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経営系学生のための. 基礎統計学. 塩出省吾・今野勤著. 改訂版. 改訂版まえがき. 本書（初版）の出版以来 8年が経過し，ビデオリサーチ社による視聴率調査の更新に伴って書き直さなければならないと思いようになった．そこで，本書. を全面的に改訂することにした．具体的には関東地区の視聴率調査世帯が 600 世帯であったのが現在は 900世帯になった．また，初版で使われていた性別出. 生比や宝くじなど，様々なデータが 8年経過したことにより最近のものに変更. することができた．今回の改訂版作成にあたっては寿日出男氏に相談し進めることができ，編集. にあたっては古宮義照氏のお世話になった。深く感謝したい。. 2018年 11月. 塩出省吾. まえがき. 統計学とは，未知のものに対してデータをとり分析する学問である．具体的には，わからないものをはっきりさせたいときに，データをとって，そこから正. しい情報を引き出すことである．ここで，「わからない」の理由としては，「情報量が十分でないからわからない」という場合もあるし，「状況によって変動. するので，実際にデータをとってみないとわからない」という場合もある．. 統計学には，データを分析する手法が数多くあり，「こういう場合にはこういう手法を用いましょう」というように学ぶ．しかし，自分で統計手法をうま. く活用するためには，なぜそういう手法を用いるのかを常に考えておく必要が. ある．統計学に数学は必要かと問われれば，統計学に用いる確率論は確かに数学の. 一種である．統計学を本格的に理解するためには微分や積分の知識も必要にな. る．しかし，それでは大多数の文系の学生の興味をそぐことになるので，本書では極力難しい数学は使わず，様々な統計手法の使い方を例題中心に解説する．. そうは言っても，統計手法を理解するのに必要な高等学校で学習する確率の概. 念や計算を学習し，その上でそれらを利用した統計手法を学習することになる．統計学は心理学，経済学，社会学，政治学から，理系の理学，工学，医学，薬. 学など非常に幅広く活用されている．経営学で学ぶもののなかで，統計学が直. 接必要と思われるものは市場調査であろう．的確な市場調査を行い，それを分析した結果を企業の経営戦略などの意思決定に活かすことが肝要である．企業. の内外ではデータの整備が進んでおり，データの中に潜む経営のために必要な. iv まえがき. 情報を適切に分析し推測することが，企業の生き残りあるいは発展に不可欠な. ものになっている．すなわち，統計学の知識が企業の発展に大きく貢献することになるであろう．. 具体的に説明すると，新製品を開発し売り出す場合，企画の段階で消費者が. どのような商品を望んでいるのか，どのメディアを用いて広告するのが効果的か，需要がどれくらいあるのか等，リサーチが必要な項目は多い．統計学はこ. こに必要とされているのである．データが用いられるところには，ほぼ統計学. が活用されていると考えても良いであろう．本書の構成としては，第 2章までは統計学を学ぶのに必要な確率および確率. 分布の知識を中心に説明している．これをしっかり学習して第 3章以降の統計. 分析に入れば統計学をよく理解できることになる．後半の統計分析からはじめて，必要に応じて，前半部をチェックするというようにも利用できる．1冊全. 体を通して学習すれば通年の講義に用いられるし，第 3章から入ると半年の講義にも対応できることになる．. 本書は講義ノートを中心にまとめあげたものである．共立出版の寿日出男氏. および中川暢子氏のお世話になり出版に辿り着いた．深く感謝したい．. 2010年 12月. 塩出省吾. 目次. まえがき. 第 1章確率と資料の整理 1. 1.1 順列・組み合わせ 1. 1.2 確率 7. 1.3 条件付き確率とベイズの定理 12. 1.4 資料の整理 17. 章末問題 22. 第 2章確率分布 25. 2.1 確率変数と確率分布 25. 2.2 離散型確率分布 27. 2.3 様々な離散型確率分布 31. 2.4 連続型確率分布 35. 2.5 正規分布の再生性と標準正規分布 39. 2.6 正規近似 42. 2.7 偏差値 45. 2.8 2次元確率分布 48 章末問題 51. vi 目次. 