式の計算

(1)

第２学年○組数学科学習指導案指導者 ○○○ ○○○ １単元名式の計算２指導観 ○ 本単元は、１年時の「文字と式」の発展教材である。単項式、多項式、次数、同類項などの理解を元に、一元一次式の和や差の計算が、一元二次の多項式で同類項の考え方を用いて和や差の計算や、一次式の単項式や多項式と数の乗除が、単項式が２つ以上の乗除の計算にと発展する。本単元では、このような数量及び数量の関係を帰納や類推によって発見的にとらえ、文字を用いて一般的に表現し説明したり、その意味を読み取ったりする力を養う。これらのことは、２学期からの証明の学習を行うにあたって大切な考え方であり、三年での「式の展開と因数分解」につながる内容でもある。 ○ 現２年生には、１年の３学期終了直前に、現３年生が１年前６月に受けた平成２８年度の福岡県学力調査問題（１年の学習内容）のテストを実施した。次に、本単元に関連した内容の正答率を示す。（次の結果の ○％／△％の ○は、現２年が３月実施、△は現３年が昨年６月実施の正答率である。）問題正答率箱に入ったすべてのノートを何人かの生徒全員に配－９－（－４）の計算９２％／８９％るのに、１人に２冊ずつ配ると３冊余ります。また、４冊ず６（２a＋３）－３（ａ＋４）の計算【※１】５４％／７６％つ配ると５冊足りません。生徒の人数を求めるために、 χ＝５のとき、式－χ＋３の値７７％／８６％生徒の人数をχ人として、方程式を作りなさい。一次方程式４χ＋７＝－１（考え方）方程式を作るためにχを使って、上の問題の数量４χ＝－１－７のうち、 ① を２通りの式で表すと、２χ＋３と ② にな４χ＝－８･･･① ７７％／７８％ります。この２つの式は等しいので、正答率 χ＝－２・・・② 方程式は、２χ＋３＝ ② です。 ①８％ ①から②へ変形して良い理由正答①箱に入ったすべてのノートの冊数／７４％エ ①の式の両辺を４でわっても等式は【※２】 ② ６２％成り立つから、②の式へ変形してよい。 ②４χ－５／７９％（１）正答はエ正答率６２％／３９％

(2)

（２）正答・最初に碁石が６個ある。次に横に（ｎ－１）個並んだまとまりが、３つある。正答率○％（○人）／○％（○人）【※２】（２）の誤答・最初に碁石が６個ある。が書けていた。 ○ ○％（○人） ○％（○人）・最初に碁石が６個ある。が書け、次に横にｎ個並んだまとまりが、３つある。と解答。 ○ ○％（○人）／○％（○人）これらのことから、文字式のかっこのある計算が弱い【※１】こととともに、特に、文字式を正しく読み取る力が弱い【※２】【※３】ことが分かる。 ○ 本単元の内容の指導にあたっては、まず、単項式と多項式の区別ができるよう項の和と次数に着目させ、

ｎ

次式について理解させる。３

x

＋５

ｙ

を二次式と考えてしまうことが予想されるので、

x

２_＋

x

_{の式と比較させながら指導していく。} 式の和や差の計算では、まず、１年時の文字式の計算の既習事項を振り返らせることで、文字の部分が全く同じである同類項に着目させる。次に、計算できる項が、区別できるように印をつけ、途中計算をかかせることで、計算の手順を理解できるように説明する。また、

x

と

x

２が計算できない生徒については、面積図を利用することで認識を図りたい。単項式の乗法や除法の計算では、和や差と同様に１年時の内容に帰着し、同じ文字が出てくれば累乗の形を指数で表現できるようにさせる。特に、除法の分数の表記の時、逆数を用いて乗法にかき直させることで確かな計算力を身に付けさせたい。さらに、活用の内容として、日常生活と結びつく場面を教材化して、生徒の興味関心を高めさせたい。また、全国学力状況調査で出題された問題を教材化し、類似した問題を取り扱うことで、数量及び数量の関係を帰納や類推によって発見的にとらえ、文字を用いて一般的に表現し説明したり、その意味を読み取ることができるように指導していく。単元全体を通して、研究テーマにもとづいて次の工夫を行っていく。 (1)学習課題をつかみ、思考をゆさぶる発問や教材提示の工夫について・学習課題をつかませるために、ＩＣＴを活用して、対比できる２つの場面を比較させたり、アニメーションを見せるなど効果的な教材提示の工夫を行う。・活用の問題は、身近な日常生活の中にある問題をモデル化し、解決に文字式が役立つ場面を取り扱う。・自分の考えを根拠をもとに説明できる場を設定する。考えが２つ以上ある場合、比較し、それぞれの良さについて考える。 (2)ＩＣＴを活用した指導方法の工夫について・導入では、学習課題をつかませたり、前時の復習として活用する。・展開では、考えを練り上げたり、発表したり、練習問題を解いたりする場面などでの活用をする。・パソコンや電卓を計算の道具として必要に応じて活用をする。３目標具体的な事象の中に数量の関係を見いだし、それを文字を用いて式に表現したり、式の意味を読み取ったりする能力を養うとともに、文字を用いた式の四則計算ができるようにする。

