解答例２次数学セレクション

(1)

電送数学舎 2006 −−

１ [九州大] I[= ORJ_[[とおくと ORJ

[ [ [ = − ′

I

ここでQ≧ H＜から

H QH Q＞ ≧

＜_Q＜_H すると曲線\= I[と直線

Q

\= はつの共

有点をもつ。よって I[=_Q は[＞の範囲

につの実数解をもつ。

まずQ≧からHQ_≦H_≦QH_となり _＜_[_≦_HQ

において I[は単調に増加し [≧QHにおいて

[

I は単調に減少する。

さて I = ＞= I Q

Q

α であり

(

)

Q Q

Q

Q QH QH

H I α

I = ≧ ＞ =

よって _I_＜_I_α_Q_＜_I

(

_HQ

)

_となり_＜_α_Q_＜_HQ_………＊また IQH= ORJ_QHQH≧ORJ_QHH＞_Q = IβQよりQH＜である。βQ

ここでQ→∞のときHQ →なので＊より

OLP =

∞ → Q

Q α

［解説］

微分法の基本問題です。の不等式は曲線\= I[を見ながら立式しました。

[ … H … ∞

[

I′ _＋ ₋

[

I −∞ _H

[ \

2 αQ H β_Q Q

(2)

電送数学舎 2006 −−

２ [岡山大] I[= ORJ[_[+に対して

ORJ ORJ

+ + +

− = + −

+ = ′

[ [

[ [[

[

I

J[=[−[+ORJ[+とおくと

ORJ

− + =− +

+ + − =

′ [ [

[ [ [

J

[＞において J′[＜となるので

J =

J [ ＜

これより I′[＜となり[＞において I[は単調に減少する。

すると＜D＜Eに対して ID＞IEとなり

E E D

D ORJ ORJ + +

＞ _ORJ_D₊E_＞_ORJ_E₊D よって_D₊E_＞_E₊D

［解説］

(3)

電送数学舎 2006 −−

３ [筑波大] [≧において _I[₌H[ ₋₊[_とおくと _I_′_[₌_H[ ₋_≧

よって[≧のとき I[≧I=となり H[ −+[≧………① また[≧において _J[₌ [H[ ₋H[ ₊₊[_とおくと

= + − + = + − + ′

[ [

[

[ _[ _[ _H

H H [ [H [

J

[ = [+ H[ + [+ [− H[ = [ + [ H[ ≧ ′′

J

よって[≧のとき J′[≧J′=より

J =

J [ ≧

[ H

H

[ [ _≧ [ ₋ ₊ _………②

①②より[≧のとき_≦_H[ ₋₊_[_≦[H[ L D＞E＞のとき

− − −

− ₊ ₊ ₊ ₊

= −

− Q Q Q Q Q Q

E E

D E D D E D E

D _"

_＜_DQ−₊_DQ−₊_DQ−₊_"₊_DQ− ₌_QDQ− よって_DQ ₋_EQ_＜_Q_D₋_E_DQ−

LL D=E＞のとき DQ −EQ =QD−EDQ− =

LLLよりD≧E＞のとき_DQ ₋_EQ_≦_Q_D₋_E_DQ−_………③

[≧のとき①よりHQ[ ≧₊_Q[＞_{となるので}_③より

(

) (

− +

)

(

−−

)(

Q

)

Q− [ Q

[ Q

Q Q [

H Q[ H

Q Q[

H ≦

(

)

Q

(

Q[

)

QQ [

[ _H

Q[ H

Q Q[

H − + ≦ −− − ………④

②より

( )

QH [ H Q[ Q [

H Q

[ Q

[

Q[ ₋ ₋ _≦ ₌ _{となるので}

(

)

H [ _QH

QH [ Q H

Q[ H

Q Q QQ [ [ [

[ Q Q Q

[

− ⋅ = −

− −

≦ ………⑤

④⑤より[≧のときH[

(

_Q[

)

Q [ _QH[ + ≦

−

［解説］

との不等式がの不等式を証明するための親切な誘導となっています。そっ

(4)

［東北大］

(1)

e x x

x

n

1 log 1 )

(   

f く ,

x x

n x

n 1 )

(

1   

 _

f

x＞0 い , 0f(x)＜ , )f(x 単調減少し,

0 1 1 ) 1

( ＞

e  

f ,

 

1 1 1 1 0

1

＜

n e n e

en    

f

, 0f(x) x≧1 た 1 解を。

(2) (1) , n

n e

x 1

1＜＜ , lim 1

1   

n

n e , 1

lim 

  n

n x

［解説］

(1) , lim ( )

x¥f x = -¥ 結論導けます , (2) ませ。そこ ,

) (x

f 式を眺め , x en

1

(5)

［京都大］

(1) ) ( ) ( 1 ) ( ) ( ) ( b a b a b a f f f f f   

 …… い , ba く , 0f(0) ,

) ( ) ( 1 ) ( ) ( 0 a a a a    

 f _f f_f , )f(a)f(a ………

また, い , ba く ,





2

) ( 1 ) ( 2 ) 2 ( a a a f f f   ,

 

  

   

  

0

2 1 1 2 1 2 1 2 2 1 ) ( ₂ 2 2 ≧ a a a a a f f f f f       

ここ ,

 

1

2 

a

f a 存在を仮定す , ,

 

1

2

2  

a _f a f

す ,

   

0

2 2

1 f a f a  , 条件反す。 , 0f(a)1＞ , 1f(a)＞ 。

さ , を用い , 1f(a)f(a)＜ , a 任意 f(a)＜1

以上 , 11＜f(a)＜あ。

(2) 両辺をb 微分す ,



 







