数量化理論第III類におけるケースの数量化についての一考察
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(2) . 昭和 ５３年２月 Ｆｅｂｒｕａ ｒｙｌ９７８. 北海道教育大学紀要 （第２部Ａ） 第２８巻 第２号. ｌｏ ｉｄｏ Ｕｎ ｉｖｅ ｉ ｉｏｎ（Ｓｅｃ ｉｏｎｌ ｌ ｆＨｏｋｋａ ｔｙｏｆＥｄｕｃａ ＩＡ）Ｖｏ ｔ ｔ Ｊｏｕｒｎａ ｒ ｓ ，２８ ．２ ，Ｎｏ. １ １類におけるケースの数 量化についての－考察 数量化理論第１ 坪. 内. 昭. 夫. 北海道教育大学旭川分校数学教室 Ａ Ｎｏｔｅ ｏｎ Ｑｕａｎｔ ｉｆｙｉｎｇ ｔｈｅ ＣＡＳＥＳｉｎ ｔｈｅ Ｔｈｅｏｒｙ ｏｆ Ｑｕａｎｔ ｉｆ ｉｃａｔ ｉｏｎ ｉｎ ｔｈｅ Ｃａｓｅ ｗｈｅｒｅ ｎｏ ｏｕｔｓ ｉｄｅ Ｃｒ ｉｔｅｒ ｉｏｎ Ｅｘｉｓ ｔｓ Ａｋ ｉｏ ＴＳＵＢＯＵＣＨＩ Ａ ｉｋａｗａＣｏ ～ ｌ ｉ ｔｈｅｍａ ｔ ｌ ｌ ｔｏ ｉｄｏ Ｕｎ ｉｖｅ ａ ｃｓＬａｂｏｒ ｉ ｆ Ｅｄｕｃａ ａ ｒｙ ｔｙｏ ｉ ｅｇｅ ｔ ｒ ｓ ｏｎ ， ｓａｈ ，Ｈｏｋｋａ Ａｓａｈ ｉｋａｗａ０７０. Ａｂｓｔｒａｃｔ ｉｃａｔ ｌｎｔｈｅ ｔｈｅｏｒｙ ｏｆ ｑｕａｎｔｉｆ ｉｏｎ ｉ ｉ ｉｏｎ ｅｘｉｓ ｉｄｅ ｃｒ ｔｅｒ ｔｓ ｎ ｔｈｅ ｃａｓｅ ｗｈｅｒｅ ｎｏ ｏｕｔ ｓ ａｖｅ ｅｘ‐ ， ｗｅ ｈ ‐. ｉｎｅｄｔｏ ａｓｓｉｇｎ ｘｊ（ ２ ｊ；１ ａ ｉ ２ Ｐ１ 二 ＝１ ）ｔｏｔｈｅ ＴＹＰＥＳ ， ，…， ｍ）ｔｏｔｈｅＩＴＥＭ‐ＣＡＴＥＧＯＲ工ＥＳ ａｎｄ ｙご（ ，…，１ ， ｉ ｔｏ ｍａｘｉ ｌ ｉ ｈｅ ｃｏｒｒｅａｔｏｎ ｃｏｅｆ ｆ ｉ ｉｅｎｔ ｂｅｔｗｅｅｎ ｘ ａｎｄ ｙ（Ｈａｙａｓｈ ｒ ｌ ｌｚｅｔ ｉ 〔１９５６〕 Ｈｏ ｉ 〔１９６３〕 Ｙａｓｕｄａ ｃ ｒ ，. 〔１ ９６９ 〕） ．. ，. Ｎｅｖｅｒｔｈｅ ｌ ｉ ｅｓｓ ｉ ｌ ｉ ２ ｎｔｈ ｓ ｐａｐｅｒ Ｗｅ ａｓｓｉｇｎ ｄ ニ ニー ｒｅｃｔ ｙ ｙご（ ，ｉ ， ，…，ｎ）ｔｏｔｈｅ ＣＡＳＥＳ，ａｎｄｔｈｅｎ ｗｅ ｈａｔｔｈｅ ｅｘｐｌａｎａｔ ｉｏｎ ｏ ｆｔｈｅｉｄｅａａｎｄｔｈｅ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ ｍｏｄｅ ｓｈｏｗ ｔ ｌｉｎｔｈｅ ｍｅ ｔｈｏｄ ｂｅｃｏｍｅ ｍｏｒｅ ｉｓｔｅｎｔａｎｄ ｓ ｉｍｐｌ ｃｏｎｓ ｅ．. １. 序. 教量化理論第ｍ類 － 外的基準のない場合の数量化 の方法 －－ の考え方とモデルの構成がはじ ２ ）は こ の 分 析 法 を テ レ ビ と ラ ジオ めて示されたのは， 林 〔 １ ９５６ １に お いて であ る． 堀 〔１９６３〕（ ， ，. の番組の噌好分析に適用した報告であるが， そのなか でこの数量化法の操作的な考え方とモデルの ３に おいては モデルの数式が展開さ れより詳 構成に ついて説明を行なっ ている． また安田〔 １９ ６９ 〕（ ， 細な計算過程が示されている． これらの文献は， 数量化理論第１ １ １類の操作的な考え方とモデルの構. 