往復機械の力学再訪

往復機械の力学再訪

Slider-Crank Mechanism Revisited

森下悦生

*

Etsuo Morishita

We apply the slider-crank mechanism to piston engine and it is one of the major subjects in engineering mechanics. In this paper, we revisit the analytical method of the slider-crank mechanism, and update the description of the mechanism. It is customary that we express the displacement of a piston as a series expansion with the dominant first and the second modes of vibration. It is also cumbersome to handle negligible higher terms without computers. This is especially true in the past. Historically, we model a connecting rod as two separate lumped point masses with the moment of inertia correction. This simplifies the mechanical analysis enormously, and we can grasp the piston and the crank motions clearly. With present computational capability, however, it is very easy to model a connecting rod in a mechanically exact fashion. We compare the classical and the modern treatments of the crank-slider mechanism.

Keywords : piston, crank, mechanism

1. はじめに

本稿は、芝浦工業大学デザイン工学科の機械力学_[1] の講義項目である剛体の運動に関連するもので、往復機 械の運動について、従来の教科書_{[2],[3],[4]の記述をより} 詳細に解釈し、発展させようとするものである。 ピストン機関の機械力学的解釈には、ピストンのみを 考慮するものがあり、この扱いでは、ピストンの変位、 速度、加速度を導出することが主目的である。 つぎに、コンロッドをピストン側の往復質量とクラン ク側の回転質量に分配して、より正確な設計指針を与え ようとする立場がある。この方法は設計者にとってコン ロッドの扱いが単純明快なものとなるので、実用面から 非常に有用なモデル化である。 さらに、コンロッドの慣性モーメントの効果を含める ために、コンロッドの実際の慣性モーメントと、２質点 で近似したコンロッドの慣性モーメントの差を修正慣性 モーメントとして、慣性モーメントに伴う反力を僅かに 修正しようとする立場があり、これは技術的ではあるが より厳密な値を求めようとする立場である。 本稿では、さらに進めて教科書ではあまり記述のない コンロッドをその形状のまま扱う場合の解を示し、従来 法との差異について詳細な検討を行い、設計法の再確認 を行うことを目指す。 機械力学は古典的でよく確立された分野であるが、記 述が計算機の利用を前提としておらず、近似式での扱い が散見される。しかしながら、今日での計算機環境にお いては数式の煩雑さは問題にならず、差異は小さいもの のむしろ原形のままでの扱いが望ましい。そのような立 場で往復機関の詳細について再検討を行う。

2. ピストン

往復動を行う機械_{(reciprocating machine)で、工業上重} 要なものはピストンエンジンである。ここでは、図１の ような、無負荷のピストンの運動について説明する。図 １で、

l

：コンロッド長さ、r：クランク半径、



：コ ンロッド角度、



：回転角、

x,

y

：座標、である。

o

_x

y



r

l



図１ 往復動を行うピストン Fig.1 Reciprocating piston

幾何学的な関係より、ピストン変位をy_pとして





2 2 2 p

r

sin

l

r

cos

y







(1)

















   2 1 2 2 2 2 p cos sin cos cos r l r r y    (2)

















2 2 3 2 2 2 2 2 4 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 p

cos

sin

cos

cos

sin

cos

sin

cos

sin

cos

cos













































































































r

l

r

r

l

r

r

r

l

r

r

y

(3) 教科書等では

1

2















l

r

_{と見なして、（１）式は、}





2

2

cos

1

2

1

sin

cos

2

1

1

sin

2 2 2 p































































l

r

l

l

r

l

r

l

r

y

(4) 回転角速度



が一定の場合、

 



t

であり、









sin

2

2

1

cos

2 p p



















l

r

l

r

v

y

(5)