2

) ( ) ( 1 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1 ) ( ) ( b a b a b a b a b b a f f f f f f f f f f         













2 2 ) ( ) ( 1 ) ( 1 ) ( b a a b f f f f     ……… 0 

b を代入す ,













2





2 2 ) ( 1 ) 0 ( ) ( 1 ) ( 1 ) 0 ( ) ( a a a a f f f f f

f  

  



 ………

す , (1) , 11＜f(x)＜ , ( ) 1



( )



0

2

＞

x

x f

f   , x＞0

0 ) 0 ( )

( f 

f x ＞

こ , , 0f(x)2f(x)f(x)＜

, )y f(x グラフ x＞0 上凸あ。

［解説］

0 ) 0 ( 

f 利用う , a b 適当関係を設定しいく , )f(x 奇

(6)

［九州大］

(1) 1 ) (   x x e e x

f 対し ,

2

2 ₍ ₁₎

) 1 ( ) 1 ( ) (      

 x x _x x x _x x e e e e e e e x f 4 2 ) 1 ( ) 1 ( 2 ) 1 ( ) (      

 x x _x x x x

e e e e e e x f 3 ) 1 ( ) 1 (    x x x e e e

また,

x e x _   1 1 ) (

f 変形す ,

1 ) ( lim    x

x f , 0xlimf(x)

こ , y1, y0 2 本漸近線存在し,

) (x

y f グラフ右う。

(2) )y f(x ⇔ ( )

1 _y

x f ,

1   x x e e

y , x い解く ,

y e

y x 

 ) 1 ( , y y x 

log₁ )(0＜y＜1

, y y y    1 log ) ( 1 f , x x x    1 log ) ( 1

f (0＜x＜1)

(3)









n n n n n n n n 1 log 1 1 log 1 1 1 1 1 log 2 1 1 2 1 log 1 1 2 1 1 1 _                _f f ,

 







_n _n

_

_

n

n n n n n n n n 1 1 1 log lim 1 log lim 1 1 2 1

lim 1 1

           

 f f

log1 1

e

［解説］

関数グラフ関す基本問題す。(3) , ひひあ予測しました ,

こ , しまいました。

x … 0 …

) (x

f ＋＋

) (x

f ＋ 0 －

(7)

［名古屋大］

b x

a≦ ≦ い , 曲線C : ylogx x 軸さ

また部分面積S ,





b a b

a xdx x x x

S



log  log 

a b a a b

b   

 log log

b y

a log

log ≦ ≦ い , 曲線 C y 軸さま

た部分面積T ,

S a a b b

T  log  log  ba

条件 , ST , )blogbaloga2(ba ,

2 log

log _

  a b

a a b b

………

以下, を満たすb(＞a) 存在す a(＞1) 範を求め。

ここ , f(x)xlogx く ,

1 log 1 log

)

(     

 x

x x x x

f

x

x) 1

( 



f ＞0

0 ) ( lim

0 



 x

x f , xlimf(x)

∞ , )y f(x

グラフ下凸 , 右う。

さ , , 2

) ( ) (

 

 a b

a

b f

f

………

す , を満たすb(＞a) 存在す a(＞1) 条件 ,

a b

a

  ( ) f( ) f( )

f ＜ ,

2 1 loga ＜

, 1＜a＜e あ。

［解説］

式を, 曲線割線傾しえ, 接線傾関係を形的処理し

います。

x 0 … 1 e …

) (x

f － 0 ＋

) (x f

e

1



O 1 a b _x

y

a

log

b

log

S

T P

Q

O 1 _x

y

e

1 

e

(8)

電送数学舎

−−

８［北海道大］

まず 24=$4より 4[ \は線分 2$ の垂直二

等分線上にあるので

D

[= ………①

また 24=34より 4は線分23の垂直二等分線上

にある。そこで 23 の中点の座標

(

FRVθ VLQθ

)

_と

VLQ FRV

23= θ θ より

(

FRV

)

VLQ

(

VLQ

)

FRVθ [− θ + θ \− θ =

VLQ FRVθ+\ θ =

[ ………②

①②より \VLQθ =−DFRVθとなり＜θ＜πからVLQθ ≠なので

θ θ

VLQ FRV D

\₌ − _………③

よって

(

)

θ θ

VLQ FRV

4 D −D _である。 ③より

θ

θ θ θ

VLQ

FRV FRV VLQ D D

\′= − −

θ θ

VLQ −FRV =D ＜D＜から右図のように D=FRVα とおくと\ の増減は右下表のようになる。

よってθ =αにおいて \ は最小となりこのとき

VLQα = −D から最小値は

VLQ

FRV

_D

D D D

\ = −

− − = −

=

α

［解説］

微分の応用についての頻出タイプの問題です。基本手法の確認のために適切な内容です。

θ … α … π

\′ − ＋ \

\

2 _[

$ 3

4

D

2 \

θ

π

−

π

α

(9)

電送数学舎

−−

９［名古屋大］

³

− −

= [ W GW [

I ……①より _I_′_[₌ ₋_[

また Jθ= IFRVθ− IVLQθ……②より

θ θ θ

θ

θ FRV VLQ VLQ FRV

I I

J′ =− ′ − ′

=− −FRVθ VLQθ − −VLQθ FRVθ =−VLQθ VLQθ −FRVθ FRVθ

①より I−=

=π

I I=πとなり②から

= I − I =π

J J

( )

π = I− I=−π

π = I − − I =−π

J J

(

π

)

= I− I−=π L ≦θ≦πのとき

θ

J′ =−VLQθ −FRVθ =− Jθ=−θ +&

ここで J=π から =π

& となり Jθ=−θ +π LL π≦θ≦π のとき

θ

J′ =−VLQθ +FRVθ =FRVθ Jθ=VLQθ +&

ここで J

( )