成について説明したものとしては， 代表的なものと考えてよ いであろう ． 数量化理論第ｍ類モ デルは， アイテム・カテゴリー （要因におけるカテ ゴリー 以下カテ ゴリー ， と略す） とケース （個体） とを， 外的基準のないまま にその反応パターンのみに基づいて同時に数 量化し， データのもつ 潜在的な構造を探り出そうとするもの である ． この数量化法を説明するに際して上述の文献ではすべ て， 同じ反応を示すケースを グルーピン グ して反応タイ プとよ び（または個体タイ プとよび） ， タイ プＸカテ ゴリーの反応パター ンに基づいて. 理論の操作的な考え方 が説明され， タイ プとカテ ゴリーとの相関係数を最大にするということでモ デルの構成が行な われている． しかし数量化の実際においては， 反応タイ プ自体を問題に しているわけ ではなくカテ ゴリーと. ケ ー ス を 数 量 化 す る の であ る か ら， ケー ス を 反 応 タ イ プ に グ ルー ピ ン グ す る こ と な く 直 接 に ケー （７１）.
(3) . ｆ 平 内 昭 夫. スＸカテ ゴリーの反応 パターに基づいて操作し， モデルの構成をする方が便利な筈 である． ４ ）がある しかしそこ ６２ 〕（ 個体 （ケース） を直接的に取り扱っ ていると思われるものに， 高倉 〔１９ ． では， 個×要因の反応パターン （正確には個体×カテ ゴリーの反応 バター ンとすべき である） を用 ２を ｍａｘ とする要因の数量ｘを求める事 で いてはいるが， 「個体を夫々層として見た時の相関比 “ ， １類モデルを適用 して第ｍ類モデルを説明し あり…」 としている． つまりそこでは， 数量化理論第１ て い る の で あ る．. 本稿は，より直接的にケースとカテ ゴリーを操作し，ケースとカテ ゴリーとの相関係数を最大にす るという考えでモデルの構成を考え， ケースとカテ ゴリーを数量化するという目的にたいして直接 的かつ首尾一貫した説明を行なおうとするもの である． ２. 数. 量. 化. の. 考. え. 方. 数量化の操作的な考え方の基本を， ケースＸカテ ゴリーの具体的な反応 パター ンを用いて説明す. る． １０ 個 の ケ ー ス が ６ つ の アイ テ ム ・ カ テ ゴ リ ー （以 下 カ テ ゴ リ ー と い う） に 二 分 法 的 （イ エ ス か ノ ー） に 反 応 し て い る も の と す る． イ エ ス の 反 応 を Ｖ 印 で示 し た 反 応 パ タ ー ン が図 １ の よ う であ っ. た と す る． 同 じ 反 応 を 示 す ケ ー ス を グル ー ピン グした タイ プ× カ テ ゴ リ ー の 反 応 パ タ ー ン も 示 して. おく （図２） ．. 釈ご. 為. 為. 為. 湯. く ｘヱ. 治. ． ▲. Ｉ. リ ム. ２ ３ ４ ５ ６. ：. ７. …三. ｑ Ｕ ▲ 丑 Ｔ ｒ ｏ ハ 。. 図２. ９. １ ０. ケー ス×カテ ゴリーの反応 パ ターン. こ こ で、. （１） 同じような性格のケースは同じようなカテ ゴリーに反応し， （７２）. ：. タイ プ× カテ ゴリーの反応 パターン. ８. 図１. ｘ２ ｘ３ ｘ４ ｘ５ ｘ６.
