電子物性
講義資料 情報エ 電気 電子通信コ 2 後期 (高橋)
講義 前期 開講さ 電子物性 内容 引 い 固体 金属や半 体 中
電子 挙動 運動 電気伝 エネ 分布 理解 目的 講義 初
量子力学 基本 学 引 後半 教 書 流 従い第8章 第9章 時間 許 ば
第10章 一部 扱う 資料 電子物性 時間的 制約 あ 捨選択 行 必
須 思わ 部分 教 書 記述 わ い 考え 部分
補足資料 使 明 行う
講義前半 電子物性 扱 量子力学 始 電効果や 水 素原子
元 量子力学 基本方程式 あ ュ ン 方程式 入 井戸型
ン や ン 段差等 対 応用 電子状態 エネ う
計算さ 示 教 書第2章§ 記述 あ 資料 詳 明
目次
§ 波動 微分方程式 単
．波動： 進行波 ．波動： 定 波 ．複素数表示 ．微分方程式
．物理量 単
§ 量子力学： 基本方程式
§ 波動関数 意味
§ 定常状態： 時間 含 い ュ ン 方程式
§ 次元自由粒子
§ 力 ン
§ 無限 壁 次元井戸型 ン
§ 有限 壁 次元井戸型 ン
§ 確率 流 密
§ 次元段差型 ン 次元 ン 段差
§
波動
微分方程式
単
講義 必要 波動 微分方程式 い 復習
複素数 扱 関 注意
講義 虚数単 i 用い i
2
= 1
複素数 実数 虚数 和 a b 実数 複素数
a + ib
表現さ a 実部 Real part b 虚部 Imaginary part 呼ば
複素共役 うや 共役複素数
あ 複素数 C = a + ib 対 C* = a ib C 複素共役 呼 例えば
5 + i3 複素共役 5 i3 あ 逆 5 i3 複素共役 5 + i3 あ
あ 複素数 C 複素共役 C* 積 必 正 実数
C = a + ib C* = a ib 積 CC* = (a + ib)(a – ib)
= a2 – iab +iab +b2
= a2 + b2
量 方根 複素数 C 絶対値 |C| 呼
2 2
*
C
CC
a
b
例えば 複素数 5 + i3 考え 複素共役 5 i3 絶対値
5
i
3
(
5
i
3 5
)(
i
3
)
25 9
34
波動： 進行波
x軸方向 進 波 一般 次 う 書
cos(
)
cos cos(
)
sin sin(
)
cos(
)
sin(
)
y
A
kx
t
A
kx
t
A
kx
t
a
kx
t
b
kx
t
k：角波数 単 m
2
k
: 波長：角周波数 単 s
2
f
f: 周波数振動数 記号 ュ 場合 あA：最大振幅 周波数 f 波長 使
2
2
cos(
)
y
A
x
ft
書以 簡単 = 0 場合
y
A
cos(
kx
t
)
考え周波数及 角周波数 い
周波数 間 振動 回数 =
１秒
１回
振動に要する時間
0
1m
波
１周期
0
t
t
y
0
A
cos(
t
0)
次 再 振動
0
y
や 時刻0 0 0
2
2
cos(
)
cos{ (
)}
y
A
t
A
t
0
2
t
t
y
0 戻 回 振動 要 時間2
周波数
1
2
2
/
2
f
f
波数 波長 関係
波数 単 長さ m 中 波 一周期 何個入 い 示
波数 =
1 m
波長
例： 右 場合
場合 波数 = =
1
角波数 = x 波数 =2
次
y
A
cos(
kx
t
)
進行波 あ 示 0t
t
い0 0
cos(
)
cos
t
y
A
kx
t
A
k x
k
−0
t
t
t
い0 0
cos(
)
cos
y
A
kx
t
t
t
t
A
k x
k
k
−
一 般
y
f x
( )
い う 関 数 対0
(
)
y
f x
x
y
f x
( )
x方 向 x0行移動 x方向
t
k
(1)
(2)
t
k
x
y
cos(
)
y
A
kx
t
x軸正方向 進 波 あ 示 い更 時間
t
間 距離t
k
進 い 波 速
f
k
あ 波 速c
c
f
関係 成立 同様 考え ばy
A
cos(
kx
t
)
x軸負方向進 波 表 い
波動： 定 波
同
k
, ,
A
持 進行波 右 や 場合 考え 波 重 合わcos(
)
cos(
)
2 cos(
) cos(
)
y
A
kx
t
A
kx
t
A
