特異積分方程式による平板回折格子の数値解析に関 する研究

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特異積分方程式による平板回折格子の数値解析に関 する研究

松島, 章

https://doi.org/10.11501/3075565

出版情報：Kyushu University, 1993, 博士（工学）, 論文博士 バージョン：

権利関係：

... ^・ー

48 第3章 有限平板格子の導波モード原版 特性 3.2 問題 の定式化 49

3.2

問題の定式化

図3.1に示す2種類の格 子構造において ， 平 板 導体はz方向に無限長 で幅 2ωの厚み のない完全導体であり? 面 x ⁼⁼ 0上に周期Dで合計P 枚並んでいるものとする. 図(a)， (b)はそれぞれ誘電体スラブを 装荷しな い場合 ， 装荷した 場合であるがう 平 板 格 子を導波モ ー ド励振素子として使 用するという観点から? 主として図(b)に対する解析を示すことにしよう.

なおう 誘電体スラブ の厚さはh， 比誘電率はεr である. 誘電体スラブ を 装荷しない場合 の図(a)は? 前章の図2.1(b)と同じものでありヲ これに対 しては以後の解析全体にわた って極限操作h→Oまた はG→1 を施せば 解が求められる. そ のときの表示が2.4.1項に記述した もの(29)に帰着する こと を ， 解析 の各段階において示すことにしよう.

入射平面波 の波数ベクトルkJnCはxy平面内にあってz軸に対し角度 ゆoをなすものとする. これは2次元問 題う すなわち図2.2 で()o二900 と なる特別な場合である. 入射角をこの場合に限定すれば? 誘電体スラブに 沿う導波モードの伝搬方向がν軸に一致するため， 解析の見通しがよくな りう また物理的特性の検討が容易になる. 入射電界を単位振幅としう 次の 2種類の偏波を扱う.

;) Elnc ^or HJnc

、、EEF〆 nHV 'sum ，，，， 、，nU F」/tl‘、

-WIW ーー券，

U

、、、BEE，，， nU μ' nHU F」 /la\

‘τ

(a)誘電体スラブを装荷しない場合

• H波:界成分Hz ， Ex， Eyが零でない

、、ap，r nu ，A a，a，， 3 nU FL '''11、、

• E波:界成分Ezう Hx， Hyが零でない

、、E，，，， nu μ nuv FL 〆'ZE、、

(b)誘電体スラブを装荷した場合 全電磁界を

(E，H)

⁼⁼

(Epr，H戸)

^{+ (ESC， HSC)} (3.1 ) 図3.1:有限平板格子の断面

と分解しておこう1 ここに右辺第1項(上添字pr: primary field)は? 誘 電体スラブ のみが存在するときの電磁界， すなわち入射平面波および媒質

1本章のような2次元澗題の場合には， 第2章で行ったようなヘルツポテンシャルの導入は必要ない.

50

第3 章 有限平板格 子の導波モード励振特性 の境界面から生ずる上・下向きの平面波の合成に対応している.また ，

^::C'

(3.1)の右辺第2項の界 (上添字sc:scattered field)は?平板導体を挿入し たときうその表面に誘起される電流から生ずる未知の散乱波である. 上添 字prの付いた界のz成分はう誘電体スラプの外部領域において次のよう に書かれる.

f (句e-♂一づjkんOρ似z口C

^叫

⁰⁺

^ρ

^{〔?1 ) e} J片koρXC

E勾可E�r(γ引r刊(い川，yνド i � ムr ρ _;?少幻2) e-子り刊J川一づ引刊J片巾川ko[叫山[

(E波) (伶3.2幻 )

f ( e

^一j片山ko附OρzμC叫^{O 一}

pAd;y1 _{) C∞os} ^ゆ仇o _e jkoρXCOS ゆ仇竹0サ)e

^一

jk

^o ν"刊仰山s剖山sm凶n附l

(oH�r (μx，yω) = {

\

1 p12) cosゆo e

^-

j k

^{o [( x}

-

^h)

c

^os <P山sin <Pol

(h < x) (H波) (3.3) 但し ，波数，波動インピーダンスはう誘電体領域に対するものも併せて

ko二ω 何 _{= 針/ 人 (3.4)}

k1 == ko v ι(1二( 0 ん/ζ j

と表され?反射係数p(l)，透過係数ρ(2)の表示は式 (C.1 2)ぅ (C.13)に与 えている. なお ，誘電体領域すなわちO<x < hにおける界表現は以後の 解析および数値計算で不要なので ヲ記述を省略した.

以上により本境界 値問題 はう 次のヘルムホルツ方程式(i)う 境界条件 (五)rv(v)，端点条件(吋)を満たすような散乱波を求めることに帰着する.

( i)散乱電 磁界の任意の成分 φ は入射波と共にう次のへルムホルツ方程式 を満たす.

I 1ノ=O:真空中

(\72 +斥)φ二o � _I 1ノ== 1 :誘電体中 (3.5) (五)散乱電 界の境界面に平行な成分E Tう E;cは 2 つの面x=Oヲhで連続

である.

(量)散乱磁界の境界面に平行な成分 H;cヲH;cは 1つの面Z ニ hで連続で ある.

---

3

.2 問題の定式化

⁵¹

(iv ) 平面x==Oに含まれる平板導体上の表面電流密度

J ( y) ==

^{x x}

(H民 (+0ぅy ) - H民 (-O，y)) (3.6) は平板導体のない部分で零となる.

(v)全電 界成分 EzぅθHz/θzは完全導体の平板上 ， すなわちx = 0ぅ Iy - (p - l)DI < ω (p == 1，2γ・.，P)で零となる.

(vi)平板導体上の表面電流密度はう平板の端点近傍において次式のように 振る舞う.

!z == O (R-l/2) 1 � (R :端点からの距離→0)

!y = O (Rl/2) 1 ^(3.7)

電磁界のz成分がいったん求まれば?他の零でない界成分は次式を用 いて 導 くことができる.

H

_X ^-

- kν〈νθν' jθEz ι - (ν 空 三 ‘

;L

j k ν θU 7

TT _{- 一 一}

1 δEz

日 y

^-

_jkνCνδz

円 j(νθHz

ムJy ー - - ^ん θz 但し?下添字νの意味は既に式 (3.5)で述べた.

(E波) (3.8)

(H波) (3.9)

導 波系の境界面がすべて z軸と垂直かっz方向に一様であることよりヲ 解析には ν方向のフーリエ変換およびその逆変換を活用すると便利である.

これらを次式で 定義しておく.

J* (グ)== J ^_ : ^{J (ν)e} jßy dy

(3.10)

川=長j二丁仰-jßy _dß

但しう境界条件(卸)より， 上記の変換式における y に関する無限の積分

区間は ，有限和しJ:=

¹

( (p - 1) D一叫(p - l)D +ω)に縮小される.

---ι

52 第 3 章 有限平板格子 の導波モード尿娠特性 3. 3 積分方程式

の形で書かれる. 上式の右辺で用いた 関数は具体的に

[α1(x-h/2)]

_I

sin[α1(X - h/2)]

W(x，の=

QC(グ)

^I

Qs(グ)

と 表されヲ その右辺の分母に含まれる誘電体スラブの特性関数は

( ^{仏ω(伊山P} Qs(ß) =α1 COS(α1h/2) + jαo sin(α1h/2) ^(3.14) 53

guided mode

poles

- ßrp，

-k1 上 ^-ko

(3.13)

Rμ

e

μ

R

唱自白白 -h

d

A

…)41 2 凶

~ーん

αν= (k � - ß 2) 1/2 (Reαν三Oヲ1mαν三0;ν二0，1) (3.15)

図3.2:複素F平面と積分路

で定義される. 偶対称 (奇対称) 導波モードの伝搬定数 グcp， (ßsμ)はう 特性 方程式 Qc(ß) 二o (Qs(グ) 二0)から決定される. これらの伝搬定数は式 (3.13)で定義される 関数の1位の極であり， 図3.2に示す ように複素グ平

面内の区間(ko，k1)に離散的に分布している.