第 3章統計的推論 53. 3.1 サンプリング 53. 3.2 点推定と様々な平均 56. 3.3 母平均の区間推定 60. 3.4 母平均の検定 63. 3.5 2つの母集団 68. 3.6 母比率の推定・検定 73. 3.7 等分散の検定と分散比の推定 77. 3.8 分割表と独立性の検定 81. 3.9 適合度検定 86. 章末問題 90. 第 4章その他の統計的推論 93. 4.1 相関分析 93. 4.2 回帰分析 99. 4.3 ノンパラメトリック検定 102. 章末問題 109. 第 5章予測 111. 5.1 移動平均，指数平滑 111. 5.2 2次曲線，ロジスティック曲線，ゴンぺルツ曲線 116. 章末問題 120. 参考文献 123. 問題の略解 125. 付表 132. 索引 141. 目次 vii. Column. 01 誕生日が一致する確率 12 02 モンティ・ホール問題 17 03 宝くじの収益 30 04 宝くじと競馬 31 05 超越数 e 39 06 確率分布の再生性 41 07 偏差値について 48 08 「無作為抽出」と「でたらめ」 56 09 母平均の点推定値について 60 10 信頼度について 63 11 片側検定と両側検定 68 12 視聴率について 77 13 アンケート調査と分割表 86 14 相関と回帰 102 15 官能検査 108. ギリシャ文字一覧表. アルファベットギリシャ文字アルファベットギリシャ文字英語表示カナ読み（大文字）（大文字）（小文字）（小文字）. A A a α alpha アルファ. B B b β beta ベータ. C X c χ chi カイ. D Δ d δ delta デルタ. E E e ε epsilon イプシロン. F Φ f φ phi ファイ. G Γ g γ gamma ガンマ. H H h η eta イータ. I I i ι iota イオタ. J ϑ j ϕ — —. K K k κ kappa カッパ. L Λ l λ lambda ラムダ. M M m μ mu ミュー. N N n ν nu ニュー. O O o o omicron オミクロン. P Π p π pi パイ. Q Θ q θ theta シータ. R P r ρ rho ロー. S Σ s σ sigma シグマ. T T t τ tau タウ. U Y u υ upsilon ウプシロン. V ς v � — —. W Ω w ω omega オメガ. X Ξ x ξ xi グザイ. Y Ψ y ψ psi プサイ. Z Z z ζ zeta ゼータ. 第1章. 確率と資料の整理. 本章では，順列・組み合わせ，確率，条件付き確率，ベイズの定理，資料の整理，度数分布，相関について解説する．経営統計学の基本的な考え方と手法を，演習をとおして理解する．. 1.1 順列・組み合わせ. ここでは，集合，順列・組み合わせ，二項定理について解説する．例題，演習問題をとおして内容を理解する．. 1.1.1 集合 (1) 集合について. 集合とはものの集まりである．たとえば，佐藤さんが好きなスポーツが野球，. バスケットボール，バレーボール，テニス，サッカー，バトミントンであるとして，それに括弧をつけて列挙し，. A = {野球，バスケットボール，バレーボール，テニス，サッカー，バトミントン}. と表したとする．これを佐藤さんが好きなスポーツを表す集合Aとする．ここ. 2 第 1章確率と資料の整理. で，各々のスポーツ，たとえば“サッカー”のように集合を構成する最小のも. のを集合の要素という．要素の数が有限個のものを有限集合とよび，要素の数が無限個のものを無限集合とよぶ．. (2) 包含関係. 通常のサイコロを 1つ振ると出る目は結果として 1から 6までの 1つであ. る．このように出る可能性のあるすべての場合を列挙したものを全体集合Ωと. いう．このサイコロの場合は全体集合は Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}となる．全体集合の一部である集合 A = {1, 2, 4, 5, 6}や B = {1, 4, 6}に対し，集合 B の要素がすべて集合 Aに含まれる（包含される）なら集合 B は集合 Aの部分集合であ. るという．