(4) . 数量化理論第ｍ類におけるケースの数量化についての一考察. （２） 同じような性格のカテ ゴリーは同じような性格のケースに反応される ものと仮定して，. （３） あ る ケ ー ス が カ テ ゴリ ー ×． ， Ｘ２ に 同 時 に 反 応 して い る 場 合 は， そ の ケ ー ス に 関 し て カ テ ゴ リ ー ×，と Ｘ２と の ”距 離 は 近 い” ， 逆 に， あ る ケ ー ス が カ テ ゴ リ ー Ｘｄこ反 応 しカ テ ゴ リ ー Ｘ２に 反 応 し な い 場 合は， そ の ケ ー スに 関 し て カ テ ゴ リ ー ×，と Ｘ２と の ”距 離 は 遠 い” ， （４） あ る カ テ ゴ リ ー に 反 応 して い る ケ ー ス Ｙ，と Ｙ２は そ の カ テ ゴ リ ー に 関 し て “距 離 は 近しぞ， 逆 に， 一 方 は 反 応 し他 方 は 反 応 し な い 場 合 に は， そ の カ テ ゴ リ ー に 関 して Ｙ，と Ｙ２と の ”距 離は 遠 い”. と定義する． このような距離の遠近の定義づけにもとづいて，全アイテム・カテ ゴリー相互間の距離の遠近と， 全ケース相互間の距離の遠近とを調べ， これらすべての距離の遠近を最もよく表現する数値を全ア. イ テ ム ・ カ テ ゴ リ ー お よ び全 ケ ー スに 与 え る の であ る．. これをモデルに構成するために， 次のような操作を行なう． 上に述べた距離の遠近の定義づけによっ て， 反応パターンのなか で近い距離にあるカテ ゴリーが. 隣り 合 っ て 並 び， 同 時 に， 近 い 距 離に あ る ケ ー ス も 隣り 合 っ て 並 ぶ よう に カ テ ゴ リ ー と ケ ー ス の 配. 列を変え， Ｖ印が対角線の回りに集まるようにする． その結果を最終 バターンとよび図３に示す，. 比較 の た め に，． タイ プ × カ テ ゴ リ ー の 反 応 パ ター ン に た い し て の 最 終 パ タ ー ン も 示 し て お く（図 ４） ，. 漠ご. 饗看ご ｘ５. Ｘ５ Ｘー ｘｇ ｘ２ ｘｄ ｘ６. タイプ＼. ｘー Ｘ； Ｘ２ ｘ４ Ｘ６. ハ ｈ Ｖ Ｖ Ｖ. ６. Ｖ. Ｖ ミニ. っ ム. １ ０. △ 丁. ２. １ １. ７. ｑ Ｖ. ４. Ｖ. Ｖ. ｒ ヘ リ. ８ ９. 図４. タイ プ×カテ ゴリーの最 終 パターン. Ｉ ３ ５. 図３. 三. ケースＸカテ ゴリーの最終 パターン. 最終 パターンにおけるカテ ゴリーおよびケー スの相対的な位置を表現するように各カテ ゴリーお よ び 各 ケ ー スに た い して 数 値 を 与 え る の であ る． こ の こ と は， カ テ ゴ リ ー に ×， ケー ス に ｙ と 数 値 （７３）.