kx
t
複素数表示
オ 公式
cos
sin
ie
i
i 虚数単 あ
2
1
i
オ 公式 辺 右辺 展開 ば等 い わ 使 波動 次 う 書 場合 あ
( )
exp
cos(
)
sin(
)
i kx ty
Ae
A
i kx
t
A
kx
t
iA
kx
t
複素数表現 使う理由
電磁気学 電気回路 場合： 微分 積分等 計算 簡単
( )
cos(
)
i kx ty
A
kx
t
y
Ae
書 計算後 実部 残
例：微分
cos(
)
sin(
)
A
kx
t
A
kx
t
t
−一方
( ) ( )
cos(
)
sin(
)
sin(
)
cos(
) --(1-4)
i kx t i kx t
Ae
i Ae
t
i
A
kx
t
iA
kx
t
A
kx
t
i A
kx
t
実部
実部 等 い
量子力学
複素数 波動 あ わ 講義 後半 実 必要
例：真空中 外力 作用 い い電子 波動関数
( )
( , )
x t
Ce
i kx tm
K
x
微分方程式例 最 簡単 例：質量m 物体 自由落
力：
F
mg
g: 重力加速ュ ン 運動方程式
2 2
d x
m
mg
dt
初期条件：t = 0
0
0
x
v
x
解2
1
2
x
gt
加速
例 単振動 調和振動子
ネ定数K ネ 質量m 物体 い い
力：
F
Kx
運動方程式:2 2
d x
m
Kx
dt
但 初期条件 t = x = A, v = 満 関数 x(t) 求
cos(
)
x
A
t
い2 2
sin(
)
cos(
)
x
A
t
x
A
t
x
2
mx
m
x
Kx
あK
m
ば微分方程式 満x(0) = A, v=
x
(0)
= あ 初期条件 満sin(
)
x
A
t
場合 考え2 2
cos(
)
sin(
)
x
A
t
x
A
t
x
場合
K
m
ば 微分方程式 満 さ(0)
0
(0)
x
x
A
あ 初期条件 満 さ い微分方程式 解 決 い 初期条件 え 初 解 定
例 偏微分方程式
2 2
2 2 2
1
( , )
x t
( , ) (
x t
c
0)
x
c
t
解
( )
( , )
x t
Ae
i kx t
辺： 2
2 ( ) 2
( , )
i kx t
x t
k Ae
x
右辺：
2 2
( )
2 2 2
1
( , )
x t
Ae
i kx tc
t
c
2 2
2
k
k
c
c
また
ば 微分方程式 成立 解( )
( , )
x t
Ae
i kx tA
cos(
kx
t
)
iA
sin(
kx
t
)
速 c +x方 向 進 波 表 x方 向 進 波
( )
( , )
x t
Ae
i kx t
解 あ
偏微分方程式 電磁波 表 い
．物理量 単
物理量 計算 使用 い 単 十分 注意 必要 あ 現 学 使わ
単 国 的 標準化さ SI単 系 MKSA単 系 呼ば い
単 系 基本 長さ m 質量 kg 時間 s 電流
ンペ A 単 組合わ 表現さ
例 ュ ン 運動 法則
力=質量×加速
え 辺 力 SI単 系 N ュ ン 単 測 一方右辺
質量 単 kg
速 単 ms
-1
加速 速 微分 量
v
d
dt
単 ms
-2
右辺 単 kg m s
-2 従
2
kg m
[N] =
s
力 単 N 基本 kg, m, s 組 合わ 書例 一定 力F 作用さ 物体 距離 l 移動さ 場合 物体 事W
W = Fl
あ W エネ あ 単 J ュ あ 右辺 単
[N] [m]
あJ ュ
2 2
kg m
[J] = [N] [m] =
s
いう基本単 組 合わ え等号 結ば 数式 辺 右辺 同 単 ばい い
例 運動エネ
2
1
2
v
T
m
え 右辺 単2 2
2 2
m
kg m
[kg]
s
s
あ例 [J] 一致 わ 事 運動エネ エネ あ 同
単
2 2
kg m
[J] =
s
持電子 ［eV］
エ 半 体 学 電子あ い 子 後 講義 明さ エネ
単 J 代わ 例外的 SI単 系 含 い 電子 ［eV］ いう単
使わ 1 eV 素電荷 (電子) 1V ) 電 差 加速 得 エネ
-19
1 eV = 1.602 10 J
あ 計算 用い 数値 定数 eV単 え い 場合 J単 変換