2

sin

2 2

cos

2

p p





















l

r

l

r

a

y

(6) (4)~(6)式とも回転角速度



のみならず

2



の変動成分 を有している。図２のように連稈比l/ r 4でさえ、 (4)~(6)式は、厳密解(1)~(3)式のよい近似を与えている。 従来の教科書に記述されているように、２次の項までで も実用上差支えないことが分かる。_{(3)式、あるいは(6)} 式がピストンの質量m_pに伴う加振力

m

_p

a

_pとなる。こ の加速度は、実際にはすべてを釣り合わせることができ ない。回転するクランク部分に、往復質量の半分を、ピ ストンが上死点なら、下死点側に取り付けて、不釣り合 いを小さくするようなことが行われる。通常

2



の成分 には対応策は無い。

3. コンロッドと等価モデル

コンロッドも質量と慣性モーメントを有し、複雑な運 動に伴う加振力が発生する。設計を簡単にするために、 コンロッドの重心と質量は同じになるよう、ピストン側 の往復質量とクランク側の回転質量の、２つの質点とし -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 90 180 270 360 450 y_p_exact y_p_approx y_p_aprrox_1st y_p_approx_2nd  [deg.] y p [m] (a) ピストン変位y_p -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 90 180 270 360 450 v_p_exact v_p_approx v_p_approx_1st v_p_approx2nd  [deg.] v p [m/s] (b) ピストン速度

v

p -1500 -1000 -500 0 500 1000 1500 90 180 270 360 450 a_p_exact a_p_approx a_p_approx_1st a_p_approx_2nd  [deg.] a p [m/s^2] (c) ピストン加速度

a

p 図２ ピストン変位・速度・加速度 (



30

mm

,



4

,

1800

rpm

r

l

r

)

Fig.2 Piston displacement, velocity. acceleration (



30

mm

,



4

,

1800

rpm

r

l

r

)

I

m

c

=

+

1

m

2

m



I

l

l

1 2

l

図３ コンロッド（左）と等価モデル（右） Fig.3 Connecting rod and lumped mass model

て分配近似することが行われてきた。この場合、慣性モ ーメントは再現されない。慣性モーメントも合わせる補 正法も知られている。後述のように、今日では、計算機 を用いて、コンロッドの重心の運動と、重心回りの回転 運動を直接解くことは容易である。 図３はコンロッドとその等価モデルを表している。図 ３において、 c 2 1

m

m

m





(7) c 2 1

l

_l

m

m 

₍₈₎ c 1 2

l

_l

m

m 

₍₉₎ 2 1

l

l

l





(10) 2 1 c 2 2 2 2 1 1

l

m

l

m

l

l

m

I







(11)

I

I

I







(12) ここで、

m

_c：コンロッド質量、

m

₁

,

m

₂：コンロッド等 価質量、l：コンロッド軸端中心間長さ、l₁：コンロッ ド重心・ピストン側中心距離、l₂：コンロッド重心ク ランク側中心距離、

I

：コンロッド慣性モーメント、

I

：等価コンロッド慣性モーメント、



I

：等価モデル 修正慣性モーメント、である。 等価モデルでは、

m

₁をピストン質量

m

_pに加わる往復 質量、

m

₂をクランク部分における回転質量と見なして、 単純化を行う。等価モデルにおいては、コンロッドの慣 性モーメントの効果は



I





I



I



0



によって生じると 考える。 設計等の場合、さらに



I

を無視して扱えば、考え方 が著しく容易なものとなるので、等価モデルは実用の面 から好まれる。

4. 運動モデル

本稿では、運動している物体も静力学のように取り扱 うダランベール的な立場で記述することにする。ただし、 各リンク部分における外力項は反力の向きを正とする。 例えば、ピストンは上死点で下向きに最大加速度をうけ るが、コンロッド小端部は、ピストンの慣性反力で上向 きに引かれる。ここでは各リンク部におけるこの反力を 外力項として扱う。従って通常の力とは逆の符号になっ ていることに留意する。

4.1 ピストンモデル

図４は、コンロッドの質量を無視した、最も簡単なモ デルである。 ピストンに作用する力の釣り合いは、 x f y f x F y F o _x o y x y  r N p p y m   l 図４ ピストンモデル Fig.4 Piston model





f

x





N



0

(13)