(3)

ウ目的に応じて、簡単な式を変形すること４単元の評価規準

数学への関心・意欲・態度

ア

数学的な見方や考え方

イ

数学的な技能

ウ

数量や図形についての知識・理解

エ学 ① 第１学年で学習した ① 簡単な多項式の加 ① 簡単な多項式の加減、 ①単項式､多項式､次数､同習文字式の計算と関連減、多項式に数をかけ多項式に数をかける計類項などの意味を理解し活付けて、文字式の計る計算、単項式の乗除算、単項式の乗除などている。動算のしかたを考えようなどを、既習の計算法ができる。 ② 多項式の加減、多項式にとしている。則と関連付けてとらえ ② 文字が２つある式を簡に数をかける計算、単項即 ② 文字式によって関係ることができる。単にしてから式の値を式の乗除の方法についしや法則が簡潔かつ一 ② 数量及び数量の関係求めることができる。て理解している。た般的に表現できるこを帰納や類推によって ③文字を用いた式の意味 ③ 文字式で数量及び数量評とに関心をもち、目的発見的にとらえ、文字を読み取る。の関係をとらえ一般的に価に応じて式を変形しを用いて一般的に表 ④特定の文字について解説明することの必要性と規たり、読み取ったりし現し説明する。くなど、目的に応じて等意味を理解している。準ようとしている。式を変形することができ ④等式の変形の意味やよさる。を理解している。５指導と評価の計画（１６時間）配時指導内容・学習活動指導上の留意点評価規準・評価方法１次・数学用語や式の分類、次数の理解をさせる。・多項式の次数は、それぞれの項の次数をかかせア① (７) ○文字式について、式の形や、かけあわされた文字た上で考えさせる。エ① の個数に着目して調べる。ノート、発言・同類項を分配法則を使って１つにまとめさ・文字の部分が同じ項に同じ印をつけてから計算ウ① せる。させる。エ② ○同類項をまとめて計算をする。・5ａ2_{と6ａのように同じ文字を使っていても次数が異} ノート、発言なる場合など、間違えやすい例を示して知識の定小テスト着を図る。・多項式の加法、減法の計算ができるようにさせ・第１学年で学習した文字式の計算を取り上げ、復イ① る。習の機会を設ける。また、 x の項と y の項は１つ ウ① ○多項式の加法、減法は、かっこのはずし方に注にまとめられないことを、面積図などを用いて説明ノート、発言意して同類項を計算する。する。小テスト・多項式の減法は、ひく方の式のすべての項の符号を変えて加えればよいことをおさえる。・かっこをはずしたり通分をしたりする場面での具体的なまちがいを例示して注意を促す。（分数の答えに約分が必要なときなど）・単項式どうしの乗法、除法の計算ができるようにさ・係数が正の数である単項式どうしの乗法についウ① せる。て、面積図を使って考えさせる。エ② ○単項式どうしの乗法、除法は、すべて除法を乗法・単項式どうしの除法について、逆数の考え方を用ノート、発言になおして計算する。いて乗法になおして考えさせる。小テスト・式の値を求めることができるようにさせる。・式を簡単にしてから代入すると計算しやすくなるウ② ○式の値を求めるとき、式を簡単にしてから代入すことに気づかせるために、そのまま代入した計算ノート、発言る。と比べさせる。小テスト