(5) . 坪 内 昭 夫. を与えるとき， ｘとｙとの相関係数が最大になるように×とｙの値を求めることを意味する． ３. モ. デ. ル. の. 構. 成. ｎ 個 の ケ ー ス が ｍ個 の カ テ ゴ リ ー に 二 分 法 的に 反 応 し て い る も の と す る． ケー スに ｙご（ｉ ＝１，２，. …，ｎ） ， カ テ ゴリ ー に ｘゴ（ｉ ＝１，２，…，ｍ） と 数 値 を 与 え る と き， ｘ と ｙ と の 相 関係 数 γが最 大 に な るように ｙｆ， ×ｊの 値 を 求 め る． そ こ で１. ｒ 票 空するとき（イエスのとき” る滋養豊富. 鴻）. なる ダミー変数を導入して， 回帰方程式を. 〃に ★ か の尤 ブ. ①. こ 議 ん 羽 茂の. と お け ば， ｘ と ｙ と の 相 関 係 数 γ＝ ＣズメＳｘｓｙ（Ｃｘ ｙ ： 共 分 散， Ｓｘ ，Ｓｙ ： 標 準 偏 差） が最 大 に なる よ う に ｘゴ を 求 め ばよ れ い． ，ｙご. こ こ に 方． は ｙ の 周 辺 分 布 で， ケ ー スｉ が 反 応 し た カ テ ゴ リ ー の 数 を 表 わ し， 従 っ て ケ ー ス ス コ ア ｙｆは ケ ー スｉ が 反 応 した カ テ ゴ リ ー の 数 値 （カ テ ゴ リ ー ス コ ア と いう） ×ブの平均値である. ． 反応タイ プを用 いる数量化のモデル構成においては，＆▽）はｉタイ プ のｉ カ テ ゴリ ー へ の 反 応 を表. ※ ｙｍ. ｘ ５ ｘ 」. × ３ ｘ ２ ｘ イ ｘ ６. １. １. １. １. １. １. １. １. １. １ １. １. １. １. １. １. １. １. １. １. １. ′ ノ ． 図５. ４. ７. ６. ｑ Ｕ. ｎ 乙. Ｑ Ｕ. ｎ ‘. ｎ ソ ム. Ｑ Ｕ. ｎ ソ ム. Ｉ ←. （ ｛ リ. ． ム. ハ ベ Ｕ. ー ▲. Ｑ Ｕ. ０ ｎ＝１. Ｑ Ｕ. １ １. ケース Ｘ５ Ｘ′ Ｘ３ Ｘ２ Ｘ４ Ｘ６ 数 タイプ＼. 方．. １. １・ Ｉ. ５. ３. ２. ２. ｙ２ ２. ２. ｙイ. ３. ｙー. ｑ Ｕ Ｎ＝２ ７. ケースＸカテ ゴリーの相関表 （７４）. ハ Ｏ. ２. Ａ 丁. ３. ３. １. １. ｙ５ 例数. ４. ７. ６. ＾ 一 リ ハ ｄ. １ １. １. １. １. １. ５. ３. ２. ｙ３. 図６. っ ム. １. ｙ６ ２. 反応数. タイ プ× カテ ゴリーの相関表. ＾ ア ム ヘ ベ Ｕ ２ ７.
(6) . 数量化理論第ｍ類におけるケースの数量化についての一考察. 現する ダミー変数であっ て若干その意味に違いがある． しかし， タイ プに属するケースの数 （ウエ イ ト） を考えることによっ て扱う相関表が本質的に同じものと なり， 結局はケースを対象として数 量化を行なっていることになる （図５， 図６） ． 相関係数 γの構成成分は次のとおりである．. 大子メリ ｓＦ お字＆のか（ 大字 嗣ダ魔デー大子ｆ （ ．メー ｓＦ夫平戸ＧＭ－梼平 一 伽. 大字ヂメー （ 寿子卿ア. Ｃず☆平子凋 馳－ （ 大子孝鴻協） 大字亭β パ ） （ ブ 影） ＝大平亭 凋 為影－＊（亭. ｄ平た影 ）. ん ＝刃 ＆（の， 方 ＝刃 ＆（刀， 刃 ＝又 ん ＝又 た．. ここに，. ＝１ ２ ．”‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ れ ‐ ‐？ ‐ ブ＝ ｚ： た＝１，２， ， ， ， ，γ. γを最大にするには 畜 ＝ｏ， 帯. ２ ・ ・ （々＝１ ・ ・ ・ ・常 ， ，. に１ ２ ．－． ・ ． の を解け 鰍 、 。 ， ，. 』 血 －γきせ ） ，嘉） － ㈱ ら ‐せ（著ｓ ゆえに. （２） 青 事 物 －★窄ん 如 － せ．★（ ヱ蹴－青ん； 加） ら. 同様に 帯＝ ㈱ ら１. 『 （３） 青 戸 ◎ 為－市 溺 れ為‐ せ．青（ん眺－青ん 瀞 ー （２） に回帰方程式 （１） を代入： ん. ④ ；』 好 憎 （ ｆ繊－；』為） . こ こ に，. 九ブた＝ の々一 わブ た. ／九， を乗じて Ｚ＝ １，２， …・・ （３） の両辺に Ｎ 職（た） ２ に関して加える ，７. ゆえに （５） γ一望 ＝ １ . すなわち. 塑÷＝γ . （５） を （４） に代入： （７５）.
