²

u_T ^{温度による}_効果 ^0.5_℃ ^{矩形分布 √3}

u_{T 効果 ℃} ^{矩形分布 √3}

u_c( ) 合成標準不確か

さ 正規分布

U 拡張不確かさ 正規分布 (k=2)

用語について 用語について

計測標準フォーラム 計測標準フォ ラム

計量標準等トレーサビリティ導入に 関する調査研究

WG2

関する調査研究

WG2

制作：（独）産業技術総合研究所 計測標準研究部門 物性統計科 応用統計研究室 田中秀幸

不確かさに関する用語 不確かさに関する用語

JIS Z 8103-2000:計測用語より引用

•

標準不確かさ・・・標準偏差で表される，測定

JIS Z 8103 2000:計測用語より引用

表 結果の不確かさ

•

合成標準不確かさ・・・いくつかの他の量の値 から求められる測定の結果の標準不確かさ．

各量の変化に応じて測定結果がどれだけ変 各量の変化に応じて測定結果がどれだけ変 わるかによって重み付けした，分散又は他の 量との共分散の和の平方根に等しい

量との共分散の和の平方根に等しい．

不確かさに関する用語 不確かさに関する用語

JIS Z 8103-2000:計測用語より引用

拡張不確かさ 合理的に測定量に結びつ

JIS Z 8103 2000:計測用語より引用

•

拡張不確かさ・・・合理的に測定量に結びつ

けられ得る値の分布の大部分を含むと期待

される区間を定める量．

不確かさの表現 不確かさの表現

確 さ

^{れら ばら きを}

不確かさ要因

^{これらのばらつきを}

標準偏差で表す．

不確かさ要因 不確かさ要因

不確かさ要因

確

合

不確かさ要因 不確かさ要因

合成

一般的に校正証明書には

拡張不確かさ

拡張不確かさを記載する．

拡張不確かさ

例：標準不確かさ 例：標準不確かさ

• 標準不確かさは，標準偏差で表されている．

• このバジェットシートでは，「値」を「除数」で割ること によって，標準偏差を求めることが出来る．

バジェットシート バジェットシート

確率分布 除数 標準不確か 感度係数 標準不確かさ 記号 不確かさ要因 値

+

確率分布 除数 標準不確か

さ 感度係数 標準不確かさ

（測定量の単 位）

u_{R 繰返し性}測定^{測定の 1.138}_mL ^{--- 1 1.138 mL}

標準器の校正 3.0

u_s ^{標準器の校正}_{の不確かさ mL}^{3.0 正規分布}規分布 ^{2 1.5 mL}

u_T ^{温度による}_効果 ^0.5_℃ ^{矩形分布 √3 0.2887 ℃}

u_{T 効果 ℃} ^{矩形分布 √3 0.2887 ℃}

u_c( ) 合成標準不確

かさ 正規分布

U 拡張不確かさ 正規分布 (k=2)

不確かさの合成と拡張 不確かさの合成と拡張

計測標準フォーラム 計測標準フォ ラム

計量標準等トレーサビリティ導入に 関する調査研究

WG2

関する調査研究

WG2

制作：（独）産業技術総合研究所 計測標準研究部門 物性統計科 応用統計研究室 田中秀幸

目的 目的

記号 不確かさ要因 値 確率分布 除数 標準不確かさ 感度係数 標準不確かさ

（測定量 単

+ （測定量の単

位）

u_c( ) 合成標準不確

かさ 正規分布

かさ

U 拡張不確かさ 正規分布 (k=2) (k 2)

A，Bタイプの評価法を用いて算出した値から拡張不確かさを求める

不確かさ要因の単位 不確かさ要因の単位

不確かさの要因には，実際に行っている測定と同じ単位で 表されるものと，異なる単位で表されているものがある．

例：金属棒の長さ測定

同じ単位で評価された要因 異なる単位で評価された要因 測定の繰り返し

測定の繰り返し

マイクロメータの校正の 不確かさ

温度変化による影響

単位 mm 単位 ℃

不確かさ 単位：mm 単位：℃

異なる単位で表されているものはその測定量の単位 に変換しなければならない！

温度による金属棒の長さの不確かさ(mm)

これが感度係数！

温度による金属棒の長さの不確かさ(mm)

＝熱膨張係数(℃^-1)×金属棒の長さ(mm)×温度の影響(℃)

感度係数 感度係数

記号 不確か

さ要因 値

+ 確率分布 除数 標準不確かさ 感度係数 標準不確かさ

（測定量の単位）

さ要因 +

2 131 ℃ 1.46 2.131×1.46 2.131 ℃

mm/℃ =3.111 mm

求めた感度係数を書き

れる 値が 標準不確かさと感度係数を掛け 入れる．元々の値が測

定量と同じ次元の場合 は を書き入れる

標準不確かさと感度係数を掛け 合わせた値を入れる．これに

よって 測定量の次元に変換さ は1を書き入れる． よって，測定量の次元に変換さ

れた標準不確かさが求められる．

例：感度係数 例：感度係数

• 繰返し性と標準の不確かさは測定量の単位と同じである この計測における 温度を体積に変換する感度係数は 繰返し性と標準の不確かさは測定量の単位と同じである から感度係数は1．