計算 必要 あ
指数関数 及 角関数 注意事項
y
e
いう関数 い 無次元 単 無い 量 ば い 単 持 量 あ ば問題 生 指数関数 展開
2
1
1
2
y
展 開 さ え ば 長 さ[m] 単 持 量 あ 場 合 右 辺 無 次 元 [m]
[m2]
異 単 持 量 和 う い 従 指数関数
e
無 次 元 単 い 量 ば い 角 関 数 場 合 同 様
cos , sin , tan
等 必 無次元量 あ角 角 ° や ン rad いう単 呼 物理量 表
単 あ 角 周 対 比 あ 例えば 周 6 ゜ あ 角
6 対 い あ 角 表現 い う 全体 割合
ン ％ 表 同様 あ
例 進行波
y
A
cos(
kx
t
)
場合x 長さ[m] k 角波数 単
1
m
kx 無次元一方t 時間[s] 角周波数 単
1
[Hz] =
s
従 t や 無次元物理量 表 数式 正 い う 確認 数式 単 物理量 単
一致 確 一 方法 あ
4 2 2 2 0
1
8
n
me
E
h
n
え エネ 表式 あ 右辺 全体 エネ 単 [J] い
あ 一見 わ い 次 う 詳 検討 [J]単 あ わ
式 う 素電荷 e 含 式 ン 法則 思い 素電荷間 働 力
2 2 0
1
(
)
4
e
F
r
クーロン力
2
4 2 2
2 0
1
(4 )
(
)
e
F r
4 2 0
e
力×距離
2
J m
単 持 わ 一方
2 2 2
m
mc
h
hc
c速
mc2 単
2 2
kg m
s
あ 例 あ う エネ 単 [J] あ一方 hc 単
[J s][m/s] = [J m]
あ 従 初 示 式(a)4 4 4 2
2 2 2 2 2 2
0 0 0
1
1
8
8
8
(
)
me
e
m
e
mc
h
h
hc
単 整数n 単 持 い 考慮 必要 い
2 2 -2 -2
[J
m ][J][J
m ] = [J]
確
4 2 2 2 0
1
8
me
h
n
単 エネ 単 [J] わ．数式 記法 関 補足
指数関数
exp( )
xe
x
書 あ自然対数
log
log
ln
e
x
x
x
表記§
量子力学：基本方程式
ュ
ン
方程式
(Schrödinger equation)
水素原子 い 電子 定常軌道 電子 波(電子波 波) 扱う
出来 わ う 微視的 世界 現象 扱う量子力学 い
波動 電子 扱い 基本 電子 波 表 関数 (r, t) 書
( 文 サ 大文 使う) 以後 関数 波動関数 呼 波動関数
置 標r = (x, y, z) 時間t 関数 あ 古 力学 い ュ ン 運動方程式
呼ば 微分方程式 粒子 運動 決 量子力学 い 波動関数(r, t) 何 微
分方程式 決 波動関数(r, t) 従う 微分方程式 求 始
物理 法則 実験事実 実験事実 う 明 数学 式 微分方
程式 法則 あ い 方程式 いう形 一般的 法則 方程式 次
方針 波動関数(r, t) 従う微分方程式 見 出
わ い 電子波 特徴 出 出来 (r, t) 対 最 単純
微分方程式
い い 実験事実 矛盾 明 ばOK 実験事実 合わ い点 あ ば
方程式
(以 ば 間 簡単 空間 標 x軸 考え )
波 思い出 外力 い い電子
2
2
p m
E
粒子 (自由粒子)： エネ E 運動量 p
波動 ( 面波)： 振動数
E h
波長h p
角振動数 使う
2
2
Eh
E
E
E
角波数 使う
2 2 p
h
k
p
k
p
p
k
2
h
(エ チ ) ッ 定数 あ い ン 定数 呼ば従 力 作用 い い電子 波動関数 次 形 出来
( )
( )
( , )
p E
i x t i kx t
x t
Ae
Ae
複素数表示 A 複素数 (理由 あ ) (2-1)解 う 単純 偏微分方程式 波動方程式
[試行 ] 時間t 標x 対 1階 偏微分方程式
( , )
x t
( , )
x t
a
b
x
t
a, b 後 決 定数 (2-2)両辺
( )
( )
( , )
p E
i x t i kx t
x t
Ae
Ae
代入辺：
( )
i kx t
ikaAe
右辺：( )
i kx t
等 条件
ka
