多項分布の適合度検定における検出力の正規近似について

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(1)Title. 多項分布の適合度検定における検出力の正規近似について. Author(s). 関谷, 祐里; 種市, 信裕. Citation. 北海道教育大学紀要. 第二部. A, 数学・物理学・化学・工学編, 45(1) : 1-4. Issue Date. 1994-10. URL. http://s-ir.sap.hokkyodai.ac.jp/dspace/handle/123456789/6239. Rights. Hokkaido University of Education.

(2) . . 平成６年１０月. 北海道教育大学紀要（第２部Ａ）第４５巻第１号. ｏｃｔｏｂｅｒ，１９９４. ＩＡ）Ｖｏｌｉｉｏｎ（ＳｅｃｔｉｉｖｅｒｏｎｌｔｙｏｆＥｄｕｃａｔｉｄｏＵｎｓｊｏｕｍａｌｏｆＨａｋｋａ ‐４５．ｌ，Ｎｏ. 多項分布の適合度検定における検出力の正規近似について関. 谷. 市. 里・種. 祐. 信. 格＊. 北海道教育大学釧路校数学教室＊帯広畜産大学. ｔＴｅｓｔｓｉｎｏｌｍｉａＩＧｏｏｄｎｅｓｓ‐ｏｆ‐ＦｉｔｉｏｎｔｏｔｈｅＰｏｗｅｒｏｆＭ［ｕｌｏｎａＮｏｒ・コｎａＩＡｐｐｒｏｘｉｍａｔロ垣ｒＯＴＡＮＥ１ＣＨ１ホＹｕｒｉＳＥＫ１ＹＡａｎｄＮｏｂＵｉｏｎｉｉｖｅｒｔｙｏｆＥｄｕｃａｔｉｄｏＵｎｉｓｉ公江ａｔｊｈｅｒｏｃａ．ＩＱＰｕｓ．ｎａｔｃｓＬａｂｏｒａｔｏｒｙ，Ｈｏｋｋａ，こｕｓｈＫｕｓｈｉｒｏ０８５ｉｉホｏｂｉｉｎａｌ前ｒｅａｎｄＶｅｔｅｒｎｅｉｉｃｈｉｔｙｏｆＡ≦誼ｃｕｌｙＭｅｄｖｅｒｓｒｏＵｎｈｉｏｂｉｒｏ０８０. Ａｂｓｔｒａｃｔ. １ｆｉＢｒｏｆｔｔａｎｄＲａｎｄｅｓ. ［１］ｏｂｔａｉｎｅｄａｎｏｒ工エーａｌａｐｐｒｏメ：立ｎａｔｉｏｎｔｏｔｈｅｐｏｗｅｒｏｆＺ２ｔｅｓｔｆｏｒｍｕ１ｔｉ］ＱＯ１エーｉａ１ｇｏｏｄ口コｅｓｓ－. ３－ｆｉ］ｅｘｔｅｎｄｅｄｔｈｅｉｒａｐｐｒｏｘｉｌｎａｔｉｏｎｔｏｔｈｅｐｏｗｅｒ－ｄ巨ｖｅｒｇｅｎｃｅｆａｍｉｌｙｏｆｓｔａｔｉｓｔｉｃｓ‐ ｔｏｆ ‐ ＲｅａｄａｎｄＣｒｅｓｓｉｅ［ｌａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎｔｏｔｈｅｏｒｄｅｒｏｆｎ－１ｉｒｎｏｒｍａｌｎｔｈｄｓｐａｐｅｒｗｅｃｏｎｅｃｔｔｈｅｍｅａｎａｎｄｔｈｅｖａｒｉａｎｃｅｏｆｔｈｅ ‐ ，. え. ＳＩ．ま. が. き. ｌｔ（”；ｍ，……，厳）に従う確率変数として，多項分布の適合度検定を考える．ｐ＝（灸，）を多項分布ＭｕＸ′＝（叢，……，Ｘた）をある与えられたベクトルとし，単純帰無仮説（変＞０ ……，魚γ ご；１，……，履刀基，ｐ，Ｚ＝１品０：ｚ＝ｐ，窃＝（順ゞ…．．，筋 “ 入を検定するための統計量として，ＲｅａｄａｎｄＣｒｅｓｓｉｅ［３］は，パワーダイバージェンスヱに基づく次のような検定統計. 量を提案した．. ただし，. 一一. べ各，十. （ル “）ＬＤ〆都墓（＆ ◎｛. え≠０「１（）. ）（＆煽ぎ）ｌ ” ｏｇ苔＆／. （たの. ）〆ゑｌ（のズメｏｇ. ）（八；－１. である．彼らは，すべての昆Ａは帰無仮説品ｏのもとで漸近的に自由度々一１の〆の分布に従うこと，および，固定された対立仮説のもとでの統計量元スの漸近正規分布を導いた．ｉ本論文ではＲｅａｄａｎｄＣｒｅ［３］の与えた正規分布にモーメント修正を行うことによって，固定された対立仮説のｅｓｓ（１）.