π =−πから

=−π

& となり Jθ=VLQθ −π LLLπ≦θ≦π のとき

θ

J′ =VLQθ+FRVθ = Jθ=θ +&

ここで Jπ=−πから

=− π

& となり Jθ=θ −π LY π≦θ≦πのとき

θ

J′ =VLQθ−FRVθ =−FRVθ Jθ=−VLQθ +&

ここで J

(

π

)

=πから =π

& となり Jθ=−VLQθ +π より L∼LYの場合をまとめる

と \=Jθのグラフは右図のよう

になる。

［解説］

合成関数の微分についての興味深い問題です。なおの I Iの値は四分円半円の面積をもとに導いています。

₊π

π

π π

₋π −

π

π − 2

\

θ

π

(10)

電送数学舎

−−

10 ［九州大］

曲線_\₌_H[_{上を動く点}₃_[_W _\_W_に対して

GW G[ H GW G[ G[ G\ GW

G\ ₌ _⋅ ₌ [

ここで Y =から

(

) (

+

)

= GW G\ GW

G[ _なので

(

)

₊

(

)

₌

GW G[ H GW

G[ [

₍

₎

[ H GW G[ + = ＞ GW

G[ _より

[ H GW G[ + = [ [ H H GW G\ + =

よって [=Vにおいて

V V H H Y + =

より

(

)

[ [ [ [ [ H H H H H GW G[ GW G[ G[G GW[ G + − = + ⋅ + ⋅ − = =

(

)

(

)

[ [ [ [ [ [ [ H H H H H H H GW G[ GW G\ G[G GW \ G + + − ₊ ⋅ ₊ = = [ [ [ [ [ [ H H H H H H + = + − + =

よって [=Vにおいて

V H V HV H −

+ =

α

より

V V V V V V V

V H H H_H H H_H

H + = + + = + +

=

α

ここでX＞に対して

X X X + =

I とおくと _α ₌ _I_HV_であり

X X X X X + + ⋅ − + = ′ I +XX

+ −

=

右表より IXはX=のとき最大値

をとり

これより α の最大値は

= である。

［解説］

大学入試ではあまり見かけない速度加速度を題材とした問題です。合成関数の微

分法がポイントです。

X … …

X

I′ _＋ ₋

X

(11)

電送数学舎

−−

11 ［神戸大］

I[=ORJ

(

D[+E−[

)

−[ORJD−−[ORJEに対して E

D [

E D[ D E

[ ORJ ORJ

− +

− =

′

I

{

}

[ E D[

E D [

− +

− −

= ′

I

D＞E＞から＜[＜において I′′[＜となる。まずW＞のとき JW=W−−ORJWとおくと

W W W W ₌ ₋ ₌ − ′

J

すると JWの増減は右表のようになる。

さてより I′=D_E−E−ORJD+ORJE=D_E −−ORJD_E

( )

E D J

=

DE D

E E D DE

D _ORJ _ORJ _ORJ

= − − + = − + ′

I =−J

( )

_DE

ここでD＞E＞から _ED＞＜_DE＜から I′＞ I′＜

さらにから＜[＜でI′[は単調減少であるので I′F=を満たす実数 Fは＜F＜の範囲にただつ存在することになる。

より I[の増減は右表のようになる。

また I= I=から ≦[≦ において

[ ≧

I となり

(

D[ E [

)

[ORJD [ORJE ORJ + − ≧ + −

(

D[₊E₋[

)

_ORJD[E−[

ORJ ≧

よって _D[₊_E₋_[_≧_D[_E−[_{が成り立つ。}

［解説］

曲線\=ORJ[が上に凸であることを題材としています。で平均値の定理を直接

的に利用しないときは上のような解になります。

W … …

W

J′ ₋ _＋

W

J

[ … F …

[

I′ _＋ ₋

[

(12)

電送数学舎

−−

12 ［東京大］

−＜[＜ [≠のとき [ [ [ [ [

ORJ

= + − − −

I とおくと

{

ORJ ORJ

}

ORJ ORJ

[ =_[ +[ −[_[− −[ =_[ +[ − [− −[

I

さらに J[=ORJ+[−[−ORJ−[とおくと [

[ [ [

[

− − + − −

+ = ′

ORJ

J [_[−ORJ−[

+ −

=

[ [

[ [ [

− + +

− + − = ′′

J

_[ [

[ [

− +

+

=

これより J′[≧ となり J[は単調に増

加し −＜[＜のときJ[＜＜[＜のと

きJ[＞となる。

すると −＜[＜ [ ≠のとき

ORJ

[ [ [ [ [ _[ _J [ ＞

I = + − − − =

よって _ORJ₋_[−[_＜_ORJ₊_[[ ₋_[−[_＜₊_[[_………_＊

＊より ₋_[−[₊_[−[_＜₊_[[₊_[−[_となり [

[ [ ₊ − −

_＜

− =

[ とおくと _＜

また＊より₋_[−[₋_[[_＜₊_[[₋_[[_となり [

[ [ − ＜ −

=

[ とおくと _＜

以上より_＜_＜_{が成り立つ。}

［解説］

微分法の不等式への応用問題です。なおの式変形については結論の不等式を

₋ − + _＜ ₋ − _＜ ₋ − _{とみて方針を立てました。}

[ − … …

[

J′′ ₋ _＋

[

J′

[ − … …

[

J′ _＋ _＋

[

(13)

電送数学舎 2010

−−

13 [東北大]

; ; ;

; ₌ ₊ ₋

I に対して

₌ ₊ ₋ ′ ; ; ;

I

=; +; −

= + = + ′′ ; ; ;