式 (3.11)を完全導体条件(v)に代入すれば， 式 (2.27) と同じ形の第1 種フレドホルム型連立積分方程式

3.3 積分方程式

本節ではヲ 未知電 流密度が満た すべき積分方程式をE波 う H波に対し て個別に導いておくことにしよう.

3.3.1 E

;，皮の場合

i を jl kjpq)い，判削dt二G�p)(s) (-1

<

s

<

1; pニ1ヲ2ヲ ヲP) 7fqニ1J- 1

(3.16)

各領域 x

^<

0， 0

<

x

<

hぅh

^<

xにおけるヘルムホルツ方程式(i)に フーリエ変換を施しう 境界条件(五)，(温)を適用すれば? 散乱電界を次の

ようなフーリエ逆変換の形に書くことができる.

を得る. 但しヲ その中の各 関数を

F�q)(t) = ヲE ム …r 2 3z(Uq(t)) G�p)( s) = E�r(fJYp( s))

(3.17)

(3.18) E!C(川)= 今 せπ ^生 J一∞ ^{/ ∞ ど} (ß)W;(x，ß)e-jßy dß (3.11)

但しう 複素グ平 面内の無限積分路はう 媒質に微小な損失を 導 入した卜で 図3.2に示している. またヲ スペクトル・グリーン関数は領域別に

I W(O，ß)eJαOX (x

<

0) Wz*(x，ß)

⁼⁼

� ^{W(x，ß) (0}

^<

^x

^<

^h)

l _W(h， ß)e-jαo(X一九) (h

<

x)

(3.12)

I{�pq) (υ)= j ^{に W(O，ß)eー}

^ル

^{，t) dß (3川}

で定義しヲ 演算域を規格化するために変数 変換 Yq(t) = (q - ^{l)D +ωt，}

Ypq( s， t) =怖い) -Yq(t) を導入した. 上の3種類の関数は ? 平板上に流れ

る電流の方向に合わせ， 下添字zを付けて表示している. これ以後は 第2

章と同様に? 下添字zを付けることによってE波に関する解析であるこ

とを表そう.

54

第3章 有限平板格子の導波モード励振特性 なお? 図4.1(a)のように誘電体スラブを装荷しない構造に対して?戸 (3.17)r-v (3.19)の関数を2.4.1項で掲げた表示と比較してみよう. 式(3.17) の未知関数は式(2.59)でγ==0と置いたものでありう式(3.18)の非斉次関 数は式 (2.63)と同ーの ものであることが直ちに判明する・また，式(3.19)

に与えた核関数の積分表現で Er == 1と置けば

K貯jyp印 ?パtの) == � f� ∞

_1.

J一∞α 土 e♂一づjß胸刈川Pωω川ωYpqωF円川qμ(川 0 dß (β3

^羽

と簡単になるが?これはO次の第2種ハンケル関数Hð2) (・)の積分表示(九) を参照することにより

I{�pq) (υ) == 守 的2) (k川s，t)\) (3.21) と変形される.上式は式 (2.61)でγ==0と置いたものにほかならない.

3.3.2 H

;，皮の場合

E波の場合と同様の手順を経てう散乱磁界は H!C (x，y) == A 1

_ f �� j : (ß)W;(x，ß) e-jß Y dß

生7r

J- ∞ “

と求められる.但しう上式で用いた関数は

(δW (x， ß)jδxlx=o e jαOx (x

^<

0) W; (x， ß) == � _{jE向W (x，ß)} (0

^<

x

^<

h)

l -ðW (x，ß)jθX\x=h e -jαo(x-h) (h

^<

x)

(3.22)

(3.23)

と 表されうその中の関数W (x，ß)は再び式 (3.13)の形で定義される. しか し特性関数は式 (3.14)では なく?次のように書き換えなければならない.

(ド ^Q 山 lげ刈S討m州叫i凶M仰n叫仰(似川α

Qs (ßめ)==α1 C∞os (αlhj2) + jε鳥rαo s

ⁱⁿ

( α

^l

_hj2)

偶対称 (奇対称 )導波モードの伝搬定数ßCμ (ßsμ )は ， 特性 方程式 QC (グ) == 0 (Qs (ß)

⁼⁼

0) から決定される.

----

3.3 積分方程式

⁵⁵

式 (3.22)を完全導体条件(v)に代入すれば，式 (2.27)と同じ形 の第1 種フレドホルム型連立積分方程式

1 Ef _kyq)(sj)ザ )(のdt == G�) ( s ) (-1

^<δ<

1;

^p

== 1，2，"'，P) 1T"q二1

^{J -1 v}

を得る.但し?その中の各関数を

F j 印)二〈odJy (Yq (t)) dt

(3.25)

(3.26) G�p) (s) == -j (Er十l)koωE�r(会怖い)) (3.27) 叫pq)(s， t)二jw2 (εr + 1l f ∞αo W(x，ßI I _{e-jßYpq川β (3.28)}

ðt 4 J-∞ θx Ix=o

で定義 しぅ 演算域を規格化するために変数変換Yq (t) == (q - l)D +ω久 Ypq (s， t) == Yp(s) -Yq (t)を導入した.上 の 3種類の関数は ?平 板上 に流れ る電流の方向に合わせ?下添字yを付け て 表示している. これ以後は 第2

章と同様に? 下添字yを付けることによってH波に関する解析であるこ とを表そう .

ここでE波の場合と同様に ，図4.1(a)のように誘電体スラブを装荷し ない構造に対してう式(3.26) r-v( 3 .28)の関数を2.4.1項で掲げた表示と比較 してみよう.まず式 (3.26)の未知関数は式(2.60)と同ーの ものであること が直ちに判明する. 式 (3.27)の非斉次関数は Er == 1と置いて式 (3.9)を適 用すれば，式(2.64)に帰着する.最後に ，式(3.28)に与えた核関数の積分

表現でι==1と置けば

θ]{ �pq ) ( s， t)

^_

=一一 jω2 / _r ∞ α伏-J向山，t) _dß

(3.29)

θt 2

^J-

と簡単になるが ，これはハンケル関数の積分表示(74) を参照すれば

θ](�pq) ( s， t)

^_

-2旬以s，t) j付 oω2 I .L..L H ¹ F) (kolu (sj) |)

^{\ ..} ， U I :J

pq ( 3.30)

と変形される. 上式は式 (2.62)を変数 tで微分してγ==0と置いたもの

にほかならない.

56

第3章 有限平板格子の導波モード戚娠特性

3.4

特異積分方程式と数値解析

本節 から は， 下添字 zの付いた E波， 並びに下添字Uの付 いたH波 に対する解析 を同時に記述してい こう. 式(3.19) ， ( 3.28 )中の無限積分 は tr

⁼¹⁼

1 なる一般的な場合には解析的に評価できずヲ数値積分を行わなけれ ばならない. ところが被積分 関数が次の性質 をも つ ため ，その 評価には工

夫を要する.

1.図3.2 に示すようにう区間(koぅk1)に有限個の 1位の極ßrμ(r二C，s)，

すなわち関数Qr (グ)の零点をもっ.

2. 積分変数IßIの増加に伴いう振動しなが らゆっくり減少する.

こ のため付録E において う核関数を

( Ðz _{== 1} ，

MT)(sj)=KU)(υ)+KY)(υ) l十州) ^(3.31)

と 分解しヲその右辺第l項を解析的に， 第2項を数値的に評価する手順を 示した. 第1項の解析的な 表示式(E.5)， (E.6)において ， Ypp (s， t) →0 ， すなわちp==

q，

s→tのときの振舞い

I{�bP)(S ， ^{t) ==} log ^{\s - t\} + O(\s - t\O) (3.32)

K � �p ) ( s， t) ==一(t - S)-2 + O(ls ^{- tlO) (3.33)}

を考慮してう次のような分解を行う.