(3) . ２. 関谷. 祐里・種市. 信格. . . もとでの検定統計量＆の近似として，より精度の優れた正規近似を与えたこの新しい近似はぇ＝１（ビアソンのカイ．，二乗統計量）の場合に，ＢｒｏｆｆｌｉｔｔａｎｄＲａｎｄｅｓ［１］が与えた結果と一致する．. Ｓ２．固定された対立仮説のもとでの統計量の分布帰無仮説掘ｏに対して，対立仮説を ′ｑ≠ ）（ｑ＝電が …，ｑた品罰＝ｑ，）ｐ，とする．ここで，ｑし… … 鎌は〃の値に依存せず固定されているものとするＸ′＝（煮 … … Ｘたｔた（然々，，，．，，）は多項分布Ｍｕｌ，. ……，欲）に従う確率変数であるとして，対立仮説嵐，のもとでの統計量＆の分布を考える変数変換．２／ “ ＝％－１（差．‐“ｑ）ｆ，ズ＝ｌｒ … 為. ′とおくと記はＹの関数となり次のように展開できるを行い，Ｙ＝（Ｚ，……，飴），入，．. ÷づｃ“％キを％竺Ｄ謡与論“引受＆“５＋ｏ｛・）＆－卿）十２がりＡ』＋ｆか““＋きれ（ぬｆ＝ｌ＝ｌｆ＝ｌｆ＝１ただし，（２）. ＆（０）＝２”ｒ（ｑ，ｐ），. １一スー βえｆ＝ゑセゼ，ースー２Ｃぇｆ＝（八一１）ｐメメ，. スメー３パー１え－２ＡＦ（）（）ゑ一，ＥＡＦ（八一１え－２）（）ー３）ゑースメー４である．これによって，対立仮説嵐，のもとでの＆の平均と分散は次のように近似することができる．２お【＆］＝”ス＋ ○（％‐ ），２ γ［元Ａ］；飲２十 α “‐ ），. ６） ◎ ただし，. （）５（６）. 無ぬ十古”－書４嫉ぬ－２酬３姻 “ ２｝メス‐＆①）＋，２Ａ“＆頓の』＊〆＋嘘寡｛. の十２Ａ“Ｑ‘鳩盈錬窄｝. たた. ‐ ・副署４Ａム輯－秘計覇）＋３鼠認蝋１－鞠，－２＋÷” ｑｒ２の十毎々）１ー２の）十６＆ ‘″｛２ゐ２＋１ＯＡＡのぉゐ吻（（１－２の）＋ああ（１－２４）｝ｇ２物十ＧＣ（３＋３鹸臨も）十３Ａなβ 辺ぴ物２十６８スのぉメガ｝ぎ々２メガ，（７）. ２ｎ. 全量Ａ汎ｄ。，ｆ＝１ブ＝１. である．２次に，Ｙの分布に対して多変量中心｝極限定理を適用することによって，２刀曇．Ａぇ０ｆｚは漸近的に正規分布刃（，ｎ）に従う. （２）.