I

これより< = I;のグラフの概

形は右図のようになる。

さて\＜[＜Dを満たすすべての[\に対して

\

D D [ \ D

\ [ [

− − +

−

I I

I ＞ ………①

ここで\＜[＜Dのとき;<平面上で点\ I\

D I D を結ぶ線分と直線 ; =[ との交点を

[ J [ とおくと

[ [ \ _D _[D _[D [_\ \ −

+ −

− + −

= I I

J

[ \ D_D _\D [ \ −

− + −

= I I ………②

①②より与えられた条件は\＜[＜Dを満たすすべての[\に対して

[ J [

I ＞

すなわち< = I;のグラフが;＜Dで上に凸であることを意味する。

よって求めるDの範囲は D≦−である。

［解説］

計算のみで処理をするには計算量が多くなりすぎるので不等式の意味を考え

直感的に解いています。

; … − … − … …

;

I′ _＋ ₋ ₋ _＋

;

I′′ ₋ ₋ _＋ _＋

;

I −

−

− 2

(14)

>ᒸᒣ኱@ (1) f( )x =e-x2ࡼࡾ,

2 ( )x 2xe-x ¢ =

-f

ࡉ࡚, ⅬA ( ,a f( ) )a ࡟࠾ࡅࡿ᥋⥺lࡣ,

2 2

2 ( )

a a

y-e- = - ae- x-a

2 ₂ 2

2ae-a x+ -y ( 2a +1)e-a =0

⥺ศOPࡢ㛗ࡉࡣ, ཎⅬO࡜┤⥺lࡢ㊥㞳ࡼࡾ, 2

2 2

2 2 2 2

( 2 1) 2 1 OP

4 1 4

a

a a

a e a

a e a e

-+ +

= =

+ +

(2) ┤⥺ l ࡢἲ⥺࣋ࢡࢺࣝࡢᡂศࡀ,

2 2 2

( 2ae-a , 1)=e-a ( 2 ,a ea )ࡼࡾ, OP

JJJG

࡜ྠࡌྥ

ࡁࡢ࣋ࢡࢺࣝࢆu

JG 2 ( 2 ,a ea )

= ࡜ࡋ, ࡲࡓOQ

JJJG

࡜ྠࡌྥࡁࡢ࣋ࢡࢺࣝࢆv

G

( 0, 1)

= ࡜

ࡍࡿ࡜, u

JG

࡜v

G

ࡢ࡞ࡍゅ ࡣ, 2

2

2 2

cos

4 a

a u v e u v _a _e

⋅

= =

+ JG G

JG G

ࡼࡗ࡚,

2

2 2

2

2 2 2 2

4 sin 1

4 4

a

a a

e a

a e a e

= - =

+ + ࡜࡞ࡾ, 0ӌ ӌ ࠿ࡽ,

2

2 2

2 sin

4 a a

a e =

+

(3) t=2a2Ӎ0࡜࠾ࡁ, ( ) 2 2 t

t t

t e =

+

g ࡜ࡍࡿ࡜, (2)ࡼࡾ, sin = g( )t ࡜࡞ࡿࠋ

2 2( 2 ) 2 ( 2 ) ( )

( 2 )

t t

t t e t e t

t e

+ - +

¢ =

+

g

2 2(1 ) ( 2 )

t

t t e t e

-=

+

ྑ⾲ࡼࡾ, ( )g t ࡣ, t=1ࡢ࡜ࡁ᭱኱್ 2

2+eࢆ࡜ࡿࠋ

ࡼ ࡗ ࡚, sin ࡀ ᭱ ኱ ࡜ ࡞ ࡿ ࡢ ࡣ, 2

2a =1࠿ ࡽ 1 2

a= ࡢ ࡜ ࡁ ࡛ ࠶ ࡾ, sin ࡢ

᭱኱್ࡣ 2

2+e ࡛࠶ࡿࠋ

㹙ゎㄝ㹛

ィ⟬ࡀࡸࡸ㞴ࡢ㒊ศࡶ࠶ࡾࡲࡍࡀ, ᚤศ࡟ࡘ࠸࡚ࡢᶆ‽ⓗ࡞ၥ㢟࡛ࡍࠋ

t 0 ͐ 1 ͐ ( )t

¢

g 㸩 0 㸫

( )t

g ₂₊2_e

A P Q

l l¢

O x

y

(15)

>஑ᕞ኱@ (1)

2 2

( )x =(x +2x+ -2 a )e-x

f ࡟ᑐࡋ࡚,

2 2

( )x ( 2x 2 )e-x (x 2x 2 a )e-x

¢ = + - + +

-f = -(x2-a2)e-x

ࡇ ࢀ ࡼ ࡾ, ( )f x ࡢቑῶࡣྑ⾲ࡢࡼ࠺࡟࡞ࡿࠋ

ࡼࡗ࡚, ᴟ኱್ࡣf( )a ( 2 2 ) a a e

-= + , ᴟᑠ

್ࡣf(-a) ( 2 2 ) a a e

= - + ࡛࠶ࡿࠋ

(2) xӍ3 ࡢ ࡜ ࡁ,

3 3

( )x =27e- -x e-x

g ࡜ ࠾ ࡃ ࠋ

2 3

( )x 3x e-x x e-x

¢ = - +

g =x2(x-3 )e-xӍ0

ࡼࡗ࡚, ( )g x Ӎg( 3 )=0࡜࡞ࡾ,

3 x ₂₇ 3

x e- ӌ e- ࡀᡂ❧ࡍࡿࠋ

ࡍࡿ࡜,

3

2 27

0 x e x e x

-㸺 ӌ ࠿ࡽ,

2

lim x 0 x x e

-¥ =

(3)