 

0 p p

y

 

f

y 

m

 (14) コンロッドの力の釣り合いは、 0   _x x

F

f

(15) 0   _y y F f (16) コンロッドのモーメントについて、 0 cos sin 

F

_y

l



F

_x

l





(17) ここで、

f

：コンロッド小端部（ピストン側）に作用 する力、

F

：コンロッド大端部（クランク側）に作用 する力、

N

：シリンダ壁反力、である。 (14),(16)式より、 p py m f Fy  y  (18) p

y

  の値は、_{(3)式あるいは (6)式で与えられる。} (13),(16),(17)式より、





tan tan  p P       f N F m y Fx x y  (19) 軸受に相当する回転軸中心である原点_{o に作用する力} の成分は、クランク部分に作用する力の成分と同じ



F ,x Fy



F  であり、これが筐体に作用する。 極座標系F 



F

_r,

F

_



では、









p p p P p

cos

sin

sin

cos

tan

sin

cos

y

m

y

m

y

m

F

F

F

r x y













































(20)









p p p p p p

cos

cos

cos

sin

tan

cos

sin

y

m

y

m

y

m

F

F

F

x y



















































(21)

x f y f x F y F o _x o y x y m2r2  r N l 



mpm1



yp 図５ コンロッド等価質量モデル Fig.5 Two lumped-mass model of a connecting rod

4.2 コンロッド等価質量モデル

図５は、コンロッドの質量

m

_cを往復質量

m

₁と回転質 量

m

₂でモデル化した場合を表している。 コンロッド小端部側の質点としてモデル化された往復 質量

m

₁は、ピストンの質量の増加分とみなし、





f

x





N



0

(22)



m

p



m

1

  



y



p





f

y



0

(23) 別部品と見なした、質量の無いコンロッド棒状部分の 力の釣り合いは、

0





_x x

F

f

(24) 0   _y y F f (25) コンロッドのモーメントについて、

0

cos

sin



F

_y



l



F

_x



l





(26) (23),(25)式より、



m

p

m

1



y

p

f

F

y





y











(27) (22),(24),(26)式より、









tan tan mp m1 yP F N f Fx  x  y  





(28) 次に、回転質量

m

₂が独立な部品としてクラン クに取り付けられていると見なすと、_(27),(28)式 に遠心力成分を加えて、最終的にクランク部に作 用する力は、同じ記号で





tan





2

cos



2 P 1 p

m

y

m

r

m

F

x











(29)





 sin

2



2 p 1 p

m

y

m

r

m

F

y













(30) 極座標では、





_

_

2 2 p 1 p cos sin

_







r m y m m Fr       (31)





_

_

p 1 p cos cos _{m m y} F    







 (32) x f y f x F y F o _x o y x y



mp m1



yp 2 2r m  r N l  I  y f  x f  y F  x F  図６ コンロッド修正慣性モーメントモデル Fig.6 Corrected moment of inertia model of a connecting rod

4.3 コンロッド修正慣性モーメントモデル

図６は、等価質量に加えて、実際の慣性モーメントと 等価質量による慣性モーメントとの差である修正慣性モ ーメント



Iとそれに伴う力



f,



F の効果を含めたモ デルである。修正部分の質量は考えないので、力の釣り 合いは 0





_x x F f





(33) 0





_y y F f





(34) コンロッドの重心周りのモーメントについて、







cos

sin



0

sin

cos

1 1 2 2























y x y x

f

l

f

l

F

l

F

l

I



















(35) (33)~(35)式から、









cos

l

f

F

x x















(36)

0







_y y

f

F





(37) (37)式は、数学的には定まらない値であるが、物理的に 合理的な値である。 前節の_{(22)~(28)式は成り立ち、(36),(37)式の修正分を} 加えて、同じ記号で、