• この計測における，温度を体積に変換する感度係数は，

体膨張率・・・ある物質が，1℃温度が変化するとどのくらい 膨張するかを割合で表した値．

液体の体積・・・体膨張率はどのくらい膨張するかを表した割 液体の体積・・・体膨張率はどのくらい膨張するかを表した割

合である．この測定で用いられている液体は，633.5 mL であったので その液体の体積を体膨張率にかけることに であったので，その液体の体積を体膨張率にかけることに よって，633.5 mLの液体の膨張量が算出される．

例：感度係数 例：感度係数

• この液体の体膨張率・・・5.23×10^-3 ℃^-1

• この液体の体積・・・633.5 mL

感度係数

5 235 23

× ×

1010 ³³ ℃℃ ¹¹

× ×

633 5 L633 5 L

感度係数・・・

5.235.23

× ×

1010^{--3 3} ℃℃^--11

× ×

633.5 mL633.5 mL

＝

＝

3.313 mL/3.313 mL/℃℃

バジェットシート バジェットシート

除数 標準不確か 感度係数 標準不確かさ 記号 不確かさ要因 値

+ 確率分布 除数 標準不確か

さ 感度係数 標準不確かさ

（測定量の単 位）

u_{R 繰返し性}測定^{測定の 1.138}_mL ^{--- 1 1.138}_mL ^{1 1.138}_mL

標準器の校正 3.0

規分布 1.5 1.5

u_s ^{標準器の校正}_{の不確かさ mL}^{3.0 正規分布 2} _mL^{.5 1} _mL^.5 u_T ^{温度による}_効果 ^0.5_℃ ^{矩形分布 √3 0.2887}_℃ ^3.313_℃ ^0.9564

u_{T 効果 ℃} ^{矩形分布 √3} _{℃ mL/℃ mL}

u_c( ) 合成標準不確か

さ 正規分布

U 拡張不確かさ 正規分布 (k=2)

不確かさの合成 不確かさの合成

標準不確かさはすべて標準偏差で表されている 標準不確かさはすべて標準偏差で表されている．

標準偏差を合成するときには二乗和の平方根を用いる．

各標準不確かさを合成し合成標準不確かさ 各標準不確かさを合成し合成標準不確かさ を求めるには標準不確かさを二乗し，足しあ わせ 平方根を取る

わせ，平方根を取る．

n 2

∑

²

1 ⁱ

c x

i

u u

=

=

∑

不確かさの合成 不確かさの合成

記号 不確かさ要 値 確率分布 除数 標準不確かさ 感度係数 標準不確かさ 記号 不確かさ要

因 値

+ 確率分布 除数 標準不確かさ 感度係数 標準不確かさ

（測定量の単位）

1 234 1.234 2.126 1 397 1.397 0.4610

u_c^c( )^{( )} 合成標準不 正規分布 2 865

確かさ 2.865

U 拡張不確か

さ 正規分布

(k 2)

さ (k=2)

もし，このような標準不確かさが得られているとするならば，ここに，

もし，このような標準不確かさが得られているとするならば，ここに，

測定量の単位に変換した標準不確かさの二乗和の平方根を書き入 れる．これが合成標準不確かさとなる．

中心極限定理 中心極限定理

標準不確かさを合成した合成標準

不確かさの分布は正規分布に近づく．

+

+ これを中心極限定理と呼ぶ

+

実際に見てみよう

標準偏差が合成標準不確かさとなる 測定結果の分布は 標準偏差が合成標準不確かさとなる，測定結果の分布は，

中心極限定理によって正規分布していると見なせる．

拡張不確かさ 拡張不確かさ

合成標準不確かさは、標準 許容差などでは ほぼこの中にすべ

合成標準不確かさは、標準 偏差として表されている．

許容差などでは，ほぼこの中にすべ ての値が入る、と言う範囲で示す．

ばらつきの平均値で 合成標準不確かさで示された範囲に ばらつきの平均値で

表されている．

合成標準不確かさで示された範囲に は約68%のものしか含まれない．

この数を包含係数と言 合成標準 確 さ 中心 合成標準不確かさを2倍すれば

この数を包含係数と言 い，kで表す．(k=2)

合成標準不確かさは，中心 極限定理により正規分布し

ると見做 る

合成標準不確かさを2倍すれば 約95%が含まれ，

今までと同じような値になる ていると見做せる． 今までと同じような値になる．

ドキュメント内 不確かさ評価について ( 独 ) 産業技術総合研究所計測標準研究部門 物性統計科応用統計研究室 田中秀幸 (ページ 57-82)