2 ₂ ₂

y=x + x+ ࡢࢢࣛࣇ࡜

2 x

y=ke +a ࡢࢢࣛࣇࡢඹ᭷Ⅼࡢಶᩘࡣ,

2 ₂ ₂ x 2

x + x+ =ke +a , (x2+2x+ -2 a2)e-x =k

ࡼࡗ࡚, ( )f x =kࡢ␗࡞ࡿᐇᩘゎࡢಶᩘ࡟୍⮴ࡋ, ࡉࡽ࡟, ( )y= f x ࡢࢢࣛࣇ࡜ y=kࡢࢢࣛࣇࡢඹ᭷Ⅼࡢಶᩘ࡟➼ࡋ࠸ࠋ

ࡑࡋ࡚, lim ( )

x-¥f x = ¥࡛࠶ࡾ, ࡲࡓ(2)ࡼࡾ,

(

2

)

2 2 2 2

lim ( ) lim 1 x 0

x x

a

x x e

x _x

-¥ ¥

-= + + =

f

ࡇࢀࡼࡾ, ᴟᑠ್ࡢ➢ྕ࡛ሙྜศࡅࢆࡋ࡚, (i) (-2a+2 )ea㸼0 ( 0㸺a㸺1)ࡢ࡜ࡁ

( )

y= f x ࡢࢢࣛࣇ࡜y=kࡢࢢࣛࣇࡀ␗࡞ࡿ3Ⅼ࡛஺ࢃࡿ᮲௳ࡣ,

(-2a+2 )ea㸺k㸺( 2a+2 )e-a

(ii) (-2a+2 )eaӌ0 (aӍ1)ࡢ࡜ࡁ

( )

y= f x ࡢࢢࣛࣇ࡜y=kࡢࢢࣛࣇࡀ␗࡞ࡿ3Ⅼ࡛஺ࢃࡿ᮲௳ࡣ,

0㸺k㸺( 2a+2 )e-a

㹙ゎㄝ㹛

ㄏᑟࡀ㠀ᖖ࡟⣽࠿࠸ၥ㢟࡛ࡍࠋㄏᑟࡀ࡞ࡃ, (3)ࡢࡳࡢฟ㢟࡛ࡶ᏶⟅࡛ࡁࡿࡇ࡜ࡀᮃ

ࡲࢀࡲࡍࠋ

x ͐ -a ͐ a ͐

( )x ¢

f 㸫 0 㸩 0 㸫

(16)

>⚄ᡞ኱@

(1) ( )f x = -x 2logx࡜࠾ࡃ࡜, ( )x 1 2 x 2 x x

-¢ = - =

f

xӍ1࡟࠾࠸࡚, ( )f x ࡢቑῶࡣྑ⾲ࡢࡼ࠺࡟࡞ࡾ,

( 2 )= -2 2log 2=2( loge-log 2 ) 0㸼 f

ࡼࡗ࡚, xӍ1ࡢ࡜ࡁ f( ) 0x 㸼 ࠿ࡽ, 2logx㸼 x (2) ࡲࡎ, n=1ࡢ࡜ࡁ, 0㸺1࠿ࡽ

2 log

( 2 log )n n n㸺e n nࡣᡂ❧ࡍࡿࠋ

ḟ࡟, 2௨ୖࡢ⮬↛ᩘn࡟ᑐࡋ࡚, (1)ࡼࡾ, 2logn㸺n࡜࡞ࡾ,

2 2 logn n㸺n

ࡇࡇ࡛, ᑐᩘ㛵ᩘࡣ༢ㄪቑຍ㛵ᩘࡼࡾ, 2

log( 2 log )n n 㸺logn , log( 2 log ) 2 logn n n 㸺 n n, log( 2 log ) 2 log n

n n 㸺 n n

ࡼࡗ࡚,

2 log

( 2 log )n n n㸺e n nࡀᡂ❧ࡍࡿࠋ

㹙ゎㄝ㹛

(2)ࡣ⤖ㄽࢆྠ್ኚᙧࡋࡓࡶࡢࢆ, 㡰ᗎࢆኚ࠼࡚グࡋࡓࡶࡢ࡛ࡍࠋ᭱ᚋࡢၥ㢟࡞ࡢ࡛,

(17)

−−

17 [九州大]

_{D [} _[ _Q _{Q [} _{……①に対して}_{W [} _とおくと

\

^

D W W Q QW _{D W} _W _W _Q _QW_………② L Dのとき ①は実数解[ をもつ。

LL Dvのとき ①が実数解をもつ条件は②が実数解をもつ条件に等しい。 ②より_W _W _W _Q Q_W

D ………③

③はWを解としてもたないのでWのとき

Q

W W Q _D WW Q_W _DQ ここで I W W Q_W Wとおくと

W Q W Q

W W

a

I

またWのとき③は W Q_W _DQ

W W Q_W

I Wとおくと

W Q W Q

W W

a

I

したがって③が実数解をもつのは

Q _Q

D ≧ ………④ DQ≦ Q………⑤ ④より Dのもとで

Q D

Q

≦ ⑤よりDのもとで

Q D

Q

≧

LLLより①が実数解をもつDの範囲は

QQ D QQ

≦ ≦ ………⑥

Q≧ のとき Q

＜ ≦ となり

QQ Q

Q Q

Q

から

_QQ

＜ ≦

Q Q

＜ ≦ である。

よって⑥がすべての自然数Qに対して成立する条件は ≦ ≦ となる。D

［解説］

与えられた方程式を定数分離してグラフをイメージして解いています。その際絶対値の取り扱いに注意が必要となります。

W … Q … a W

I − ＋

W

I d Q

W … Q … a W

I ＋ −

W

(18)

−−

18 [東北大]