KZq)(sj)二九q log Is - t\ [1

+

K�O)(s， ^t)] + I{��，pq)(s， t) (3.34)

KU)(υ) ==仏[一(t - S)-2 + log ^\s一代 � ^O)(s，t)]

+

I{ � �，pq)(s， t) (3.35)

但し ，両方の関数KP)， KJYq) は本 質的に2 変数 s， t に関する無限多項

式でありう具体的には次のように表現される.

K�O)(s， t)一 - koω\s - t\ (l - tr) 2 [J1 (k川s -t\) - FrJ1(k州s-tl)]-l

(3.36)

---

3.4

特異積分方程式 と 数値解析

⁵⁷

koω KIω2(tr - 1)

KJ川s， ^{t) ==} 一一 J1 (kow\s- t\) +

.- l()� ^、

Jo(た仰\s- t\) (3.37)

\s一t司 |

K必 J νY;;y戸門門，p訓川竹p 内州竹qりぺ)代勺 (いSυ，t巾) ⁼⁼

^ïいlし-

lJ:!L

^可

- \心(レj

汁

[阿H酎可wj??2幻勺)刊(伏ko\防偽均ω川q\心|リト)ト一 JぷFrζ;H珂H剖可iy2)い(伏仇k1川l

一-

26叫均刈川6九仏ωP阿刈pq[Jμ川J

K必叫叫昨即(仏仕νγ;tr戸，♂訓p仰 q)(s， t)い仏W川s，引川うJ

^{J ，}

^{� ，} 刈 t 吟 )=

^{V J}

_{I Ypq I} Ed l

^l

ur k 2 - -

^{1 ，}

^{k o}

• • V I .:7

l ^u

Y'i

pq

I /

| ) - 6 pq J1 (

^{1-''1 �，}

川

^{� ，}

- ^t\)

^{， /}

log

^�，

^{IS -} tl

_，

1

J

k ?μω 2 (いεr 2(ドε鳥←r-一 1) + ^1り) 川 ^{( \ 竺 2} -- ^{H 叫吋 jr}

^U

^{2 ) い (伏k刈}

^\

- ^0川I

^{V 1 .:7}

^{ν均叫叫 P内 Y}

^{I-''i 1}

pq l心|り)

^/

^{一 イ 6} ι似 p仰川q

^{1-''1 � ， � ，/ �，} _'J

+(t - s)2 (3.39)

ここ にみ(・) はn次の第1種ベッセル関数である. な おう 式(3.36)rv(3.39) では簡単のために，距離 関数 Ypq (s， t)を単にYpq と書いている.これらの 式において 極限操作。→1 を施せば?それぞれ 第2章 において 対応する 式(2.37)rv(2.40)に帰着する.

式(3.34)， (3.35)を考慮して ? 核関数から特異部分を分離しよう.こ の 操作によ り， 次の第1 種フレドホルム型連立特異積分方程式が得ら れる.

l t flhqlogls-t|+げ)(s， ^t) l ^F� q)(t) dt二G�p)( s)

π

q

=l J-i LJ

1 を ^{( 1 ，} r兵� ^{+ k � pq)( υ)} 1 F� q) (t) dt == G�p) ( s )

πq ニi J-1Ll-δ ν J -

(-1<s<1;p==1，2 ，・ ，P) (3.40) これ は第2章の式(2.32)と 同ーのものである.ここ で左辺に含まれる核関

数k ア )(s，t) は? 式(2.33)， (2.34)で定義されている

特異積分方程式(3.40)の数値 解析法は2.3節の内容とほぼ同じであり，

最終的には連立 1次 方程式(2.51)， (2.52)を解けばよ い.但し? 平板配列

の周期性お よび誘電体領域の存在に起因した若干の変更が必要である.こ

れについて次 に述べて おこう.

58 第3章 有限平板格子の導波モード戚娠相生

核関数の分解を表す式(2.36)では， 右辺第l項の関数K�O，p)(s，t)に関 してのみ， 上添字から導体番号pを除いて次のように変更する.

?uk

?

^{q)(υ) ==} ðpqI<�内パ)^log \s - t\ + I<�1，pq)(s， t) (3.43)

これは，平板の幅がすべて等しいこ とよりヲ関数I<�O)(s，t)の定義式(3.36)ぅ (3.37)が番号pに依存しないからである・ ま たう 式(3.43)の右辺第2項

は、 式(3.31)ぅ(3.34)ぅ(3.35)ぅ(2.33)ぅ(2.34)を考慮して

K�l，pq)(S，

t)二I<��，pq)(s，t) + K

�

^{�q)(s， t) (3.44)}

と置けばよいことが分かる・ 上式の右辺第2項は 誘電体が存在することに よって現れ た項である. 以上の変更に伴い， 式(2.53)ぅ(2.54)に含まれる 係数κ

2

f) (u=ZJ)に関しても? 上添字を(0)に置き換える

3.5

物理量の数式表現

数値計算で 必要となる物理量ぅすなわち表面電流?励振係数ぅ 放射界の 数式表現を求めると共に?数値結果を 物理的に考察するために役立つ関係

式を示しておく.

3.5.1 表面電流密度

式(3.17)ぅ(3.26)，(2.35)を用いればう 平板導体上の表面電流密度を

J f) N

Jz(Yq(t))応L ^_

ふっζ f� �) 丸 (t)

^(3.45)

JゴE

N

AU

Jν(Yq(t))勾 - f E: --Un-1(t) (3.46)

らo η=1

ⁿ

と表すことができる. これらに式(3.10)のフーリエ変換を施し? 境界条件 (加)を用いて無限積分を有限積分の有限和とし，更に式(A.11)，(A.12)を

--

3.5 物理量の数式表現 59

適用すれば，次のスペクトル表現を 得る.

0� P N

J :(ß) 均 三b _z ^{ej F M DUj i) j九+1み(向)}

^(3.47)

ー P N

J:(グ)何ム (Oß d二1 玄 ej ß(q-1)D 九=1 t f��)j叫1み(向)

(3.48)

3.5.2 導波モードの励振

平板導体から十分に離れ た点における誘電体スラブの 導 波 モードの表現 を求めるためにう散乱界の式(3.11)，(3.22)に含まれる積分を評価する必 要がある. これはU→+∞(-∞)に対して図3.2の複素グ平面の無限積 分路に下半(上半 )平面内の半径無限大の半円形 積分路を付加して閉じ，そ れに囲まれる被積分関数の極における留数を計算すれば得られる. この 留 数からの寄与を上添字guideで示せば，次の形にま とめられる .

I (x，y) ==乞乞sjf)三rμ(x)e平jßr�Y

^{(ν →}

土

_{∞) (3.49)}

[

_(OHJuide ^EFid

l _I

^M

但し複号同順でありう 肩符号(+)ヲ(-)はそれぞれ +ν方向の前方励振 ヲ -Y方向の後方励振に対応する. ま たう下添字引 sはそれぞれ偶対称，奇 対称モードを表し ，その伝搬定数ßrν(r ⁼⁼ c，s)は特性方程式Qr(グ) ⁼⁼ 0 のMr個の根である. 式(3.49)中のモード関数 ，振幅係数は次式で与えら れる.

r COS(α1CJ.Lh/2)eJαω (x <

⁰⁾

三cμ(x)== � COS[αlcμ(x

^{- h/2)] (0}

< x <

^h)

l

COS(α1CJ.Lh/2)e-jα句作一九) (h

< x) r

-

sin(αlSJ.Lh/2)

^{e JO'osμx}

(x <

⁰⁾

...sμ(x)==�sin[α1sμ(x

^{- h/2)] (0}

< x <

^h)

l sin(α1SJ.Lh/2) e-jα抑(x-h) (h<x)

ko( サ .