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配時指導内容・学習活動指導上の留意点評価規準・評価方法２次・数量及び数量の関係をとらえ、文字式を使って・章の扉（教科書P.11）を振り返り、文字を使って一ア② (７）説明させる。般的に表したり説明したりする意味を考えさせる。エ③ ○整数の性質を予想し、文字を用いた式を活用し・２ｍのｍに具体的な整数を代入するといつも偶数ワークシートて確かめる。になることの他に、奇数の場合なども確認する。・数の性質を帰納的に見いだせるように、具体的な数値でじっくり考えさせる。・数量及び数量の関係をとらえ、文字式を使って・連続する３つの整数ｍ、ｍ＋１、ｍ＋２、イ② 説明させる。連続する３つの偶数２ｍ、２ｍ＋２、２ｍ＋４、ウ③ ○連続する３つの整数の和には、どんな性質があ連続する３つの奇数２ｍ－１、２ｍ＋１、２ｍ＋３ワークシートるかを予想し、文字を使った式を活用して確かなど表し方を確認する。める。・数量及び数量の関係をとらえ、文字式を使って・２けたの整数Ａ１０χ＋ｙ、十の位の数と一の位イ② 説明させる。を入れかえた２けたの整数Ｂ１０ｙ＋χ など表ウ③ ○２けたの整数Ａとその十の位の数と一の位を入し方を確認する。ワークシートれかえた２けたの整数Ｂの和には、どんな性質があるかを予想し、文字を使った式を活用して確かめる。・数量及び数量の関係をとらえ、文字式を使って・まず、半径が具体的な整数においてどのようにイ② 説明させる。考えればよいか、いくつか確認する。それから、ワークシート ○円周と、内部に内接する２つの接する円の長さ半径を文字に置き換えて考えさせる。の関係について予想し、文字を使った式を活用して確かめる。・数量及び数量の関係をとらえ、文字式を使って・まず、半径が具体的な整数においてどのようにイ② 本時説明させる。考えればよいか、いくつか確認する。それかワークシート 6/7 ○トラックの第１コースと第２コースの差と円の半径ら、半径を文字に置き換えて考えさせる。様相観察の関係について予想し、文字を使った式を活用して確かめる。・等式を指定された文字に変形する。・符号の変化に注意させながら、丁寧に移項させウ④ ○等式の性質を利用して、等式を変形する。る。エ④ また、Ａ＝Ｂならば、Ｂ＝Ａであることも確認する。ノート小テスト３次単元のまとめの問題を解く・単元末テストの結果をもとに、これまでの評価結イ①② （２）果を補正する。ウ①②③④ ６本時平成○○年５月○○日（○）第５校時（１）主眼・トラック１周の各コースの長さを求める活動を通して、各コースのスタート位置は何mずらせばよいか、文字式を使って根拠をもとに説明することができる。（２）本時の指導上の工夫（研究主題に係る工夫） ①思考をゆさぶる発問や教材提示の工夫

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ｍずらせばよいことを確認できている。そこで本時は、ビデオを使って、「今年は、半径が１５ｍのトラック（Ｂ）に変えたいんだけど、スタートの位置は、何ｍずらしたらよいのだろう？」の問いを投げかける。ここで生徒には、具体的数字を求めるのではなく、まずは、４択アＢが長いイＢが短いウ同じエこの条件では決まらないの中からどれかを予想させる。・具体的数字でトラック（Ｂ）の長さを求めることで、４択のどれが正しかったか、予想を修正する。・１０ｍ、１５ｍときは、どちらもスタートの位置は６．２８ｍずらせばよかったけど本当にいつもそうなるのか、文字を使って根拠をもとに説明を考えさる。 ②ＩＣＴを活用した指導方法の工夫・トラックの長さを求めるときは、電卓を活用させる。・電子黒板を用いてスタートの位置は、円の半径に関係なく、つねに６．２８ｍずらせばよいことを確認する。・発表するときには、ワークシートを電子黒板に映す。・電子黒板をまとめのプレゼンに活用する。（３）準備タブレット電子黒板実物投影機ワークシートトラックの図Ａ、Ｂなど黒板掲示用プリント（4）本時の展開学習内容・活動指導上の留意点○手立て◇評価１．前時の学習内容を振り返り、本時の学習課題・からめあてをつかむ。（１）学習課題をつかむ。 ○学習課題のビデオを映す。【学習課題】もうすぐ、運動会。村田先生は、ふと思った。つ「去年、描いた（１周１５０ｍの）トラックは、半径１０ｍの円（Ａ）だったから、かスタートの位置は、ｍずらせばよかったんだけど、今年は、半径１５ｍのむ円（Ｂ）にしてみよう。でも、スタートの位置を？？？ｍずらせばよいのだろうか。アＢが長いイＢが短いウ同じエこれだけでは決まらない