(7) . 坪 内 昭 夫. ２ （ｆ 蹴－× 廟 ） （６） 励 庸 γ. ， ． ， ． ， ２ ， （ ね， ， ，. これを行列 表現してみると . こ こ に 〃， Ｆ は. ） ″＝（れた ， Ｆ＝. １ ム リ. － １ 一わ ，－－－－－ －わ ２. ん －ろ， ， －ろ， ２. わ ＾ ２ 一 ヱ２－あ２ ２－－－－↑. ｛ る・ｍ. １ ム 〃 ｙ ふ “′ ／ ．ｍ る ｍ－ア. ー ム 〃 ｖ. 、. なる対称行列 である。. －次変換によって. －. 元一 ★ ； 櫛 （ 伽 －ｏ とすると. ブ 飼 －★平 戸 ”）蹴 ＝ｏ 亭』尤－★ ；〆 と な る が， 一 次 変 換 に よ っ て γ２ は不変 であるから （６） は. １ ん 就ブニー の就ブニγ２ヱ就た . . ここで. ／任 嫡た. ２差 ｚ とおくと ； 著 る；γ た. ゆ えに. （７）. ２ ； ぬえゐ ＝γ２々 ここに. 行列表現で. フキ ；「 左；． ２ 夕 “ の に 砺 〃 ％； ， ，”…‐ ，. Ｇｚ ＝ γ２ｚ ここに. Ｇ. は. Ｇ ＝ ９，，一 γ２ ９１ ２. ９２，＝ …－－－－－－ｇｍ， 一 γ２ ９２２‐ －ー”‐‐‐ｇｍ２. ２ ９１ｍ －－”柵９２ｍ … －－－－－一二；ｇｍｍ－ γ. なる対称行列 である。. 結局， 問題は 〆 を固有値とする固有方程式の固有ベ クトルを求める問題に帰着される。 以上， 直接にケース×アイテム・カテ ゴリーの反応パターンにたいして数量化法の操作的な考え. 方 と モ デ ルの 構 成 に つ い て 述 べ て き た が， ケ ー ス と ア イ テ ム ・ カ テ ゴ リ ー を 数 量 化 す る と い う 目 的. に と っ て， 反 応 タイ プ を用 い る 場 合 よ り も い っ そ う 首 尾 一 貫 した 説 明 の でき る こ と が わ か っ た．. また， 反応タイ プに属するケース数 （ウエイト） などの概念と記号を用いなくともよ いという程 度に， 数式の展開もより単純になっ ている． 註. １） １） 林知巳夫 （１ ６） 数量化理論とその応用例 （１ ９ ５ ， ２０－２３ ペー ジ． ， 統数研桑報， ４ （２） ２） 堀. 明 子 （１９６３） ラ ジ オ噂 好 とテレ ビ噌 好， ＮＨＫ 放 送 文 化 研究 所年 報 第８集， ６０－６２ ペー ジ， ７４一７５ ペー ジ．. ０１一２０ ６ページ． ３） 安田三郎 （１ ９ ６９） 社会統計学， 丸善， 東京． ２ ） ２ ） 数量化による分類の問題－イネ属を素材として－ （数量化理論とその応用例 （Ｗ） ４） 高倉節子 （１ ９６ ， 統数研桑 ペー ８ ８－９ ０ ジ 報， ９ （２） ， ． （７６）.
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