この関係を包含関係といいB ⊂ AまたはA ⊃ Bと表す．（ここでは B ⊂ A と B ⊆ A は区別せずに B ⊂ Aのみを用いる．⊃と ⊇も同様に区別せずに ⊃ のみを用いる．）また，何も要素を含んでいない集合を空集合といい，∅ = { }で表す．空集. 合はすべての集合の部分集合である．ここで現れたすべての集合は全体集合Ω. の部分集合でもある．. 集合の包含関係を図で表現したものが図 1.1である．このような集合を図示したものをベン図という．. 図 1.1 包含関係. 2つの集合 A,B に対し，B が Aに含まれ，さらに Aが B に含まれるとき，. 集合 Aと B は相等であるといい， A = Bと表す．すなわち，A ⊃ B かつ A ⊂ B なら A = B である．このとき Aと B は要素がすべて一致する．. (3) 集合の演算. 数の演算と同じように，2つの集合間にも演算が存在する．集合の演算とし. 1.1 順列・組み合わせ 3. ては次のものがある．. (a) 和集合A1 ∪ A2 2つの集合A1と A2の少なくともいずれか一方に属するものの集まりを集合. A1 と A2 の和集合といい，A1 ∪ A2 と表す．これは，“結び”あるいは“合併集合”ともいう．いま太郎君が観戦したいスポーツを A1 = {野球，サッカー，テニス}とし，花子さんが観戦したいスポーツをA2 = {サッカー，テニス，バレーボール}とすると，2人のいずれかが観戦したいと思っているスポーツとして A1 ∪ A2 = {野球，サッカー，テニス，バレーボール}と表すことができる．この演算は 2つの集合の間の演算であるが，もっと多くの集合，たとえば. 20個の集合 A1, A2, · · · , A20 に対しては，演算の順番がどこから始めても同じであるのでA1 ∪A2 ∪ · · ·∪A20と表され，簡単に. 20⋃ i=1. Aiとも表すことができる．. (b) 積集合A ∩ B 2つの集合 A1，A2 に対して，いずれにも属するものの集まりを積集合とい. い，A ∩ B と表す．これも，“交わり”あるいは“共通集合”ともいう．この意味としては，太郎君と花子さんがデートでスポーツ観戦をするときに，2人. とも観戦を楽しめるスポーツとしてA1 ∩ A2 = {サッカー，テニス}と表すことができる．すなわち，サッカーあるいはテニスを観戦すれば 2人とも満足す. るのである．この場合も，20個の集合 A1, A2, · · · , A20 に対しては，演算の順番がどこから始めても同じであるので A1 ∩ A2 ∩ · · · ∩ A20 と表され，簡単に 20⋂. i=1. Ai と表すことができる．. (c) 補集合 Ā. 四国の県名を列挙すると愛媛県，香川県，高知県，徳島県（50音順）である．. このとき，すべての要素からなる全体集合を Ωと表すと，Ω = {愛媛県，香川県，高知県，徳島県}である．このうち，県庁所在地名と県名が一致するものは A = {高知県，徳島県}であり，一致しないものは Ā = {愛媛県，香川県}である．このように全体集合のなかの部分集合Aに属しないものの集まり Āを集合 Aの補集合という．. 4 第 1章確率と資料の整理. (4) 計算法則. 集合の演算には便利な計算法則がある． (a) ド・モルガンの法則. 和集合と積集合の補集合を組み合わせたとき，次のような演算法則が成り立. つ．これをド・モルガンの法則という．. A ∪ B = Ā ∩ B̄ A ∩ B = Ā ∪ B̄. (b) 分配法則. 和集合と積集合の組み合わせに対して，次の演算法則が成り立つ．これを分. 配法則という．. (A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C) (A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C). (5) べき（冪）集合. 集合 A のすべての部分集合をそれぞれ要素として構成される集合を集合. A のべき集合といい 2A で表す．たとえば，A = {a, b} のべき集合は 2A = {∅, {a} , {b} , {a, b}}である．2は Aのすべての要素に対して部分集合に入るか入らないかに二分するという意味である．