(4) . 適合度検定における検出力の正規近似. ２１ ′ ６）より，５）と（０））も漸近的に同じ正規分布に従うことがわかる．さらに（（＆－＆（１）より， “－ことがわかる．したがって（１２）／の一０となることが示されるので，）－メス（＆（０れ一ｍのとき，れ′ね廓一１，２ｎＲ（／（０） “１）－” ＆－メス＆－元ス．Ａ０ｆ ‐ . ）に従うことがわかる．０）／ｏであることに注意すると，対立仮説品のもとで（＆－” Ａが漸近的に標準正規分布Ｎ（Ａ，１標本数”が大きいときにはこの漸近分布に基づいて，検定統計量＆を用いた検定の検出力を近似することができる．すなわち，検定の棄却限界値をｃとするとき，検出力升｛元を用いて. ）６）で与えられる陶鋭２と標準正規分布関数の（ｘ）ｌ品｝は５ｃ. によって近似することができる．. ２Ａ我々は，対立仮説品，のもとでの標本数％が大きいときの統計量＆の近似分布として正規分布Ｎ（〆，の）を導いたが，２はそれぞれ（２２）と（７）で与０）とね０）（ｉＲｅａｄａｎｄＣｒｅ［３］は近似分布として正規分布刃（元入ｅｓｓ，“口）を与えた．ここで，＆（６４）））より３）５えられる．（，（，（，（１（０）＋○（）Ｅ［＆】＝元Ａ，１）］＝７ “元入２数２十○（ｉｅｓｓｅ［３］よりもより高次まで近似していることがであるから，我々の与えた近似は平均と分散に関してＲｅａｄａｎｄＣｒわかる．. ｔによる検出力近似法との比較Ｓ３．Ｄｒｏｓｉｅｓｓｅ［３］の与えた正規近似にモーメント修正を行い，正規近似の精２節で，我々の与えた正規近似はＲｅａｄａｎｄＣｒ度を高めたことを述べたが，本節では，さらに他の検出力近似法との比較について述べる．. 帰無仮説品ｏに対して，局所対立仮説 . １２ｃ（Ｚ；ｌ …．砂 ′ ′ の；Ｐ＋“ー））履か冗＝ｑ，（Ｆ（ｑｒ，嚢ｃＦｏｆ・も，，… …，ｑた. を考え，. ２とおくと，元入はぇの値によらず丑， “のもとで漸近的に自由度を－１，非」拳率βの非心ズ分布に従うことが知られている．このことを用いて検出力を近似すると，ＲＡの検出力は，入の値によらず全て等しいものと評価されてしまう．これに対して，Ｄｒｏｔ他［２］は，統計量の選択によって変化する新しい検出力近似法を提案し，その論文の中で，彼らの近似は対数尤ｓ度比統計量鳥に対して非常に良い近似であると述べている．そこで我々は，対数尤度比統計量配ｏに関して，２節で与えｔ他［２］の与えた検出力近似（Ａ入－近似）の数値計算による比ｓた正規近似に基づく検出力近似（刃‐近似）と，Ｄｒｏ較を行う． ′の場合に対立仮説亙・と１倹）１偽……，有意水準５％の平均的な検出力近似の良さを比較するために，帰無仮説鼠ｏ：ｐ＝（， ′ ける検出力に対してをとりこれら５００個の対立仮説にお）してランダムに発生された５００個のｑ＝（の，……，ｑた，Ｎ－近，２－近似の平均的な検出力近似の良さを次のように評価する似，ＡＡ－近似および非心ズ．. Ｅ醐. ２１／２）），Ｇ－・声望（幽 ⑦－招 ⑦）－，２，３. ２３１の（ｉｅ）Ｐ【１のＰ［ｔな検出力（棄却限界値５００）はそれぞれ２番目の対立仮説に対するＥｘａｃここで，ＰＥの，戸ｌ，，Ｚ＝１，……，，２入２分布の上側５％点を用いた場合のＥｘａｃｔな検出力）として自由度を－１のｘ，刃－近似，Ａー近似，非心ｚ－近似である．（３）.

(5) . ４. 関谷. 祐里・種市. 信格. 表１は，た＝４とを＝５に対して，それぞれ標本数％を変えてβγパブ）（２３）を比較したものである．表１より，対数尤ブ＝１，，Ａ表１対数尤度比統計量Ｒｏに対するＮ－近似とＡ－近似と非心ｒー近似の比較ｋ. ｎ. Ｅｒ１｝ｒ（. Ｅｒ２）ｒ｛. Ｅｒ３）ｒ（. ４. ２０. ０‐０６２３. ０‐００６１. ０‐０３７９. ４. ４０. ０‐０３６１. ０‐０５１８. ０‐０５９９. ５. ２０. ０‐０２５１. ０‐０５０５. ０‐０６４９. ５. ４０. ０．０３９４. ０‐０１３８. ０．０５１３. 度比統計量を用いた多項分布の適合度検定の検出力に対して，標本数％によっては，２節で与えた正規分布に基づく検出力近似は，Ｄｒｏｓｔ他［２］の与えた検出力近似より平均的に優れているものがあることがわかる．. 参考文献ｉｔｔｌ鮎，Ｒ．Ｈ．：ＡＰｏｗｅｒＡｐｐｒｏｘｉｍａｔｉ】ｉ［１］ＢｒｏｆｆｔＴｅｓｌ力ｅｓｉｏｎｆｏｒ仕 ‐ＳｑｕａｒｅＧｏｏ（ｍｅｔ：ＳｉｍｐｌｅＣｈ ‐Ｆｉｓｓ‐ｏｆｅＨ汀）ｏｓＣａｓｅ．Ｄ．ａｎｄＲａｎｄ，Ｊ，１９７７ＺＡ伽禦Ｓ加熊たＡｓ）ｓα．．，７２（，６０４一６０７. ｉｌｆ［２］ＤｒｏｓｔｉｏｎｓｔｏＭｕｌｉＩＴｅｓｅｎｂｅｒｇｔｔｔｔｅｒｈｏｆｎｏーｍｉａｓｏｆＦｉ，Ｃ，，Ｆ，：ＰｏｗｅｒＡｐｐｒｏｘｉｍａｔ，Ｋａ，Ｗ，Ｃ‐ ＭりＭｏｏｒｅ，Ｄ，Ｓ，ａｎｄ０ｏｓ，Ｊ，！. Ａ筋媒ｓ如熊たＡｓｓｏｃ１９８９）．．，８４（，１３０‐１４１ＣＮＲｄＴＲｉ［３］ｅａ，．．Ｃｉ１９８８）ｓｓ‐り一躍ｉｓ姑凝然元γ Ｄ愈惚蛇脳賜物の鷲彰Ｄｚｎｇｅｒｚ加，（．ａｎｄｒｅｓｓｅ， ‐Ａ．Ｃ‐：Ｇ卿加ｅ．，Ｓｐｒ. （４）.

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