b
p E
a
b
2
2
p m
E
あ a, bう 選 条件 満 さ い 偏微分方程式 用
[試行 ] 時間t 1階 標x 対 階 偏微分方程式
2 2
( , )
x t
( , )
x t
a
b
t
x
a, b 後 決 定数 (2-3)両辺
( )
( )
( , )
p E
i x t i kx t
x t
Ae
Ae
代入辺：
2 i kx( t)
k aAe
右辺：( )
i kx t
i bAe
等 条件
2
k a
i b
p22a
i
Eb
2
2
p m
E
辺 代入E 消去
2 2
2 2
p p
m
a
i
b
2
2
a
m
b
i
ば両辺 等電子波 対 波動方程式 候補 次 偏微分方程式 用
2 2 2
( , )
( , )
2
x t
x t
i
m
x
t
(2-4)正 い量子力学 基本方程式 決 実験 あ
---以 補足---
電子 波動関数 式(2-1) 実数 波動
( , )
x t
A
cos(
kx
t
)
考え 式(2-3) 代入 辺：
2
cos(
)
k aA
kx
t
右辺：
bA
sin(
kx
t
)
2式 等 出来 い 実数型 波動関数 使え い
一方初 試 時間t 標x 対 1階 偏微分方程式(式(2-2)) 実数 波動 代入
( , )
x t
( , )
x t
a
b
x
t
pa = Eba = 1/p, b = 1/E ば 辺 右辺 等 場合 方程式
1
( , )
x t
1
( , )
x t
p
x
E
t
微分方程式 運動量p エネ E 含 p E 微分方程式 解い 結果
値 得 微分方程式 解 p E あ い 必要 あ
式(2-4) 示 微分方程式 電子波 対 波動方程式 候補 用 更
ン V(x,t) 表さ 外力 中 運動 電子 方程式 次 形 用
2 2 2
( , )
( , )
( , ) ( , )
2
x t
x t
V x t
x t
i
m
x
t
2 2 2
( , )
( , )
( , )
2
x t
V x t
x t
i
m
x
t
(2-5)1次元 時間 含 ュ ン 方程式 呼 案さ 90 近 経過
実験事実 明 出来 量子力学 基本方程式 あ さ い
3次元 場合 r = (x, y, z) あ
2 2 2 2
2 2 2
( , )
( , )
( , )
( , )
( , ) ( , )
2
t
t
t
t
V
t
t
i
m
x
y
z
t
r
r
r
r
r
r
(2-6)次 う 微分演算子( ) 入 (微分演算子 い 電磁気学 教
書 参照 )
2 2 2
2
2 2 2
2 2 2
2
2 2 2
,
,
( , )
( , )
( , )
( , , , )
,
x
y
z
x
y
z
t
t
t
x y z t
x
y
z
r
r
r
使 記式(2-6)
2
2
( , )
( , )
( , )
2
t
V
t
t
i
m
t
r
r
r
(2-7)§
波動関数
(
r
,
t
)
意味：
確率解釈
電子波( 波) 表 波動関数(r, t) 物理的意味 考え 必要 あ
電子 観測さ 確率 表 厳密
言い方 変え
簡単 1 次元 場合 考え ュ
ン 方 程 式 解 い 結 果|(x,
t)|2 う 場 合 x
x+x 微 領域 い 電子 観測さ
確率 |(x, t)| 2
x あ 斜線
領域 面積
電子 < x < 範 必
い 範 内 観測さ
確率
2
( , )
x t
dx
1
(3-1)ば い (波動関数 条件 満 う 規格化 呼 )
3次元
2 2
( , )
t
dxdydz
( , )
t
dV
1
r
r
全空間
波動関数(r, t) 対 数学的 い 条件 要求さ
(1) (r, t) 一般 複素数 あ (実数値 場合 あ )
(2) (r, t) 価 有界 関数 あ
(3) (r, t) 連 滑 関数 あ (次 例外 除 )
(4) ン 連 変化 点 (r, t) 連 あ 滑 い
固体中 膨大 数 電子 い (1 cm 3
中 10
22
個以 ) う 多数 電子
扱う場合 電子密 n |(r, t)| 2
比例 い 出来 電子
負電荷 密 e|(r, t)| 2
比例 い