ここでは，aが入るか入らないか，b. が入るか入らないかで，Aのべき集合の要素（すなわち，Aの全ての部分集合）. の数は Aの要素が 2つなので 22 = 4である．. (6) 相等. 2つの集合 A,B に対し，B が Aに含まれ，さらに Aが B に含まれるなら，. Aと Bが相等であるといい，A = Bと表す．すなわち．A ⊂ BかつB ⊂ Aなら A = B である．このとき，Aと B は要素がすべて一致する．. 1.1.2 順列 3文字 A，B，Cで 2文字の文字列を作ると AA，AB，AC，BA，BB，BC，. CA，CB，CCの 9通りができる．すなわち. 1.1 順列・組み合わせ 5. （1文字目は 3通り）×（2文字目は 3通り）= 9通り. である．ここで，同じ文字は 1回しか使えないとすると AB，AC，BA，BC，. CA，CBの 6通りになる．すなわち. （1文字目は 3通り）×（2文字目は残りの 2通り）= 6通り. である．一般に，n個の異なったものから r個を選んで 1列に並べる順列（すなわち，並べ方）は. nPr = n(n − 1)(n − 2) · · · (n − r + 1) = n!(n − r)! である．ここで，n! = n(n − 1)(n − 2) · · · 2 · 1を nの階乗という．特に nP0 = n! n!. = 1であり，また nPn = n! 0!. = n!である．(ここで，0! = 1と定義する．). 例 1 8個の異なったものから 3個を選んだときの順列の数は. 8P3 = 8 × 7 × 6︸︷︷︸ 3 つ並ぶ. = 336. である．また，n個の異なったものから r個を繰り返してとることを許して選び 1列に並べる並べ方は nr 通りであり，これを重複順列という．最初に述べた. 異なる 3文字から 2文字の文字列を作る並べ方がまさにこの重複順列である．. 1.1.3 組み合わせ 3つの文字 A，B，Cから 2つの文字を選んで並べると 3P2 通り並べ方が存. 在するが，それらの中で各 2文字に対して組み合わせとしてはABと BAのように同じものが 2P2 = 2!だけ存在するので 3C2 = 3. P2 2! となる．一般に n個の. ものから r個を選ぶ組み合わせの数を nCr とする．このとき. nCr = nPr r!. = n(n − 1) · · · (n − r + 1). r(r − 1) · · · 2 · 1 である．一般に nCr = nCn−r が成り立つ（n個のものから r個を選ぶことと r 個のものを残すことは組み合わせの数としては同じである）．. 例 2 nC0 = 1および nCn = 1である．. 6 第 1章確率と資料の整理. 例 3 8C3 = 8 × 7 × 6 3 × 2 × 1 = 56. 例 4 30C28 = 30C2 = 30 × 29 2 × 1 = 435. 1.1.4 二項定理一般に. (a + b)n = nC0an + nC1an−1b + nC2an−2b2 + · · · + nCn−1abn−1 + nCnbn. が成り立つ．これを二項定理という．ここで，二項係数 nC0, · · · , nCn の間にはいろんな関係がある．たとえば，a = b = 1と置くと，2n = nC0 + nC1 +. nC2 + · · · + nCn−1 + nCn となる．また，nCr = n−1Cr−1 + n−1Cr も成り立ち，この式よりパスカルの三角形が導かれる．たとえば，3C1 = 2C0 + 2C1 や. 3C2 = 2C1 + 2C2 などから図 1.2のパスカルの三角形が作られる．. (x + y)1の係数 (x + y)2の係数 (x + y)3の係数 (x + y)4の係数 (x + y)5の係数 (x + y)6の係数. 図 1.2 パスカルの三角形による係数. パスカルの三角形より，たとえば. (x + y)4 = x4 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 + y4. となることがわかる．. ❅❅❅❅❅❅❅❅❅❅❅❅❅❅❅❅❅❅❅❅❅❅❅ 演習問題 1.1 ❅❅❅❅❅❅❅❅❅❅❅❅❅❅❅❅❅❅❅❅❅❅❅. 1. Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, A = {2, 3, 5}, B = {1, 5, 7}のとき，次の集合を求めよ． (1) A ∩ B (2) A ∪ B (3) Ā (4) A ∩ B̄ (5) A ∩ B. 1.2 確率 7. 2. A = {x | x = 3n + 2, nは 19以下の自然数 } B = {x | x = 6m − 1, mは 10以下の自然数 } のとき，集合 A, B の包含関係を示せ．. 3. A = {a, b, c}のとき，Aのベキ集合 2A を求めよ．. 4. 50人のクラスで議長，副議長，書記を各 1名選ぶ選び方は何通りか．. 5. 4つの数字 1，2，3，4から 3つの数字を使って 3けたの数を作るのに，同じ数字を繰り返して使ってよいなら，全部でいくつできるか．. 6. 40人のメンバーから 4人の委員を選ぶ．Aと Bは必ず選び，Cは選ばない選び方は何通りか．. 7. (x + 1)20 の x5 の係数を求めよ．. 8. パスカルの三角形を用いて (x + y)7 を展開せよ．. 1.2 確率. ここでは，確率の概念および演算について解説する．例題，演習問題をとおして内容を理解する．. 1.2.1 確率の概念 “成功の確率”，“当たる確率”など，確率は一般に「可能性」という意味で使. われている．いま，サイコロを振って 1の目が出る確率は 1 6 であるかというこ. とを考える．後で示されるように，サイコロが正しいサイコロであるならこの答えは“イエス”ということになるが，実際にサイコロを振る場合には，その. サイコロが正しいサイコロであるかどうかはわからないので“イエス”とは言. い難いこともある．しかし，市販のサイコロはほぼ正しいと考えられるので，統計的には“イエス”と答えておいても良いであろう．. 8 第 1章確率と資料の整理. 1.2.2 事象偶然現象の結果として起こりうる事柄（ことがら）を事象という．先に集合. を学んだが，集合の概念から事象を自然に導入することにする．たとえば，「ト. ランプで引いたカードがハートである」とか「阪神タイガースが勝つ」なども. 事象である．事象も集合の場合と同様にA，B，C，· · ·などの記号を用いて表すことが多. い．要素が 1つだけで，これ以上分割不可能な事象を根元事象といい，いくつ. かの根元事象で構成された事象を複合事象という．事象の演算も集合と同様にして，和事象 A ∪B，積事象 A ∩B，余事象 Āなどがある（ここで，補集合に対応するものは ‘補’を使わずに余事象という）．また，起こりうるすべての根. 元事象の集まりを全事象といい，集合のときと同様に Ωで表す．さらに，決して起こらない事象を空事象といい，これも集合のときと同じくφで表す．事象. Aと B が互いに共通部分を持たないとき，すなわち A ∩ B = φのとき，事象 A，B は互いに排反であるという．. サイコロの目を例として考えると，全事象はΩ = {1, 2, 3, 4, 5, 6}で，根元事象は {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6}の 6通りある．複合事象として，たとえば， {偶数の目} = {2, 4, 6}である．また，{3以上の偶数の目} = {3以上の目}∩{偶数の目} = {4, 6}である．. 1.2.3 数学的確率サイコロを振って出る目の確率を考える．偶数の目が出る確率は，全体とし. て 6通りの目が出る可能性があるなかで偶数は 2，4，6の 3通りある．出る可能性があるすべての目が等しい可能性であるとすれば（等可能性の原理），確. 率は 6通りのなかの 3通り，すなわち 3 6. = 1 2 である．いま事象 Aの起こりう. るすべての場合が等しい可能性で起こると仮定すると，事象 Aの起こる確率は. P (A) = 事象 Aが起こる場合の数起こりうるすべての場合の数. になる．この確率を数学的確率という．この仮定が成り立たない場合，この式で確率は計算できない．また，この仮定が成り立ったとしても，その場合の数. が無限個なら，やはりこの式では計算できない．. 1.2 確率 9. 例 1 サイコロを振ったとき，5以上の目が出る確率はすべての場合は 6通り. で，5以上の目が出る場合は 2通りであるので 2 6. = 1 3 である．. 