^ß干P

S�土) 二 土-i

Jz(士P)11III

rμF→士。叩Qr(ß) rμ

^{(E波 )}

(3.50)

(3.51 )

(3.52)

60

但し

第3章 有限平板格子の 導波モード励振特性

(0 ^{-;.* I I n \ ，.} ß平F

S�土)==土 r Or山 J:(土グ ) y \ �('Jrμ F→土ß11m r μQr(グ)rμ (H波) (3.53)

ανrμ=αν|β=ßrμ(ν== 0，1; ^r == C，s;μ二1 ぅ2γ. . ，Mr) (3.54) である. 式(3.52)ぅ (3.53)に含まれる極限操作の部分を計算すれば

11m ß干ßcμ二 干3αOcμαlcμ (3.55 )

p工品cμQc(ß) ßcμ( Q�Jt十jαOcμh/2)Q8(グcμ )

" . ß平グsμ 土jα08 μα1sμ

F25sμQ8(ß) - ßsμ( Q�μ+JαOsμh/2)Qc(ßsμ )

と表すこ とができる.但し，記号Q�Jt

(

^r == C， s)を次式で定義した.

f

1 (E波)

Q�Jt ==

1

^{� /}

^[(

1 + 1 / tr) (凡/時)-1] (H波)

(3.56)

(3.57)

各導波モードに対する士υ方向のポインティングベクトルを面積分すれ ば， z方向単位長当りのモード励振断面積が

σげ伊p伊i凶附叫d白州仰州e吋φ制(件同土吋)

^_

ß九ωr叩J川μJth

2koεt'

\-

^I _jαOrμh}

と 求められる.但しう記号どは，E波， H波に対してそれぞれ1 ， εr で ある.ここ で各導 波モードの励振効率を， そのモードの励振電力と格子長 PDの部分を通過する平面波入射電力との比でう次のように定義しよう.

ηif)=σ忠治(土) /(P D cosゆ0) (3.59)

3.5.3

遠方放射界

散乱界の式(3.11)， (3.22)において ，変換式x== Rcosゆ?ν==R sinゅ により2 次元極座標系(R，ゆ) を導入する.鞍部点法を適用してR→∞の ときの漸近形を求めれば，遠方放射界は

[いい円円勾E!ad(ヂ“引(川 ^{|い~川JへJιI ?}

^{� e仁いJ寸- j(kパρ(一 伏k山山…oRoル山川ι山川一イイ宵行/R}

(oH�アadべ(R守

ゆ引) I . �

介付kんoR (3.60)

---

3.5 物理量の

数式表

現

の形にまとめられる.但し ， パターン関数 φ(ゆ) は φ(ゆ)=-zi|

Jム5(

cosゆ|ど(ko sinゆ)

{;川同)

(ゆくゆく31r /2) W(h， ko sinゅ)e

jkohcosゆ(

-1r /2くゆくπ/2)

(E波) ko(o

針。)

⁼⁼

_- ''' �..， u

cos ØJ�( ko sin Ø)

(

δW(x， ko sinゆ)/θxlx=o ルゆく3π/2) θW(xヲko sinゆ)/δx1 x = ^{h e j ko h} cos ^Iþ ( -1r / 2くゆく π/2)

61

(3.61)

(H波) (3.62) である.こ のパターン関数を用いるこ とにより ， z方向単位長当りの全放

射断面積は

σmd=JLL2T|1rK;0 ^JU φ(ゆ)12 尚 (3 側 から 計算される.ここ で放射効率をヲ 全放射電力と格子長PDの部分を 通過する平面波入射電力との比で? 次のように定義しよう.

η凶=σrad /(P D cosゆ0) (3.64 )

なお?式(3.61)， (3.62)に電流密度のスベクトル表現式(3.47)， (3.48) を代入し， tr == 1 ， h == 0と置けば， 誘電体スラブを装荷しないときのパ ターン関数の式(2.66)， (2.67)でγ=0と置いたものに帰着する.

3.5.4

導波系の構造に関する種々の関係式

励振特性の物 理的な検討のために有用な関係式を幾っか掲げておく.

(1)光学定理

層状の誘電体構造においては， 全散乱断面積 σ〆sc ^_

ε 芝ι(μσ可4?Srrナ;ryyiほh川d白e

r=c，s μ =1 (3.65)

62 第3章 有限平板格子の導波モード励振特性 カf

(j-SC

⁼⁼ -(4/ ko) Re[Prφ(πーゆ0) +戸tφ (ゆ0)

]

^(3.66)

に等しいことが証 明さ れる(76). ここでρr， ρもはそれぞれ平面波入射 に対する誘電体スラブ の反射係数? 透過係数であり， 式(3.2)， (3.3) を参照すれば

(-il) ^日)

^{e jko九州}

ρr ^{== -p}

V

⁾ cosゆ0， ρt==ρ

;

^{2)cosゆo e jkoh}

cos

^cPo _{(H波 )}

問問

と なる. 但し， 位相の基準は図3.1 における座標原点とする. またヲ 戸r はんの共役複素数を表す. 以上を用いて光学定理に関する誤差を

εopt = 2

Jσscー♂CI

|σSC

⁺

(j-scl

^(3.68)

で定義する. 数値計算においては， 上式を解の正確さを検証するため の一手段と して用いることにしよう .

(2)規格化周波数 これは

V ==

VE戸T

^{koh/ 2 (3.69)}

で定義 される(40) この値により誘電体スラブに沿って伝搬する導波 モードの個数が定まる.

(3)ブラッグ条件 これは入射角ゆo の平面波 と 第rμ次導波モード(r ==

C， s;μ== 1，2γ・・，Mr) の位相整合に基づく 結合条件であり

ßrμ平ko sinゆ0==2π/D (3.70)

で与えられる(40). この式で， 上下の符号はそれぞれ+ν方向の前方 励振， -y方向の後方励振に対応している.

(4)レイリ一波長の決定条件 本章で扱っている有 限格子において? 平板 導体の枚数が多いときには後に図示するように周期的 無限格子 の特性

3.6 導波モード威厳素子の設計 63

に類似した現象が起こる. すなわち式(2.76)に関連して説明した「格 子モード」の伝搬方向に放射ビームが発生する. この格子モードは，

3.4.2 項で述べた導波モードと は別のものであり? その概念、は数値計 算 結果を物理的に検討する際にしばしば有用となる. 周期Dの無限 格子における第l 次の格子モードのしゃ断波長う すなわちレイリ一波 長は次式 か ら定まる.

ko(sgn(l) - sinゅ。)⁼ 2lπ/D (3.71 )

3.6

導波モード励振素子の設計

3.6.1 導波モード励振特性の検討

誘電体スラブを装荷したとき の数値計算を行う ことによりう 本章の主眼 である導波モードの励振特 性を解明しよう . 式 (2.35)における未知関 数 の

展開項数N は? 誘電体の影響を考慮して平板幅 1入当り 5ゾζ以上 とす る. なぜならば、 誘電体中では真空中に比べて波長が 1

八/ζ

^{倍 と短くな}

り， 表面電流の波打ちはゾζに比例して激しくなるため? 電流密度の展開 項数 は誘電体がない場合 のゾζ倍にと るのが合 理的 と 考えられるか らであ る. 数値実験を行った結果 ， このように項数Nを選べば， 式 (3.68)で定 義した光学定理に関する誤差が常に0.1 %以下となることが判明した.

最初に散乱現象を全体的に把握するために， 図3.3で入射電力が導波 モード電力? 放射波 電力へと分配される割合を見ておく . 次にこの図の特 定の点に着目して， 図3.4 で遠方放射パターンの物理的 特徴について検討 する. 図3.5rv図3.8ではう 導波モードの励振効率が各構造パラメータヲ す なわち配列周期 ， 平板幅， 規格化周波 数 ， 入射角ぅ 平板 枚数 にどのように 依存するかを調べる. 以上をまと めてう 平板 格子による導波モード励振の 特徴を明らかにする.