1個 電子 扱う場合 波動関数 絶対値 2乗 |(r, t)| 2
時刻t あ 点r =
(x, y, z) 電子 観測さ 確率密 え
時刻t あ 点r = (x, y, z) 周 微 体積V = xyz 中 電子 観測さ 確率 確率密 (体積) = |(r, t)|
2
V あ
x |(x, t)|2
§
定常状態：
時間
含
い
ュ
ン
方程式
電子 作用 い ン あ い 外力 時 間 依 い い 場合 考え
V(r, t) = V(r) あ 場合 波動関数(r, t) 空間 標 r = (x, y, z) 関数 時間t
依 関数 積 形 体的 次 う 形
( , , , )
x y z t
( , , )
x y z e
i tE
(4-1)( , , )
x y z
文 サ 空 間 標 依 関 数E
i t
e
時 間 関数 あ ( う 関数 あ 変数 依 関数 変数 依 関数 積 分解
変数分離 呼 ) 空間部分 波動関数
( , , )
x y z
記 微分方程式 従う2 2
( )
( ) ( )
( )
2
m
V
E
r
r
r
r
(4-2)2 2 2 2
2 2 2
( , , )
( , , ) ( , , )
( , , )
2
m
x
y
z
x y z
V x y z
x y z
E
x y z
式 時間 含 い 時間 依 い ュ ン 方程式 呼ば
証明 式(4-1) う 変数分離さ 証明
( , , , )
x y z t
( , , ) ( )
x y z T t
いう形 仮定 元 時間 含 ュ ン 方程式(2-6) 代入 但 ン 時間 依 い V(r, t) = V(r) あ
2 2 2 2
2 2 2
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
2
T t
T t
V
T t
i
m
x
y
z
t
r
r
r
r
r
r
式 両辺
( ) ( )
r
T t
割2 2 2 2
2 2 2
1
( )
( )
( )
1
( )
( ) ( )
( )
2
( )
T t
V
i
m
x
y
z
T t
t
r
r
r
r
r
r
式 辺 空間 標r = (x, y, z) 関数 あ 右辺 時間t 関数 あ 任意
x, y, z t 対 等式 恒等的 成 立 式 値 あ 定数 ば
い 定数 E 置
辺：
2 2 2 2
2 2 2
1
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
2
m
x
y
z
V
E
r
r
r
r
r
r
(4-3)右辺：
1
( )
( )
dT t
i
E
T t
dt
i
dT t
( )
ET t
( )
dt
(4-4)右辺 微分方程式(4-4) 解
( )
E
i t
T t
e
得 現 定数E 電子 エ2 2 2 2
2 2 2
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
2
m
x
y
z
V
E
r
r
r
r
r
r
時間 含 い 時間 依 い ュ ン 方程式 得
(証明終わ )
講義 時間 依 い ン 扱う 電子 波動関数 時
間 含 い ュ ン 方程式 解い (r) 求
E
i t
e
掛 ば得以 い 場合 時間 含 い ュ ン 方程式 解法
見 い
§4-1 1次元自由粒子
質量m エネ E 外力 運動 い 電子 波動関数 求 簡単
1次元 x軸方向 運動 考え 場合 電子 波動関数 波 電子波
進行波 表 関数 予想さ
力 い い V(x) = 0 時間 依 い 前節 う 波動関数 次
式 う 変数分離さ
( , )
x t
( )
x e
i tE
(4-5)(x) 対 時間 含 い ュ ン 方程式 式(4-2) 変数 x 含 常微分 方程式
2 2 2
( )
( )
2
d
x
E
x
m
dx
(4-6)一般 微分方程式 解法 数学 講義 学習 式(4-6) 一般解
( )
x
A e
ikxA e
ikx
(4-7)いう形 わ ば い 式(4-7) 式(4-6) 両辺 代入 定数 k (正 実数)
2mE
k
あ ば式(4-6) 成 立 わ一般解(4-7) 式(4-5) 代入 時間 含 波動関数