$% %3[に対し 3$%· θとおくと

VLQθ[ _FRV_θ _[ さて %34_· π_{から $34}

π

· となり

34% π _θ

· 3%4_· π _θ

34\から△34%に正弦定理を適用して

VLQ VLQ \ [

π _θ π _θ

よって FRV

VLQ FRV FRV VLQ [

\ θ

π _θ π _θ

FRV FRV [ VLQ

θ

θ θ

[ [ [ [

π

θ においてより VLQ FRV

FRV VLQ VLQ FRV \ θ θ

θ θ

さて θ _VLQ _FRV

θ θ

I とおくと \

θ

I となり

VLQ FRV

θ θ

θ

θ θ

a

I VLQ FRV

VLQ FRV

θ θ

ここで _VLQ_α_FRV_α_となる_α _をとると

θ

I の増減は右表のようになりθ α のとき θ

I は最小となる。

すなわちθ αで

\は最大となる。

このとき _[ _[

_から_[_[ _となり _[ _[ _[

したがって

\が最大となる[は

[

である。

［解説］

正弦定理の応用です。ただは計算の工夫が必要です。特に I θ を設定する

部分が重要で何回か微分に詰まって考えつきます。

θ … α … π θ

a

I − ＋

θ

I

3

$ ₄ %

π θ

π

θ

π θ

(19)

−19−

19 [岡山大]

(1) 点(1, 2 )を通る傾きtの直線lは, 2y t x( 1), ytx t 2………①

また, 原点を通り, lに垂直な直線は, xty0………②

①②を連立して, (xt tx t 2 )0, (t21)x t2 2t

2 2

2 1

t t x

t

………③,

3 2

2 2

2

2 ₂

1 1

t t t

y t

t t

………④

よって, ①②の交点Pの座標は, 2

2 2

P ,

1 1

t t t

t t

となる。

(2) ③④で表される点Pの軌跡と2次曲線2x2ay0……⑤を連立して,

2 2

2 0

1 1

t t t _a

t t

_¸

,

2 2 2

2 (t t2 ) a t( 2 )(t 1)0

3 2 2

(t2 ){ 2t 4t a t( 1) }0………⑥

ここで, 点Pの軌跡と曲線⑤が3点のみを共有する条件は, ⑥が異なる実数解を

3 つだけもつことに対応する。ここで, 2t34t2a t( 21)0……⑦が解t2を

もつときはa0となり不適となり, ⑦がtv2

である実数解を2つだけもつ条件を求めると,

3 2 2

2 4

1

t t a

t

………⑧

さて, ( ) 23₂ 4 2

1

t t t

t

f とおくと,

2 2 3 2

2 2

( 6 8 )( 1) ( 2 4 ) 2

( )

( 1)

t t t t t t

t

¸

a

f

2

4 2

2 2 2 2

2 ( 1)( 4 )

2 6 8

( 1) ( 1)

t t t t t t t

t t

lim ( )

tldf t d, limtldf( )t dより, ( )y f t のグ

ラフは右図のようになり, ⑧がtv2である 2 実数解を

もつ条件は, a1である。

このとき, ⑦は, 2t33t2 1 0, (t1) ( 22 t1)0となるので, ⑥の実数解は, 1

2, 1, 2

t となる。

すると, ③④より, 3 つの共有点の座標は, t2のとき( ,x y)( 0, 0 ), t1の

とき_{( ,} ₎ 1_, 1

2 2

x y , 1

2

t のとき( ,x y)(1, 2 )である。

［解説］

微分の応用問題です。なお, 点 P の軌跡は, 原点と点(1, 2 )を直径の両端とする円

(ただし点(1, 0 )を除く)となり, tの値と点Pの位置は1対1に対応します。

t … 0 … 1 … ( )t

a

f ₋ ₀ _＋ ₀ ₋

( )t

f 2 ₀ _/ ₁ 2

O _t

y

1 1

(20)

−20−

20 [東京工大]

x＞0において, ( )f x exxeとおくと,

1 1 1

( )x ex exe e e( x xe )

a

f

ここで, g1( )x ex1, g2( )x xe1とし, F x( )logg1( )x logg2( )x とおくと,

( ) 1 ( 1) log

F x x e x

( 1)

1

( ) 1 e x e

F x

x x

a

すると, ( )F x の値の増減は右表のようになり,

(1) ( ) 0

F F e に注意すると, 1 e 1 eから,

0 x 1またはexのときF x( )0, 1 x eのときF x( )0となる。

さらに, ( )fa x の符号とF x( )の符号

は一致することより, ( )f x の値の増減

は右表のようになり,

0

lim ( ) 1

xl f x

lim ( ) lim ( x e) lim x 1 e

x

x x x

x

x e x e

e

ldf ld ld d

これより, x＞0 におけるy f( )x のグラフは右図のよ

うになり, 直線ykとの共有点の個数を調べると, 方程

式_ex_xe_k_{の異なる正の解の個数は}_,

0

k のとき0個 0

k , 1k e のとき1個 0＜ ≦k 1, 1k e のとき2個

1 k e 1のとき3個

［解説］

微分の応用問題ですが, スムーズな処理を行うために, 上の解答例では, 対数をと

りました。なお, lim e 0

x x

x e

ld は, 証明なしで利用しています。

x 0 … e1 … ( )

F xa ₋ ₀ _＋

( )

F x 2 _/

x 0 … 1 … e …

( )x a

f _＋ ₀ ₋ ₀ _＋

( )x

f / e1 2 0 /

1 1

e

O x

y

(21)