司圃�.

導波モー ド

励振素

_子の

訪十 65

有限平板格子の導波モー ド励振特性 3.6 図 3.3 は最 低 次の 偶 対 称

・ ^奇

^{対 称の}

^両

方の導 波モー ド が 伝搬 する

状 態

で 第3章

64

「ロ

、 : Fi g. 3.4 (司)

ノー気

、(J / lll :

? \メ;ハケ : fJXFII州

4

放射効率が 平板導体の配列周期Dによって

nu nuu a司1E・E・

前方励振効率はこの図のkoD 後方励振効率?

(V

_{== 0.8π)，}

(j)

KLU F

50

刀 rtl

F 記入を省略してい

どのように

変化

するかを

描

いたものである.

の

範 囲内

では後

方

励振効率に比べて

非 常

に小さいので，

物

_理的に予測されるように う 励振効率， 放射効率が 極大 となるのはそ る.

れぞれ? 式( 3.70) のブラッグ条件から決まる周波数， 式( 3.71)のレイリー 波長の近くである こ とが 分かる. 励振効率の極大点が ブラッグ条件からの 予測点 と厳密には一致しない理由はう 式

(

^{3.7 0}

)

では平板導体を付けない誘 すなわちヲ 実際には平板導体の装着により伝搬定数が移動するた めぅ 励振の極大点も 電体スラブ単体における伝搬定数を使用しているた め である.

(a)

E波;

2ω/ D

=

0.2

周期的無限格子の高 実際は平板導体が1 0枚程度 レイリ一波長は本来う

若干ずれる こ とになる. また?

{干の← l

)

F l l a- - :・

土町一ω一ZZ

刊

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U(℃℃ロ)

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町田ω」白川w~

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四 四 回

l l'K11、IJ

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4 l 一円 ， 乙 ‘、、 dr' 中小\ m Il--ト1111ト1レll←1111ト1lll nu

「「u ←mJU

(l) U4」 戸 Fh 戸、

次モ

ー

^{ド の発生点に対}

^応

^{するものであるが}

^う

^{この波長付 近で放射電}

^力

^が

であっても周期性による散乱効果が促進され，

H波共に 4 0 % を越

100

，ー‘、、

‘『、。

、、ー...

。

極大 となるものと考えられる. 後方励振効率はE波 う

H波で1 36 % にも達する.

放射効率はE波で74 %，

えないがヲ

前図で示された 特 性を検討するた めの手がか り として う

遠

図 3.4 には，

ブラッグ条 パラメータkoD としては?

方放射パター

ン

の 一

例

を

掲

_げた.

それぞれ点線? 実線で レイリ一波

長

に対する値を

採

用し，

件を

満

たす値，

ほ と んどの

観

測

角

ゆにおいて点線の方が 実線より

も

_パタ

ー ^{ン 関}

^数

描

いた.

これは図 3. 3中に黒丸で示した2つの対応点 の値が 小さくなっているが う

5

kOD 主放射ロープはゆ== 1600

での放射効率の値を比較すれば明らか である.

(b)

H波;

2ω/D

= 0.6 これは無限格子 に当てはめ

の反射方向 と ゆ== 2 00 の透過方向にでき るが ，

図3.3:最低次の偶対称・奇対税導波モー ドが伝搬するときの後方励振効率?放射効率. CPo ⁼

200，

_V =

0.87r，

_{Er =}

2.25，

_P =

10

またう 実線のレイリ一波長に それに次いで大き いロープが ゆ== -900 の両側に分割されてで これはちょうど発生点にある第一1次の 無限格子モー ド の伝搬方 て考えれば第O次の格子モ ー ド に相当する.

おいてはう き るが，

向に相当している.

66 第3章 有限平板格子の導波モード励振特性 ^3.6 導波モード戚娠素子の設計 ⁶⁷

5

0

40

一一門Uf/nunO』斗

凶円

・

2GOO

--トli--卜­

nけu nけu nリu にU 8斗

(op)

つυ

nHu a'・EE・

230

2T l0910lφ(中) I 2T l09，ol金(中)1 ^{� u}

20

7

ムロ20

F

k 0 0

・ ・ ・ ・ ・ ・ _3.57 - 4.68

。

(^a) ^E波 (b) ^H波

。 図3.5:最低次偶矧導波モードの後方励艇カ率ηiJ)の配列周期依存性. _{if;oニ200， V =}

0.47r， tr = 2.25， ^P = 10

(^a) ^E波; 2ω/D ^{= 0.2} (b) ^H波; 2ω/D ^{= 0.6}

図3.5には最 低次の偶対称導波モ ードのみが伝搬する状態で(V == 0.4π)ぅ 配列周期Dによって 後方励振効率がどのように変化する か を描い ている.

ここで式(3. 70)のブラッグ条件から定まるんDの値はE波ヲ H波に対し てそれぞれ3.82， 4.09であり? 縦の点線で示している. また， パラメー タを平板幅・周期比2ω/Dとする. すべての曲線はあるんDで極大値を とる が? それ に対応するたoDはブラッグ条件から定まる 値から若干移動 している. しか も う この移動の程度は2ω/Dが大きいほど著しい. その 理由は図3.3 に関して考察したこと と全く同じ， すなわち平板導体の挿入 により 導 波 モードの伝搬定数がずれるためである. 図 よりう 最適の2ω/D はE波， H波に対してそれぞれ 0.2， 0.6である こと が分かる. また， そ のと きの 後方励振効率はそれぞれ37 %う39% で ， 大差はない. 平板導体 上の表面電流の向きは， E波う H波に対してそれぞれ軸方向う 横断方向で k ₀ 0

・ ・ ・ ・ ・ ・ _3.64 一一- 4. 68

図3.4:プラッグ条件(点線)， レイリ一波長(実線)のもとでの遠方放射ノ〈ターン• Øo二

200， V ₌ 0.87r， trニ2.25， ^P = 10

司・---

導波モード服飯素子の諒十 69 3.6

50

�u 20

F

nu a可，，‘.

50 有限平板格子の 導波モード励振特性

50 第3章

50 68

iii t一 nu llJIハl A斗 ，ljlf I K

門Jiv =

h tlll!

D NbIII-/ ，，

1 nU 1 1 JJ t 4.

4斗 lK till-←ill1←lll nリu門川u

nuu

qu A斗，

(oF)EZF

門/」

(l)

10

odd (s ) even(cl

1

40トk 00ご (b) ^H波; 2ω/D ^{= 0.6}

(a) ^E波; 2ω/D ^{= 0.2}

:;- u 20

F

図3.6: :最低次偶対称(0 < ^V <π/2)，奇対称(π/2 < ^V <π) 導波モードの後方励振効率 η

以

1の規制ヒ周波数依存性ゆ0=20。パr= 2.25， ^P = 10

10 後者の方が広い平板幅を必要としたものと考えられる. 以後 の

2ω/Dは上記の最適値を採用して数値計算する.

ある ため?

図ではすべてう

図3.6は最低 次の 偶対称(even)， 奇対称(odd) 導 波 モード の 後 方励振効

規格化周波数v==ぷ戸刊oh/2に対する依 存性を示したも ( a)日波; 2ω/Dニ0.2 (b) ^H波; 2ω/D ^{= 0.6}

図3.7:最低次偶文摘導波モードの前方(実線)， 後方(破線)励振効率η仕)の入射角依存

性• V = 0.4介， fr = 2.25， ^P = 10 右半分 の領域π/2 < V <πでも偶対称モードは伝搬し

率に関して，

但しう のである.

その励振効率はほとんどの部分で1 %以下で非常に小さいので う 得るがう

励振効率が極大と なるような規格化周波数Vは 図には記入していない.