_



_

cos

tan

P 1 p

m

y

_l

I

m

N

f

F

x x



























(38)



mp m1



yp f Fy y    (39) コンロッドの回転質量

m

₂の効果を加えて、再び同じ 記号で、





_

_

_



_

cos

cos

tan

2 2 P 1 p

m

y

m

r

_l

I

m

F

x





















(40)





 sin

2



2 p 1 p

m

y

m

r

m

F

y













(41) 極座標では、





_

_

l

I

r

m

y

m

m

Fr





_

































cos

cos

cos

sin

2 2 p 1 p (42)

x f y f x F y F o _x o y x y  r N l  p py m  I mc 図７ 厳密モデル Fig.7 Full connecting rod model





_

_

l

I

y

m

m

F





_





_

























cos

sin

cos

cos

p 1 p (43)

4.4 コンロッド厳密モデル

図７はコンロッドをそのまま扱うモデルである。ピス トンについて、





f

x





N



0

(44)

 

0

p p

y





f

y



m 

(45) コンロッドについて、

0

c c

x



f

x



F

x



m 

(46)

0

c c

y



f

y



F

y



m 

(47)







cos

sin



0

sin

cos

1 1 2 2





















y x y x

f

l

f

l

F

l

F

l

I











(48) (45),(47)式より、 p p

y

m

f

y







(49) c c p py m y m Fy     (50) (46),(48)式より、













cos

tan

tan

c 2 c c p p

y

m

l

_l

x

y

_l

I

m

N

fx





























(51)









cos

tan

tan

c 1 c 2 c p p

y

m

l

_l

x

l

_l

y

_l

I

m

Fx































_

_





(52) 極座標系では、



























cos cos tan tan cos cos sin sin cos c 2 c 1 c p p l I y l l x l l m y m F F Fr x y                      _         (53)































sin

cos

cos

tan

sin

sin

cos

cos

cos

sin

c 2 c 1 c p p

l

I

y

l

l

x

l

l

m

y

m

F

F

F

x y











































_

















(54) コンロッドの角度



について、幾何学的関係より、              

_



sin 1 cos l r ₍₅₅₎













cos

sin

















l

r

₍₅₆₎ 2 2

cos

cos

cos

sin

tan



















  

_































l

r

l

r

₍₅₇₎

0

,

,

















_t







_の場合、

_

_,

_

_,

_





_{も上式より定まる。} コンロッドの重心



x

_c

, y

_c



について、



cos

1 c

l

_l

r

x 

(58) p 2 1 c

l

_l

r

sin

l

_l

y

y







(59)



 sin

1 c





_r

l

l

x





(60) p 2 1 c

l

_l

r

cos

l

_l

y

y















(61)





sin





2

cos





1 c















r



l

l

x

(62)



2



2 p 1 c

l

_l

r

cos

sin

l

_l

y

y





























(63) (62),(63)式を(53),(54)式に代入して、

m

1

, m

2で表せば、

const









の場合、









          cos cos tan cos cos tan 2 1 2 c p 1 1 2 2 p 1 p l ll l r m y m l l l I r m y m m Fx                     (64)





 sin

2



2 p 1 p

m

y

m

r

m

F

y













(65)

4.5 修正モデルと厳密モデルの差異と等価性

修正慣性モーメントモデルの解は以下のようであり、







_











cos

cos

cos

tan

2 2 P 1 p

m

y

m

r

_l

I

_l

I

m

F

x



























(40)





 sin

2



2 p 1 p

m

y

m

r

m

F

y













(41) (41)式の

F

yは、厳密モデルの解(65)式の

F

yと同一であ ることが分かる。

厳密モデルの解_(64)式

F

_xの右辺第４項と第５項の和 について、









、_(8)式の

m

₁、_(11)式のI、_(57)式の



を想起して、











_

_

_

_





_





































































cos

cos

sin

cos

cos

cos

cos

tan

sin

cos

cos

tan

cos

cos

cos

cos

tan

sin

cos

cos

sin

cos

cos

cos

tan

2 2 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 p 2 1 c 2 1 2 c p 1 1 5 4 Eq.(64)_

l

I

l

I

l

r

l

I

l

r

l

r

l

I

l

r

l

y

l

l

l

m

l

l

l

l

r

m

y

m

l

l

RHS











































 





















































































