( / ) ( / )
( , )
( )
i tEi kx Et i kx Et
x t
x e
A e
A e
x軸負方向 進 進行波
x軸正方向 進 進行波
右辺2行目 進行波
( )
i kx t
e
形 持 い 定義2mE
k
波数 対応粒子 対応関係 波動
エネ E = E/ħ 角周波数
運動量 p k = p/ ħ 波数 k
対応関係 変数分離 出 定数E エネ E (= ħ 等 い 明
以 外力 い電子 波動関数(x, t) 面波 あ
正方向 進 進行波
( )
i kx t
e
負方向 進 進行波( )
i kx t
e
線形結合 表さ 但
波数
2mE p
k
k 電子 運動量p 直結 い
角周波数
E 電子 エネ E 直結 い
§4-2 力 ン
ン 力 い 明 加え 行板電極 作 電界 電子 及ぼ 力
考え (以 エネ E, ン V 区 電界 Ԑ 電
v
書 )極板間隔a 行板電極 電
v
印加さ い ( 側 極板 電子 通 抜出来 う さ 孔 空い い ) 電界 右向 大 さ Ԑ =
v
/a (一定) あ e電荷 持 電子 極板 中 入 向 一定
大 さ
F = eԐ
力 力 F 対応 ン V
dV
F
dx
定義さ 示 う 0 < x < a
区間 x 比例 増加 ン V(x)
(傾 eԐ) う 定義 ン
エネ 単 持
注意：電磁気学 扱う電
v
静電 ン呼 場合 あ 場合 電界 Ԑ 関
係 定義さ Ԑ = d
v
/dx粒子 力 作用 い 場合 古 力学( ュ
ン 運動方程式) 力F 方程式 直接現
v
a Ԑ
eԐ
x a
0 F
-eԐ
電子 力( 向 )
x a
0 V
電子 対 ン V(x)
V0 = eԐa
2 2
d x
m
F
dt
対 量 子 力学 ュ ン 方 程
式 粒子 働 力 ン V(x) 形
方程式 中 現 (式(4-2))
示 う 極板間隔a さ
ン 傾 急 更 印加電 大
ン 壁 高 a 0
電 極限 考え 電子 対 無
限 高 急峻 ン 壁 出来 古
力学 考え 側 や 電子 x = 0
壁 向 跳 返さ
x a
0 V
電子 対 ン V(x)
a さ
x a
0 V
電子 対 ン V(x)
a さ 電 大
x 0
V
§4-3 無限 壁1次元井戸型 ン
う 井戸部分 幅 d あ 無限 壁1次
元井戸型 ン 中 運動 質量m エネ
E 持 電子 考え ン 次式
表さ
井戸内部：
2 2
( )
0
d d
V x
x
壁部分：
2 2
( )
d
,
dV x
x
x
ン 時間 依 い 波動関数
空 間 標 依 部 分 時 間 依 部 分
変数分離さ 空間 標 依 部分(x) 時
間 依 い ュ ン 方程式 従う
初 壁内(斜線 領域, x < d/2, d/2 < x) 波動関数 考え ン 壁 高さ
無限大 場合 電子 壁内 入 込 出来 い 波動関数 絶対値 2 乗 |(x)|
2
置x 電子 確率密 表 い 壁内部
|(x)|2 = 0 (x) = 0
2
,
2d d
x
x
あ いう 壁内部 波動関数 ュ ン 方程式 解 得
次 井戸内部(d/2 < x < d/2) 波動関数 求 1次元 x軸方向 時間 依 い
ュ ン 方程式
2 2 2
( )
( ) ( )
( )
2
d
x
V x
x
E
x
m
dx
井戸内 V(x) = 0 結局
2 2 2
( )
( )
2
d
x
E
x
m
dx
d
2 2( )
x
2
mE
2( )
x
dx
変 数 x あ 簡 単 常 微 分 方 程 式 式(4-7)付 近 定 義 う
2mE
k
使う 微分方程式(2階常微分方程式) 次 形2
2 2
( )
( )
d
x
k
x
dx
2
2
d
d
x
(4-8)方程式 一般解 角関数あ い 虚数 使 指数関数 書 出来 3
角関数 使
( )
x
A
sin(
kx
)
B
cos(
kx
)
(4-9)一般解 A, B 後 決 係数(複素数) あ 式(4-9) 式(4-8) 両辺 代入
解 あ わ
微分方程式 解 境界条件 決 い 一 確定 い 場合 境界条件 井戸
内部 波動関数(式 4-9 ) 壁部分 波動関数 連 あ § 示 波動関