−21−

21 [東京大]

cos

( )x x

x

f , ( )g x sinxaxを連立すると, cosx sinx ax

x より,

2

cosx sinx _a x

x , 2

cosx xsinx _a x

さて, h x( ) cosx ₂xsinx

x

とおくと, x＞0 において, ( )y f x のグラフと

( )

yg x のグラフが共有点をちょうど 3 つもつ条件は, ( )yh x のグラフと直線

yaが共有点をちょうど3つもつ条件に等しい。

2

4

( sin sin cos ) ( cos sin ) 2

( ) x x x x x x x x x

h x

x

¸

a

2 2

3 3

2

cos 2cos x _cos

x x x _x

x x

ここで, nを0以上の整数とすると, ( )h xa 0の解は,

2

xnππ となり,

( 1) 2 ( 1) 1

2 ( 2 1)

2

n n

h n

n n

π π

π

¸

すると, ( )h x の増減は下表のようになり,

x 0 … π₂ … 3₂π … 5

2π …

7

2π …

( )

h xa ₋ ₀ _＋ ₀ ₋ ₀ _＋ ₀ ₋

( )

h x _∞ 2 2 π

_/ 2

3π 2

2 5π

_/ 2

7π 2

これから, ( )h x は n が偶数のとき負の極小値をもち, その値は n の値の増加に伴

って増加する。また, n が奇数のとき正の極大値をもち, その値は n の値の増加に伴

って減少する。

以上より, 共有点をちょうど3つもつ条件は,

2 5

a

π , 2

2

7π a 3π

［解説］

定数分離によって, 共有点の個数を調べるという頻出のタイプです。なお，解答例

(22)

22 [千葉大] (1) 1 3

4≦x≦4 い , ( ) x

x =x

f , ( )g x = f( ) (1x f -x)=xx(1-x)1-x す ,

log ( )g x =logxx(1-x)1-x =xlogx+ -(1 x) log(1-x)

両辺をx 微分す ,

( ) ₁

log log(1 )

( ) 1

x _x _x

x x

x x x

¢

-= + - - -

-g g

log 1

x x =

-( )x >0

g , ( )g x 増減右表う

, そ最大値

4₂₇

4

(

)

3 1 , 4 4

x= , 最値 1

2

(

)

1 2

x= あ。

(2) 1 3

4≦x≦4 い ,

( ) (1 ) ( ) ( )

( ) ( (1 ) )

x x a

h x

ax a x

-= f f _-f

f f す ,

( )

h x

1

(1 )

(1 ) ( ) ( (1 ) )

x x a

ax a x

x x a

ax a x

-=

-1

(1 ) (1 )

(1 ) (1 ) x x a

ax ax a x a x

x x a

a x a x

--

-=

=xx ax- (1-x)1- -x a(1-x)aa ax a- - (1-x)=xx(1-a)(1-x)(1-x)(1-a) ={xx(1-x)1-x}1-a={ ( ) }g x 1-a

こ , ( )h x 最値い , (1) , (i) 1-a≧0( 0＜a≦1) 1

2

x= 最値

( )

1

1 2

a

-を。

(ii) 1-a＜0(a＞1) 1 , 3 4 4

x= 最値

(

)

4 ₁

27 4

a

-を。

［解説］

微分増減問題す。(2) , 一見, 複雑そうす , (1) 結果うまく利用

う作問さいました。

x 1₄ …

1

2 …

3 4 ( )x

¢

g － 0 ＋

( )x

(23)

23 [大阪大]

ま , ( ) ( ) 1

2 x x

e e

x = ⋅t + - + t - -x

g f く , 条件 , ( )g x ≧0 g( )x =0

x 存在すこ ,

( ) 1

2 x x

e e

x t -

-¢ = ⋅

-g , ( )

2 x x

e e

x t +

-¢¢ = ⋅

g

す , t>0 g¢¢( )x >0 , g¢( )x 単調増加し, lim ( )

x-¥g¢ x = -¥, limx¥g¢( )x = ¥

, g¢( )x =0 x た 1 存在し, こを

x= く , ( )g x 増減右表う , 条件 , (g )=0 あ。

さ , ( ) 1 0

2

e e

t  

 -

-¢ = ⋅ - =

g ,

2

e e

t

_- - ₌ _, 2 2

1 0

e e

t

_- _{- =} _, 2

2

1 1

1 1 ₁ t

e

t _t t

 _{= +} _{+ =} + +

す , ( ) ( ) 1 0

2

e e

t   t

 = ⋅ + - + - - =

g f ,

(

1 1 2 ₂

)

1 1 2

( ) 1 log 0

2 ₁ ₁

t t

t t _t

t _t t

+ + ₊ ₊ _{- -} + + ₌

+ + f

ここ ,

2

1 1

t _t

+ + ₊

+ +

2 2 2

1 1 t 1 1 t 2 1 t

t t t

+ + - + + +

= + = ,

2 2

2 1 1 1

( ) 1 log

2

t t

+ + +

= - ⋅ + +

f

2

2 1 1

1 1 t log t

t

+ +

= - + +

［解説］

一見, 難問風問題設定す , 誘導くムー流います。

x …  …

( )x ¢

g － 0 ＋

( )x

(24)

24 [熊本大] (1) ま ,

log ( )x x

x =

f く ,

2

1 log

( )x x

x

-¢ =

f

す , ( )f x 増減右表う

, グラフ概形右下あ。

こ , 正実数a, b, c い ,

loga logb logc 1 1 1 3

a + b + c ≦e+ + =e e e

2 log 2 3

3 2 2.7 0.6 3

log 4 e 0

e e e

- _´ _´

-- = > >

, 3 log 4

e< ,

log log log

log 4

a b c

a + b + c <

(2) a b cbc ca ab =dabc (a≦b≦c, 3d≧ ) 対し , log log bc ca ab abc

a b c = d ,

log log log log

bc a+ca b+ab c=abc d, loga logb logc logd

a + b + c =

す , (1) logd<log 4 , d 3以上整数 , 3d= あ。 log log log

log 3

a b c

a + b + c = (a≦b≦c)………( )