偶

奇対称モードに対する最適 のVは それぞれ約O.47r， O.87r であるこ とが分かる.

その中で最大効率を与えるものを選べば?

H波の両方について言える.

こ のことはE波?

周期koDによって異なる.

対称，

図3.7は最低 次 偶対称導 波 モード の励振効率 の 入射角 に対する依 存性を?

前 方励振ぅ 後 方励振に対してそれぞれ実線および破 線で表したものである.

司圃---

70 第3章 有限平板格子の導波モード励振特性

3.6 導波モード励振素子の続十 71

•

-

o

x ・

0

0 0o

x-qu7/O門bx

・ ニ

O X .〕

o x

-Am

o x -

o

x

-

o

x

-

o

x

-

o

x

-

o

x

-

o

x

- o

x

- o x - o

x

- o

x

-o

x -OX -ox ・ロx.，R

- O

×

0 .0 O ox

Qu・7/onDX

ご)

・

ox

ao--

o x - o

x

- o

x

- o

x

- o

x

- o

x

- o

x

- o

x

- o

x

- o

x

-o

x

-o

x -ox

-ux -ox -OVA

-UA -w

いる. すべての結果においてヲ 励振効率は平板枚数Pの増加と共に最初は 向上するがう 最大点、に到達した 後に下降が始まる. このような特性の劣化 が起こる原因は? 平板枚数すなわち格子長が最適値を越えた場合ヲ いった ん励振された導 波 モード の電力が格子部分を通過するうちに， 散乱によっ て次第 に再放射波 へ と分配されるためである. 黒丸で示す最適の入射角に 対するデータを見るとう 励振効率が最大となる枚数はE波， H波でそれぞ れ14 枚ぅ 8枚でありヲ この条件のもとでの励振効率は3 7rv3 8 %である.

後者の方が枚数が少なくてすむのはう このH波においては平 板幅が広く電 流が平板導体を横切る方向に流れ? それ故に平板導体1 枚当りの散乱の効

果がE波に比べて大きいためと考えられる.

以上ぅ 図3.3rv 図3.8では， 偏波弁別特性の各種パラメータに対する依 存性を詳しく調べた. その性質を次にまとめておく.

50 50

よ30

、� 'ü 20

F

内〆ム(l)戸

10

15 20 25

P

2

^{5 10 15 20 25}

P

(b) H波j 2ω/D ^{= 0.6} 0 2

(a) E波; 2ω/Dニ0.2

図3.8:最低次偶支摘導波モードの後方励振効率η(;)の平板枚数への依存性. _v = 0.4π

Er = 2.25， koD ⁼ 4.5

効率が極大となる入射角ゆoはパラメータkoDに依存するが? これは式 (3.70)のブラッグ条件がゆoとたoDの両方を含むからである. この図 に おける最良の効率はヲ 偏波の別にかかわらず， 実線の前方励振において 33rv34 %， 破線の 後方励振において3 7rv39 %となっておりヲ 両方向の間 に顕著な差はない. しかし前方励振においてはう 入射角がゆo応2 20まで 大きくなると効率の極大値は低下する. なお， ゆo⁼⁼ 00なる垂直入射のと きには励振電力が前方ぅ 後方に等分されるため? 励振方向に関する分類の 意味がなくなる. この場合にはう 図に計算結果は掲げていないが， 最良の 効率を与えるんDの値が 4.5rv 5.5 の間に存在するものと予想できる.

図3.8には最低次偶対称導 波 モード の 後方励振効率に関してう 平板 枚数 に対する依存性を示す. ここで格子構造は図3.7 のんD⁼⁼ 4.5 の曲線に 関 するものと同じに選びぅ パラメータゆoは最適値を含んで3 通りにとって

1.最適の平板幅・周期比は， E波， H波に対してそれぞれ約0.2， 約0.6 であり? 後者の方が広い.

2.最適の平板導体の配列周期はブラッグ条件から予測される値とやや異

なるが， そのずれの程度は平板幅・周期比が大きいほど著しい.

3.最適の規格化周波数は， 偶対称モード ， 奇対称モード に対してそれぞ れ約 0.411"， 約 0.8πである.

4.励振効率の極大値は偏波(E波， H波)の別に関して顕著な差はなくヲ いずれも30rv 40 %の間にある. 励振方向についてはう 垂直入射から 大きく離れた前方励振に対しては効率の極大値が低い.

5.最適の平板枚数は10 枚程度でありう 偏波? 入射角によって異なる.

E波の場合はH波の場合より多くの 枚 数を必要とする.

72 第3章 有限平板格子の導波モード服飯特性

種々の入射角について

S21:配列周期に対する依存性を計算

S22:配列周期? 入射角の最適値を決定 S3:平板導体の枚数を最適化

図3.9:設計アルゴリズム

3.6.2

設計アルゴリズム

前項の最後にまとめた諸性質を総合的に吟味することにより? 高効率を 目指したモード励振素子 の組織的な設計 アルゴリズムが 構築できる. すな わちぅ 次の手順

(

^8:8teps

)

に従って設計すればよい.

S1: 使用周波数に対して， 励振を希望する導波モードが 伝搬し得るように 誘電体スラブ導波路の誘電率，

屋三三

^{を指 定し，} 特 性方程式を解いてそ のモードの伝搬定 数を求めておく. 平板幅 ・ 周期比についてはう E波 に対しては0.2， H波に対しては0.6と固定する.

S2 :波源と導波路の設置環境を考慮しながら? 可能な範囲内で入射角をひ とつ選択する. 平板導体の配列周期の最適値はうS1で求めた導波モー

ドの伝搬定 数をブラッグ条件に代入してその近似値を予測した後， 近 似値の近辺で数値実験を行って決定する. この操作を入射角を変えな

司圃---

3.6 導波モード服娠素子の能十 ⁷³

がら繰り返し， 最良の効率を与えるような入射角， 配列周期を決定す る. この手順では平板導体の枚数は適当な値に固 定しておく.

入射角の選択においては後方励振が望 ましくう 特 に垂直入射から大 きく離れた前方励振は高効率が期待できないため避ける. また， 完全 な 垂直入射もう 導波路の両方向に励振電力が均等に分配されるためぅ

両方を使うような特殊な場合以外では用いない.

S3:以上で決定したパラメータをすべて固定した上で? 更に数値実験を 行ってう 最良の効率が達成できるように平板導体の

笠立

^{を求める.}

以上をまとめると， 図3 .9のようになる. このうちS1 は導波路と格 子 に関する定 数の設定 でありヲ S2， S3は数値計算に基づく摂動的なパラ メータの選択である. このアルゴリズムは， すべての構造パラメータに対 する依存性を組み込んだものでありう しか もパラメータを1個ず、つ同定し

ていく方式であるため， 励振素子 の精密な設計 がすみやか に実行できる.

3.6.3

設計例

前項で提案した設計 手順S1rvS3に従って実際に導波モード励振素子 を 設計することにより? このアルゴリズムの有効性を示そう.

S1:例として? 次のように使用周波数と導波路定 数を設定する.

- 周波数f == 30 GHz， 波長入二10 mm

-誘電体スラブの比誘電率Er=3 ? 厚さh==5mm

これは実際の表面波アンテナ系で用いられる典型的な値である. この とき規格化周波数は0.707πとなり， 最低次の奇モードが 伝搬可能と なる. このモードが 最も効率よく励振されるように格 子ノ〈ラメータを

司圃---

導波モード版娠素子の設計 75

有限平板格子の導波モード脱娠特性 3.6

第3章

74

その伝搬定数 は (3.72) (3.24) を解けば，

(E波) (H波)

V3 00 ρO ハU nhU Aud po q，u qδ qJ

rEEEJ、BEEt 一一 'h 守hi eu 々μ

特性方程式(3.14) ヲ 探索しよう.