  (66) (66)式より、一定回転角速度









0

,











const

_の場合、 x

F

についても、厳密解と修正慣性モーメントモデルの 解は一致する。 (66)式では、ピストン変位

y

pについて以下の関係を 利用している。





sin

cos

p

l

r

y





(67)









sin

cos

p







_l

_r

y







(68)

















sin

2

cos

cos

2

sin

p

















_y





_l



_l



_r



_r

(69) このように、近似モデルである、図６のコンロッド等 価質量・修正慣性モーメントモデルは、一定の回転角速 度では厳密解を与えることが、解析的にも再確認できる。

0





の角速度変動がある場合、_{(66)式から、(40)式} の修正慣性モーメントモデルの

F

_xと、_{(64)式の厳密モ} デルの

F

_xとの間に差異が生じる。これは、図６におい て、等価往復質量

m

₁をピストン質量に付加し、等価回 転質量

m

₂をクランク部に別部品として取り付け、コン ロッド部を質量のない棒として、棒の運動方程式を使用 しない単純化したモデル化を行ったためである。 図７の厳密モデルにおいて、図３のようにコンロッド を等価モデルで置き換えた場合は、厳密解そのものが得 られるのは言うまでもない。

4.6 バランスウエイト

半径方向力

F

_rについて、_{(64),(65)式から、(6)式のピ} ストンの近似加速度

y

_pを利用して、

























2 2 2 2 1 p 2 2 p 1 p 2 2 p 1 p 2 1 2 c p 1 1 2 2 p 1 p sin sin sin sin cos cos cos tan cos cos tan sin cos











































r m r m m r m y m m r m y m m l l l l r m y m l l l I r m y m m F F Fr x y                                                  １回転中の平均値は、 2 2 1 p 2 m r



m m Fr          (70) (70)式より、コンロッドの等価回転質量

m

2に加えて、 その等価往復質量

m

₁とピストン質量m_pの和の半分をバ ランスウエイトに付加するという従来の設計定説はかな り正確であることが理解できる。

5. 解析例

図８をピストンとコンロッドのモデルとし、材質の密 度が





3

g/cm

3であれば、



5

5

4

4



144

g

4

3

2 2 p















m

コンロッドについて、長さl120mm、厚さ

mm

15



t

、

M

を各部の質量、とすると、 小端部



3

2



1

.

5

18

g

4

3

2 2 1













M

大端部



8

6



1

.

5

99

g

4

3

2 2 2













M

棒部分

M

_bar



3



2



6

.

5



1

.

5



59

g

    40 50 20 65 120 図８ ピストンとコンロッド _{(単位：mm)} Fig.8 Piston and connecting rod (unit: mm)

コンロッドの質量

m

_cは_,

g

175

bar 2 1 c



M



M



M



m

重心は、棒部分の中心から

y

の位置として、

mm

36

2

80

2

65

0

2

30

2

65

2 bar 1

















_

_



















_





c

m

M

M

M

y

従って。

mm

84

2

30

2

65

1







y



l

mm

36

2

30

2

65

2







y



l

コンロッド各部のそれぞれの重心周りの慣性モーメント

I

は、外半径を

R

、内半径を

r

として、 小端部 2 2 2 1 2 2 1 1

₄

18

1

.

5

₄

1



14

gcm











M

R

r

I

大端部 2 2 2 2 2 2 2 2

₄

99

4

₄

3



619

gcm











M

R

r

I

棒部分 2 2 2 bar bar



M

₁₂

h



59



6

₁₂

.