x d/2 o
V
ン V(x)
d/2
数 要求さ 条件 参照 井戸 壁 境界 ン 連 変化
(4) 適用さ 波動関数 境界 連 あ ば い 滑 あ 必要 い 壁 部分 (x) = 0 井戸内部 波動関数式(4-9) x = d/2 い 従
sin
cos
0
2
2
2
d
kd
kd
A
B
(4-10)sin
cos
0
2
2
2
d
kd
kd
A
B
(4-11)いう条件 満 必要 あ A = B = 0以外 解 A = B = 0 波動関数 全域
い 電子 い
Case (1)
一 目 可能性 A = 0
cos(
kd
/ 2)
0
いう場合 あcos(
kd
/ 2)
0
成立2
2
kd
n
従k
n
d
n = 1, 3, 5, (4-12)場合 波動関数
( )
x
B
cos
n
x
d
n = 1, 3, 5, (4-13)Case (2)
う一 可能性 B = 0
sin(
kd
/ 2)
0
いう場合 あsin(
kd
/ 2)
0
成 立2
2
kd
n
従k
n
d
n = 2, 4, 6, (4.14)場合 波動関数
( )
x
A
sin
n
x
d
n = 2, 4, 6, (4-15)係数A, B 波動関数 規格化 決 電子 井戸内部(d/2 < x < d/2) 必
(確率 ) 式(3-1) 参照
/2 2
/2
( )
1
d
d
x
dx
従 場合
Case(1) 2 /2 2
/2
cos
1
d d
n
B
x dx
d
, Case(2) 2 /2 2/2
sin
1
d d
n
A
x dx
d
/2 2 /2 2
/2
sin
/2cos
2
d d
d d
n
n
d
x dx
x dx
d
d
(各自計算 確認 ) 積分 値 n い
2 2
2
A
B
d
A, B 正 実数
A
B
2 /
d
以 波動関数 整数n 番号 付
2
( )
cos
n
n
x
x
d
d
n = 1, 3, 5, (4-16)2
( )
sin
n
n
x
x
d
d
n = 2, 4, 6, (4-17)波動関数 表さ 状態 電子エネ E
2mE
k
式(4-12) 式(4-14) 整数n 関係 いn 奇数 n = 1, 3, 5, :
2
mE
k
n
d
2 2 2 22
nE
n
md
n 偶数 n = 2, 4, 6, :
2
mE
k
n
d
2 2 2 22
nE
n
md
(n 奇数 偶数 エネ En え 式 同 形 )
最 エネ い状態(基底状態) n = 1 場合
エネ
2 2 1 2
2
E
md
波動関数1
2
( )
x
cos
x
d
d
(4-18) 2番目 状態 n = 2 場合エネ
2 2 2
2 2
2
2
E
md
波動関数2
2
2
( )
x
sin
x
d
d
(4-19) 3番目 状態 n = 3 場合エネ
2 2 2
3 2
3
2
E
md
波動関数3
2
3
( )
x
cos
x
d
d
(4-20) 4番目 状態 n = 4 場合エネ
2 2 2
4 2
4
2
E
md
波動関数4
2
4
( )
x
sin
x
d
d
(4-21)(以 同様 n )
エネ 基底状態 E1 対 En = E1n
2
以 井戸幅 d あ 無限 壁井戸型 ン 中 電子状態 エネ
2 2 2 2
2
n
E
n
md
n = 1, 2, 3, 4, 5, (4-22)状態 波動関数 n 奇数 偶数
2
( )
cos
n
n
x
x
d
d
n = 1, 3, 5, (4-23)2
( )
sin
n
n
x
x
d
d
n = 2, 4, 6, (4-24)古 力学 扱う 電子 エネ 無限大 連 的 変化 量子力学
エネ 離散的 値 持 う エネ 準 離散化あ い 量子化 呼
(エネ 準 量子化さ 量子力学 語源 あ )
波動関数 形 化
x d/2 o
1
n = 1 波動関数1：式(4-18)
d/2
2
d
2
d
x d/2
o
||2
n = 1 電子 確率密 |1|
2
d/2
2
d
x d/2 o
2
n = 2 波動関数2：式(4-19)
d/2
2
d
2
d
x d/2 o
||2
n = 2 電子 確率密 |2|
2