3

III-k

円U L --IIIt マ\・1h //l'll \正6

it- -1ffl i/'

LI--ILlit--「l l 4 1・at - T W 1 1 -054 1 =げY 11 1 nu nu 内Jι 4l

{op〕(げJF

30 30

design point

平板幅・周期比は前項で述べた通りとする.

と求められる.

このとき式(3.70)， 20 各入射角に対して 配 列周期Dの最適値が

500 の 3 通りに 変える.

30o，

52:入射角ゆ。を 100，

(3.72)を用いればう

4.19 mm (E波) 4.41 mm (H波) 5.09 mm，

5.43 mm，

• 6.93 mmヲ

• 7.55 mm，

(b) H波; 2w/D=0.6 (a) _E波; 2ω/ D ₌ 0.2

そこで 平板を7 枚に固定して数 の近くに存在することが予測される.

図3.10:最低次奇対称導波モードの後方励振効率η仕)の配列周期依存性入ニ10 [rnrn]，

Er = _{3， h} = ₅ [mm] ， _P = 7

すなわち励振 配列 周期Dが各入射角に対して約8.0mm，

値計算を行ったところ， 結果 は図3.10 のようになった.

効率が極大となるのは，

E波の励振効率 まずこ，

6.5mmう5.5mm のときであることが分かる.

H波では効率は入射角にそれほど関係 次のようにパラメータを選択する.

以上より両偏波共通に?

は入射角が小さいほど高いがう しなし\

-入射角ゆo ⁼⁼ 100 30

a­.， • • . ， .， .， .， • - n・

0 0・

・ 0

my，.T''t

・ 0

・ 0

・ 0

.。

0・

-

0 ・ .-. 20

F

-配列周期D⁼⁼ 8.0 mm

53:以上のパラメータ のもとに? 平板の枚数を変えて数値計算を行ったと 8 これより両偏波に対して共通に

図3.11 の結果を得た.

ころ， o H-wave

・E-wave 0

2 - 平板 導体の枚数P ⁼⁼ 10 [枚l

20 25 15

P

図 3.11:最低次奇対称導波モードの後方励振効率η;;)の平板枚数への依存性 入=

10 [mm] ， Er = 3， h = 5 [mm]， D = 8.0 [mm] ，ゆo = ₁₀₀ なお励振効率

26 % である.

以上で最適化が完了した.

H波に対してそれぞれ 28 %う に 選べば よいことが分かる.

の最大値はう E波ヲ

76 第3章 有限平板格子の導波モード服飯特性

3.7

まとめ

本章では， 誘電体スラブの片面に置いた有限平板 格子 に平面電磁波が 入射したときの 導 波 モード励振 問題に対して， 第2 章と同じ形式の連立特 異積分方程式を 導いた. モーメント法を適用し， 光学定理に関する誤差か 0.1 %以下という条件のもとで数値計算を行った結果う 次の成果を得た.

1. 励振効率が極大値をとるときの平板導体の配列周期はブラッグ条件か ら予測される値とは若干ずれること， 並びに平板枚数が最適値を越え ると励振効率はかえって低下することを数値的に確認した.

2. 格子 および誘電体スラブの構造ノ〈ラメータを最適化することにより，

最低次の偶対称モードの励振効率は偏波の別にかかわらず 30"，40 % となることが判明した.

3. 有限 格子の モード励振特性が各種構造パラメータにどのように依存す るかをう 詳細な数値計算を行うことにより調べた. その性質を総合的 に吟味しながら， 励振素子 の系統的な設計アルゴリズムを構築した.

これに従ってう 実際に例として周波数30 GHzにおける最低次の奇対 称モードの励振素子 を設計することにより， 本アルゴリズムの有効性

を示した. この場合の励振効率は26"，28 %であった.

司圃---

第4章

平行2面の無限平板格子の偏波弁別特性

4.1

まえがき

本章ではう 2面の無限平板格子を平 行に設置した素子 による平面波の散 乱問題(33)，(34)を解析し， その偏波弁別特性を解明する. 媒質の境界面から 生ずる各散乱波の位相差による干渉を制御すれば? 素子全体の反射 ・ 透過 特性を最適化することができる. 第4.2節ではう 平板導体が両面とも薄い 誘電体スラブで裏打ちされう スラブ聞には空気コアが設けられているもの として， 問題の定式化を行う. 解析の都合上う 平板導体の配列周期は2面 聞で共通とするが， 平板の幅および中心軸は互いにずれていてもよいとす る. またう 入射 波の伝搬方向および偏波は任意とする. 第4.3節では境界 条件を用いて積分方程式および特異積分方程式を 導く. この特異積分方程 式は， 誘電体が存在しかっ入射方向が任意の場合ヲ 対数型， コーシー型の ものが互いに結合した形となる. すなわちこれは， 2.5節で掲げた方程式に 境界面の閣の相互作用と誘電体の影響を取り入れて一般化したものとなっ ている. 以上のように本章の解析はう 式表示は幾分繁雑ではあるが? 数値 処理上の打切り以外はまったく近似を加えていない精密なものである. 第 4.4節， 第4.5節ではそれぞれ モーメント法による数値解析法， 具体的な 物理量の数式表現を与える. 第4. 6節の数値計算では境界面の間で多重反 射する高次の 格子 モードを十分な数だけ取り入れて行し~他の解法による

77

78 第4章平行2面の無限平板格子の偏波弁別特性

結果(14)，(17)，(23)と 比較して本手法が精度 よい解が与えることを確認する. そ の上で4.7節では， 偏波 弁 別特性の格子構造パラメータに対する依存性を ?

交差偏波 特性と 共に定性的 ， 定量的に詳しく調ベヲ 従来の報告結果(11)に比 べて有効周波数帯域を広くできることを 示す. それと 共に， この 依存性の データに基づいて， 弁別素子を設計するための効果 的なアルゴリズムを構 築する. 最後にこの アルゴリズムの 有効性を ， 具体的に素子を設計するこ とによって示す. 第 4.8節には本章で得られた結果をまと め ている.

4.2

問題の定式化

図4. 1に示す3種類の格 子構造の すべてにおいて? 平板導体 は z方向 に無 限長で厚みのない完全導体であり， 2つの 平面� 1

(x ==

_h1

==

_{0) お}

よび�2

(x ==ん==

h) の上に共通の周期Dで無 限枚並んでいるものと す

る. 平面�p (p

==

1，2)の上にある平板導体の幅， 中心軸を それぞれ2ωn

y

==

_{dp +}

q

_D

(q

== 0，土 1，土2γ・・)と 置くがヲ こ こでd1

==

_{0， d2}

==

_{dと して}

も一般性を失わない. 誘電体スラブの枚 数は図(a)， (b)， (c)の構造に対

してそれぞれOヲ 1， 2であるが， 最も一般的な図(c)に対する解析を主に 示すことにしよう. この構造では誘電体スラブの厚さはhd， 比誘電率は Erであり， このスラブを 2枚 ， 厚さがh -2hdで比誘電率が1の空気コア を はさんで平行に置くものと する. 誘電体スラブ が1枚 の場合(b)には以 後の 解析全体にわ たって極限操作ん→h/2を施せばよく， スラブを 装 荷 しない場合(a)には更に極限 hd→ Oま たはEr→1をとればよい.