5



206

gcm

I

コンロッド重心周りの慣性モーメント

I

は、 2 2 bar bar 2 2 2 2 2 2 1 1 1

gcm

3454















y

M

I

l

M

I

l

M

I

I

両端に集中質量として再配置した等価質量は、

175

53

g

120

36

c 2 1



l

_l

m







m

175

122

g

120

84

c 1 2



l

_l

m







m

等価質量による慣性モーメントは、 2 2 2 2 2 1 1





5323

gcm



m

l

m

l

I

e 修正慣性モーメントは、 2

gcm

1870











I

I

I

_e クランク半径

r



30

mm

として、連稈比は、

4

30

120 



r

l

図 ９ に お い て 、 コ ン ロ ッ ド を 厳 密 に 扱 う 場 合 (piston+conrod) と 、 修 正 慣 性 モ ー メ ン ト モ デ ル (piston+mass+del_I)を比較すると、前述のように

F

_yは等 しく、また

F

_xについても回転数が一定の場合は等しく なる。また、コンロッドの慣性モーメント補正を行わな い、等価質量モデル_{(piston+mass)でも、}

F

_yは殆ど正確 であり、

F

_xに若干の差異が認められるのみである。 図１０で

F

_rは半径方向力であり、この成分に対抗し -300 -200 -100 0 100 200 300 400 90 180 270 360 450 F_x_piston F_x_piston+mass F_x_piston+mass+del_I F_x_piston+conrod [deg.] F x [N] (a)

F

x -300 -200 -100 0 100 200 300 400 90 180 270 360 450 F_y_piston F_y_piston+mass F_y_piston+mass+del_I F_y_piston+conrod [deg.] F y [N ] (b)

F

y 図９ 慣性力に伴う荷重

F ,

_x

F

_y （図８のモデルを1800rpmで回転）

Fig.9 Inertial force components

F ,

x

F

y (1800rpm in Fig.8)

0 100 200 300 400 90 180 270 360 450 F_r_piston F_r_psston+mass F_r_piston+mass+del_I F_r_piston+conrod [deg.] F r [ N ] (a)

F

r -200 -100 0 100 200 90 180 270 360 450 F_theta_piston F_theta_piston+mass F_theta_piston+mass+del_I F_theta_piston+conrod [deg.] F  [N ] (b)

F

 図１０ 慣性力に伴う荷重

F

_r

,

F

_ （図８のモデルを1800rpmで回転）

図１１ バランスウエイト （図８のモデルを1800rpmで回転） Fig.11 Balance weight (1800rpm in Fig.8)

てバランスウエイトを設置する。一定回転数の場合、コ ンロッドのモデル化による差異は無い。

F

_は駆動に必 要な接線方向力であり、負の場合に外部からの力が必要 であり、正の場合は外部に仕事を行うという理解になる。 

F

については、コンロッド質量の影響が

F

_rより小さい ことが分かる。 図１１は、設計上の定説であるピストン往復質量の半 分を回転バランスに割り当てるというハーフバランスの 効 果 を 示 し た も の で あ る 。 バ ラ ン ス ウ エ イ ト を



m

p



m

1



/

2



m

2とすれは、ほぼ平均値

F

rに等しく、 合理的であることが分かる。

6. エネルギ収支

(54)式の接線方向力

F

に

rd





r





dt

をかけて、クラ ンク部におけるエネルギ収支は次式のように書ける。





0 sin cos cos tan sin sin cos cos c 2 c 1 c p p               _      dt r l I dt r y l l x l l m dt r y m dt r F





























             (2)式のyp、(56)式の



、(60),(61)式のx c, ycを代入して、







T



mpypypmc xcxcycyc I











dt0 摩擦の無い理想的な系を扱っており、括弧内の運動状態 における刻々の仕事率収支は以下のようになる_[2]。 0 v v 2 2 c c c p p p                                dt d dt d I dt d m v dt dv m T