さ , ( )を満たす1組整数解し , ( ,a b c, )=( 3, 3, 3 ) あ。

ここ ,

log 3 log 2 log 9 log 8

( 3 ) ( 2 ) 0

3 2 6

-- = - = >

f f ,

0= f(1)< f( 2 )< f( 3 )> f( 4 )> f( 5 )>

す ,

log log log log 3

( 3 ) ( 3 ) ( 3 ) 3 log 3 3

a b c

a + b + c ≦f +f + f = ⋅ = , 等号

成立す , すわ ( )を満たす整数解 , ( ,a b c, )=( 3, 3, 3 ) あ。

［解説］

(2) い , 1 組整数解す目視わます , そ以外存在し

いいう形式記しいます。 f( )x グラフ役立たわけす。

x 0 … e … ¥

( )x ¢

f ＋ 0 －

( )x

f _-¥ _ 1

e  0

O 1 2 e ₃ x y

1

(25)

25 [九州大]

nを2以上自然数し , n次関数 f_n( )x 対し ,

(

1

) (

1

)

( ) ( 1)( 2 1) ( 1) !( 1) 2

n x x x nx n x x x

n

= - -  - = - - 

-f

す , (1)

( )

1

( )

1 0

2

n n n

n

= == =

f f f , 平均値定理 , fn¢( )c =0を

満たす c 各区間1 1

1

x

n< <n- , …, 1

1

3< <x 2, 12< <x 1 い , 少く 1

存在す。

また, f_n¢( )x n-1次関数 , 方程式 f_n¢( )x =0 実数解 , 高々n-1個あ。 , fn¢( )c =0を満たすc , 各区間1 1

1

x

n< <n- , …, 1

1

3< <x 2, 12< <x 1

い , 1 存在すこ。

こ c をc=c₁, c₂, , c_n-₁

(

1 ₁ 1 1 n

c

n< - <n- , …, 2

1 1

3<c <2, 1

)

1 ₁

2<c <

く , f_n¢( )x n-1次係数 n n⋅ ! ,

1 2 1

( ) !( )( ) ( )

n¢ x = ⋅n n x-c x-c  x-cn

-f

こ , f_n¢( )x 符号 x=c_k(k=1, 2, , n-1) 前後変化す。以上 , ( )f_n x , 区間 1 1

1 x

k+ < <k (k=1, 2, , n-1) た 1 極値

を。

［解説］

グラフを対応させ , 感覚的わます , 証明書くく, 隔靴

(26)

26 [東京工大]

(1) ま , 0t> , ( ) 1 2 t t

t = - -e te

f く ,

(

)

2 2 2 2

( ) 1

2 2

t t t t

t t t

t e e e e e

¢ = - - =

-f

さ , ( ) 2 1

2 t

t

t =e

-g く , ( ) 1 2 1 1

(

2 1

)

2 2 2

t t

t e e

¢ = - =

-g

す , t>0 , ( )g¢ t >0 g( )t >g( 0 )=0 , すわ f¢( )t >0 , ( )f t > f( 0 )=0 あ。

, す t>0 対し , 不等式 1 2 t t

e _e

t

-≧ 成立。

(2) (1) 同様し , 0t> , ( ) 1 t

t _a

h t = - -e te く ,

(

1

)

( ) 1

t t a _t t

t _a t _a _a t _a

h t e e e e e

a a

-¢ = - - =

-1

( ) 1

a _t

a t

k t e

a

-= - - く ,

(

)

1 1

1 1 1 1

( )

1

a _t a _t

a a

k t e e

a a a a

-

--

-¢ = - =

-さ , a>1 , 1 0

1

a- > ,

1 ₀

a a

- > ,

(i) 0 1 1 1

a

-＜ ≦ (a≧2 )

0

t> い , ( )k t¢ >0 k t( )>k( 0 )=0 , すわ h t¢( )>0 , ( ) ( 0 ) 0

h t >h = あ。

, す t>0 対し , 不等式 1 t t

a

e _e

t

-≧ 成立。

(ii) 1 1 1

a- > (1< <a 2 )

0

t> い , ( )k t¢ =0 t た 1

存在す。こを く k t( ) 増減

右表う , (k )<0, lim ( ) t¥k t = ¥

,  < を満たすあ  対し , (k )=0 。

すわ , (h¢ )=0 あ。す , ( )h t 増

減右表う , す t>0 対し

( ) 0

h t > , すわ 1

t t

a

e _e

t

-≧ 成立しい。

(i)(ii) , 求め a 範 , 2a≧ あ。

［解説］

微分法不等式応用問題す。 , lim ( )

t¥k t = ¥ 証明し用いいます。

t 0 …  … ∞

( )

k t¢ － 0 ＋

( )

k t ₀  _

t 0 …  …

( )

h t¢ － 0 ＋

( )

解答例 ２次数学セレクション

(

)

(

)

［解 説］

［解 説］

(

) (

)

(

)(

)

(

)

(

)

( )

(

)

(

)

［解 説］

 

［解 説］





 

  

   

  

 

 

 

   



 







































［解 説］









 











［解 説］







［解 説］

(

)

(

)

(

)

(

)

解答例２次数学セレクション

［解説］

［解説］

［解説］

［解説］

［解説］

_

_

［解説］

［解説］

［解説］

［解説］

₍

₎

［解説］

［解説］

［解説］

［解説］

［解説］

［解説］

［解説］

［解説］

［解説］

［解説］