入射 平面波の入射角と 偏波角の定義の仕方を 図4.2に示しているが? こ れは実は図2.2に補助的な平面 を加えう 視点を変えて描き直したものにす

ぎない. 従って， 入射角。0， ゆ0， 並び に偏波角ψの視IJり方 は既に2.2節 で説明したことと全く同じである. ま たう 角度。。が900 の場合 は， 入射

『司圃--

4.2 問題の定式化

projedion of ^k II1C

d-D

(ε0，μ0)

x

( a)真空中

projection of ^k II1C

d-D

(ε0，μ0)

:ε

d

d

(b) 1枚の誘電体スラブを装荷

projection of ^k II1C

d-D

(ε0，μ0)

x

d

(c) 2枚の誘電体スラブを装荷 図4.1:無限平板格子の断面

d+D

d+D

d+D ν

ー-ー­y

79

80 第4章平行2面の無限平板格子の偏波弁別特性

ψ== 900

:

H mode

。o == 900 : 2-D

problelTI

図4.2:入射角と偏波角

paraJ lel

LO

xy-planc

波の波数ベクトル kincが平板軸(z 軸)に直交する平面内に存在するため 2次元問 題 となる. 入射波は式(2.4)ヲ(2.5)で表されるが? これがE波 (H7c=O? ψ== 00)とH波(E?c=Opψ== 900)の重ね合せであることも

第2章と同様である. 更にヲ この形の 偏 波の分類法は入射波だけでなくう 後の 4.5.2項で反射・透過波の各モードに対しでも用いることにしよう.

全電磁界は電気型ヘルツポテンシャル IIを用いて

E ==

VV

. II + k�II， H==

ぞ

^{マxII (4.1 )}

と書ける. 但し? 下添字ν==0， 1はそれぞれ空気中ヲ 誘電体中を 指しヲ 各 媒質中での波数および波動インピーダンスは

ko ==ω0QiIÕ == 2π/入ぅ

k1 == ko0rう

:::毘j

^{( 4.2)}

司圃---

4.2 問題の定式化 ⁸¹

で与えられる. ここにヘルツポテンシャルはう ヘルムホルツ方程式

(V2

+

吋

^{)II== 0 (4.3)}

の解であるがう 導波系内の境界面がすべてz軸に垂直な平面であることよ りヲ IIはUぅ z成分のみをもっと仮定してよい. その証明は付録Dに与 えている. 解析の便宜上 ， これを

II==II川

土

^{IISC付) (4.4)}

と分解しておこう. ここに右辺の第1項(上添字pr : pnmary par七)はヲ 誘 電体スラブのみが存在するときの界ヲ すなわち入射平面波および媒質の境 界面から生ずる上・下向きの平面波の合成に対応している. またう 第2項 (上添字sc(q): sc attered part)は? 平面�q(q == 1， 2)の上に置いた平板導

体の 表面に誘起される電流から生ずる散乱波に関するものである.

導波系 が誘電体を含むため ， 散乱波に対応するヘルツポテンシャルの積 分表示を求める際には境界条件を満たすように式(2.11)を一般化する必要 があり ， その導出は極めて繁雑である. 従って 2.5.1項で述べた手順ヲ す なわちポアソンの和公式を用いて上述の積分表示を格子モードによる級数 展開表示に変換する方法は適用が困難となる. このことより本章ではう ヘ ルツポテンシャルを最初から式(2.76)の形で領域別に格子モード展開しヲ 後に境界条件を適用して展開係数を決定 する方式をとる. すなわち? 入射

角 と平板導体の配列周期から定まる周期条件

Wl(ν+Dぅz)== e

-

^{j ßo D} W 1 ( Yぅz) (ßo == ko

sin

()o

sinゆ0)

を満たす第l次のモード関数

WI(Y， z

)

== exp[-j(ß1Y +γz

)]

( 4.5)

( 4.6)

82

_{第4章 平}行2面の無限平板格子の偏波弁別特性 を用いてう入射波ぅ散乱波に対するヘルツポテンシャルを次の ように書く.

llpr

==

llsc(q) -

k何ザõ2 (作ι e

^{一づj戸mα的叩0}

k町了2S[J [ト一σ(υ似川11川1) sin α 1 叩O(x一hん川

l句ω

^{dυ )}

+ ".(ロ)叩α刈e。

K5285J[-7(1)mα川x

- h + hd) +γ(2) sinαOO( x - hd)] ^fþ

0 kï"28ï"01 [_0'(21)

sinαlO(X - h)

+σ(22) sinα川x- h + hd)] ^fþ

0 kü2 p(2) e-jαoo(x一九)ψ。

K52 E pjql)eJαOIXψl

kf i ^{st ト イ11)}

sin all(x - hd) 十ey九nαl/X

]

_ψl

K52 E

_U

[

_-7

j

q九nα山- h + hd)

∞ + T 吋j??qρ糾q2

吟 )

)

si

k町ザJf

2

E

_s吋訂示tl

卜

_σ

判 ^j

^{q ~nM刊 α引1仰一h川 )}

∞

+".吋j

ρ仰例2幻)sin

α向何1υ山l

5♂2 を p討j??円qρ糾2幻)e一州Z一川句 ψι

_l

(x <

0)

(0

^{< x < hd)}

(hd < xくh- hd)

(h - hd < x < h)

(h < x)

(x <

0)

(0

^<

x

^< hd)

(4.7)

(hd < x < h - hd)

(h - hd < x < h)

(h < x)

( 4.8) 但しヲこ こで用いた記号は

αν1

== (k; _{- ßl}

^-

ì2)1/2 αl(九一2hd)

COl + ^J

80 1

⁼⁼

e

Cl1 +

j 811 ₌₌ e Jαllhd

( 4.9)

で 定義した. このうちらlうんl は実数とする. 式(4.7)，(4.8)の右辺のベ クトル係数はヘルツポテンシャルと同様， yぅZ成分のみを もっ.

平板導体がないときのポテンシャルを表す式(4.7)について説明しよう.

係数ιは 入射平面波に対応し， 式(4.1)を通じ て得られた電磁界を 式(2.4)，

可---

4.2

_{問題の定 式化 83}

(2.5)と比較すればうその振幅係数は次 式で与えられることが分かる.

(:ら _'-y} パ) z ^I

⁼

⁼⁼ _{\ 0} ( ^{I 叫 叩}

^-

^{- �}

^{-u -- - - u -}

^{sec ゆ仇 川 �-- o}

^{T U}

_{} \} ^{I I} (

^-

^∞

^{s討l n}

^�

^-

^ψ

^�

^{j I}

^{( 4.1}

⁰

⁾

他の係数p(p)， T(P) ，σ(pq)は層状境界面における電磁界の接線成分の連続 性を用いて決定でき る.このうち反射係数p(l)，透過係数p(2) については 付録Cに具体的な表示を与えたがう係数r(p)う".(pq)の表現は以後の解析 および数値計算で不要なのでう記述を省略する.

散乱波に対応する式(4.8)は この時点で ，次の2つの条件を満たしてい る.

(i)ヘルムホルツ方程式:式(4.3).

(五)周期条件:式(4.5).

条件(五)に より特定のl周期内ぅ 例えば-D/2 < y-dq < D/2， ^z

== 0

のみで解析を行えば よいことに な る. 従ってう 本問題は以下の境界条件 (量)rv(吋)， 端点条件(v五)が満たされるように展開係数ρ�qp) (q ⁼⁼ 1，2;

p ==

1，2) を求めることに帰着した. 但しぅ散乱電磁界E民(q)うH配(q)はう

同じ上添字のヘルツポテンシャルII叫q) から式(4.1)を用いて導かれたも のを表す.

(五)散乱電界の境界面に平行な成分x x E吋)

(q ==

1，2)は 4つの面札

�2， x ⁼⁼ hd， X ⁼⁼ h - hdで連続である.

(加)散乱磁界の境界面に平行な成分企xH虻(q)(q

==

1ぅ2)は 3つの面�qぅ x ⁼⁼ hd， X ⁼⁼ h - hdで連続である.但し?こ れ以後は面番号に上 記号 ーを付けて相手側の面を指し示 す.すなわち1=2， 2= 1と表す.

(v)平面向(q

==

1，2) に含まれる平板導体上の表面電流密度

ゲq) (y)ニ x x Hsc(q)( x， yぅ

[ 川 ^: ::::

(4.1 1 )