(71) ここで、

t

：時間、T：トルク、v_c：コンロッド重心 の速度ベクトル、 ,ij：単位ベクトル、であり、 r F T   (72) j i vc xc yc (73) (71)式第１項はクランク部での仕事率、第２項はピスト ンの仕事率、第３項括弧内はコンロッドの仕事率であり、 括弧内の最初の項はコンロッド重心の並進運動に伴う仕 事率、最後の項は重心周りの慣性モーメントに伴う仕事 率である。各項とも１周期の平均は当然０である。 -800 -600 -400 -200 0 200 400 600 800 90 180 270 360 450 Torque*omega  [deg.] Po w er [W ] 図１２ 慣性力仕事率収支 （図８のモデルを1800rpmで回転） Fig.12 Inertial power balance (1800rpm in Fig.8)

-800 -600 -400 -200 0 200 400 600 800 90 180 270 360 450  [deg.] Piston inertial power [W] 図１３ ピストン慣性力仕事率 （図８のモデルを1800rpmで回転） Fig.13 Inertial power of a piston (1800rpm in Fig.8)

-800 -600 -400 -200 0 200 400 600 800 90 180 270 360 450 conrod_total conrod_displacemet conrod_rotation  [deg.] Conrod inertial power [W] 図１４ コンロッド慣性力仕事率 （図８のモデルを1800rpmで回転）

Fig.14 Inertial power of a connecting rod (1800rpn in Fig.8) 0 100 200 300 400 90 180 270 360 450 F_r_piston_conrod F_r_half_balance F_r_piston_conrod_average F r [N ] [deg.]

(71)式から、エネルギ保存則の積分形は、 const 2 1 2 1 2 1 2 2 c c 2 p p       _   _{mv mv I}



 L (74) ここで、





dt F_rd T L







(75) であり、クランク部分でのエネルギ出力である。 図１２の、ピストンとコンロッドの合計の慣性力仕事 率が正の値の場合、クランク部から同じ値の動力が加え られ、逆の場合は、ピストンとコンロッドがクランク部 に動力を与えるという理解になる。一回転中の収支は０ である。可逆過程としているためこのような解となる。 図１３、図１４のピストンとコンロッドのそれぞれの 並進運動では、上死点から中点くらいまではクランク部 から動力を得て、中点から下死点に向かって動力を放出 している。下死点から上死点に向かっては、同じことを 繰り返している。コンロッドの回転運動では並進運動と 仕事率の正負が逆であることは興味深い。

7. むすび

往復動機関の無負荷時の機械力学について、ピストン のみ、ピストンと往復質量と回転質量で近似したコンロ ッド、コンロッドの慣性モーメント補正、コンロッド形 状そのまま、という４つのモデルを比較した。 従来教科書ではあまり解説が見受けられないが、コン ロッド形状をそのまま扱う厳密解を導出した。今日の計 算機環境下では、その活用は容易である。 教科書では、コンロッドを往復質量と回転質量に分け、 後で慣性モーメント補正を加える設計が推奨されている。 この手法は、ピストン運動方向慣性力については厳密解 と同じであり、直交方向も定速回転では厳密解と同じ値 を与える。等価質量をコンロッドに付随させて考えると、 当然ながら厳密解そのものを与えることも再確認した。 コンロッドを往復質量と回転質量のみで近似した場合 でも、厳密解との差異は工業的な視点では無視できる程 度であり、設計的には理解し易いため、実用上極めて優 れた近似であると結論できる。 往復機械のバランスウエイトで、コンロッドの等価往 復質量も含めたピストン質量の半分を回転側で釣り合わ せるという定説は、定量的にもほぼ正確であることも確 認できた。

参考文献

[1] 芝浦工業大学デザイン工学科シラバス(2015) http://syllabus.sic.shibaura-t.ac.jp/syllabus/2015/dsn/87445.html?Y00 [2] 亘理厚, 『機械力学』,共立全書(1998) [3] 渡部一郎, 『内燃機関』,コロナ社(1970) [4] 日本機械学会編, 『A3 力学 機械力学』, 日本機械学会 (1985) [5] 東京大学応用物理学教室編, 『力学』, 東京大学出版会 (1966)

