学位論文内容の要旨

博 士 （ 理 学 ） 山 上 敦 士

     学位論文題名

On Gouvea SConjectureln the Unobstructed Case      （変形問題が非障害な場合におけるグベアの予想について）

学位論文内容の要旨

  p

を 奇 素 数 ，

を

と 素 な 正 整 数 ， た を 標 数

の 有 限 体 ，

を

上 の絶対ガロア群とし，絶対既約な剰余ガロア表現p ： Go →GL2( た）はレ ベルNp ″（レ≧0 ）の古典的な＾ッケ固有形式アから来るモジュラー表現 で あるとする ．このと き，p はァ に付随す るという．S をp co そしてN の素因数からなる有限集合とするとき，戸はS の外で不分岐であり，Q 上

の外 で 不分岐 な最大ガ ロア拡大 のガロア 群Gs の表現よ り得られ る．

た を剰 余 体 にも つ 完備 局 所 ネタ ー 環

への 戸 の 持ち 上 げ

： Gs →

の同値類を，戸のA への変形とよぶ．B ．メーザーは，完備局所ネ タ ー 環

（

） と

の 変形

：

→

，S)) で ， 次の 普 遍 性 を持っものを構成した：

任 意の変形

： Gs →GL2(A) に対し，環準同型ヤ：R(p ，S ）→A で，

ヤ 。

が

と 同 値 に な る も の が 唯 一 つ 存 在 す る ． このR(p ，S) を戸の普遍変形環という．

一方，F ．Q ．グベアにより，戸の変形の中で，特に

． M. カッツ氏のp 進保型形式に付随するものに対して、上記の普遍性を持つ完備局所ネタ一 環

，

と 戸の変 形p ―。d ：

→GL2(T(p ，N)) が構 成された ，これ を、普遍モジュラー変形環とよぶ，

  R(p

，

の 普遍性に より得ら れる射

，

→T(p ，N) は全 射である が ， さ ら に 単 射 性 に つ い て 次 の 予 想 が 立 て ら れ て い る ： グベアの予想上述の設定のもと，全射R(p ，S) →T(p ，N) は同型である，

これ倣，モジュラーな剰余ガロア表現戸の全ての変形は，カッツのp 進保 型形式に付随することを意味している，

本論文の主結果は次の定理である：

主定理 もし戸に 対する変 形問題が非 障害であ るならぱ ，グベアの予想 は正しい．

ここで，戸に対する変形問題が非障害であるとはっ戸に付随する随伴表現

一85 ‑

Ad(p)の2次 元ガ ロ ア コホ モ ロ ジ一 群H2(Gs，Ad（ 戸 ）） がOとな ること を いう ，

  主 定 理の 証 明 方針 は 、

（1）R（戸，S）→T(p，N)の 単射性を，R(p，S)のスペクトラムSpecR(p,S）     に お ける，古 典的た 固有形式 から来る モジュ ラーな点 からな る部分集     合ズの稠密性に帰着させる；

(，2)戸の普遍変形空間X：Homcont．w（た）−dg（R（戸，S)，〇）内の，古典的な     固 有 形式から 来るモ ジュラー な点から なる部 分集合を 、R．F． コール     マ ン によ り 構 成さ れ たp進 固 有 形式 の 族 を用 い て ，p進 解 析的 な手法     で調べることにより，ズの稠密性を示す；

という もので ある．こ こで，げ （た） はた上のビット環であり，〇は戸が付 随 す る 固 有 形 式 ノ の フ ー リ エ 係 数 を 全 てQpに 添 加 し た 体Kの 整 数 環 で ある，

  戸に対 する変 形問題が 非障害 であると き，普遍変形環R(p，S）はげ（た）

上 の3変 数 形 式 的 冪 級 数 環 と 同 型 で あ る の で ， 普 遍 変 形 空 間Xは3次 元 の 滑 ら か なK‑解 析 的 多 様 体 と み な せ るこ と が ，(2)にお け る キー ポ イ ントで ある．

  コ ー ル マ ン のp進 固 有 形 式 の 族 を 用 いて ， グ ベア の 予 想を 証 明 する こ の方法 は，グ ベアとメ ーザーに より，

  （i）K＝Qp；(ii） 戸 が 付 随 す る 固 有 形 式 ′ の レ ベ ル がpで あ る ； という 仮定の もとで初めて示されたものである．本論文の前半で，仮定（i） は そ の ま ま で ， 仮 定(ii)に お け る ′ の レ ベ ル をpか らNp (Nはpと 素 な 正 整数 ） に 拡張 し た 場合 を ， 後半 で は ， 仮定 （i）にお けるKが一般 のp進 体 で， 仮 定(ii)にお けるノ が任意の レベル の一般的 な場合を 扱って いる．

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学位論文審査の要旨 主査   助教授   前田芳孝 副 査    教授    三宅敏 恒 副 査    教授    山下    博

     学位論文題名

On Gouvea SConjectureln the Unobstructed Case      （変形問題が非障害な場合におけるグベアの予想について）

  全てのガロア表現の変形がモジュラー形式から得られるか否かということはガロア表現 論の基本問題であり，特別な場合の解決はワイルス．テーラーにより，志村‐谷山予想及び フェルマー予想の解決を齎した．本論文は，この基本問題を緩やかな仮定の下で解決した ものである．

  1変数 の＾ッ ケ作用素 に対す る固有形 式から生 じる絶 対既約な 剰余ガロア表現に対し て，メーザーは完備局所ネータ環上への変形で最も普遍的なガロア表現が存在することを 示した， 一方， グベアは カッツ のp‑進保型形式から得られるものに対して同様な普遍的 なガロア 表現を 構成し，この2つのガロア表現は同値であることを予想として提出した．

  グベアとメーザーはこの予想が成り立っことを，剰余ガロア表現が非障害な場合に加え，

与えられ た固有 形式がp‐進整数環上定義され，且っそのレベルが素数pでnon‑slopeであ るというかなり制約された場合に証明した．

  本論文は，彼らの手法を一般の局所体上に拡張し，更に，与えられた固有形式の代わり に都合の良い固有形式を取り直せることができることを示すことにより，slope non‑slope に関係なく，固有形式の定義環やレベルについても何らの条件を仮定せずに，剰余ガロア 表現が非 障害と いう条件 だけの 下でグベ アの予想が成り立っことを示したものである．

  非障害と いう条件は付くが，この条件は与えられた固有形式に対して，有限個の素数p を除 い て 成り 立 っ もの と 予 想さ れ て お り， そ れ ほど 強 い 条件 ではな いと思 われる，

  本論文の結果は，特別の場合に志村‐谷山予想の解決を齎したように，整数諭に於いて 多くの成果を生むものと期待される，

  要 す るに ， 著 者は ガ ロ ア表 現 の 変 形問 題 に 於い て 重 要な 貢 献をなし たとい える，

  よって著 者は， 北海道大 学博士 （理学）の学位を授与される資格あるものと認める．

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