例 2 ジョーカーを除くトランプ 52枚のなかから 1枚のカードを選んだとき，. そのカードがエースである確率は 4 52. = 1 13 である．. 1.2.4 統計的確率数学的な操作によって計算できない場合にも確率の概念を導入する．たとえ. ば，サイコロが正しいかどうかを調べるとする．サイコロを振る実験を多数回. 繰り返して各目が出る回数をそれぞれ調べる．実験を N 回繰り返して，1の目. から 6の目までがそれぞれ n1, · · · , n6 回出たとする．このとき，それぞれの目が出る相対頻度は n1/N, · · · , n6/N となり，繰り返し回数N が増えるとこれらの相対頻度はそれぞれある一定値 p1, · · · , p6 に近づく．これらをそれぞれ各目が出る確率と考える．これが統計的確率である．出生性比について，男女は同じ割合 1. 2 で生まれてくると通常は直感的に考え. がちであるが，表 1.1と表 1.2を見ると，少なくとも日本人の出生データから. はそうでないことがわかる．わが国では男子の出生が女子と比べて多いことがわかる．統計的確率としては男子が生まれる確率は 0.5より大きい．. 1.2.5 確率の基本的性質確率には，基本的に次のような性質がある．. (1) どのような事象Aに対しても 0 ≤ P (A) ≤ 1が成り立つ． (2) 全事象の確率 P (Ω) = 1. (3) 空事象の確率 P (φ) = 0. 確率を計算して，もしどのような確率であれ，1以上の値や負の値が出てきた. ら，計算が間違っているとすぐに考えるべきである．. 1.2.6 確率の計算和事象，積事象および余事象に対して，次のような関係がある．. 10 第 1章確率と資料の整理. 表 1.1 性別出生数および出生性比：1996～2016年（人口統計資料集 2017年版より）. 年次総数男女出生性比 1996 1,206,555 619,793 586,762 105.6. 1997 1,191,665 610,905 580,760 105.2. 1998 1,203,147 617,414 585,733 105.4. 1999 1,177,669 604,769 572,900 105.6. 2000 1,190,547 612,148 578,399 105.8. 2001 1,170,662 600,918 569,744 105.5. 2002 1,153,855 592,840 561,015 105.7. 2003 1,123,610 576,736 546,874 105.5. 2004 1,110,721 569,559 541,162 105.2. 2005 1,062,530 545,032 517,498 105.3. 2006 1,092,674 560,439 532,235 105.3. 2007 1,089,818 559,847 529,971 105.6. 2008 1,091,156 559,513 531,643 105.2. 2009 1,070,035 548,993 521,042 105.4. 2010 1,071,304 550,742 520,562 105.8. 2011 1,050,806 538,271 512,535 105.0. 2012 1,037,231 531,781 505,450 105.2. 2013 1,029,816 527,657 502,159 105.1. 2014 1,003,539 515,533 488,006 105.6. 2015 1,005,677 515,452 490,225 105.1. 2016 976,978 501,880 475,098 105.6. ・厚生労働省統計情報部『人口動態統計』（日本人のみ）より・出生性比は女 100につき男の比. (1) 事象 A，B が互いに排反，すなわち A ∩ B = φであるとき，次の加法定理が成り立つ．. P (A ∪ B) = P (A) + P (B). さらに，A1, A2, · · · , An が互いに排反な事象であるとき，次の等式が成り立つ．. P. ( n⋃. i=1. Ai. ) =. n∑ i=1. P (Ai). (2) 一般の加法定理は次の関係である．. P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B)