１５ｍ

Ｂ

Ａ

１０ｍ

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学習内容・活動指導上の留意点○手立て◇評価（２）めあてをつかむ。・トラックＡは、スタートの位置をどのコー・全員に予想させ、人数を確認する。スも６．２８ｍずらせばよかった。半径を変えたトラック（Ｂ）は、スタートアトラックＢが長い人の位置をずらす長さは、６．２８ｍよりイトラックＢが短い人長くなる？それとも短くなるか？ウ同じ人か考える。エこれだけでは決まらない人２．学習課題に取り組む。追求す（１）前時のトラックＡの求め方を利用して、 ○ 電子黒板にワークシートを映し出し、生徒に入力るトラックＢの長さを求める。させる。・左右の半円は、移動させると円になる。 ○ 生徒記入表示用とエクセル計算表示用を準備す・上、下の直線部分は、同じトラックでは、る。セパレートコースに関係なく長さは同じである。（・前時に半径が１０ｍのトラック（Ａ）において、セ第１コースの長さの求め方パレートの幅が１ｍのとき、スタートの位置はつね半円２つ分１５×２×３．１４＝９４．２に６．２８ｍずらすことを確認できている。）直線２つ分１５０－９４．２＝55.8 １周９４．２＋55.8＝１５０ ○ ワークシート「陸上トラックのセパレートコース：半第２コースの長さの求め方径１５ｍ」にそって、円周率を３．１４とし、電卓を半円２つ分１６×２×３．１４＝１００．４８使用しながら空欄を記入させる。１周１００．４８＋55.8＝１５６．２８第３コースの長さの求め方 ○計算結果の確認をペアでさせる。半円２つ分１７×２×３．１４＝１０６．７６１周１０６．７６＋55.8＝１６２．５６ ○ 生徒記入表示用とエクセル計算表示用を準備す第４コースの長さの求め方る。半円２つ分１８×２×３．１４＝１１３．０４１周１１３．０４＋55.8＝１６８．８４・トラック一周＝円周＋直線部分

めあて

トラックのセパレートコースをひくときの秘密を探ろう

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学習内容・活動指導上の留意点○手立て◇評価前時に記入したワークシート本時のワークシート半径１周コース幅スター半径１周コース幅スター（ｍ）１０１５０１ト位置（ｍ）１５１５０１ト位置円周直線１周のずれ円周直線１周のずれ第１ 62.8 87.2 150 第１ 94.2 55.8 150 6.28 6.28 第２ 69.08 87.2 156.28 第２ 100.48 55.8 156.28 6.28 6.28 第３ 75.36 87.2 162.56 第３ 106.76 55.8 162.56 6.28 6.28 第４ 81.64 87.2 168.84 第４ 113.04 55.8 168.84 ３．学習プリントから分かることをまとめる。 ○ 半径が、他の値のシミュレーションをみせながら、半径に関係なく、スタートの位置は、つねにつねに６．２８ｍということを説明するにはどんなこ６．２８ｍ（≒２π）ずらせばよい。とをする必要があるかを考えさせることで、文字を（条件：コースの幅が１ｍのとき）使う必要性に気づかせる。４３について根拠をもとに考えをまとめる。・支援が必要な生徒には、内側の円の半径を・文字式を使って、根拠をもとに説明を考える。ｒｍとすると、外側の円の半径が ○ ○ ｍと表表せるか、等のヒントを与える。現 ◇イ－② Ａ式で表せ、説明がかける。すＢ式で表せる。または、説明がかける。る（ワークシート）〈生徒の考え〉・直線部分も入れた考え方・円の部分のみでの考え方直線の片側の長さをａｍとする。また、内内側の円の半径をｒｍとすると、外側の円側の円の半径をｒｍとすると、外側の円の半の半径が（ｒ＋１）ｍと表せる。径が（ｒ＋１）ｍと表せる。２π（ｒ＋１）－２πｒ 2a＋２π（ｒ＋１）－（２ａ＋２πｒ）＝２πｒ＋２π－２πｒ＝２a＋２πｒ＋２π－２ａ－２πｒ＝２π ＝２π これは、ｒ（半径）に関係なく、スタートの位置これは、ａ（直線の片側の長さ）やｒ（半径）には、つねに２πmずらせばよいことを表してい関係なく、スタートの位置は、つねに２πｍずらる。せばよいことを表している。（※条件：コースの幅が１ｍのとき）（※条件：コースの幅が１ｍのとき） ○２つの考え方が出たときは、対比させる。

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学習内容・活動指導上の留意点○手立て◇評価５．自分の考えを発表する。 ○必要に応じて実物投影機を活用する。６．評価問題を解く ○本時の学習内容を想起させるま今日のトラックの学習課題で、セパレート ○図に必要なことを記入させる。とコースの幅を２ｍに変えたとき、スタートのめ位置は何ｍずらせばよいか、予想をたて、見 ◇イ－② る通しを持ち根拠をもとに説明をかく。Ａ式で表せ、説明がかける。・２π（ｒ＋２）－２πｒＢ式で表せる。または、説明がかける。＝２πｒ＋４π－２πｒ（ワークシート）＝４π これは、ｒ（半径）に関係なく、スタートの位置は、つねに４πmずらせばよいことを表している。７．本時の学習についてまとめる。 ○まとめ用のプレゼンを活用する。・コースの幅が１ｍのとき、円の半径に関係なく、スタートの位置は、つねに２ π ｍずらせばよい。・同様に２ｍのときは、４πｍずらせばよい。