付録 A：摩擦を含めたモデル化

付図１の摩擦力を含むモデルでは、ピストンについて、



 fx



N0 (A1)





 

0 p py   N   fy  m 



_(A2)



 p







 



0   N M N a





(A3)

 

sgn

 

p sgn



 y (A4) コンロッドについて、 0 c cx  fxFx m  (A5) 0 c cy  fyFy m  (A6)







cos sin



0 sin cos c p 1 1 2 2             M M f l f l F l F l I y x y x











 (A7)

 







_sgn   p b M  (A8)

  











_  _   sgn c c M (A9) ここで、a：ピストン半径、b：ピストンピン半径、 c：クランピン半径、M_p, M_c：各ピン摩擦トルク、



：反力位置、



,



：摩擦係数、である。解は、









































































cos

cos

tan

tan

tan

1

1

c p c c c 2 P p

l

M

M

l

I

y

x

m

l

l

y

m

N

f

x

















(A10)





                   



















cos cos tan tan 1 tan 1 p c c c c 2 p p l M M l I y x m l l y m fy _       (A11)









































































_

_

























cos

cos

tan

tan

tan

tan

1

1

c p c 2 c 1 c P p

l

M

M

l

I

y

l

l

x

l

l

m

y

m

F

x

















(A12)











































 







































cos

cos

tan

1

tan

1

tan

1

1

tan

1

1

c p c 1 c 2 c p p

l

M

M

l

I

y

l

l

x

l

l

m

y

m

Fy

















(A13)





                        _               _          



























































cos cos cos tan 1 tan 1 tan tan tan tan tan 1 cos tan tan tan 1 cos cos sin tan 1 1 sin cos c p 1 2 c c 2 1 c c p p l M M l I l l l l y m l l l l x m y m F F Fr x y         (A14)





                 _                                 



























































 cos cos cos tan 1 tan tan tan tan 1 tan 1 cos tan tan tan tan 1 cos cos cos tan 1 1 cos sin c p 1 2 c c 2 1 c c p p l M M l I l l l l y m l l l l x m y m F F F x y         (A15) x

f

M

a

_

p







(A16) 

F

F

r

,

を付図２に、ピストン側面反力

N

とその作用 位置



を付図３に示す。摩擦が大きい程、

F

_の平均値 は負の側にずれて、外部からの仕事を要する。ピストン 上昇時と下降時で反力位置が反転するが、_{(A16)式右辺} 第１項が支配的で、ピストン運動方向の変化による摩擦 力の向きの逆転に伴うものである。

付録 B：オイラーの運動方程式

紙面に垂直な回転角速度ベクトル

Ω 



k

を有するコ ンロッドに固定した座標を_{*で表し、作用するモーメン} トが

N

の場合、オイラーの運動方程式は_[5]、

N

L

Ω

L

*







dt

d

_(B1) 角運動量は

L



 

I



k

なので、左辺第２項は０となる。 x f y f x F y F o _x o y x y  r N l  p py m  I mc N  p M c M  付図１ 摩擦のあるモデル Fig. A1 Piston and connecting rod with friction

-300 -200 -100 0 100 200 300 400 90 180 270 360 450  [deg.] F [N ] _F Fr 付図２ 摩擦の影響（実線：摩擦有、点線：理論値）

5

.

0









、ピストンピン





10

mm





2

b



、クラン クピン





20

mm





2

c



（図８のモデルを1800rpm で回転）

Fig.A2 Effect of friction (line: with friction, dotted line: no friction)









0

.

5

, piston pin





10

mm





2

b



, crank pin





20

mm





2

c



(1800rpm in Fig.8）

-60 -40 -20 0 20 40 90 180 270 360 450  [deg.] N [N] [ m m ]  N 付図３ ピストン側面反力

N

と作用位置



（図８のモデルを1800rpmで回転） Fig. A3 Piston side reaction

N

and the reaction point



(1800rpm in Fig.8)