d/2
2
[演習問題]
井戸幅L 無限 壁井戸型 ン 中 電子 エネ
2 2 2 2
2
n
E
n
mL
え 井戸幅5 nm 場合 基底状態(n = 1) 電子 エネ 求
34 2 2
21
31 9 2
(1.05457 10
)
2.41 10
15.0
2 9.109382 10
(5 10
)
J s
J
meV
kg
m
波動関数 概略
x d/2 o
3
n = 3 波動関数3：式(4-20)
d/2
2
d
2
d
x d/2 o
||2
n = 3 電子 確率密 |3|
2
d/2
2
d
x d/2 o
4
n = 4 波動関数4：式(4-21)
d/2
2
d
2
d
x d/2 o
||2
n = 4 電子 確率密 |4|
2
d/2
2
§4-4 有限 壁1次元井戸型 ン
次 う 井戸部分 幅 d 壁 高さ
V0 あ 1次元井戸型 ン 中 運動
質量m エネ E 持 電子 考え
但 V0 > E ン 次式 表さ
( 壁 高さ 有限 有限 壁 呼 )
井戸内部：
2 2
( )
0
d d
V x
x
壁部分：
0 2 2
( )
d
,
dV x
V
x
x
場合 §4-3 同 う ン 時間
依 い 波 動 関 数 空 間 標 依
部分 時間 依 部分 変数分離さ 空間
標 依 部分(x) 時間 依 い ュ ン 方程式 従う
壁 高さ 有限 電子波 壁内 入 込 出来 壁部分
井戸内 領域 ュ ン 方程式 解 必要 あ 壁(barrier)部分 波動関数 B(x) 井戸(well)内部 波動関数 W(x)
2 2
0 2
( )
( )
( )
2
B
B B
d
x
V
x
E
x
m
dx
壁部分 (x < d/2, d/2 < x)2 2 2
( )
( )
2
W
W
d
x
E
x
m
dx
井戸内部 (d/2 < x < d/2)境界(x = d/2) い 波動関数 連 滑 う
x = d/2 い (x) 連
2
2
B W
d
d
B2
W2
d
d
x = d/2 い (x) 滑
2 2
d d
B W
d
d
dx
dx
d2 2dB W
d
d
dx
dx
計算 詳細 参考文献 参照 場合 無限 壁 異 エネ E 波動関数
求 数値計算 必要 定性的 特徴 述
エネ
エネ 準 離散化さ 井戸 幅 同 場合 基底状態エネ 励起エネ
共 無限 壁 対応 準 比 さ 無限 壁 準 無限 あ 有限
壁 場合 有限 個数 最 1個 あ
波動関数
次 示 う 形 無限 壁 場合 比 大 違い 波動関数 ( いう 電
子 確率密 ) 壁領域(x < d/2, d/2 < x) い点 あ 壁部分
x d/2 o
V
ン V(x)
電子 観測さ 確率 い 意味 い 古 力学 扱 場合 壁 高さV0 有限 E < V0 あ ば あ 粒子 壁 表面 跳 返さ
壁内部 入 込 い 電子 壁内 入 込 現象 量子力学 特有 あ ( 現
象 講義 最後 扱う ンネ ン 密接 関係 現象 あ )
x d/2
o 1
n = 1 波動関数1
d/2
x d/2
o 2
n = 2 波動関数
2
d/2
§
確率
流
密
講義 見 う 波動関数 絶対値 2乗 |(r, t)| 2
電子 観測さ ( 置
)確率密 え 電子物性 い 重要 電子 密 n (n |(r, t)| 2
) 電磁気 学 電荷密 (e|(r, t)|
2
) 相当 電流密 J 単 断面積 流 電流
対応 量子力学 量 何 ？ 以 考え
初 古 的 電子 粒子 扱 粒子 空間 運動 い 場合 考え 電子や陽子
電荷 帯 粒子 運動 電流 流 y z方向 一様 分布 い
荷電粒子 速 vx x軸方向 運動 い 場合 考え 電流密 J x方向 成分
あ (教 書145ペ 参照 )
J
x
x但 電荷密 あ
Jx 間 連 方程式 (電磁気学 教 書 299ペ §9.5.1 電荷保 法則
明さ い )
F
HG
I
KJ
t
J
x
J
y
J
z
J
x
x y z x (5-1)
成立 式 成 立 考え
微 体積V = xyz 中 電荷密 微 時間t 間 変化 場合 考
z
y
x
x
x+
x
z
y
J
x(
x+
x
)
J
x(
x
)
体積V=xyz
